INTERMEDIO

 

Omn�vora

esfera

opaca, el tiempo fluye.

....

Tiempo

sin luz ni tacto.

....

�En qui�n revienta esta luz?

CORAL BRACHO

Apuntes del escen�grafo II

(PARTICULARIDADES GEOM�TRICAS)

EN ESTA segunda parte de mis apuntes, quiero inmiscuirme en algunas particularidades geom�tricas de los escenarios que escogimos. Pero si en las "Notas generales" di mis disculpas a los f�sicos, aqu� tengo que prevenir a mis colegas, los matem�ticos. Sacrificar�, en algunos pasajes, la formalidad y el rigor en aras de la exposici�n, la extensi�n y la claridad intuitiva. Adem�s, siendo esto lo que m�s me duele, enunciar� por ah� algunos hechos como si fueran consumados, como si fueran verdades divinas, sin detenerme a cuestionarlos, argumentarlos y demostrarlos; la manera en que se hace de la matem�tica algo nuestro, terrenal, humano. Ni hablar, el espacio-tiempo de este libro es finito. Oblig�ndome a dejar mis errores e inconsistencias para que el lector las detecte, las rellene y las lime como ejercicio.

Dedicamos una secci�n a cada espacio visitado en la So�ata.

EL ESPACIO PROYECTIVO

(Escenario del Tiempo I)

VISI�N EN "LA CAVERNA"

En porciones peque�as, el espacio proyectivo es como el nuestro (�ste en el que vivimos). Se tienen en �l las nociones de plano, de recta (o l�nea) y, por supuesto, de punto. Nociones que adem�s est�n sujetas y se comportan de acuerdo con ciertas reglas m�nimas o axiomas que se parecen mucho a los que Euclides us� har� m�s de dos milenios para definir y empezar a trabajar el plano y el espacio, que en su honor llamamos euclidianos; ese plano que medio vimos en secundaria, ese espacio en el que creemos vivir. Se tiene, por ejemplo, que (a₁): por cualquier par de puntos pasa exactamente una l�nea, y (a₂)por cualesquiera tres puntos no colineales pasa un �nico plano. Pero adem�s, en el espacio proyectivo se cumplen:

(a₃) Dos planos distintos se intersectan en una recta.

(a₄) Un plano y una recta no contenida en �l se intersectan en un punto.

(a₅) Un par de rectas se intersectan si y s�lo si est�n contenidas en un mismo plano, y en este caso, se intersectan en un �nico punto.

�stos no son todos los axiomas que definen al espacio proyectivo, pero son los que usaremos aqu�. Obs�rvese, de los tres �ltimos, que en el espacio proyectivo, as� como en el plano proyectivo (modelo te�rico de cualesquiera de sus planos), no hay excepciones; es decir, que no existe la noci�n de paralelismo como la hay en sus versiones euclidianas. En el plano proyectivo, todas las rectas se intersectan igual: en un punto; y en el espacio proyectivo, planos y rectas se cortan siempre de la misma manera. �C�mo es esto posible?, se preguntar� por ah� alg�n lector que aprendi� a trazar paralelas. O "esto contradice a nuestra intuici�n y a nuestra experiencia", afirmar� otro que curs� bien la secundaria, "es claro que hay rectas paralelas que nunca se cortan".

Reitero. El espacio proyectivo en peque�as porciones es como �ste. Nuestra experiencia del espacio en que vivimos est� confinada a una porci�n min�scula de la Tierra, que a su vez es una minurria del Universo. Nuestra intuici�n del plano euclidiano se basa en esta hoja de papel o en un pizarr�n o en una pared, que nos dan idea de c�mo es �l en una peque�a parte y, a la vez, en cualquiera de ellas. Esta intuici�n funciona igualito para el plano proyectivo; as� como este cuarto nos da idea de c�mo es el espacio euclidiano o el proyectivo o el Universo real (suponiendo su homogeneidad) en un entornito de cualquiera de sus puntos. Nuestra vivencia cotidiana no da elementos para afirmar si las "rectas paralelas" se juntan o no. Al adoptar un sistema axiom�tico, creamos un modelo te�rico sobre el cual se puede trabajar con pasos firmes. Y no hay a�n ninguna raz�n de peso para decidir si es el espacio euclidiano o es el proyectivo el que se asemeja m�s al real. Ambos son modelos te�ricos, axiom�ticamente consistentes, matem�ticamente coexistentes, congruentes con nuestra experiencia cotidiana, y si el primero tiene preponderancia en la cultura popular como modelo del espacio en que vivimos se debe principalmente a su veteran�a hist�rica. No hay m�s. Solt�monos el chongo un rato, y, de los axiomas que hemos enunciado, deduzcamos algunos hechos del escenario donde, por un ratito, metimos a vivir al ni�o.

Nos ser� �til, para la fluidez del texto y la concreci�n de las ideas, introducir algo de notaci�n. Sea P³ el espacio proyectivo, y an�logamente, sean P² y P¹ el plano y la recta (o l�nea) proyectivos respectivamente (modelos te�ricos que podemos pensar como cualquier plano, o recta, de P³ ). Obs�rvese que los super�ndices denotan dimensi�n y no exponenciaci�n, se lee por tanto "P-tres" en lugar de "P-c�bica" o "P-a-la-tres". An�logamente, se usar� m�s adelante la notaci�n E³ , E² y E¹ para el espacio, el plano y la l�nea euclidianos.

