VI. MATEMATIZACIÓN DE LA ASTRONOMÍA
UNA CAUSA que propició fuertemente el desarrollo de la aritmética fue el auge comercial experimentado por las ciudades del norte de Italia a partir del siglo XV, mientras que el redescubrimiento de los textos matemáticos griegos en el siglo XVI hizo resurgir el interés por la geometría. Pronto estas disciplinas demostraron su utilidad como herramientas de cálculo y análisis para quienes se interesaban por estudiar la naturaleza.
Entre los siglos XVI y XVII las matemáticas tuvieron dos grandes progresos: la adopción del sistema de numeración decimal y el descubrimiento de los logaritmos. El primero de esos hechos permitió unificar y simplificar la notación aritmética, mientras que el segundo facilitó considerablemente el manejo de grandes cifras. Gracias a esos avances se redujo en forma importante el tiempo y el esfuerzo dedicado a la complicada y laboriosa construcción de las tablas numéricas utilizadas en las operaciones matemáticas. Esto resultó especialmente valioso para la astronomía, donde había necesidad de realizar extensos y complejos cálculos para determinar las posiciones planetarias.
Desde los trabajos de Peurbach y Regiomontano fue claro que el uso sistemático de las matemáticas permitiría expresar en lenguaje preciso los resultados de los estudios que se estaban realizando en astronomía y física. Copérnico se dio muy bien cuenta del papel que las matemáticas desempeñaban para quienes como él intentaban entender la estructura cósmica. Así lo escribió en la dedicatoria que hizo al papa Pablo III en el De revolutionibus, donde señaló la importancia que éstas tenían para la astronomía, afirmando que esa ciencia debería estar en manos de expertos, únicos capacitados para juzgar sus logros.
Aunque Galileo no se dedicó a las matemáticas como una disciplina autónoma, las utilizó sistemáticamente en sus diversos estudios, sobre todo en los relativos al análisis del movimiento de los cuerpos. Decía que "quien quiera responder a cuestiones de la naturaleza sin la ayuda de las matemáticas, emprende lo irrealizable. Se debe medir lo medible y hacer que lo sea aquello que no lo es".
La intención de este capítulo es mostrar que la aplicación sistemática de las matemáticas a la investigación astronómica dio excelentes resultados, ya que fue así que se descubrieron leyes de la naturaleza de la mayor importancia.
KEPLER Y EL MOVIMIENTO PLANETARIO
La habilidad matemática de Johannes Kepler (1571-1630) quedó manifiesta desde que apareció el Mysterium Cosmographicum ("El secreto del Universo"), su obra más temprana, publicada por primera vez en 1596. En ese texto buscó la correlación que debería existir entre las diferentes órbitas planetarias, tratando de establecer relaciones geométricas entre las distancias de los diferentes planetas al Sol, calculadas según el modelo heliocéntrico de Copérnico.
![[FNT 30]](../imgs/155_124.gif)
Figura 30. Los cinco sólidos platónicos. El tetraedro o pirámide rectangular (a), el hexaedro o cubo (d), el octaedro (b), el dodecaedro (e) y el icosaedro (c).
Una idea recurrente de todo el trabajo científico de Kepler fue su certeza
de que existía un orden matemático oculto en la naturaleza, el cual se manifestaba
mediante armonías del Universo. Esa fue su línea de razonamiento cuando, utilizando
una rigurosa aproximación matemática, trató de construir un modelo donde los
planetas guardaran relación directa con los cinco sólidos perfectos.
1
Siguiendo una manera de pensar típica de los pitagóricos, Kepler llegó a la
conclusión de que sólo esos cuerpos tenían las propiedades necesarias para contener
las órbitas de cada uno de los planetas. En su modelo situó al Sol en el centro
de las esferas planetarias, y éstas se encontraban separadas entre sí sucesivamente
por un octaedro, un icosaedro, un dodecaedro, un tetraedro y un hexaedro (figura
31). Como todos sus esfuerzos por adecuar los resultados de sus cálculos a esa
representación fueron fallidos, años después intentó encontrar la estructura
del Universo por medio del estudio de la relación que guardan las armonías de
la escala musical, regresando así a la idea pitagórica de la música de las esferas
y de las relaciones místicas.
