APÉNDICES

APÉNDICES

APÉNDICE A. DERIVACIÓN DE LA DISTANCIA AL SOL HECHA POR ARISTARCO
Con el fin de hacer más inteligible el método utilizado por Aristarco en su determinación de la distancia al Sol, hemos introducido la notación algebraica y trigonométrica moderna, lo que no cambia la esencia de ese cálculo geométrico.
En el triángulo de la figura 7, S representa la posición del Sol, T la de la Tierra y L la de la Luna en el momento de su cuadratura. En esa misma figura la distancia entre la Tierra y el Sol es el segmento . La que nos separa de nuestro satélite es el segmento y la que hay entre la Luna y el Sol es el segmento . El ángulo que se desea conocer con gran precisión es el a.
En el instante mismo de la cuadratura lunar se cumple rigurosamente que el ángulo b = 90°. Bajo esa condición Aristarco midió el valor del ángulo a, encontrando que era igual a 87.l^circ.
Como la configuración de los tres cuerpos celestes es la de un triángulo, se puede aplicar la relación trigonométrica que establece que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°. En el caso que nos ocupa se tendrá que

a + b + g = 180°
Como a= 87.1° y b = 90°, entonces resulta que g = 2.9°.
Una vez que se ha determinado el valor del ángulo g, puede aplicarse la relación trigonométrica conocida como la ley de los senos, la cual establece que en todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Para el triángulo que analizó Aristarco esta ley se puede escribir de la siguiente forma:

Como lo que interesa es conocer el valor del segmento TS, basta despejarlo algebraicamente de esta última relación y sustituir los valores de los senos de los ángulos involucrados, así se obtiene que:

Los valores de sen(90°) y sen(2.9°) son conocidos. Se pueden obtener mediante una calculadora electrónica de bolsillo o en las tablas de funciones trigonométricas de uso común en las escuelas de enseñanza media. Aristarco conocía esos valores pues disponía de relaciones geométricas aplicables a los triángulos.
Como el sen(90°) = 1.0000 y el sen(2.9°) = 0.0505, se tendrá que

De esta manera Aristarco encontró que la distancia que nos separa del Sol es alrededor de 20 veces mayor que la que nos separa de la Luna.
Las mediciones modernas del ángulo a han demostrado que éste es igual a 89.9°. La diferencia de 2.75° que hay entre este valor y el determinado por Aristarco es suficiente para hacer que su cálculo fuera 20 veces menor que el resultado verdadero, que es igual a 400 veces la distancia que nos separa de la Luna.
APÉNDICE B. CÁLCULO DEL VALOR DEL RADIO TERRESTRE EFECTUADO POR ERATÓSTENES
La figura 9 muestra que el ángulo formado por los rayos solares y el obelisco localizado en Alejandría es exactamente igual al determinado por el centro de la Tierra y el arco de círculo SA que separa a las poblaciones de Siena y Alejandría.
Eratóstenes midió ese ángulo y encontró que era igual a 7° 12’, valor que es la cincuentava parte de la circunferencia terrestre, ya que

360º

=

50.

7º12'

La distancia entre Siena y Alejandría también fue determinada por Eratóstenes, quien después de medirla contando los pasos que las separaban, encontró que SA = 5 000 estadios. Así que multiplicó este valor por 50 para determinar la longitud de la circunferencia terrestre C_T, encontrando que

C_T = 5 000 estadios x 50 = 250 000 estadios.
Como la relación que guarda la circunferencia de un círculo con su radio está dada por la expresión

C = 2pr,
donde p es igual a 3.1416 y r es el radio de la circunferencia en cuestión, al sustituir los valores de la circunferencia terrestre en esta expresión y despejando de ella el radio se encuentra que

250 000 estadios

R_T =

2p

de donde finalmente se obtiene que:

R_T = 39 788 estadios
Como el valor del estadio se estima en 157 metros, el cálculo de Eratóstenes en unidades modernas daría:

R_T = 6 307 km,
que es muy próximo al que en la actualidad ha sido determinado mediante un gran despliegue técnico, dando como resultado que R_T = 6 400 kilómetros.
APÉNDICE C. LA ELIPSE
Por la importancia que la elipse adquirió después de los estudios planetarios de Kepler, consideramos de interés hacer aquí algunas consideraciones sobre ella.