Veamos primero c�mo es una recta proyectiva. Para esto, tomemos a P² , pensando que esta hoja es una porci�n de �l, de cualquier plano de P3. Tomemos el punto p de la figura, y una l�nea l que no lo contenga; de l s�lo vemos un peque�o cachito, pero queremos averiguar c�mo es.

Figura 2. Una l�nea y un punto fuera de ella.

Sea L_p el conjunto de rectas en el plano que pasan por p; el haz de rectas por p, podr�amos llamarlo. El axioma (a₅) implica que todas estas rectas intersectan a l en alg�n punto. Hagamos corresponder a cada l�nea de L_p su punto de intersecci�n en l. El axioma (a₁) nos dice que por cada punto de l pasa una �nica recta de L_p (la que tambi�n contiene a p), implicando que la correspondencia entre L_p y los puntos de l es biun�voca.

Figura 3. Los puntos de una recta y las rectas por un punto, fuera de ella, se corresponden biun�vocamente.

Tomemos ahora una l�nea l₀ � L_p. Y sea p₀ su punto correspondiente en l, es decir, p₀ = l₀ Ç l *Al girar lentamente a l₀ (como si p fuera una tachuela atraves�ndola, para que se mueva en L_p), el punto correspondiente, p₀ , se va deslizando continuamente en l: se saldr� de nuestra figura en poco tiempo, pero hemos demostrado que sigue su camino a lo largo de l. Detengamos el giro al llegar a 180°.

Figura 4. Al viajar un punto por una recta proyectiva, regresa por el otro lado.

Observemos que l₀ est� en su posici�n inicial; aunque se haya "invertido en p", es ahora la misma recta con la que empezamos. Adem�s, hemos barrido al haz de rectas L_p; es decir, salvo por l₀ donde comenzamos y acabamos, pasamos por todas las rectas de L_p, y sobre cada una un solo instante. Por tanto, p₀ recorri� toda la recta l para regresar a s� mismo por el lado opuesto a su partida. Y esto lo hizo en un tiempo finito (�por qu�?).

Esto es suficiente para explicar la "visi�n de la caverna". Cerremos un ojo (me refiero al de WTo, nuestro personaje inmerso en el espacio proyectivo). Pong�moslo en reposo. �Qu� ve?

Figura 5. En cada direcci�n se percibe la superficie del cuerpo en direcci�n opuesta.

Sea p₀ el foco del ojo abierto. Por la l�nea l, que sale de p₀ , va a recibir los est�mulos luminosos que hayan salido de puntos en l y que viajen por esta l�nea recta. Sigui�ndola como en el p�rrafo anterior, vemos que el primer objeto material con que se topa esta l�nea l es la propia cabeza de WTo, poco antes de que p₀ regrese a s� mismo por el lado opuesto. Por tanto, en la direcci�n de l y hacia adelante, hay que especificar —en la direcci�n d, digamos—, WTo observa el punto en que abandona su cuerpo un rayo saliendo de p₀ en la direcci�n opuesta a d, punto tambi�n de la recta l.

�PTICA TRIDIMENSIONAL EN EL ESPACIO PROYECTIVO

Todos hemos o�do que el tener dos ojos, la estereovisi�n, nos permite percibir la tridimensionalidad del mundo en que vivimos. Veamos brevemente c�mo funciona este mecanismo, para observar despu�s los problemas que acarrear�a al trasladarlo tal cual a un espacio proyectivo chico ("la caverna"), y concluir con el modelo �ptico que, para la percepci�n tridimensional, hemos adoptado al producir la So�ata.

Figura 6. Percepci�n tridimensional con estereovisi�n. La separaci�n de las im�genes produce la sensaci�n de cercan�a.

Tomemos una secci�n plana de una cabeza que incluya a los dos focos de los ojos que numeraremos 0 y 1. Supongamos que tomamos la secci�n horizontal para fijar ideas, aunque funcione igual para cualquier otra. Sean p₀ y p₁, estos dos puntos, los dos focos; v�ase la figura, donde hemos abstra�do el portento lenticular de un ojo, adoptando un modelo simplificado: la retina percibe �nicamente los rayos que pasan por el foco de su ojo para formarse una imagen del exterior; sean I₀ e I₁ , correspondientemente como en el resto de la notaci�n, estas im�genes, que podemos pensar como placas fotogr�ficas fijas en un c�rculo m�ximo de una esfera (su ojo). Sea A un punto visible, y sean a₀ y a₁ , sus im�genes. Tenemos un mecanismo, integrado en las conexiones neuronales de nuestro cerebro, que conjuga las dos im�genes; proceso que podemos pensar como volver a invertirlas y sobreponerlas en una nueva imagen I, "la pantalla en el cerebro" que hemos amplificado en la figura. Y ahora: seg�n qu� tan lejos queden los destinatarios en I de a₀ y a₁ , denotados a₀' y a₁', nos indica qu� tan cerca est� el punto A de donde provienen. Para convencerse, juegue el lector un rato a mover el punto A; o el dedo gordo enfrente, mientras cierra y abre alternadamente los ojos enfocando al infinito.