![[FNT 31]](../imgs/155_125.gif)
Figura 31. Representación de las órbitas planetarias de acuerdo a las ideas de Kepler sobre los cinco sólidos perfectos. En la superficie dejada por el corte de la esfera exterior, marcada con la letra a y del lado izquierdo, colocó a Saturno.
A pesar de este aparente retroceso, Kepler introdujo todo un cambio de actitud en la astronomía, ya que no sólo intentó describir los movimientos planetarios geometrizando el cosmos, sino que buscó las causas físicas que originaban dichos desplazamientos. Esto lo condujo a descubrimientos en verdad notables. Así, por ejemplo, en el Mysterium Cosmographicum estableció que los planos que contienen a cada órbita se hallan próximos entre sí, pero con respecto a la eclíptica cada uno tiene una inclinación diferente que permanece constante. Este importante descubrimiento lo puso en el camino que habría de llevarlo a establecer las leyes que rigen el movimiento planetario. Sin duda, la publicación del Mysterium Cosmographicum hizo que Kepler fuera considerado un astrónomo destacado en el medio académico europeo de esa época. Ese primer trabajo llamó la atención de gente como Tycho Brahe, quien vio en él al matemático que podría complementar su obra, razón por la que lo invitó a colaborar con él.
Debido a la creciente intolerancia religiosa contra los protestantes que habitaban Graz, ciudad donde enseñaba matemáticas y astronomía, así como a su necesidad de contar con observaciones de gran exactitud, Kepler aceptó trabajar con Tycho y se fue a radicar a Praga, lugar donde finalmente se estableció. A poco de haber iniciado el trabajo, Tycho Brahe le encargó resolver el problema de calcular la órbita del planeta Marte partiendo de los datos obtenidos en Uraninburgo, ya que por más esfuerzos que él había hecho ayudado por Longomontanus (1562-1647), otro de sus destacados colaboradores, no habían logrado obtener una solución que se ajustara bien a los datos que tras muchos años de observación había acumulado sobre ese planeta.
Kepler inició el trabajo partiendo de la suposición ortodoxa de que los planetas en general, y Marte en particular, se movían siempre en órbitas circulares, desplazándose con velocidad uniforme; pero por más esfuerzos que hizo, no logró resolver el problema. Bajo esas suposiciones encontró que había una diferencia de ocho minutos de arco entre la órbita predicha por sus cálculos y la posición observada de Marte. Esta diferencia era inaceptable pues, como él mismo reconocía, las observaciones de Tycho eran tan exactas, que bajo ninguna circunstancia podría considerarse que un error tan grande proviniera de esos datos. Tycho Brahe murió, y en su lugar Kepler fue nombrado matemático imperial, dedicó varios años a resolver el problema de la órbita marciana.
Tras múltiples esfuerzos de cálculo que resultaron infructuosos, Kepler dejó
a un lado la idea de las órbitas circulares y se planteó la posibilidad de una
órbita oval para Marte. Esta suposición tampoco lo condujo a resultados adecuados,
por lo que al final y tras vencer sus propias reticencias llegó a demostrar
que la órbita de Marte en torno al Sol era en realidad una elipse,
2
y por tanto la velocidad con la que ese planeta se desplazaba a lo largo de
tal trayectoria no era uniforme. Estos resultados rompieron totalmente con un
dogma cosmogónico aceptado por más de 2 000 años, lo cual abrió la puerta al
entendimiento dinámico del Universo.
En el proceso de sus investigaciones sobre los movimientos planetarios se dio cuenta de que entre más alejado se encontraba un planeta del Sol, más lentamente se movía. Por ejemplo Saturno, que se encuentra al doble de distancia que Júpiter, tiene un periodo de traslación de 30 años, que resulta ser más de dos veces el tiempo que le toma a Júpiter recorrer completamente su órbita, ya que lo hace solamente en 12 años. Esto significa que Saturno se mueve más lentamente que Júpiter, pues si viajara a la misma velocidad que éste tardaría únicamente el doble de tiempo para recorrer un circuito que es dos veces el que cubre Júpiter, y la realidad es que tarda dos y media veces más.
