XVIII. LOS CAMPOS DE NORMA

LA F�SICA ha visto ocurrir dos grandes revoluciones en el siglo XX: la revoluci�n relativista de 1905 y la revoluci�n cu�ntica de 1924. Ambos cataclismos cient�ficos cambiaron, de manera tremenda y radical, la imagen que el hombre se hab�a hecho de la naturaleza. Espacio, tiempo, energ�a, y tantos otros elementos de las teor�as f�sicas fueron vistos desde una nueva perspectiva. Por otro lado, con la mec�nica cu�ntica, la idea de forma —y con ella, de una manera profunda, la simetr�a— entran en la descripci�n f�sica del mundo natural. Al unir los postulados relativistas con los cu�nticos, se obtienen dos grandes logros: la teor�a cu�ntica de los campos y el reconocimiento del papel vital que juegan los principios de simetr�a.

Del primer gran logro ya hemos hablado. Si unimos el principio de incertidumbre al de relatividad, la descripci�n de un fen�meno en apariencia tan simple y tan bien conocido como el de la atracci�n entre dos cargas el�ctricas adquiere visos extra�os, casi fantasmag�ricos. As� surge el apantallamiento de la carga el�ctrica, aun en el vac�o.

Para la f�sica cl�sica, la del siglo XIX, tal apantallamiento de la carga el�ctrica era un fen�meno bien conocido. Se conoce como polarizaci�n del medio y ocurre cuando una carga se coloca dentro de un material, como un diel�ctrico, que contiene tanto cargas positivas como negativas. El electr�n que se ha introducido repele a las cargas negativas y atrae a las positivas, polarizando as� al medio. El resultado de esta polarizaci�n es que, vista de lejos, la carga negativa del electr�n parece m�s peque�a, se ve apantallada por las cargas positivas que tienden a rodearlo. Para sentir la verdadera carga del electr�n, tendremos que acercarnos mucho a �l, m�s all� de la pantalla. Hasta aqu� la idea prevaleciente en la electrodin�mica cl�sica.

Si seguimos la l�nea de pensamiento cl�sica, un electr�n en el vac�o no ha de sufrir los efectos del apantallamiento. El vac�o cl�sico es un mar de tranquilidad, sin part�culas, cargas o energ�a. Pero el principio de Heisenberg cambia radicalmente esta visi�n. A medida que inspeccionamos un sistema —el vac�o, en el caso que nos ocupa— durante tiempos cada vez m�s cortos, alteramos su energ�a, tanto m�s cuanto menor sea ese tiempo de observaci�n. Y si ahora agregamos las ideas relativistas, seg�n las cuales masa y energ�a son la misma cosa, vemos que una fluctuaci�n en energ�a puede manifestarse como masa: las part�culas pueden llegar a materializarse de la nada durante tiempos cortos. El vac�o (cu�ntico-relativista), pues, dista mucho de ser ese mar sereno que es el vac�o cl�sico. En �l se crean y se aniquilan part�culas virtuales, que siempre vienen en parejas part�cula-antipart�cula para conservar la carga y otras cantidades. Esas fluctuaciones del vac�o ser�an tambi�n polarizables por un electr�n externo que se agregara al vac�o, igual que se polariz� el medio diel�ctrico que antes consideramos desde el punto de vista cl�sico. En consecuencia, el vac�o se polariza y la carga de un electr�n aislado se ve apantallada y decrece, en efecto, con la distancia. Esta es una conclusi�n ineludible si se unen las dos grandes revoluciones de la f�sica contempor�nea para crear la teor�a del campo electromagn�tico: la electrodin�mica cu�ntica. El apantallamiento de la carga el�ctrica es una de tantas consecuencias de esta teor�a que, como ya hemos mencionado varias veces, es la teor�a f�sica que mayores �xitos ha tenido en la historia de la ciencia.

Hablemos ahora de los principios de simetr�a y su papel preponderante en la f�sica moderna. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es la simetr�a y la asociamos, muchas veces, con la belleza. Un rostro hermoso de mujer es bello por sim�trico¹ y la enorme dignidad del Parten�n descansa primordialmente en su simetr�a. Si reflexionamos, en nuestros ejemplos hemos apuntado a la simetr�a geom�trica: la simetr�a bilateral de un rostro arm�nico, o la simetr�a traslacional del templo griego con sus columnas dispuestas ordenadamente. Si reflejamos en un espejo el front�n de un templo cl�sico (y hacemos caso omiso del friso), en nada lo afectamos; si giramos una circunferencia, por cualquiera que sea el �ngulo, nada permite que nos percatemos de la rotaci�n. La simetr�a est� asociada, pues, a la invariancia y a la conservaci�n.