Ve�moslo con m�s detenimiento. Sean a₀ y a₁ los �ngulos que forman los rayos de A a los focos p₀ y p₁ con el segmento que une a estos �ltimos (figura 7); informaci�n equivalente a a₀ y a₁ , n�tese, y que adem�s determina a A. Al acercarse A, los �ngulos decrecen; y al alejarse A, aumentan, aproxim�ndose al l�mite (que nunca se alcanza en el espacio euclidiano) de que su suma llegue a 180° (cuando los rayos que inciden en los ojos son paralelos, A est� en el infinito)

Figura 7. Al alejarse A, la suma de los �ngulos aumenta.

�sta es la teor�a, pero en la pr�ctica, llegar a 180° es m�s bien algo que se le parezca, dependiendo de la precisi�n del cerebro y de la vista; para el com�n de los mortales si A va media cuadra adelante o una entera, no se nota. Es decir, la estereovisi�n funciona hasta el punto en que el procesador no distinga entre a₀ + a₁ y 180° y, considerando que la distancia entre los focos de la cabeza en cuesti�n es como 5 cm, ya de por s� sobrecargados, no le podemos pedir mucho a nuestro cerebro. Para distancias cortas el mecanismo de la estereovisi�n funciona de maravilla, pero llegado un punto —que est�, a campo abierto, como a 100 o 200 metros de nosotros, para ser muy generosos; o, que es su propio foco para un tuerto—, punto que llamaremos nuestro infinito visual, denot�moslo -�v, tendremos que, o bien mirar con sumo cuidado, o bien usar mecanismos alternativos para la percepci�n tridimensional. De �stos contamos, por ejemplo, con: la comparaci�n del tama�o del objeto real que ah� intuimos; o la simple referencia al piso —"que vemos algo en un arbolito: pues lo relacionamos por el tronco con el piso esperando saber nuestra distancia a la ra�z"— no nos dice r�pido qu� tan lejos est�. Una afortunada combinaci�n de estos procesos nos ofrece esas hermosas salidas de inmensas lunas gordas tras horizontes crepusculares y cercanos, �ntimos: al no distinguir los infinitos del horizonte y la luna, jalamos a �sta a la distancia de lo que s� conocemos, y, puesta entonces sobre una casa, nos la queremos comer. (Quien haya tomado, ilusionado, una foto de este espect�culo habr� sentido la necesidad de la pintura para expresarse tras los decepcionantes resultados.)

Introduzcamos ahora el mecanismo de la estereovisi�n en el espacio proyectivo, fijando de nuevo un plano P², donde seguimos teniendo la informaci�n local de las figuras anteriores, y que podemos condensar en la siguiente, la cual se ha indicado por o al punto medio del segmento que une a los focos de los ojos ( p₀ y p₁).

Como esta hoja es un buen modelo de lo que pasa en porciones chicas de P², el mecanismo vuelve a funcionar de maravilla cuando A, el punto luminoso que andamos acarreando, est� cerca de la cabeza. Pero ahora alej�moslo, en la l�nea recta l que une a o con A. Hemos visto que, en este viaje, A regresar� a o por el lado contrario. Consid�rese a A', cercano a este retorno. Y obs�rvese que los �ngulos correspondientes, a₀' y a₁', suman algo peligrosamente cercano a 360°. Como esta suma ( a₀ + a₁) parti� de algo cercano a cero y ha crecido conforme al viaje de A, podemos concluir que en alg�n punto estuvo justo en 180°. Llamemos a este punto el infinito de o en la recta l, denot�ndolo � (o, l).

Figura 8. En el espacio proyectivo, al alejarse A, se aproxima a su punto de partida. Sea A' cercano a este retorno.

Demostremos que �(o,l) solamente depende de l y no de la direcci�n en que se alej� A, girando la figura 9(i) 180° alrededor de o, y observando que cae sobre s� misma. Por tanto, esta transformaci�n de P² (la rotaci�n) tiene que dejar fijo a � (o,l) pero ha intercambiado las direcciones de l en o. �Puede el lector demostrar que el efecto de esta rotaci�n en la figura 9(ii), que retrata la situaci�n cerca de � (o,l) , es reflejar en la perpendicular a l?. Pero observemos adem�s que el tri�ngulo D = ( p_0, p₁, �(o,l)) que contiene a A, ha ca�do sobre D' = ( p_0, p₁, �(o,l)) conteniendo a A'; por tanto, los segmentos que unen a o con su infinito en la l�nea l, y que juntos la cubren, miden lo mismo; es decir, la distancia de o a � (o,l), llam�mosla r, se realiza por los dos segmentos en que se parte la �nica l�nea que los une, l.

