II. CÓMO FUNCIONA EL TELESCOPIO

UN TELESCOPIO es esencialmente un par de lentes, una llamada objetivo porque es la más cercana al objeto, y otra llamada ocular porque es la más cercana al ojo, como se muestra en las figuras 3(a) y 4(a). El objetivo es una lente convergente que forma una imagen I del objeto. Es fácil comprender que esta imagen es tanto mayor cuanto más larga sea su distancia focal, es decir, cuanto menos convergente sea. Esta imagen I se observa después con el auxilio de una pequeña lente, divergente como en el telescopio galileano de la figura 3(a), o convergente como en el telescopio kepleriano de la figura 4(a).

La imagen I, al ser observada, producirá a su vez una imagen en la retina del ojo, que será tanto más grande cuanto más cerca está esta imagen I del globo ocular. Como el ojo no puede enfocar los objetos que están muy cerca de él, es necesaria la ayuda de una lente, llamada ocular, para realizar este enfoque. Si la imagen I está atrás del ojo se usa una lente negativa o divergente, pero si está adelante se usa una lente positiva o convergente. En vista de esto es fácil comprender que la amplificación aparente o angular M del telescopio es directamente proporcional a la distancia focal f_ob del objetivo, e inversamente proporcional a la distancia focal f_oc del ocular. Como se puede observar en la figura 4(a), si un objeto tiene un diámetro angular a, la imagen tendrá un diámetro angular b. Si ahora nos damos cuenta de que la lente ocular forma una imagen del objetivo a una distancia l de ella, es fácil ver que esta relación de ángulos, o sea la amplificación, está dada por:

(1)

Si ahora usamos una relación muy conocida para determinar la posición de la imagen real formada por una lente, que en este caso es el ocular, encontramos:

(2)

Esta amplificación angular de los diámetros aparentes de los objetos observados se puede interpretar también como un acercamiento del objeto. Así, con una amplificación de cinco, los objetos se ven a través del telescopio a la quinta parte de su distancia real.

En un telescopio, como en cualquier otro sistema óptico, el haz luminoso está limitado en extensión lateral por una o más de las lentes del sistema. Generalmente es una sola superficie la que limita los rayos y recibe el nombre de pupila del sistema. Un rayo que salga de un punto en el objeto fuera del eje óptico para llegar al punto imagen correspondiente, pasando por el centro de la pupila, se llama rayo principal. Obviamente, existe un rayo principal para cada punto del objeto.

La pupila de entrada es la posición aparente que tiene la pupila real cuando se le observa desde el espacio del objeto. La pupila de salida es la posición aparente que tiene la pupila real cuando se le observa desde el espacio del ojo que mira a través del telescopio. Alternativamente, podemos decir que la pupila de entrada es la imagen de la pupila real, formada por los lentes del sistema óptico que preceden a esta pupila real. Análogamente, la pupila de salida es la imagen de la pupila real, formada por las lentes del sistema que siguen a esta pupila real. Las figuras 3 y 4 muestran las posiciones de estas pupilas para los telescopios galileano y kepleriano. Es fácil ver que los rayos principales pasan por los centros de las pupilas real, de entrada y de salida.

Es posible demostrar que si el diámetro de la pupila de entrada en un telescopio se representa por dent y el diámetro de la pupila de salida por dsal, la amplificación M estará dada por

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En el telescopio galileano la pupila real o iris puede coincidir sobre el plano del objetivo o sobre el plano de la pupila del ojo del observador, según su amplificación y el diámetro del objetivo. Si el cociente d_ent/M es mucho menor que el diámetro de la pupila del ojo, es decir, si el telescopio tiene un objetivo pequeño y una amplificación grande, la pupila real y la de entrada estarán sobre el plano del objetivo, como se muestra en la figura 3(a). La pupila de salida no coincide con la del ojo, por lo que el campo visual estará determinado por el iris del observador.

Si el cociente d_ent/M es mucho mayor que el diámetro de la pupila del ojo, es decir, si el telescopio tiene un objetivo grande y una amplificación pequeña, la pupila real y la de salida estarán sobre el plano del iris del observador, como se muestra en la figura 3(b). La pupila de entrada no está en el plano del objetivo, por lo que el diámetro de este último determina la amplitud del campo visual. Es fácil ver que el diámetro del objetivo no tiene ninguna relación con el diámetro de la pupila de entrada.

En el telescopio kepleriano, independientemente de su amplificación, las pupilas real y de entrada coinciden con el plano del objetivo y la pupila de salida con el iris del ojo del observador, como se puede ver en la figura 4(a).

LAS ABERRACIONES DE LOS TELESCOPIOS

La calidad de la imagen en un telescopio está limitada por muchos factores, unos asociados al telescopio mismo, otros al medio en el que se propaga la luz, es decir, a la atmósfera, y otros que dependen de la naturaleza de la luz.