En el capítulo 20 del Mysterium Cosmographicum discutió ampliamente estos hechos:
Si debemos acercarnos a la verdad y establecer alguna
correspondencia en las proporciones entre las distancias y las velocidades
de los planetas, entonces debemos elegir entre dos supuestos: o las almas
que mueven a los planetas son menos activas cuanto más lejos se halla
el planeta del Sol, o existe tan solo una anima motrix en el centro
de todas las órbitas, es decir, el Sol, que dirige a los planetas más
vigorosamente cuanto más cerca está, pero cuya acción se halla casi exhausta
cuando actúa sobre los planetas exteriores debido a lo grande de la distancia
y a la debilitación de la acción que lo vincula. |
La introducción que hizo Kepler del anima motrix
3
que emana del Sol y proporciona el movimiento a los planetas fue el antecedente
directo del concepto de fuerza, que tan importante ha resultado para la física.
Significó un cambio fundamental en la concepción del cosmos, ya que hizo innecesarios
los entes aristotélicos que subordinados al Primum Mobile comunicaban
movimiento a cada uno de los planetas en el esquema medieval.
Cuando finalmente Kepler aceptó la solución elíptica para la órbita marciana, informó su resultado a David Fabricius (1564-1617), astrónomo al que daba mucho crédito. En una carta fechada en diciembre de 1604 le informaba que "la órbita de Marte es una elipse en uno de cuyos focos se encuentra el Sol". La respuesta de Fabricius se apegó al dogma de la circularidad, pues fue incapaz de concebir que Marte pudiera moverse de otra manera. Le contestó a Kepler: "Con vuestra elipse quitáis la circularidad y uniformidad a los movimientos planetarios, lo cual me parece tanto más absurdo cuanto más profundamente pienso en ello. Si al menos pudierais conservar la órbita circular perfecta, y justificarais vuestra órbita elíptica mediante otro pequeño epiciclo sería mucho mejor". Esta actitud caracterizó prácticamente a todos los astrónomos de ese momento.
En agosto de 1609 Kepler finalmente publicó sus resultados sobre el estudio de la órbita marciana en un texto al que tituló Astronomia nova, seu physica coelestis tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G. V. Tychonis Brahe ("Nueva astronomía basada en la física celeste derivada de las investigaciones de los movimientos de la estrella Marte. Fundada en las observaciones del noble Tycho Brahe"). Esta obra, mejor conocida como Astronomía Nueva, contiene las dos primeras leyes del movimiento planetario, que en lenguaje moderno pueden ser enunciadas de la siguiente forma.
Primera ley: Todos los planetas siguen en su movimiento órbitas elípticas, encontrándose el Sol localizado en uno de sus focos.
Segunda ley: La velocidad con la que se desplazan los planetas en sus órbitas no es uniforme, sino que lo hacen de tal forma que una línea imaginaria trazada desde el centro de cada planeta al Sol barrerá áreas iguales en tiempos iguales.
La segunda ley es también conocida como ley de las áreas. Su representación
gráfica (figura 32) sirve para aclarar su significado. En esa figura las áreas
A, B y C que son barridas por el radio vector R son iguales.
4
Para que esta afirmación se cumpla, la velocidad del planeta a lo largo de su
órbita deberá ser mayor conforme se acerque al Sol. En el perihelio, que es
el punto más próximo a este astro, la velocidad planetaria es máxima, mientras
que en el afelio, o punto más alejado del Sol, esa velocidad es mínima.
Veinticinco años después de la aparición de la primera edición del Mysterium Cosmographicum y a sólo ocho de la publicación de la Astronomía Nueva, Kepler publicó otro texto donde retomó las ideas expresadas en el primero. En 1619 apareció el De Harmonice Mundi ("Armonías del mundo"), obra en la que dio a conocer la última de sus leyes del movimiento planetario. Ésta había resultado de un largo proceso de prueba y error, seguido por Kepler al tratar de encontrar una relación que ligara el periodo de traslación de los planetas en torno al Sol con la distancia a éste. Esa ley puede enunciarse así:
Tercera ley: Los cuadrados de los tiempos de revolución de cualesquiera dos planetas en torno al Sol, son proporcionales a los cubos de sus distancias medias a éste.