En la f�sica relativista el espacio se ha convertido en el espaciotiempo y con la mec�nica cu�ntica hace su advenimiento en la ciencia el concepto de forma. Al unir ambas teor�as, se generan conceptos como el del esp�n y luego surgen, al estudiar las part�culas elementales, la carga, el esp�n isot�pico, la extra�eza y el color. No ha de asombrarnos entonces que la riqueza de las simetr�as sea ahora mucho m�s amplia que aquella de la mera geometr�a espacial.

En efecto, de la simetr�a frente a traslaciones en el tiempo surge la conservaci�n de la energ�a; podemos rotar ahora en el espacio y en el tiempo a la vez, girando en el espaciotiempo, y nuestras ecuaciones no han de alterarse; podemos tambi�n cambiar en el espacio de las cargas o el del esp�n isot�pico y, muchas veces, todo permanecer�a igual, como casi id�nticos resultan el prot�n y el neutr�n. O podemos ir m�s all�, haciendo transformaciones en espacios cada vez m�s abstractos y alejados de nuestra intuici�n cotidiana. Ejemplo de esto �ltimo es la simetr�a SU(3), que llev� a Gell-Mann por la v�a del octete al modelo primigenio de los cuarks.

Todas las simetr�as que hemos mencionado tienen un car�cter global: alguna de las caracter�sticas del sistema, cualquiera que ella sea, se altera por una cantidad que es la misma en todos los puntos del espaciotiempo. Desde el punto de vista matem�tico, la simetr�a surge cuando las soluciones de un conjunto de ecuaciones permanecen inalteradas, a pesar de que alguna de las caracter�sticas del sistema f�sico que esas ecuaciones describen se haya alterado. Cuando este cambio es el mismo en todos los puntos del espaciotiempo, se dice que la simetr�a es global.

Empero, tambi�n podr�amos tener una simetr�a local. Imaginemos que, en cada punto del espaciotiempo, aquella caracter�stica del sistema que alteramos se cambia de manera diferente. Si la ley f�sica que analizamos mantiene su validez, se dice que tiene simetr�a local. A primera vista, la simetr�a local es menos exigente que la global pero, en verdad, es m�s dif�cil de lograr. En particular, si hablamos de una teor�a del campo y deseamos que �sta sea invariante frente a una transformaci�n local, surge a fortiori una interacci�n, aunque al inicio no la hayamos considerado. En otras palabras, la fuerza es algo nuevo y necesario en la teor�a. Estas nuevas teor�as de campo con simetr�a local —teor�as de campo de norma, las llaman hoy los f�sicos— implican que las part�culas y sus interacciones est�n �ntimamente ligadas entre s� y que no pueden existir unas sin las otras.

Los campos de norma tienen una historia ya antigua. La primera teor�a de campos de norma fue, de hecho, la electrodin�mica cl�sica que Maxwell formul� a mediados del siglo XIX. En esta teor�a cl�sica se supone que alrededor de una carga el�ctrica est�tica se genera un campo el�ctrico, o tambi�n un voltaje o potencial el�ctrico; la diferencia de voltaje entre dos puntos cualesquiera del espacio proporciona el campo. Al mover las cargas se engendra un campo magn�tico, que tambi�n puede obtenerse de un potencial, llamado potencial magn�tico. El potencial el�ctrico puede alterarse global o localmente. Si aumentamos el voltaje en la misma cantidad de voltios en todo un laboratorio, nadie se entera, pues el campo el�ctrico no cambia. Pero si alteramos el voltaje localmente, los habitantes del laboratorio s� sentir�n los cambios, a menos que tambi�n se altere, al mismo tiempo y en el mismo punto, el potencial magn�tico en la forma precisa que indica la teor�a de Maxwell. Con ello imponemos a la electrodin�mica cl�sica la llamada invariancia de norma. Como bien saben los f�sicos, imponer esta invariancia de norma conduce en la teor�a cl�sica de Maxwell a las ondas electromagn�ticas. En su versi�n cu�ntica, �stas son conjuntos de fotones, los portadores de la fuerza. Vemos aqu� un ejemplo de lo antes dicho: para resarcir la simetr�a local es necesaria la aparici�n de fuerzas.

Otra teor�a invariante de norma, tambi�n cl�sica, es la teor�a general de la relatividad, donde la geometr�a del espaciotiempo es el campo. El nombre mismo de invariancia de norma fue acu�ado por el gran matem�tico alem�n Hermann Weyl, quien alrededor de 1920 buscaba unificar la gravitaci�n y el electromagnetismo. Weyl quer�a que sus ecuaciones fueran invariantes frente a un cambio de escala en las longitudes y los tiempos, cambio que ser�a diferente para cada punto del espaciotiempo. Se usar�a as� un distinto "patr�n" de medida en cada punto, una diferente "calibraci�n" de distancias y tiempos; en fin, una "norma" que var�a de punto a punto.²