Describiremos primeramente los que dependen del telescopio y que reciben el nombre de aberraciones. Comenzaremos por recordar que un sistema óptico ideal, ya sea telescopio o cualquier otro, tiene que refractar los rayos de un punto en el objeto al punto correspondiente en la imagen. Según la posición del punto objeto en el campo, y el color de este objeto, podemos clasificar las aberraciones ópticas como sigue:

a) Aberración de esfericidad

b) Aberración de coma

c) Astigmatismo

d) Curvatura de campo

e) Distorsión

f) Aberración cromática axial

g) Aberración cromática lateral

Las primeras cinco aberraciones se pueden manifestar, cualquiera que sea el color del objeto, incluso si es de un color puro, monocromático, por lo que en ocasiones reciben el nombre de aberraciones monocromáticas. Las últimas dos, en cambio, sólo pueden aparecer si el objeto es blanco, es decir, si su luz está formada por la mezcla de muchos colores. A continuación describiremos cada una de estas aberraciones.

Aberración de esfericidad

Supongamos que el punto objeto está sobre el eje óptico y que no todos los rayos pasan por el punto imagen en el eje, como se ilustra en la figura 5(a) para una lente y en la figura 5(b) para un espejo. Este defecto es muy frecuente y, debido a que ocurre aun con superficies refractoras de forma esférica perfecta, recibe el nombre de aberración de esfericidad. A causa de esta aberración, los rayos reflejados en una superficie esférica o cilíndrica forman una figura característica, a la que se le da el nombre de cáustica. Esta se puede observar muy fácilmente en una taza de café iluminada oblicuamente por el sol o por una lámpara muy intensa.

Figura 5. Aberración de esfericidad en el objetivo de un telescopio. (a) Objetivo refractor. (b) Objetivo reflector.

Dada una distancia del objeto, escogiendo de manera adecuada las curvaturas y las formas de las superficies de las lentes, es posible generalmente eliminar esta aberración mediante compensación de las aberraciones introducidas por unas superficies del sistema con las aberraciones introducidas por otras. Por ejemplo, si tenemos una lente convergente simple, pero con una cara convexa y una plana, la orientación que tiene la menor aberración de esfericidad es la que tiene la cara convexa hacia el objeto a una distancia muy grande de la lente, y la cara plana hacia la imagen. Si una lente no tiene corregida su aberración de esfericidad, ésta se puede representar aproximadamente por:

Esf = Aesf D3

(4)

donde A_esf es una constante que depende de cómo esté construida la lente y de la distancia del objeto a la lente. La magnitud de esta aberración aumenta con el cubo de su diámetro, por lo que la calidad de la imagen aumentaría drásticamente si se reduce la abertura mediante un diafragma, pero esto tiene el gran inconveniente de reducir la cantidad de luz que entra al telescopio.

Un telescopio con aberración de esfericidad tendría imágenes borrosas sobre todo el campo, como si estuvieran desenfocadas, y no servirá ningún esfuerzo por ponerlas en foco. Si los objetos son estrellas, las imágenes son pequeñas manchas en lugar de puntos, como se muestra comparativamente en las figuras 6(a) y 6(b).

Figura 6. Imágenes estelares en una placa fotográfica. (a) Perfectas. (b) Con aberración de esfericidad. (c) Con aberración de coma. (d) Con astigmatismo.

Aberración de coma

Los rayos que se encuentran representados en las figuras 5(a) y 5(b) están todos en el plano de la figura, llamado plano tangencial. Al plano perpendicular al tangencial y que contiene el rayo principal se le llama plano sagital. Si el objetivo tiene la aberración llamada coma, no todos los rayos tangenciales llegan a un punto común en la imagen, según se ve en la figura 7(a), y la imagen de la estrella, en lugar de ser puntual, tendrá la apariencia de una pequeña coma, como se muestra en la figura 6(c), de donde proviene su nombre. En una lente simple que tenga aberración de coma, ésta se puede representar aproximadamente por:

Coma = Acoma D2 h

(5)

donde A_coma es una constante cuyo valor depende de la configuración de la lente y de la posición del objeto. La coma aumenta linealmente con la distancia de la imagen al eje óptico, por lo que sólo es perceptible al observar objetos alejados de este eje, cuando el campo es amplio. Por otro lado, la magnitud de la coma también aumenta con el cuadrado del diámetro de la abertura del telescopio, por lo que al igual que en el caso de la aberración de esfericidad, ésta también disminuiría al reducir el diámetro del objetivo.

Figura 7. Formación de una imagen puntual fuera del eje óptico. (a) En la presencia de la aberración de coma. (b) En la presencia de astigmatismo mostrando los focos tangencial y sagital.