Las tres leyes de Kepler son afirmaciones precisas y verificables que pueden
ser expresadas y manejadas matemáticamente. Su importancia radica en que, al
aplicarlas, es posible calcular con gran exactitud todos los datos necesarios
para determinar cómo se desplaza cada uno de los planetas alrededor del Sol,
por lo cual se convirtieron en la solución definitiva al añejo problema que
buscaba determinar las posiciones de los astros y que originalmente surgió entre
los antiguos pueblos de Mesopotamia. La categoría de leyes que tienen estos
tres resultados se debe a que su aplicabilidad es de carácter general, es decir,
no están restringidos solamente al cálculo de los datos orbitales de los planetas,
sino que pueden aplicarse en cualquier situación donde las condiciones del movimiento
sean las adecuadas. Por ejemplo, su uso permite también el estudio completo
de las órbitas descritas por los satélites planetarios. Tal es el caso de la
Luna y de los satélites galileanos de Júpiter. Posteriormente se verá que la
aplicación de estas leyes ha permitido determinar la información necesaria para
poner en órbita los satélites artificiales y controlar los viajes de las naves
espaciales, estudiar el comportamiento de las estrellas binarias,
5
analizar las órbitas estelares que los astros siguen en nuestra galaxia, e incluso
determinar características fundamentales de sistemas tan complejos como las
galaxias. Como ejemplo de la aplicación de estas leyes, en el Apéndice D se
hace el cálculo para determinar las distancias a que se encuentran Júpiter y
Saturno del Sol.
![[FNT 32]](../imgs/155_130.gif)
Figura 32. Diagrama que muestra el significado de la Ley de las áreas.
Entre 1618 y 1622 Kepler dio a conocer la obra titulada Epitome Astronomiae Copernicanae ("Compendio de astronomía copernicana"), donde expuso sus resultados sobre el cálculo de distancias y tamaños de los cuerpos del sistema planetario, así como sus ideas cosmológicas. Mencionó especialmente sus descubrimientos sobre el carácter elíptico de la órbita marciana y lo que había logrado obtener Galileo mediante el uso del telescopio. En ese texto afirmó y demostró que las leyes que había encontrado para el caso particular del movimiento de Marte eran aplicables a los demás planetas, así como a sus satélites.
El Epítome es la obra de madurez de Kepler. En ella finalmente ha desaparecido la teoría de los epiciclos y las deferentes utilizada por más de un milenio para calcular los movimientos planetarios. En ese texto se presentó por vez primera la estructura correcta del Sistema Solar, propiciando desde entonces que surgiera la diferenciación conceptual entre éste y el resto del Universo. Sin lugar a dudas, el Epítome constituye el primer manual completo de astronomía construido enteramente bajo los preceptos heliocéntricos.
Esa obra trata de la forma y del tamaño de la Tierra, así como de su lugar en el Universo. Siguiendo una curiosa línea de razonamiento guiada por su obsesión de hallar armonías en la naturaleza, Kepler desarrolló la idea de relacionar la densidad de cada planeta con su tamaño y distancia al Sol. Las densidades planetarias las derivó al establecer una correspondencia directa con las densidades de metales como el hierro, el plomo, la plata y el oro, y con la de algunas piedras preciosas, ya que pensó que esos materiales estaban relacionados con cada uno de los planetas. Así obtuvo que Saturno gira alrededor del Sol a una distancia 10 veces mayor que la Tierra. Según sus cálculos, Júpiter lo hacía a 5.2 y Marte a 1.5 UA, mientras que Venus se localizaba a 0.7 veces la distancia Tierra-Sol y Mercurio a sólo 0.4 veces el valor de esa unidad.
![[FNT 33]](../imgs/155_132.gif)
Figura 33. Ilustración que muestra el significado del ángulo de paralaje.
En ese texto discutió también la necesidad de corregir adecuadamente el valor de la UA, pues diferentes datos observacionales indicaban que debería tener más de los 1 210 radios terrestres tradicionalmente aceptados desde la época de Tolomeo. Analizó con detalle la precisión máxima que por entonces podía obtenerse en las observaciones, y estimó que su valor debería ser de 3 460 radios terrestres.
Siguiendo su curiosa forma de pensar y de buscar armonías y proporciones ocultas
en la naturaleza, Kepler fue capaz de asignar dimensiones al Universo. Consideró
que como la órbita de Saturno es 2 000 veces mayor que el diámetro solar, la
esfera de las estrellas fijas tendría que tener un diámetro igual a 2 000 veces
la distancia que separa a ese planeta del Sol. Ante la imposibilidad de medir
en forma directa la paralaje estelar,
6
que le permitiría determinar la distancia a las estrellas, y por ende el tamaño
lineal del Universo, encontró en el recurso de comparación arriba aludido la
forma de estimar sus dimensiones. Y aunque su valor de la distancia a las estrellas
fijas fue muy subjetiva y considerablemente menor que el que ahora se ha determinado,
sirvió para que Kepler ampliara aún más el tamaño del cosmos.