Este n�mero r es una constante del espacio proyectivo al que nos hemos metido, su radio. Es la distancia m�xima a la que pueden estar dos puntos de �l. Si el radio del P³ en que estamos rebasa nuestros l�mites perceptivos, no tendr�amos mayor problema. Pero recordemos que hemos metido a un ni�o en un P³ con volumen comparable al de este cuarto, con sus radios iguales, digamos. Nos hemos inmiscuido entonces en algo comprendido dentro de la esfera de su infinito visual para la estereovisi�n cotidiana. �Qu� sucede entonces?

Figura 9.i. Cuando A llega al infinito de o en l (a₀+a₁= 180° ).

Figura 9.ii. Retrato de � (0, l).

Pensemos de nuevo en nuestro ayudante luminoso, el punto A, poni�ndolo justo en � (o,l) Dando media vuelta a la cabeza con centro en o, observamos su otra imagen, A', que en realidad es el mismo punto. Sabemos que ambos est�n a la mismita distancia de nosotros, dos o tres metros. Pero nuestro mecanismo de estereovisi�n los pondr�a en nuestro infinito visual, �_v, pues los �ngulos que se forman suman 180°. De haberse alejado A continuamente de nosotros para posarse en �(o,l), habr�amos sentido que aceleraba r�pidamente hasta situarse en el infinito, o en la zona donde deja de servir nuestro procesador de distancias. De haber recubierto A con una pelota de goma mascada, se hubiera convertido, en este simple viaje, en una inmensa Luna gorda, con su lado oculto expuesto en la direcci�n contraria. Contengamos la tentaci�n de alejar A un poquito m�s para explorar otro poco al infinito de o.

Hemos hablado del infinito de o en la recta l, pero notemos que la l�nea l fue escogida arbitrariamente. Tenemos entonces para cada l que pasa por o un infinito. Sea �(o) el conjunto de todos estos puntos; podemos escribir

�(o) = { �(o,1); l � L₀ }

donde L_o es el haz de rectas que pasan por o (la diferencia con el L_p que consideramos al principio es s�lo que ahora estamos en P³ y el punto en cuesti�n es o). Por lo que ya sabemos, �(o) se podr�a tambi�n definir como el conjunto de puntos a distancia r de o. Resulta que �(o) es un plano de P³ , que no tiene nada de especial, es como cualquier otro plano, simplemente le corresponde a o; pero si movemos o, su plano al infinito tambi�n se mover�.

Para demostrar que �(o) es efectivamente un plano de P³ , consideremos dos puntos en �l: p = �(o,l) y p' = �(o, l'). Y ahora rotemos al plano generado por l y l', 180— alrededor de o. Esta rotaci�n deja fijo a p (argumentaci�n que sigue a la figura 9), pero entonces tambi�n deja fijo a p' (y a todos los infinitos de o en ese plano pues la rotaci�n s�lo depende de o y el plano); luego entonces deja fija a la recta que pasa por p y por p'. Por otro lado, como la rotaci�n intercambia los rayos que salen de o con sus opuestos y preserva distancias, si deja fijo a un punto distinto de o, los rayos de o a �l en ambas direcciones miden lo mismo, es decir, est�n en �(o). Esto demuestra que la recta por p y p' est� contenida en �(o); que es la recta al infinito de o en el plano considerado. Tomando un nuevo punto p"Υ(o), se concluye de lo anterior que el plano generado por p, p' y p" es �(o).

Regresemos a la estereovisi�n en P³. Recordemos (figura 6) que desde nuestro origen perceptivo o, observ�bamos por enfrente a A, un punto luminoso, que alejamos hasta �(o,l) (figura 9). Si alejamos A un poquito m�s, experimentamos algo completamente nuevo para nuestra m�quina perceptiva: que el est�mulo luminoso que recibimos de un mismo objeto, llega por rayos que, saliendo de nuestros dos ojos, se separan (a₀+a₁ ha rebasado los 180°). Siendo �sta la primera vez que el cerebro enfoca en algo que produce este efecto, la luna-pelota se separar�a en dos im�genes superpuestas (enf�quese en el pulgar cercano y obs�rvese c�mo el horizonte se separa en dos).

Recordemos, adem�s, que al momento de abrir los ojos por primera vez, el ni�o de la So�ata ve puntos cercanos a o (su cabeza), pero por "el otro lado", cuando la suma de �ngulos se aproxima a 360° (A' en la figura 8). Y, a primera de cambios, no podemos esperar que su cerebro decodifique esta informaci�n contradictoria. Por tanto, lo hicimos ver borroso, ver cuatro orejas. Pero al cerrar un ojo, la imagen es n�tida, aunque plana. Nos deja as� en el dilema de c�mo hacer que perciba tridimensionalmente.

Las c�lulas de la retina son capaces de medir la intensidad, la luminosidad del est�mulo que las excita (no es lo mismo ver un foco a 3 metros que a 10 cent�metros). Teniendo el cerebro la informaci�n adicional de haber visto una cabeza a 10 cm de distancia, no es descabellado asumir que pueda interpretar la diferencia (o el cociente) entre la luminosidad aparente (medida en el momento y en la c�lula correspondiente) y la luminosidad real (archivada en la memoria) como indicador de la distancia que ha viajado el est�mulo. En otras palabras, si un punto, prendido como foquito de luminosidad constante, se va alejando, excitar� cada vez menos a las c�lulas correspondientes, y de esta variaci�n podemos deducir su distancia. As�, interpretando adecuadamente los rayos lum�nicos que pasan por el foco de un solo ojo, el cerebro se puede formar una imagen tridimensional. (Por cierto, seg�n mi asesor�a astron�mica, de un an�lisis similar al aqu� propuesto se deduce la distancia de los cuerpos celestes.)