Astigmatismo

Desgraciadamente, la ausencia de coma no garantiza de ninguna manera que los rayos en el plano sagital lleguen al mismo punto de los rayos tangenciales. Puede también suceder que los rayos tangenciales y los sagitales tengan diferente foco, como se ilustra en la figura 7(b), y entonces decimos que el sistema óptico tiene astigmatismo. Al igual que en el caso de la coma, el efecto es que la imagen es nítida y clara en el centro del campo, pero tanto más difusa y desenfocada cuanto más lejos observemos del eje óptico. Al presentarse el astimagtismo, existen diferentes superficies focales para los rayos sagitales y para los rayos tangenciales. Si el campo visual está formado por estrellas, las imágenes son circulares o alargadas en la dirección radial o tangencial, según la superficie focal que enfoquemos visual o fotográficamente (Figura 8) al hacer la observación, como se muestra en la figura 9(a). La imagen de un circulo con líneas radiales tendrá las apariencias mostradas en la figura 9(b), según la superficie focal seleccionada. Una placa fotográfica del cielo en la presencia de astigmatismo tendrá imágenes estelares como las que se muestran en la figura 6(d). El astigmatismo en una lente simple se puede representar aproximadamente por:

(6)

donde A_ast es una constante que depende de la configuración de la lente y de la posición del objeto. El astigmatismo crece linealmente con el diámetro del objetivo y con el cuadrado de la distancia de la imagen al eje óptico. Como en el caso de la coma, esta variación es lineal y el resultado es que para campos relativamente poco amplios la coma es la única que se detecta, pero a medida que crece el campo el astigmatismo alcanza a la coma, hasta superarla finalmente. Como en los telescopios el campo no es en general muy grande, la coma es mucho más importante de corregir que el astigmatismo. Como se ve en la fórmula, las distancias focales largas también reducen el astigmatismo.

Figura 8. Superficies focales para los planos tangencial, sagital y de Petzval en una lente con astigmatismo. La superficie de Petzval es la superficie focal si la lente no tuviera astigmatismo.

Figura 9. Imágenes en la presencia de astigmatismo. (a) De un objeto puntual. (b) De una circunferencia con líneas radiales, en las diferentes superficies focales.

Curvatura de campo

Aun en el caso de que todos los rayos que salen de un punto cualquiera en el objeto lleguen a un solo punto sobre la imagen, lo cual sucede si no hay aberración de esfericidad, ni coma ni astigmatismo, puede suceder que este punto imagen no esté en la posición correcta. Si el desplazamiento del punto es en la dirección paralela al eje óptico, el resultaddo es que los puntos imagen están sobre una superficie curva, generalmente esférica, en lugar de una plana. Por eso a esta aberración se le conoce con el nombre de curvatura de campo. En general, los oculares no pueden enfocar sobre superficie curva. En un telescopio con esta aberración se puede enfocar claramente el centro del campo o la periferia, pero no ambos al mismo tiempo.

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donde N y f son el índice de refracción y la distancia focal de la lente, respectivamente. El astigmatismo y la curvatura de campo, como se puede ver, no son dos aberraciones independientes, por lo que el valor dado por esta expresión es válido sólo en ausencia de astigmatismo.

Distorsión

Podría también suceder que el punto imagen se desviara de su posición ideal en una dirección perpendicular al eje óptico. La imagen conserva entonces su definición y nitidez, pero cambia su forma, deformando la imagen. Con esta aberración, llamada distorsión, la imagen de un cuadro es como se muestra en la figura 10, según el signo de esta aberración. En el caso de los telescopios astronómicos, esta aberración es importante solamente si se desean hacer mediciones de las posiciones relativas de las imágenes estelares sobre el campo focal, a fin de determinar las posiciones de las estrellas. Por otro lado, en una lente simple o doblete, como es el caso de un telescopio refractor, la distorsión es sumamente pequeña.

Figura 10. Imágenes de un objeto cuadrado cuando la lente tiene distorsión.

Aberración cromática axial

Para complicar aún más la situación, el índice de refracción de los vidrios es diferente para cada color de la luz. La luz que emite o refleja un objeto es en general blanca, es decir, que está formada por todos los colores posibles del arco iris o espectro. Entonces, puede suceder que las imágenes formadas por cada color estén colocadas en diferentes planos o bien que tengan diferente tamaño. En el primer caso, se dice que el telescopio tiene aberración cromática axial (Figura 11) y en el segundo aberración cromática de amplificación.

 

Figura 11. Aberración cromática axial en una lente.

En un telescopio con aberración cromática axial se puede enfocar solamente un color a la vez, por lo que la imagen de las estrellas tiene la forma de una mancha circular con núcleo coloreado generalmente en rojo, rodeado de un halo de color azul (Figura 12[a]).

 

Figura 12. Imágenes estelares con aberración cromática. (a) Axial. (b) De amplificación.