Figura 84. La curva cerrada conocida como elipse. Se muestran algunas de sus características de importancia.
La figura 84 muestra las características geométricas más notables de esta curva que pertenece a la familia de las secciones cónicas, llamadas así porque se forman cuando un cono es cortado por un plano con inclinaciones diferentes. Así, por ejemplo, cuando el plano que corta es paralelo a la base del cono, la figura que se produce es un círculo. Las otras curvas que resultan por los diferentes cortes son la elipse, la parábola y la hipérbola.
Matemáticamente la elipse se define como la curva plana cerrada, formada por la sucesión de puntos tales que la suma de las distancias de cualesquiera de ellos a otros dos puntos interiores fijos llamados focos, es constante.
En la figura 84, los puntos A, B, C y D son los vértices de la elipse, mientras que O es su centro. El segmento es el eje mayor, el el eje menor, y F₁ y F₂ son sus focos. Las distancias r₁ y r₂ que unen respectivamente al punto p con ellos son los llamados radio vectores.
Entre mayor sea la distancia del segmento , mayor será la elipticidad de la curva, resultando más alargada en la dirección . Al disminuir la separación entre los focos la elipse perderá ese alargamiento, hasta que en el caso extremo, cuando F₁ coincide con F₂, se tendrá que la elipse se convierte en un círculo cuyo radio r = F₁ = F₂. Cabe aquí comentar que en el caso de la mayoría de los planetas sus trayectorias elípticas son muy próximas a círculos.
La ecuación general que describe a la elipse está muy bien establecida, por lo que conociendo adecuadamente los diferentes parámetros que tipifican a esta cónica es posible determinar todas sus características. De ahí la gran importancia que tiene la primera ley de Kepler, pues al establecer que los planetas se mueven siguiendo trayectorias elípticas permitió que el tratamiento matemático de los datos observacionales sirviera para construir efemérides que en todo momento permiten saber sus posiciones en la bóveda celeste.
APÉNDICE D. CÁLCULO DE LAS DISTANCIAS DE JÚPITER Y SATURNO AL SOL
El tiempo que un planeta emplea para regresar a un mismo punto de su órbita se llama periodo. Si lo denotamos con la letra P, y si designamos la distancia media de un planeta al Sol con la letra a, entonces la tercera ley de Kepler puede expresarse mediante la ecuación:

donde P y P' son los tiempos de revolución de dos planetas en torno al Sol, y a y a' sus distancias medias a éste.
Para el caso de la Tierra sabemos que el periodo es igual a un año. Si se considera que la distancia que nos separa del Sol es la unidad de medida de todo el Sistema Solar, entonces esa distancia será por definición igual a uno.
Para el caso en que se considere a la Tierra y a Júpiter, la tercera ley toma la forma:

donde P_T es el periodo de Júpiter y aj su distancia al Sol, que es el valor que se quiere determinar. Como ya se dijo, P_T = 1 año y _T = 1. Por otra parte, las observaciones muestran que el tiempo de revolución de Júpiter en torno al Sol es de 11.86 años, así que tendremos que P_J = 11.86. Con estos valores ya se puede hallar el valor de la distancia entre Júpiter y el Sol, pues de la tercera ley se tiene que:

de donde = 140.7, lo que finalmente nos permite determinar que _J= 5.2 veces la distancia entre el Sol y la Tierra, esto es

_J= 5.2 UA.
Para el caso de Saturno se tiene que su periodo determinado observacionalmente es igual a 29.46 años, así que haciendo las mismas consideraciones que en el caso de Júpiter se tendrá que a³_s= 867.9, de donde finalmente se obtiene que:

_S= 9.5 UA.
Como ya se ha mencionado anteriormente (véase la sección dedicada a Copérnico), mientras no se determinó el valor de la unidad astronómica no fue posible conocer las distancias planetarias en términos absolutos.
APÉNDICE E. CÁLCULO NEWTONIANO SOBRE LA CAÍDA LUNAR
La aceleración a con la que la Luna cae hacia la Tierra puede calcularse a partir del periodo de revolución lunar P_L y del valor del radio de la órbita lunar R_OL (figura 34). De las observaciones Newton conocía que P_L = 27.3 días y que R_OL = 384 550 km.
Por otra parte, el estudio del movimiento circular demostró a Newton que el periodo de revolución de un cuerpo cualquiera está dado por la expresión:

2pr

P =

v

donde r es el radio de giro y v la velocidad con la que éste se realiza. Además, en ese tipo de movimiento la aceleración centrípeta que sufre el cuerpo que se mueve circularmente está determinada por la ecuación:

v²

_c=

r

Con esta información es posible determinar la aceleración que la Luna sufre en su órbita, ya que como v = 2pr/P, se tiene que:

4p²r

_c=

p²

El radio de la órbita lunar es igual a 384 000 000 m, mientras que el periodo de revolución lunar es de 2 360 000 s. Con estos datos se encuentra que la aceleración centrípeta que experimenta la Luna en su órbita es