Figura 10. Se interpretan �nicamente los est�mulos que pasar�an por el origen perceptivo.

Para acabar de precisar el modelo �ptico de la So�ata, tomamos como foco no al de un ojo, ni al punto medio de ambos, sino que lo empujamos hacia adentro un poco, intern�ndonos hasta la l�nea de las orejas, hasta un punto en el centro del cr�neo del personaje, punto que, en las "Notas generales", ya hab�amos bautizado como o, el origen perceptivo de WTo. Y suponemos que la imagen tridimensional que se forma en el cerebro toma en cuenta �nicamente a los rayos que pasar�an por o, analizando puntualmente sus propiedades. Cuando el ni�o se puso a jugar a abrir y cerrar alternadamente los ojos para ver, con inter�s, c�mo brincan las cosas de lugar, asumimos que su aparato perceptivo (ojos, lentes, m�sculos, retinas, cerebro e inclusive piel) estaba aprendiendo a simular este proceso con cierta precisi�n. Quiz� suene biol�gicamente descabellado, pero concuerda con nuestra percepci�n cotidiana del mundo y es justo el modelo con el que estudiamos al Universo real; salvo que en este caso —algo a�n m�s descabellado— todos los procesos se llevan a cabo en el mism�simo o, el foco, la Tierra.

Habiendo, entonces, logrado que el ni�o vea en su caverna, lo dejamos ah�, jugando y gozando un rato m�s con su geometr�a.

EL ESPACIO TOROIDAL

(Primer escenario del Tiempo II)

Para adentramos con mayor libertad en el toro tridimensional, o espacio toroidal, nos ser� de gran utilidad describir y definir nuestro espacio perceptivo.

EL ESPACIO PERCEPTIVO

Construy�moslo basados en una famosa observaci�n de Descartes con evidente trasfondo griego.Observemos primero que la l�nea euclidiana, E¹, se corresponde con los n�meros. Para esto, se toma uno un origen o en E¹ y se escoge, adem�s, alg�n otro chal�n para que la haga como 1. El segmento de 0 a 1 la har� entonces de "metro", de vara de medir; la jalamos para que reinicie en 1, y donde caiga, ponemos al 2; lo hacemos otra vez, igual con el 3; y le seguimos otro rato hasta que nos damos cuenta de que podr�amos seguir por siempre. Entonces le paramos y eso decimos. Podemos embelesarnos con esto un rato, hemos descubierto a los n�meros naturales, esos que sirven para sumar y multiplicar, que usamos para mercar, esos que aguantan cualquier inflaci�n; y so�amos en restar. Regresemos al origen para observar que queda una mitad de l�nea totalmente vac�a; tendemos en ella, con varita de medir en mano, a los n�meros negativos. As�, hemos puesto en E¹ a los n�meros enteros; esos que sabemos sumar al grado de incluir a la resta; esos que sabemos multiplicar, aunque prometo no abusar de esta complicad�sima operaci�n en estas notas; esos que tantas y tantas enso�aciones matem�ticas han causado; los denotaremos como Z; usanza tradicional y universalizada que no s� de d�nde proviene.

Figura 11. Los n�meros enteros en la recta euclidiana.

Quedan a�n grandes huecos en E¹; partimos entonces nuestra vara en partes iguales y metemos a todos los racionales; ya sabemos dividir. Pero a�n quedan hoyos, que ya no son tan f�ciles de detectar; n�meros hermosos como , la diagonal de un cuadrado hecho con nuestra varita (el primer irracional en descubrirse) o p, lo que recorre el 1 al girar la varita media vuelta alrededor de 0. Y aqu�, hay que invertirle un poco m�s de coco y tiempo para entender —si es que se puede— lo que est� pasando. En fin, los n�meros reales se pueden pensar como la recta euclidiana E¹, sus elementos o puntos se corresponden, simbiotiz�ndose en la recta real R; un continuo unidimensional ideal, ricamente algebraizado.

Lleg� entonces Descartes y observ� que de aqu� se concluye que los puntos del plano euclidiano E² corresponden a parejas ordenadas de n�meros reales. Esto se sigue del axioma de las paralelas; el c�lebre quinto postulado de Euclides, el que no vale en el plano proyectivo, el que hace excepciones, el que dice que dados una l�nea l y un punto p, existe una �nica l�nea 1(p) paralela a 1 y que contiene a p; donde hemos convenido en que una recta es paralela a s� misma, es decir, que dos rectas son no paralelas cuando se intersectan (en un �nico punto). Para ver c�mo razon� Descartes, t�mense dos rectas en E² , l₀ y l₁ , no paralelas. Dado cualquier punto p � E2, sean p₀ = l₀ � l₁ (p) y p₁ = l₁ � l₀ (p).Y al rev�s, dados p₀ � l₀ y p₁ � l₁ , sea p = l₁ ( p₀ ) � l₀ ( p₁). Es f�cil deducir de los axiomas que hemos establecido una correspondencia entre E² (sus puntos) y parejas que constan de un punto en l₀ y otro en l₁ ; pero ya hab�amos visto que tanto l₀ como l₁ se pueden poner en correspondencia con R.