Un telescopio reflector no tiene aberración cromática, pues según la ley de la reflexión, el ángulo de reflexión es igual al de incidencia, cualquiera que sea el color de la luz. Sin embargo, en un telescopio refractor la aberración cromática aparece si el objetivo es una lente convergente simple. Esta aberración se puede corregir si el objetivo es un doblete formado por dos lentes en contacto, una convergente y una divergente, hechas de diferentes vidrios. Estas dos lentes deben tener aberraciones cromáticas exactamente opuestas, a fin de que se anulen mutuamente, pero el poder refractor de la lente convergente debe ser superior al de la divergente para que el sistema sea convergente. Dicho de otro modo, la relación entre el grado de refrangibilidad y el grado de dispersión cromática debe ser mayor en la lente convergente que en la divergente. Esto se logra si la lente divergente se construye con un tipo de vidrio óptico comúnmente denominado Crown, y la lente divergente con un tipo de vidrio óptico denominado Flint. Algunos de estos vidrios ópticos se enlistan en el cuadro 1. El llamado número de Abbe V define el grado de dispersión cromática del vidrio, siendo tanto menor su magnitud cuanto mayor sea su dispersión cromática, y está definido por

(8)

donde las letras C, D y F, de acuerdo con una notación propuesta por Fraunhofer, representan los colores rojo, amarillo y azul, respectivamente.

CUADRO 1. Características de algunos vidrios ópticos comunes.

Tipo de vidrio (catálogo Schott)	NC l = 587.6 nm	ND l = 587.6 nm	NF l = 480.0 nm	V
Crown
Borosilicato	1.5143	1.5168	1.5224	64.20
BK-7
Crown
K-5	1.5198	1.5225	1.5286	59.64
Crown
Flint	1.6095	1.6127	1.6200	58.63
SK-4
Crown
Flint	1.5200	1.5231	1.5303	50.93
KF-5
Flint
F-2	1.61503	1.6200	1.6321	36.37
Flint
F-6	1.6311	1.6364	1.6491	35.35
Flint
Denso	1.6922	1.6989	1.7155	30.05

Un doblete acromático se puede diseñar con estos vidrios, usando las siguientes fórmulas aproximadas, que nos permiten calcular las distancias focales de cada una de las dos componentes, como función de la distancia focal F del doblete final y de los números de Abbe de vidrios usados:

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y :

 

(10)

 

Aberración cromática lateral

Si no hay aberración cromática axial sino solamente lateral o de amplificación, las estrellas en el centro del campo son blancas, es decir, sin aberración, pero a medida que se alejan del eje óptico se alargan tomando la forma de pequeños espectros, o ráfagas de colores, según se ve en la figura 12(b).

La aberración cromática de amplificación está casi ausente en una lente simple, a pesar de su aberración cromática axial, al igual que en un doblete acromático. En cambio, esta aberración puede ser muy notoria si el sistema óptico está formado por dos o más lentes separados, como es el caso de muchos oculares, o de un telescopio galileano. Aunque no siempre es posible, una manera de corregir esta aberración en un sistema de dos lentes es haciéndolas del mismo vidrio y separándolas por una distancia igual a la semisuma de sus distancias focales.

Como se irá viendo en el transcurso de este libro, mediante un diseño adecuado es posible eliminar casi totalmente el efecto de estas aberraciones.

LA DIFRACCIÓN DE LA LUZ EN UN TELESCOPIO

Es conveniente ahora recordar que el concepto de rayo de luz es solamente una idealización matemática que representa la realidad sólo en forma aproximada. La luz es una onda de una naturaleza que llamamos electromagnética y que difiere de una onda de radio solamente en su longitud de onda. Cuando una onda, ya sea de luz, de radio o acusto-mecánica como el sonido, pasa por una abertura, se produce un efecto llamado difracción. Al limitar la extensión lateral de la onda con la abertura el haz luminoso u onda cambia su dirección de propagación cerca de los bordes, abriendo el haz un poco en forma de abanico. La desviación angular del haz es tanto mayor cuanto menor sea la abertura del diafragma.

Como vimos antes, la pupila de un sistema óptico limita la extensión lateral del haz luminoso; por lo tanto, es inevitable que se produzca el fenómeno de la difracción. Aunque según la óptica geométrica o de rayos la imagen sea perfectamente puntual, debido a este fenómeno no será en realidad así. La difracción hará que la imagen de una estrella supuestamente puntual sea en realidad un pequeño disco luminoso rodeado de unos anillos más débiles, como se muestra en la figura 13(a). La irradiancia relativa a lo largo de un radio de esta imagen se muestra en la figura 13(b). Al primer anillo obscuro de esta imagen de difracción se le llama anillo de Airy, en honor de uno de los precursores en el estudio de este fenómeno.

Figura 13. Imagen de una estrella. (a) Anillos de difracción. (b) Distribución radial de la irradiancia en la imagen de difracción.

Las aberraciones se pueden corregir, pero la difracción no es posible eliminarla jamás; sólo se puede reducir su magnitud aumentando de tamaño la pupila, o sea, el diámetro de las lentes. Afortunadamente, el efecto de la difracción es en general muy pequeño comparado con el que casi siempre introduce aun pequeñas aberraciones.