_c = 0.00273 m/s².
La aceleración con la que un cuerpo cualquiera cae al piso de la superficie terrestre se obtiene midiéndola directamente:

_st = 9.8 m/s².
De estos dos últimos valores se ve que la aceleración centrípeta que la Luna experimenta al moverse en su órbita es 3 600 veces menor que la que sufren los cuerpos al caer en la superficie terrestre. Otra forma de expresar este resultado es diciendo que el cociente de la aceleración centrípeta lunar a_cL a la aceleración sobre la superficie terrestre a_st, es igual al inverso de 3 600, ya que:

_c L

0.00273

1

=

=0.000278=

_S T

9.81

3 600

Por otra parte, si se toma el valor del radio terrestre que es de 6 400 km y se eleva al cuadrado, y el resultado se divide entre el cuadrado del radio de la órbita lunar, se tendrá que:

(6 400)²

1

=

= 0.000278 =

(384 550)²

3 600

Claramente este resultado es igual al que se obtiene cuando se hace el cociente de las aceleraciones, lo que permite relacionar el movimiento de caída lunar hacia la Tierra con el que sufren los cuerpos al caer a la superficie terrestre. Fue así como Newton estableció que la fuerza que actúa en ambos casos es la misma.
APÉNDICE F. CÁLCULO DE LA MASA Y DE LA DENSIDAD DE LA TIERRA
Los experimentos han demostrado que cualquier cuerpo que cae libremente en las cercanías de la superficie terrestre sufre una aceleración hacia el centro de la Tierra igual a 9.82 m/s². De acuerdo con las leyes del movimiento desarrolladas por Newton, esa aceleración implica la existencia de una fuerza constante, que proviene de la interacción del cuerpo en caída libre con todo nuestro planeta.
La fuerza que actúa sobre el cuerpo se llama peso, y puede ser calculada multiplicando la masa de éste por la aceleración con la que está cayendo. Si w denota el peso, m la masa y g la aceleración del cuerpo, entonces se tiene que:

w = mg.
Por otra parte, la fuerza de atracción gravitacional F que actúa entre el cuerpo de masa m y la Tierra puede ser calculada mediante la ley de gravitación universal, que en su forma matemática se expresa como:

GmM

F =

r²

donde G es un valor numérico llamado constante de gravitación universal que fue determinado experimentalmente por Henry Cavendish, quien encontró que G = 6.673 x 10^-11 N m²/kg². La masa de la Tierra es M, que es la cantidad que se va a determinar, y r es la distancia que separa a las dos masas.
Igualando el peso del cuerpo m con la fuerza de atracción gravitacional que él sufre por la presencia de la masa terrestre se tiene que:

GmM

mg =

donde R_T es el radio de la Tierra, ya que esa distancia es la que separa a ambos cuerpos, pues Newton demostró que es correcto considerar que toda la masa terrestre está concentrada en su centro. De esta última ecuación se tiene que:

g

M =

G

Como la aceleración de la gravedad g que sufre el cuerpo m es igual a 9.81 m/s², y como se ha determinado que el radio terrestre R_T mide 6 400 km, sustituyendo esos valores en la ecuación anterior y realizando las operaciones correspondientes se tiene que:

M = 6.021 x 10 ²¹toneladas,
valor que escrito en nuestra notación cotidiana se expresa como
M = 6 021 000 000 000 000 000 000 toneladas,
que es lo mismo que 6 021 trillones de toneladas.
Evidentemente ésta es una masa gigantesca para la escala humana. Lo que es importante señalar con este ejercicio no es lo grande que resulta la masa terrestre, pues todos tenemos conciencia de ello, lo que debe resaltarse es que es posible medirla aplicando solamente las leyes de la física.
La densidad r de cualquier cuerpo se define como el cociente entre su masa M y su volumen V. En lenguaje algebraico la densidad se expresa por la relación

M

r =

V

Si se considera que la Tierra es una esfera de radio R_T, entonces se tendrá que el volumen terrestre se puede calcular mediante la expresión

4

V_T =

p

3

Volviendo a tomar el radio terrestre de 6 400 km se obtiene que el volumen de nuestro planeta es igual a:

V_T = 1.0980 x 10 ²⁷ cm³.
Por otra parte, ya hemos calculado la masa terrestre, y al expresarla en gramos se tiene que

M_T = 6.021 x 10 ^27g ,
Con estos dos datos ya es posible calcular el valor de la densidad terrestre, encontrando que:

r = 5.48 g/cm³.
Este valor significa que, si se toma un centímetro cúbico de material terrestre, en promedio pesará 5.48 gramos.