La importancia de las investigaciones de Kepler puede resumirse diciendo que la astronomía que él desarrolló fue una reformulación completa de los métodos, principios y objetivos de esta disciplina, pues al conjuntar las mejores observaciones entonces disponibles con los nuevos y poderosos desarrollos matemáticos, marcó definitivamente el rumbo a seguir para todos aquellos que aspiraran a entender las leyes que rigen el comportamiento de los astros.
NEWTON Y LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Las leyes de Kepler fueron un valioso soporte para la teoría heliocéntrica desarrollada por Copérnico. Igual sucedió con las observaciones telescópicas de Galileo. Además de simplificar considerablemente el estudio de los movimientos planetarios y facilitar los cálculos correspondientes, los trabajos de estos científicos convirtieron a la astronomía en una disciplina predictiva de gran exactitud. Sin embargo, no pudieron establecer las causas que originan los movimientos planetarios, ni por qué los planetas están ligados al Sol. Esto habría de lograrlo Isaac Newton (1642-1727), quien, además de ser un gran sintetizador de los hallazgos de Copérnico, Galileo y Kepler, realizó aportaciones originales que permitieron considerar a la física una ciencia exacta.
Aunque Newton contribuyó de manera notable a la fundamentación de disciplinas como la óptica y la mecánica, e inventó herramientas matemáticas tan poderosas como el cálculo diferencial, fue su descubrimiento de la ley de la gravitación la que le dio dimensiones gigantescas dentro del terreno científico. Gracias a ella finalmente se entendió la dinámica cósmica y comprendieron las causas que obligan a los cuerpos celestes a describir las trayectorias observadas. Al establecer la expresión matemática que permite calcular cómo y dónde actúa la fuerza de gravedad, Newton pasó de la mera descripción del movimiento a una interpretación de las causas de éste.
En este punto debe recordarse que durante milenios la tendencia de los cuerpos a caer hacia el centro de la Tierra fue entendida como una propiedad inherente a su naturaleza, sin necesitar mayor explicación. Por otra parte, las leyes que gobernaban los desplazamientos de los cuerpos celestes eran consideradas muy diferentes de las que se aplicaban al movimiento que tenía lugar sobre la superficie terrestre. La ley de la gravitación permitió la unión de fenómenos naturales aparentemente tan distintos como la caída de una piedra y el movimiento orbital de la Luna, surgiendo así una sola física cuyas leyes se aplicaban por igual a cualquier tipo de movimiento, rompiendo en forma definitiva con la visión aristotélica de una mecánica terrestre y otra celeste.
En 1687 apareció publicada en Londres la obra más importante de Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principios matemáticos de la filosofía natural"), donde, siguiendo un estricto marco matemático sintetizó y analizó las observaciones y experimentos relativos al movimiento de los cuerpos, fundamentando así la rama de la física conocida como mecánica. Aprovechando la larga serie de trabajos que se habían realizado sobre el movimiento, entre los que destacaban los estudios experimentales de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos, logró encontrar leyes generales aplicables a cualquier tipo de movimiento. En esa obra reconoce que la masa de los cuerpos es una medida de la resistencia que tienen a cambiar su estado de reposo o de movimiento. Además, precisó y definió el concepto de fuerza y le dio un carácter operacional, hecho que habría de ser de enorme utilidad para el desarrollo de la física. Todo ese trabajo conceptual y matemático le permitió establecer las tres leyes del movimiento, base de toda la mecánica.
Al analizar la interacción entre dos cuerpos mediante su tercera ley, llegó a establecer el concepto de fuerza mutua entre el Sol y cada uno de los planetas, lo que finalmente lo condujo a la idea de que todos los cuerpos del Universo están interactuando entre sí a través de fuerzas que los atraen unos a otros, fuerzas que pueden actuar a distancia y sin ningún soporte material. De ese enorme esfuerzo intelectual surgió la ley de la gravitación universal.