Debido a la difracción, en un telescopio perfecto, sin aberraciones, lo más juntas que pueden estar un par de imágenes de estrellas y aun distinguirlas como dos está determinado por el llamado Criterio de Rayleigh. Este criterio, que se ilustra en la figura 14(b), nos dice que se tiene esta separación mínima cuando el centro de una imagen está sobre el primer anillo oscuro o de Airy de la otra imagen. Así, la separación angular q en radianes entre dos estrellas apenas detectables como separadas, está dada por:

q = l.22 l / D

(11)

por lo que, substituyendo el valor de la longitud de onda (l= 5.55x l0^-5 cm) y convirtiendo q a segundos de arco, se encuentra:

q = 14/D

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donde D está expresado en centímetros. Otra proposición de criterio de resolución para dos estrellas muy cercanas fue propuesta por Sparrow, quien sugirió que las estrellas podían estar un poco más juntas, de tal manera que la irradiancia de las dos estrellas, en la parte intermedia entre las dos, fuera aproximadamente constante, es decir, con una gráfica plana, al pasar de una estrella a otra, como se ve en la figura 14(c). Así, según el Criterio de Sparrow, la separación angular mínima en segundos de arco que podemos detectar entre dos estrellas está dada por:

q = 11.6/D

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donde D está en centímetros. El astrónomo W. R. Dawes, después de una cantidad muy grande de observaciones, encontró empírica e independientemente un resultado muy similar al de Sparrow, por lo que este criterio se conoce también con el nombre de Criterio de Dawes. Es importante hacer notar que estos criterios son rigurosamente válidos sólo para observación visual, con la condición adicional de que las dos estrellas tengan la misma magnitud.

Figura 14. Criterios de Rayleigh, de Sparrow y de Dawes para la resolución de dos estrellas muy cercanas.

LA TURBULENCIA ATMOSFÉRICA

La atmósfera está en continuo movimiento y agitación debido a las diferencias locales de temperatura. Como las variaciones en temperatura ocasionan también variaciones en el índice de refracción, la imagen de una estrella se desenfocará y moverá continuamente.

El primero que se dio cuenta de la importancia de la turbulencia atmosférica o seeing (del inglés: visión), como le llaman los astrónomos, fue Christian Huygens en Holanda quien notó que las estrellas cintilaban y que las orillas de la Luna y de los planetas vibraban aun cuando la atmósfera estaba aparentemente calmada y serena.

Una consecuencia importante del seeing atmosférico es que aumenta el tamaño de las imágenes de las estrellas y además las desplaza constantemente de su posición, y con ello disminuye el poder resolutor del telescopio. Podemos imaginarnos la turbulencia atmosférica como celdas o globos de aire en continuo movimiento, con variaciones de una a otra en el índice de refracción. Cada celda tiene un diámetro entre 10 y 25 centímetros. Por lo tanto, en telescopios con aberturas menores de 10 centímetros el efecto de la turbulencia es un movimiento continuo y al azar, con desenfoques ocasionales de la imagen. Esta es la razón de la cintilación de las estrellas cuando se ven a simple vista. Si la abertura del telescopio es mucho mayor de 20 centímetros, la imagen no se mueve, sino que su tamaño aumenta, y adquiere una forma que en promedio es circular, pero que cambia constantemente. El diámetro aparente de las estrellas debido a este efecto depende del lugar, el día y la hora, y puede variar desde unos cuantos segundos de arco hasta dos o tres décimos de segundo de arco en las montañas de los mejores observatorios astronómicos del mundo. Por ejemplo, en el observatorio de Monte Palomar, el diámetro más frecuente de la imagen es de alrededor de dos y medio segundos de arco, con valores mayores o menores en ocasiones. El valor más pequeño que se ha observado ahí es de alrededor de tres décimas de segundo de arco.

Tanto la turbulencia atmosférica como otro efecto adicional que es la aberración cromática de la atmósfera, aumentan rápidamente con la altura de observación, por lo que las observaciones deben efectuarse lo más cerca del zenit, de ser posible.

FACTORES LIMITANTES DE LA RESOLUCIÓN DE UN TELESCOPIO

En telescopios pobremente diseñados los factores limitantes son las aberraciones. Esto no tiene por qué suceder en los telescopios modernos, diseñados y construidos por profesionales. Sin embargo, esto era muy común en los telescopios antiguos. Un ejemplo sumamente interesante es el telescopio de Galileo, que tenía todo tipo de aberraciones, incluyendo la de esfericidad y la cromática axial, que son las más necesarias de corregir. Este telescopio tenía una resolución angular de tan sólo 15 segundos de arco.