Figura 12. Los puntos del plano euclidiano corresponden a parejas de puntos en dos rectas no paralelas.

La usanza com�n para hacer expl�cita esta correspondencia, y que aqu� adoptamos por simplicidad, es tomar ortogonales a las rectas, superponer los or�genes en la intersecci�n y medir en ambas con la misma vara. Pues entonces las f�rmulas algebraicas —que presionan para aparecer en escena, aunque intentaremos mantenerlas a raya— se nos simplifican bastante. Por ejemplo, la distancia —medida con la vara escogida— de cualquier punto p al origen o, queda determinada por el teorema de Pit�goras:

Figura 13. La distancia de un punto al origen en funci�n de sus coordenadas cartesianas.

donde x₀ y x₁ son los n�meros reales que corresponden a p.

Cuando las frases se nos van haciendo demasiado largas, es tiempo de introducir notaci�n. Dados dos conjuntos X y Y, sea X x Y el conjunto producto cartesiano de X y Y, que consta de las parejas de elementos formadas por uno en X y otro en Y; es decir, la pareja (a, b) � X x Y si y s�lo si a � X y b �Y; o bien

X x Y= {(x,y);x � X, y � Y.}

Es claro que podemos tomar productos cartesianos cuyos factores a su vez son productos cartesianos. Y �sta es la maravillosa implicaci�n a la observaci�n de Descartes. Ya que conocemos R y R x R r�pido reconocemos a R x R x R como el espacio que percibimos; y nos aventuramos a trabajar con R x R x R x R, pero nos damos cuenta de que podemos seguir por siempre; lo decimos, y denotamos con Rⁿ a R x R x ... x R cuando el factor se repite n veces. N�tese que el super�ndice aqu� s� denota exponenciaci�n (con el producto cartesiano), correspondiendo adem�s a nuestra idea intuitiva de dimensi�n. Hemos encontrado la manera de entrar a un espacio n-dimensional, de trabajar en �l, con �l. Pero no nos asustemos. Aqu� no pasaremos, en un buen tiempo, de cuatro.

Por el momento s�lo nos interesa el tres. Hemos demostrado que (donde denotar� una correspondencia biun�voca —correspondencia, simplemente, le llamamos arriba— entre los conjuntos X y Y.) Hemos visto tambi�n, en el caso del plano, que , y por tanto, que . Y ya con este vuelo, se demuestra el an�logo en dimensi�n tres, , pero f�cil.

Definamos que el espacio perceptivo de WTo es R³; trabajar con n�meros reales, aunque nos los entreguen en ternas, nos hace sentir una herramienta algebraica poderos�sima a nuestro alcance. O lo podemos pensar tambi�n como el espacio euclidiano tridimensional, E³, ese vac�o ideal en toda su serenidad griega, con un foco prendido, el origen perceptivo o, y una vara de medir en la mano. Cuando queramos ponernos el espacio perceptivo en nosotros mismos, situemos el origen o = (0, 0, 0) en el centro del cerebro, que el primer 1 quede hacia enfrente por la entreceja, el otro en alguna oreja, al gusto de orientaci�n del sujeto, y el 1 faltante arriba; as�, sabremos llegar a cualquier punto x del espacio perceptivo tan pronto nos den sus coordenadas x = (x₀, x₁, x₂). No necesariamente hay que llegar a �l, sabemos que ah� est�, y lo denotaremos simplemente como x mientras nos sea posible.

EL TORO TRIDIMENSIONAL; SU TOPOLOG�A

Otra gran puerta que nos abre la observaci�n de Descartes es la de jugar con productos cartesianos de conjuntos o espacios varios para formar otros nuevos. Tomemos, por ejemplo, los siguientes espacios, o dibujos, poco dimensionales:

Figura 14. Espacios sencillos de dimensi�n 0 y 1.

para luego combinarlos:

Figura 15. Tablita de multiplicar con el producto cartesiano y espacios de dimensi�n 0 y 1.

As�, vemos por ejemplo que S¹ x I se puede interpretar como un c�rculo de intervalos, o bien un intervalo de c�rculos; el conocido "cilindro", el siempre bien ponderado "tubo".

Y, de aqu� en adelante, nuestro inter�s se dirige hacia el toro, llamado as� por los griegos: el c�rculo de c�rculos (los meridianos o paralelos —da lo mismo— en el siguiente dibujo: g�rese un aro vertical una vuelta entera en su plano horizontal).

Figura 16. S¹ x S¹ = T 2.