De todos es conocida la anécdota según la cual Newton concibió esta ley al observar la caída de una manzana. Al margen de si ese hecho es cierto o falso, lo que hizo Newton fue tratar el movimiento lunar en torno a nuestro planeta como si se tratara de una piedra (o cualquier otro objeto) que cayera hacia el centro terrestre. Se dio cuenta de que para producir una órbita estable como la de la Luna, su movimiento debería estar compuesto por uno rectilíneo, dirigido a lo largo de la línea tangente a la trayectoria orbital, y otro que debería apuntar hacia el centro de la Tierra (figura 34). Fue así como pensó en descomponer el movimiento curvilíneo seguido por la Luna en una componente que llamó inercial y en otra centrípeta. Al desplazarse la Luna en su órbita la componente inercial tiende a lanzarla a lo largo de la recta tangente a su trayectoria, mientras que la centrípeta la aparta continuamente de ella, jalándola hacia nuestro planeta, combinándose en forma tal que la Luna ni sigue la trayectoria rectilínea ni cae a la Tierra, sino que se ve obligada a moverse en una trayectoria elíptica. Newton se dio cuenta de que si esta última fuerza no estuviera actuando, la Luna se escaparía siguiendo la trayectoria tangencial tal y como sucede cuando una piedra sujeta por una honda es liberada instantáneamente. Esta fuerza central es permanente y atrae a los objetos en movimiento hacia un punto fijo que, para el caso de los planetas, como intuyó Kepler al postular la existencia de una alma motrix, se origina en el Sol.
![[FNT 34]](../imgs/155_136.gif)
Figura 34. Aceleración de una manzana y de la Luna en dirección del centro de la Tierra.
Para aclarar más la idea de la caída de la Luna hacia nuestro planeta, Newton analizó el efecto de las fuerzas centrípetas, y demostró que los planetas pueden ser retenidos en sus órbitas por ese tipo de fuerzas. Consideró el caso de un proyectil cualquiera lanzado desde lo alto de una gran montaña y sujeto a la acción de una fuerza que lo jala hacia el centro de la Tierra (figura 35). Para todos es claro que entre mayor es la velocidad de lanzamiento, mayor será el arco descrito por el proyectil antes de volver a tierra (trayectorias VD, VE, VF y VG, respectivamente). Si no se considera la resistencia que el aire opone al movimiento, y si se imprime al proyectil la suficiente velocidad, éste dejará de caer a tierra, dará vueltas a lo largo de una curva cerrada y se convertirá entonces en un satélite, como la Luna. Éste es el principio utilizado en la actualidad para lanzar los satélites artificiales, pues mediante el empuje inicial generado por los cohetes transportadores se les proporciona la velocidad necesaria para que describan una órbita cerrada que les permita permanecer en el espacio.
![[FNT 35]](../imgs/155_137.gif)
Figura 35. Newton representó así las diferentes trayectorias seguidas por un cuerpo lanzado horizontalmente desde lo alto de una montaña, bajo la acción de la atracción gravitacional terrestre.
Para deducir la ley de la gravitación, Newton procedió de la siguiente manera. Sabía que el periodo de traslación de la Luna en torno a la Tierra era de 27.3 días, y que el radio de la trayectoria que aquélla describe en torno a nuestro planeta era de 385 000 km, así que calculó la aceleración con la que ese cuerpo celeste se desplaza a lo largo de su órbita, encontrando que era de 0.00273 metros por segundo cuadrado. Por otra parte, determinó cuál sería la aceleración de cualquier cuerpo (como una manzana) que cayera en la cercanía de la superficie terrestre, y encontró que era de 9.8 metros por segundo cuadrado.
Tomando en cuenta que el radio de nuestro planeta es de 6 400 km, Newton determinó que el valor de la aceleración sufrida por la Luna al describir su órbita es 3 600 veces menor que la de una manzana al caer sobre la superficie terrestre. Esta proporción es igual al cuadrado del cociente del radio de la órbita lunar y del radio de la Tierra, razón por la que pudo relacionar la fuerza de atracción ejercida por nuestro planeta sobre esas dos masas tan diferentes, colocadas también a dos distancias muy diferentes. Para complementar lo discutido en este párrafo, véase el Apéndice E, donde se reproducen los cálculos que al respecto hizo Newton.