En los telescopios modernos los factores importantes que limitan la resolución angular son la difracción, si la abertura es menor de alrededor de 25 cm, y la turbulencia atmosférica si su abertura es mayor. Dicho de otro modo, la mayor resolución que puede tener un telescopio terrestre es la que le permita la atmósfera, y se logra con una abertura de tan sólo 25 cm, como se ve en el cuadro 4. Un telescopio en órbita, fuera de la atmósfera terrestre, podrá tener una resolución mayor.

AMPLIFICACIÓN ÚTIL DE UN TELESCOPIO

La amplificación de un telescopio está dada por el cociente de las distancias focales del objetivo y del ocular. Por lo tanto, en teoría es posible, mediante el ocular adecuado, obtener cualquier amplificación que se desee. En la práctica esto no es posible porque pasado un cierto límite, el tamaño de un elemenfo de imagen o "grano" puede ser tan grande que ya no aumenta la cantidad de detalle que se puede ver al aumentar la amplificación. A ésta se le llama algunas veces "amplificación vacía". Este límite se alcanza cuando el elemento de imagen tiene justamente el diámetro angular que puede resolver el ojo humano.

Este límite de resolución del ojo humano es de alrededor de un minuto de arco, pero al observar a través de un telescopio con alta amplificación, la pupila de salida frecuentemente es menor que la del ojo, por lo que una resolución de dos minutos de arco, es decir, de 120 segundos de arco, es más realista. El límite de resolución de Dawes nos dice que la resolución angular del telescopio en el campo del objeto es de 1l.6/D segundos de arco, pero este elemento de imagen visto a través del telescopio con amplificación M tiene un diámetro angular igual a 11.6 M/D segundos de arco. Si ahora hacemos que este diámetro angular sea igual a 120 segundos de arco, encontramos fácilmente que la máxima amplificación útil para telescopios pequeños limitados por difracción se alcanza aproximadamente cuando

M = l0 D

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es decir, cuando la amplificación es aproximadamente igual a 10 veces el diámetro de la abertura del telescopio expresada en centímetros, o lo que es lo mismo, el diámetro de la abertura en milímetros. (Véase cuadro 4.) Debido a la turbulencia atmosférica, esta amplificación máxima del telescopio jamás podrá ser mucho mayor de poco más de 250 a 500 ni siquiera en telescopios tan grandes como el de Monte Palomar.

MAGNITUD LIMITE DE UN TELESCOPIO

La magnitud de una estrella es una indicación de su brillantez, de tal manera que cuanto más brillante sea, menor será su magnitud. Según una escala arbitraria y subjetiva de los griegos, las estrellas más brillantes tendrán magnitud uno, mientras que las más débiles que se pueden observar a simple vista tendrán magnitud seis. Esta manera de medir la brillantez de las estrellas se ha conservado hasta nuestros días, pero con un sentido físico y matemático más formal. Ahora se sabe que en la respuesta del ojo, según una ley psicofísica de Fechner, la sensación es proporcional al logaritmo de la excitación. John Herschel, en 1830, definió las magnitudes estableciendo que la brillantez de una estrella de primera magnitud es 100 veces mayor que la de una estrella de sexta magnitud. De acuerdo con esto, una estrella con una magnitud una unidad menor que otra, tendrá una brillante veces mayor. Por lo tanto, si suponemos que el brillo de una estrella de primera magnitud es uno, se tienen las siguientes equivalencias:

CUADRO 2. Equivalencia entre magnitud y brillo relativo de las estrellas.

Magnitud	Brillo relativo
-1	6.3
0	2.5
1	1
2	1/2.5
3	1/6.3
4	1/15.8
5	1/39.8
6	1/100
7	1/251.2
8	1/630.9

Si dos estrellas con magnitudes m y n tienen brillos B_n y B_m, respectivamente, se tiene que

(15)

de donde, tomando logaritmos, se obtiene

log Bn - log Bm = (m - n) log (2.512) = 0.4 (m - n)

(16)

o sea que la diferencia de las magnitudes es directamente proporcional a la diferencia de los logaritmos de sus brillos.

Falta ahora calibrar esta escala seleccionando el brillo de una estrella de primera magnitud; esto se hizo de tal manera que las estrellas Aldebarán y Altair están muy cercanas a ella. El siguiente cuadro lista como ejemplos las magnitudes visuales de algunas estrellas.

CUADRO 3. Magnitudes visuales de algunas estrellas.