La historia moderna de los campos de norma se inicia en 1954, como ya dijimos, con el trabajo de Yang y Mills, trabajo al que hoy se da un gran reconocimiento. Yang y Mills consideraron una simetr�a local m�s complicada que la del electromagnetismo, pues estaban interesados en generar un modelo para las interacciones fuertes. Pensaron en las rotaciones en el espacio de esp�n isot�pico, aquella propiedad cu�ntica que distingue entre protones y neutrones; y postularon que ante estas rotaciones, la fuerza nuclear es ciega. Puesto que las transformaciones locales de Yang y Mills son m�s complejas que las del electromagnetismo, sus resultados tambi�n lo son. A diferencia de la teor�a electromagn�tica, donde a consecuencia de la invariancia local de norma surgen dos campos vectoriales, el el�ctrico y el magn�tico, la teor�a de Yang-Mills exige que se generen seis campos de fuerza, todos ellos vectoriales. Aunque dos de estos campos de fuerza no llevan, como en la electrodin�mica, carga, los otros cuatro �est�n cargados! Esto �ltimo tiene consecuencias enormes. Los fotones o cuantos de estos campos estar�an cargados, por lo cual podr�an atraerse y quedar amarrados uno al otro: tendr�amos algo as� como un �tomo de luz. Con fotones cargados, nuestro mundo ser�a tan diferente al que conocemos que ser�a dif�cil de imaginar. Desde luego, estos fotones cargados no existen en la naturaleza.

Desde un punto de vista matem�tico, por otro lado, para los campos de Yang-Mills el orden en que se apliquen las transformaciones locales de simetr�a es importante: el resultado final es diferente si una transformaci�n dada precede a otra, o viceversa. Por ello, y copiando la nomenclatura de esa rama de las matem�ticas que se conoce como teor�a de los grupos, se dice que el campo de norma de Yang-Mills es un campo no-abeliano. La teor�a general de la relatividad es tambi�n una teor�a no-abeliana, pero la electrodin�mica es abeliana³, y por ello es una teor�a m�s simple.

Hemos dicho que ahora se concede una importancia fundamental al trabajo de Yang y Mills. Esto es hoy, porque cuando fue presentada, hace m�s de treinta a�os, esa teor�a no se apreci� en todo lo que val�a. Hab�a una raz�n de fondo: la teor�a de Yang-Mills en su forma original no es renormalizable. Por el contrario, est� plagada de infinitos, como lo estuvo la electrodin�mica cu�ntica hasta que los f�sicos encontraron las fluctuaciones del vac�o y el correcto apantallamiento de las cargas el�ctricas. Ah� se dieron cuenta de lo que realmente se mide en los experimentos con electrones; lo que en verdad se observa no es la masa o la carga de la part�cula puntual que inicia el proceso, sino las propiedades de esta part�cula apantallada, es decir, del electr�n y sus acompa�antes, esa nube de part�culas virtuales que siempre lo rodean.

�C�mo se enmend� la plana a la teor�a de Yang y Mills para lograr una teor�a renormalizable y, por tanto, �til? La historia es curiosa y bien podr�a dejar en la f�sica moderna una nueva gran ilusi�n: los bosones de Higgs. Los portadores de la fuerza en la teor�a original no tienen masa. Sin embargo, los f�sicos Robert Brout, de Bruselas, y Peter Higgs, escoc�s, idearon un mecanismo por el cual los bosones de Yang y Mills podr�an adquirir masa y as� convertir la teor�a de norma no-abeliana en renormalizable. La nueva idea supone que el vac�o est� poblado por los bosones de Higgs, y que �stos literalmente son tragados por los portadores originales de la fuerza, que carec�an de masa. Por ello se tornan masivos y los bosones de Higgs se convierten en fantasmas. Este mecanismo se conoce, en la teor�a cu�ntica de los campos, como "rotura espont�nea de la simetr�a" y se aplica en muchos campos de la f�sica, en el estudio de los ferromagnetos o en el de los superconductores, por ejemplo. En todo caso, la moraleja que hoy se acepta de esta historia es muy interesante: parecer�a ser que las cuatro interacciones fundamentales que hemos encontrado en la naturaleza estar�an regidas por teor�as de campo de norma no-abelianas.

NOTAS

1 Aunque tambi�n llegamos a apreciar enormemente ese ligero rompimiento espont�neo de la simetr�a que representa un gracioso lunar junto a los ojos.

2 De ah� el nombre "invariancia de norma" que usamos en M�xico, aunque en Espa�a a veces se usa "invariancia de aforo" u otras frases, todas ellas intentos de traducci�n del ingl�s, gauge invariance.

3 El adjetivo abeliano lo usan los cient�ficos en recuerdo del matem�tico noruego Niels Abel, uno de los primeros en analizar el concepto matem�tico de grupo. Este es el lenguaje apropiado para tratar con simetr�as e invariancias. Por ello, los grupos matem�ticos son hoy omnipresentes en la f�sica de part�culas elementales, en la teor�a del campo cu�ntico y en otras importantes ramas de la f�sica actual, como la de las transiciones de fase y los fen�menos cr�ticos, por ejemplo.