La fuerza que actúa sobre la Luna y la que actúa sobre la manzana dependen de sus masas, así como también de la masa de la Tierra. Por tanto, Newton asumió que la fuerza gravitacional está en función de las masas de los cuerpos que se atraen y del inverso del cuadrado de la distancia que los separa. En los Principia nos dice: Yo deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas deberían ser recíprocas al cuadrado de sus distancias a los centros alrededor de los cuales giran, y por tanto comparé la fuerza necesaria para mantener a la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, encontrando que ellas eran bellamente iguales.
Con su gran capacidad de síntesis Newton se dio cuenta de que esta fuerza es la que nos mantiene unidos a la superficie del planeta, pero que por sernos tan familiar ya no reparamos en su constante presencia. Comprendió claramente que la fuerza de atracción gravitacional resultaba de la interacción de la masa de la Tierra con cada uno de los objetos atrapados sobre ella. Su acción se manifestaba sin importar el tamaño, la estructura, la composición o la forma de los cuerpos. Bien podía tratarse de la más alta montaña terrestre o de una pequeña manzana, ambos objetos sufren la acción de la fuerza de gravedad, por lo que afirmó que la atracción existe entre todos los cuerpos materiales, ya sean manzanas, planetas, cometas o estrellas. Este último hecho es el que le confiere carácter de universalidad a su ley de la gravitación.
Utilizando hechos observacionales, como la similitud de la caída lunar con la de la manzana, y sus tres leyes sobre el movimiento, y con el antecedente importante de las leyes de Kepler, Newton fue capaz de establecer la ley de la gravitación, que puede expresarse así: la fuerza de atracción ejercida entre dos cuerpos cualesquiera, cuyas masas m y M se encuentren separados por una distancia r, está dirigida a lo largo de la línea que los une, siendo su magnitud directamente proporcional al producto de las masas m y M, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r.
Además de establecer el hecho fundamental de que tanto los cuerpos cósmicos como los terrestres están sujetos a la acción de esta fuerza de atracción por la única razón de tener masa, demostró que la ley de la gravitación universal tiene múltiples consecuencias y aplicaciones. Newton mismo la utilizó para resolver diversos problemas. Tanto en los Principia como en una obra posterior menos técnica a la que llamó El sistema del mundo, trató ampliamente diversos aspectos astronómicos. Usando esa ley dedujo en forma natural las tres leyes del movimiento planetario encontradas empíricamente por Kepler, con lo cual les dio una fundamentación física clara. También determinó la masa del Sol, que es 330 000 veces mayor que la masa terrestre. Además, demostró que la masa de cualquier planeta que tuviera al menos un satélite orbitándolo podía ser calculada.
Aplicó su ley para determinar la densidad media de la Tierra, encontrando un valor muy próximo al que conocemos actualmente (5.5 g/cm³). Demostró que nuestro planeta no es una esfera perfecta, sino un esferoide achatado por los polos, y calculó el valor de ese achatamiento. También comprobó que esa deformación y la acción del tirón gravitacional ejercido por la masa del Sol sobre tal achatamiento es la causa del fenómeno de precesión de los equinoccios. Con toda esa información pudo calcular el periodo de cambio de dirección del eje terrestre, que encontró era de 26000 años, valor obtenido por Hiparco 2000 años antes a partir del análisis de observaciones realizadas desde la época de los caldeos, pero que antes de las investigaciones de Newton carecía de sustento teórico.
Explicó también el fenómeno de las mareas, atribuyéndolo correctamente a la acción combinada de las fuerzas ejercidas sobre nuestros mares por las masas de la Luna y del Sol. Estudió las modificaciones que sufre la órbita lunar por efecto de la fuerza gravitacional del Sol, y demostró que los cometas se mueven más allá de la trayectoria lunar y que se localizan en regiones propiamente planetarias, donde sus desplazamientos siguen órbitas elípticas o parabólicas. Para corroborar lo afirmado en este párrafo, en el Apéndice F se da un ejemplo sencillo de la aplicación de la ley de gravitación, calculando la masa de la Tierra.
Fue muy amplio el estudio que Newton realizó sobre las consecuencias que la fuerza de atracción solar tiene en el movimiento de la Luna. Sirvió mucho en su época ya que era de gran relevancia disponer de una teoría lunar lo más completa posible, pues sus aplicaciones prácticas en la navegación, y sobre todo en los viajes interoceánicos, eran económicamente muy importante.