Estrella	Nombre	Magnitud
alfa can Mayor	Sirio	- 1.5
alfa corina	Canopus	- 0.1
alfa Lira	Vega	0.0
alfa Orión	Betelgueuse	0.5
alfa Águila	Altair	0.8
alfa Tauro	Aldebarán	0.9
alfa Osa Mayor	Doubne	1.8
alfa Osa Menor	Polar	2.0
beta Lira		3.5
delta Lira		4.0
nu Lira		5.0
épsilon Lira		6.0

Si se observa una estrella a través de un telescopio, el brillo aparente de la estrella aumenta debido a que la abertura colectora del objetivo del telescopio es mayor que la del ojo. Por lo tanto, para poder alcanzar a percibir una estrella a través del telescopio, no es necesario que sea tan brillante como cuando se le observa a simple vista. Dicho de otro modo, el brillo mínimo necesario para ver una estrella es inversamente proporcional al cuadrado del diámetro del telescopio con el que se le observa. Entonces, la relación entre el brillo mínimo para poder observar una estrella a través del telescopio y el brillo mínimo para poder observarla a simple vista es el cuadrado de la relación del diámetro Do de la pupila del ojo entre el diámetro D_t de la abertura del telescopio. Por lo tanto

(17)

donde m₀ y m_t son las magnitudes más débiles que se pueden observar a simple vista y a través del telescopio. De aquí obtenemos

mt - m0 + 5 log

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donde el subíndice t se refiere al telescopio y el subíndice o al ojo. El diámetro de la pupila del ojo es diferente para diferentes observadores, pero podemos suponer un promedio de alrededor de 0.6 cm. Si tomamos este diámetro de Do y la magnitud límite m_o que se observa a simple vista, igual a 6, se obtiene:

Mv = 7.10 + 5 log D

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Aquí se ha suprimido el subíndice del diámetro del telescopio por no ser ya necesario, y se ha cambiado el subíndice de la magnitud a v para indicar que la observación a través del telescopio es visual. Este resultado se tabula en el cuadro 4. De aquí se ve que con el telescopio de Yerkes de un metro de diámetro se puede observar hasta la magnitud 17, y con un telescopio de 10 cm de abertura, hasta la magnitud 12.

Otra manera de ver las ventajas de un telescopio con abertura grande es imaginarnos que las estrellas y galaxias tienen brillos absolutos muy diferentes, pero distribuidos completamente al azar en todo el espacio. Así, una estrella dada la podríamos detectar a una mayor distancia con un telescopio de abertura grande que con otro de menor abertura. Los brillos aparentes varían en relación inversa con el cuadrado de la distancia y en relación directa con el cuadrado de la abertura del telescopio. Por lo tanto, un telescopio con el doble de abertura de otro puede detectar objetos al doble de distancia. Es entonces obvio que con un telescopio del doble de la abertura de otro se pueden observar objetos celestes al doble de la distancia, y por lo tanto un volumen más grande del universo que nos rodea.

Fotográficamente, la magnitud límite depende no sólo del diámetro del objetivo sino también de la sensibilidad de la película y del tiempo de exposición, como se explicará más adelante en la sección sobre telescopios fotográficos.

CUADRO 4. Principales características de un telescopio, según el diámetro de su objetivo.

Diámetro del objetivo en cm.	Poder resolutor en segundos de arco		Amplificación visual máxima útil	Magnitud visual límite
	Rayleigh	Sparrow
0.60	23.33	19.33	6	6.0
5.00	2.80	2.32	50	10.6
10.00	1.40	1.16	100	12.1
15.00	.93	.77	150	12.9
20.0	.70	.58	200	13.6
25.0	.56	.46	250	14.0
30.0	.46	.38	300	14.4
50.00	.28	.23	500	15.6
60.00	.23	.19	600	16.0
80.00	.17	.14	800	16.6
100.00	.14	.11	1 000	17.1
150.00	.09	.07	1 500	18.0
200.00	.07	.05	2 000	18.6
250.00	.05	.04	2 500	19.0
300.00	.04	.03	3 000	19.4
500.00	.02	.02	5 000	20.5

NOTA: Los valores muy por debajo de la línea divisoria punteada no tienen validez en la superficie terrestre, debido a la turbulencia atmosférica.

BRILLANTEZ DE LA IMAGEN DE UN TELESCOPIO

Es fácil ver que un telescopio kepleriano el máximo flujo de la energía luminosa al ojo se obtiene cuando el diámetro del objetivo es igual que el diámetro de la pupila del ojo, multiplicado por la amplificación, es decir, cuando la pupila de salida es del mismo diámetro que la pupila del ojo, a fin de aprovechar al máximo la capacidad de captación de luz del ojo del observador.

Si crece el diámetro del objetivo, crece la pupila de salida, y con ello la cantidad de luz colectada. Pero en un telescopio visual esta energía luminosa no se puede aprovechar, pues la pupila de salida se hace mayor que la del ojo. Dicho de otro modo, dado un diámetro del objetivo, se puede aumentar la luminosidad del objeto disminuyendo la amplificación, y por lo tanto aumentando el diámetro de la pupila de salida, hasta el límite de igualarla con el diámetro de la pupila del ojo. Esta amplificación, para la cual se obtiene la máxima brillantez del objeto, está dada por:

Mmin = = D/0.6

(20)

que es el mínimo valor que puede tener la amplificación sin desperdiciar parte de la energía captada por el telescopio. D es el diámetro del objetivo en centímetros. Así, un telescopio de 12 centímetros de diámetro tendrá la máxima brillantez visual de la imagen si su amplificación es de 20.