Para el lector que siga dudando de la �ltima figura, sale otro argumento. Obs�rvese que el c�rculo se puede pensar como el intervalo identificando sus extremos, es decir, decretando al 0 y al 1 (extremos de I) como el mismo punto; esto lo denotamos S¹ =I/{0 ~ 1}, leyendo "I m�dulo (o sobre) la relaci�n: 0 equivalente a 1". Y por tanto, el toro se obtendr� del cilindro identificando sus extremos, pegando sus dos bordes, simbiotizando sus bocas, es decir, S¹ x S¹ = S¹ x I/{(p, 0) ~ (p, 1). An�logamente (ver figura 15), el cilindro se obtiene del cuadrado al identificar dos lados opuestos, S¹ x I= I x I/{(0,x) ~ (1, x)}; o bien, el toro se obtiene del cuadrado al identificar, por parejas, sus lados opuestos S¹ x S¹ = I x I/{(x, 0) ~ (x, 1)}, {(0,x) ~ (1,x)}.

Figura 17. El toro (S1 x S1) se obtiene identificando lados opuestos de un cuadrado, pues S1 se obtiene de I, identificando extremos.

Definimos finalmente al toro tridimensional como:

T³ = S¹ x S¹ x S¹ ,

el espacio de tripletas cuyas tres coordenadas son puntos de un c�rculo. Ya no podemos hacer un dibujo de �l, pero hemos metido ah� un joven personaje para que lo viva y nos relate su experiencia.

EL TORO; SU GEOMETR�A

Para entender la visi�n, la imagen que tendr�amos al estar solos en T³, estudiemos primero a sus hermanos peque�os, T² = S¹ x S¹ en dimensi�n dos, y en una, S¹, un solo factor, que coincide tambi�n con P¹ , nuestra conocida l�nea proyectiva.

El caso unidimensional

Consideremos a un ser perceptivo e inteligente —tanto como podamos— de dimensi�n 1. Ser� un s�lido unidimensional, es decir, un intervalo a quien llamaremos —o— para dibujarlo —o—, y de quien nos interesa principalmente su origen perceptivo o, situado en su centro: su punto medio. Met�moslo a vivir en S¹ . Hemos visto que si su radio de percepci�n es menor que la circunferencia de su universo, se sentir� en una recta que asumir� infinita y que identificar� con R por las distancias que puede, en principio, viajar. Pero si su radio perceptivo aumenta, hasta sobrepasar de plano al radio de su universo, se sentir� encerrado en algo que corresponde a la frontera de su cuerpo (recu�rdese la caverna). Llamemos menos y m�s a sus extremos: (-)—o—(+). Por la direcci�n menos recibir� un est�mulo m�s y viceversa. Se formar� entonces la siguiente imagen:

Figura 18.—o—, su universo y su espacio perspectivo.

Llamemos instante al tiempo que tarda la luz —un est�mulo— en atravesar a este universito. Los movimientos o se�ales que manda nuestro ser inteligente tardar�n entonces cerca de un instante en ser "repetidos" por la imagen correspondiente.

D�mosle ese instante para pensar, y, por un momento, d�mosle tambi�n m�s cancha a nuestro ser aument�ndole su dimensionalidad. Pero control�ndolo, dejando trivial, chiquita, infinitesimal, a la segunda dimensi�n. Hag�moslo usar su nueva cancha, baj�ndole el volumen a la luz, a su velocidad, e involucr�moslo, fintando a su caverna, su menos vecino. Le hemos dado espacio suficiente para que serpentee, abandonando su mundo, medio instante antes de retornar a �l, reposado, observando atento por su frente, su m�s. Llegado el instante, el menos que ve se desvanecer� y descubrir� un nuevo menos, al doble de la distancia aproximadamente: al abandonar por completo su universo, o serpentearlo simplemente, pero acoplado al ritmo de la velocidad de la luz; la luz que recibir�a de su menos por su m�s ha pasado de largo; al concluir el instante recibe de lleno un est�mulo que ha dado dos vueltas al universo.

Figura 19. —o— se percata de un equivalente a distancia 2.

Pensemos el serpenteo como un volverse transparente. Si nos transparentamos poco m�s de un instante, percibiremos un tercer menos —y un tercer m�s en la direcci�n opuesta—, pues los primeros dos se transparentar�n el tiempo suficiente para traslaparse en el acto; y as�, tras unos cuantos experimentos con mensajes inteligentes, aprendiendo a serpentear y a percibir los serpenteos, concluir�amos que en nuestro espacio hay un ser equivalente a nos —o—tros para cada entero n�Z, llam�mosle —n—, repitiendo nuestro comportamiento de hace [n] instantes (donde [n] denota magnitud de n, la distancia al origen, nunca negativa); aunque para comunicarnos con —n— tengamos que poner de acuerdo a sus anteriores (n - 1) chalanes, ah� est�, ah� lo tenemos. En nuestro espacio perceptivo R, parametriz�ndolo en instantes-luz (es decir, midiendo las distancias con lo que viaja la luz en un instante, con la circunferencia del universo, la distancia al centro del vecino), pondr�amos a —n—, centrado en su correspondiente punto de R, su distancia dirigida, quedando nosotros situados en el origen o, d�ndole su tiempo y su ritmo al transcurrir de este universo —corriendo el peligro de caer en la tentaci�n del "Line-King" de Abbott, del peque�o tirano de Lineatiti�n, hubi�semos dicho en el cap�tulo 5: la tentaci�n de creerse "el rey", y seguir siendo s�lo uno, y todos los dem�s, bien comandados, sirviendo, complaciendo.