En cuanto a las estrellas, Newton dedicó solamente un breve párrafo en el Sistema del mundo, al que subtituló "Sobre la distancia a las fijas". Argumentando acerca del hecho observacional bien establecido en su época de que éstas no presentaban paralaje alguno, infería, como otros hicieron antes que él, que estaban muy alejadas del último cuerpo del sistema planetario. Partiendo del valor angular mínimo que por ese entonces podía ser medido con precisión, estimó que la distancia mínima a la que podrían encontrarse sería 360 veces mayor que la que separaba al Sol de Saturno, valor que sin embargo consideró pequeño.
Por otra parte, comparando mediante ingeniosos cálculos el brillo de ese planeta con el del Sol, Newton determinó la distancia a la cual este astro se vería tan luminoso como una estrella de primera magnitud, y encontró que esa distancia era 64 800 veces mayor que la distancia que separa a Saturno del Sol. Como en esas fechas el sistema planetario tenía como cuerpo más alejado de su centro precisamente a ese planeta, Newton concluyó que el cosmos en su conjunto tendría alrededor de 65 000 veces el tamaño de todo el Sistema Solar, lo que sin lugar a dudas dio dimensiones nunca antes imaginadas al Universo.
La importancia que para la astronomía han tenido los trabajos de Newton es enorme, pues no sólo descubrió la ley de la gravitación universal y las tres leyes del movimiento, que permitieron entender en forma dinámica el comportamiento cósmico, sino que también inventó el telescopio reflector, instrumento que en la actualidad se ha convertido en los ojos con los que el astrónomo escudriña el cielo. Además, descubrió que la luz está compuesta por diversos colores, lo que, aplicado al estudio de los astros, ha permitido determinar importantes características físicas de éstos.
Sin exageración puede decirse que, gracias a los trabajos de Newton, el hombre dispuso de las herramientas necesarias para comenzar la más fecunda etapa de investigación astronómica. Esto le ha permitido ampliar a tal grado sus conocimientos sobre el cosmos, que desde la aparición de los Principia ha establecido modelos cada vez más completos sobre el Universo.
En el aspecto práctico la aplicación del trabajo de Newton ha permitido construir máquinas que han facilitado mucho nuestra vida, pero seguramente sus aplicaciones de mayor espectacularidad han ocurrido en el terreno astronómico, donde entre otras cosas se han descubierto planetas y se ha podido predecir el retorno de cometas. Edmond Halley (1656-1743), astrónomo inglés que estudió observaciones de cometas de siglos anteriores, se dio cuenta de que había varios casos en que, debido a su movimiento, parecían tratarse del mismo cometa. Aplicando la mecánica newtoniana calculó los elementos de las órbitas seguidas por cometas que habían sido observados en 1531, 1607 y 1682, y encontró que era uno solo. Demostró que ese cometa se movía en una órbita elíptica muy alargada que lo llevaba a recorrer gran parte del Sistema Solar, y que su periodo era de 76 años. Con esos elementos predijo que retornaría a las inmediaciones del Sol a fines de 1758 o principios de 1759. Cuando eso sucedió se confirmó el poder de la mecánica newtoniana. Como es bien sabido, ese cometa fue bautizado como "Halley", en honor de quien calculó por primera vez su órbita y encontró su periodo. Este cuerpo del sistema planetario volvió a nuestra vecindad en 1835, 1910 y por última vez en 1986-1987, y en todas esas ocasiones fue muy estudiado (figura 36).
![[FNT 36]](../imgs/155_142.jpg)
Figura 36. Fotografía del cometa Halley en su paso de 1910, tomada en el Observatorio Astronómico Nacional de México, entonces ubicado en Tacubaya, Distrito Federal.
En resumen, gran número de fenómenos naturales, entre los que se cuentan los complejos movimientos de los cuerpos del Sistema Solar, pudieron ser manejados y comprendidos gracias a la fuerza de atracción gravitacional encontrada por Newton, lo que posteriormente ha permitido entender la estructura y jerarquía de los fenómenos cósmicos no solamente en la Tierra, sino también en todo el universo observable, donde esta fuerza adquiere su verdadera magnitud, ya que es la que domina y mantiene la estructura misma del Universo.