La brillantez de la imagen de un objeto puntual, como una estrella, es directamente proporcional al cuadrado del diámetro de la pupila de entrada, suponiendo que no excede el diámetro máximo antes explicado, y es independiente de la amplificación de telescopio, pues la imagen es siempre un punto. Como ya vimos, la relación entre la brillantez de la imagen a través del telescopio y la brillantez de la imagen a simple vista está dada por el cuadrado de la relación del diámetro de la pupila de entrada del telescopio y el diámetro de la pupila del ojo, según la expresión:

(21)

Por otro lado, de igual manera, la brillantez de la imagen de un objeto extendido es directamente proporcional al cuadrado del diámetro de la pupila de entrada, pero también es inversamente proporcional al cuadrado de la amplificación. La razón es que al aumentar la amplificación aumenta el diámetro de la imagen, y con ello el área sobre la cual distribuye la energía luminosa captada por el telescopio. Es fácil demostrar que la relación entre la brillantez de la imagen a través del telescopio y la brillantez de la imagen a simple vista está dada por el cuadrado de la relación del diámetro de la pupila de entrada del telescopio y el diámetro de la pupila del ojo, dividido entre la amplificación del telescopio, como sigue:

(22)

Si ahora suponemos que la amplificación es igual a la amplificación M_min que produce la máxima brillantez (M = M_min), encontramos que la brillantez a través del telescopio es la misma que cuando se observa el objeto a simple vista. El resultado es sumamente importante y de gran utilidad, pues nos dice que la brillantez de un objeto extendido no podrá jamás aumentar por el uso de un telescopio, sino que en el mejor de los casos será la misma.

Es por lo tanto fácil ver que la relación entre la brillantez de la imagen de un objeto puntual y la brillantez de la imagen de un objeto extendido es directamente proporcional a la amplificación del telescopio, como sigue:

(23)

siempre y cuando esta amplificación sea mayor que M_min. Por lo tanto, esta relación siempre es mucho mayor que uno. Ésta es la razón por la cual es posible observar las estrellas más brillantes a través de un telescopio, a plena luz del día, cuando es completamente imposible hacerlo a simple vista.

RESUMEN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UN TELESCOPIO

Las características principales que describen el funcionamiento de un telescopio se resumen a continuación en el siguiente cuadro:

CUADRO 5. Características de funcionamiento de un telescopio

Diámetro del objetivo en cm	mínima	Amplificación óptima	máxima	Magnitud límite	resolución límite
2	3	5	20	8.6	5.8
5	8	12	50	10.6	2.32
10	16	25	100	12.1	1.16
15	25	37	150	13.0	.77
20	33	50	200	13.6	.58
25	42	62	250	14.1	.46
30	50	75	300	14.5	.39
40	66	100	400	15.1	.29
50	83	125	500	15.6	.23
60	100	150	600	16.0	.19

Se ha definido aquí amplificación mínima como aquella que nos produce una pupila de salida de 6 mm y por lo tanto produce la máxima luminosidad posible. Esta amplificación es ideal si se desea ver el cielo con la máxima luminosidad que permite el telescopio.

Como es de esperar, dado un diámetro del objetivo, la mínima amplificación es la que tiene el máximo campo visual. Por otro lado, como se puede ver en el cuadro 5, cuanta más abertura tenga el telescopio mayor será la amplificación mínima, reduciendo el campo visual, pero también aumentando la magnitud límite. Si el cielo tuviera una densidad volumétrica uniforme de estrellas, la reducción en el campo visual quedaría justamente compensada por el aumento en la magnitud límite. Por lo tanto, cualquiera que fuera el diámetro del objetivo, la amplificación mínima siempre producirá la misma densidad de estrellas en el campo visual. Se ha encontrado, sin embargo, que éste no es el caso, y que el diámetro óptimo de la abertura para tener la mayor densidad de estrellas en el campo es alrededor de 15 centímetros. Este tipo de telescopio recibe el nombre de telescopio del campo estelar más rico.

La amplificación óptima se ha definido aquí como aquella que da la mejor resolución visual aparente, la cual se obtiene cuando la pupila de salida tiene un diámetro de 0.4 centímetros. Para observación planetaria, sin embargo, se recomienda aproximadamente el triple de esta amplificación, siempre que no exceda a la amplificación máxima.

La amplificación máxima es aquella que se puede obtener con un telescopio sin aberraciones, llevándolo al límite que nos permite la difracción, aunque hay que recordar que dependiendo del grado de turbulencia atmosférica, este límite puede estar cuando mucho en un valor aproximado de 250 a 500.

La magnitud límite es para observación visual y de ninguna manera se aplica a telescopios fotográficos.

La resolución angular se expresa en segundos de arco, según el criterio de Dawes.