XXVI. EL MODELO DE PARTÍCULAS INDEPENDIENTES

ASÍ como en el átomo generamos un modelo de capas, en que sólo se toma en cuenta la atracción que ejerce el núcleo sobre cada electrón despreciando la interacción entre éstos; en la misma forma que para el núcleo inventamos un modelo de capas en que la parte principal de la interacción entre los nucleones se agota en producir una fuerza promedio; así también para los sólidos se ha desarrollado un modelo de partículas independientes que en este caso se llama la teoría de bandas. E igual que en la física atómica y en la teoría nuclear, este modelo resulta esencial para aplicar las ideas cuánticas al estudio de los cristales.

Para entender la teoría de bandas, es conveniente imaginarse que formamos el cristal juntando un átomo tras otro. Por simplicidad supongamos que todos los átomos son iguales. Cuando los átomos están muy alejados unos de los otros, las energías de los electrones son idénticas a las del átomo aislado. Cuando los acercamos, la presencia de un átomo perturba un poco los niveles de energía del otro. En consecuencia, de cada nivel atómico se genera una banda de niveles, tan próximos entre sí que forman un continuo. En alguno de estos niveles de energía estarán los electrones del sólido.

Dependiendo de los átomos de que se trate, las bandas provenientes de niveles atómicos contiguos pueden superponerse o estar separadas por una brecha de energías prohibidas que ningún electrón puede ocupar dentro del sólido.

Veamos ahora cómo se usa este modelo para entender, digamos, las propiedades eléctricas de los sólidos. Para ello, apliquémoslo a dos casos particulares: el del sodio sólido y el del diamante.

Cuando se forma un cristal de sodio, cada átomo contribuye con un electrón de valencia, que irá a acomodarse en los estados de una banda, buscando aquellos de menor energía. Según el principio de Pauli, en cada estado de la banda caben dos electrones, uno con el espín orientado en dirección contraria al otro, y no más. Pero entonces sólo se llena la mitad de estados de la capa, habiendo muchos estados disponibles, a los cuales puede llegar un electrón si se le excita un poco. Es decir, es fácil comunicarle energía cinética a uno de los electrones de valencia del cristal de sodio. Esto puede lograrse, por ejemplo, con un campo eléctrico. El sodio sólido es un buen conductor, como todos aquellos cristales que presentan en su estado de menor energía una banda semillena.

El caso del diamante es diferente. Ahora las dos bandas inferiores están completamente llenas, pues cada átomo contribuye con un número par de electrones de valencia. Entre los estados ocupados y los vacíos se encuentra una brecha de estados prohibidos, que en este caso particular es de 6 eV, cercana a la mitad de la energía de amarre de un electrón en el átomo de hidrógeno. Habría que comunicarle a un electrón al menos esta energía, para que pudiera moverse libremente. O sea, sujetarlo a un voltaje del orden de 6 voltios. Es muy difícil, y en consecuencia el diamante es un buen aislador. Obviamente, a medida que la brecha sea menor, el material es peor como aislante. Por ejemplo, la brecha en el caso del silicio es de sólo 1.1. eV. Esto se traduce en que el silicio sea mejor conductor que el diamante, aunque no tan bueno como un metal. Por ello se le ha clasificado como semiconductor.