XXVI. EL MODELO DE PART�CULAS INDEPENDIENTES

AS� como en el �tomo generamos un modelo de capas, en que s�lo se toma en cuenta la atracci�n que ejerce el n�cleo sobre cada electr�n despreciando la interacci�n entre �stos; en la misma forma que para el n�cleo inventamos un modelo de capas en que la parte principal de la interacci�n entre los nucleones se agota en producir una fuerza promedio; as� tambi�n para los s�lidos se ha desarrollado un modelo de part�culas independientes que en este caso se llama la teor�a de bandas. E igual que en la f�sica at�mica y en la teor�a nuclear, este modelo resulta esencial para aplicar las ideas cu�nticas al estudio de los cristales.

Para entender la teor�a de bandas, es conveniente imaginarse que formamos el cristal juntando un �tomo tras otro. Por simplicidad supongamos que todos los �tomos son iguales. Cuando los �tomos est�n muy alejados unos de los otros, las energ�as de los electrones son id�nticas a las del �tomo aislado. Cuando los acercamos, la presencia de un �tomo perturba un poco los niveles de energ�a del otro. En consecuencia, de cada nivel at�mico se genera una banda de niveles, tan pr�ximos entre s� que forman un continuo. En alguno de estos niveles de energ�a estar�n los electrones del s�lido.

Dependiendo de los �tomos de que se trate, las bandas provenientes de niveles at�micos contiguos pueden superponerse o estar separadas por una brecha de energ�as prohibidas que ning�n electr�n puede ocupar dentro del s�lido.

Veamos ahora c�mo se usa este modelo para entender, digamos, las propiedades el�ctricas de los s�lidos. Para ello, apliqu�moslo a dos casos particulares: el del sodio s�lido y el del diamante.

Cuando se forma un cristal de sodio, cada �tomo contribuye con un electr�n de valencia, que ir� a acomodarse en los estados de una banda, buscando aquellos de menor energ�a. Seg�n el principio de Pauli, en cada estado de la banda caben dos electrones, uno con el esp�n orientado en direcci�n contraria al otro, y no m�s. Pero entonces s�lo se llena la mitad de estados de la capa, habiendo muchos estados disponibles, a los cuales puede llegar un electr�n si se le excita un poco. Es decir, es f�cil comunicarle energ�a cin�tica a uno de los electrones de valencia del cristal de sodio. Esto puede lograrse, por ejemplo, con un campo el�ctrico. El sodio s�lido es un buen conductor, como todos aquellos cristales que presentan en su estado de menor energ�a una banda semillena.

El caso del diamante es diferente. Ahora las dos bandas inferiores est�n completamente llenas, pues cada �tomo contribuye con un n�mero par de electrones de valencia. Entre los estados ocupados y los vac�os se encuentra una brecha de estados prohibidos, que en este caso particular es de 6 eV, cercana a la mitad de la energ�a de amarre de un electr�n en el �tomo de hidr�geno. Habr�a que comunicarle a un electr�n al menos esta energ�a, para que pudiera moverse libremente. O sea, sujetarlo a un voltaje del orden de 6 voltios. Es muy dif�cil, y en consecuencia el diamante es un buen aislador. Obviamente, a medida que la brecha sea menor, el material es peor como aislante. Por ejemplo, la brecha en el caso del silicio es de s�lo 1.1. eV. Esto se traduce en que el silicio sea mejor conductor que el diamante, aunque no tan bueno como un metal. Por ello se le ha clasificado como semiconductor.