(�Puede el lector describir qu� pasar�a si el ni�o de la caverna tuviera la capacidad de hacerse transparente y jugara con ella; qu� idea de su universo se formar�a?)

Hemos dado cuenta de Z Ì R; y completar�amos la imagen de nuestro espacio perceptivo al darnos cuenta de que entre cada par de im�genes nuestras consecutivas, entre —n— y —(n + 1)—, hay un espacio que las separa, un intervalo vac�o equivalente al que tenemos en cualquiera de nuestros lados, dependiendo sus longitudes exactas del movimiento que hayam—o—s realizado en el pasado correspondiente. Pensar�amos entonces que nuestro universo es una recta, correspondiendo sus puntos a potenciales emisores de est�mulos. Estar�amos parcialmente en lo cierto. Pero dejemos ya al "gusanit—o—" regocij�ndose en la inmensa y tumultuaria imagen de su min�sculo y desolado universo, abstraig�moslo de �l qued�ndonos �nicamente con sus puntos y un origen. De un mismo punto, p�S¹ , o puede recibir est�mulos por diversas trayectorias, pero no de manera arbitraria, ci��ndose �stas a una l�gica precisa.

Figura 20. Donde o representa las posibles im�genes de p siendo o = o.

Podemos agrupar a los n�meros reales de acuerdo con su posici�n relativa respecto a los enteros. La recta real R se parte, al subrayar a los enteros Z, en intervalos equivalentes. Cualquiera de ellos podr�a obtenerse al sumarle un entero adecuado a cualquier otro (transladarlo); todos ellos imagen fiel del intervalo [0, 1] = I, del cual se obtiene el c�rculo S¹ al identificar los extremos (los enteros que caen en �l). Una visi�n m�s acertada de S¹, en cuanto a la homogeneidad o continuidad que proporciona, ser� entonces la de los n�meros reales R, identificando a dos de ellos, x y x' digamos, cuando guardan la misma relaci�n con los enteros, cuando difieren por uno de ellos, es decir, cuando x - x'�Z podr�amos escribir S¹ = R/{ x ~x'; x-x'� Z }, esto es, el c�rculo son los reales al identificar dos de ellos siempre y cuando su diferencia sea entera.

Figura 21. Se identifican dos puntos cuando su distancia es entera.

A esta identificaci�n la simulamos cada vez que enrollamos una cuerda. S�lo su tridimensionalidad nos impide hacerlo idealmente: si enrollamos la recta real sin alterar sus distancias sobre un c�rculo de circunferencia unitaria, caer�n entonces todos los enteros sobre el mismo punto, o, y cada real guardar� su posici�n, relativa a ellos; lo que equivale a poder guardar, idealmente, series de foquitos de Navidad.

Figura 22. La recta real cubriendo homog�nea, isom�trica e indefinidamente al c�rculo.

Par�ntesis algebraico. Hemos hecho uso de una "relaci�n de equivalencia" en los n�meros reales, refiri�ndolos, por medio de la suma, a los n�meros enteros. Este es un caso particular de una operaci�n que relaciona grupos con grupos a trav�s de subgrupos que valdr� la pena fijar en abstracto en el caso abeliano.

Sea G un grupo abeliano, es decir, un conjunto con suma; donde esta suma es conmutativa, tiene su cero y da cuenta de su resta (pi�nsese en los n�meros reales). Y sea H un subgrupo de G, es decir, los de H se bastan entre ellos con la suma de G para formar un grupo propio, sum�ndose y rest�ndose por s� solos (pi�nsese en los enteros). Decimos que dos G-itas g y g', es decir, g, g' � G, son equivalentes m�dulo H, escrito g ~ g' (mod H), siempre y cuando difieran por un H-ita, esto es, si y s�lo si g - g' � H. Al conjunto de clases de equivalencia m�dulo H en G (pi�nsese en "las posiciones relativas" que manejamos arriba), se le llama cociente de G m�dulo H, y se le denota G/H (leyendo, "G-m�dulo-H" o "G-entre-H" o G-sobre-H"); podemos escribir:

G/H= G/{g ~ g'; g - g' � H}.

O bien,G/H={g+H,g�G}; donde g+H={g+h; h�H} es la clase de equivalencia de g, consiste de los equivalentes a g m�dulo H, y, como conjunto de G, no cambia cuando cambiamos g por cualquier equivalente; es uno de los puntos del nuevo conjunto que hemos construido, G/H, que vuelve a ser un grupo. Es interesante observar, para dejar los detalles al buen estudiante, que el cociente hereda la suma para convertirse en un nuevo grupo s�lo cuando se val�a en G la ley conmutativa (g + g' = g' + g), la que lo hace abeliano en vez de simple grupo, o bien cuando H es muy especial respecto a su ambiente; pues, si queremos definir la suma de dos G/H-itas, tenemos que tener claro que son clases de equivalencia, conjuntos de G, y no siempre resultan equivalentes las sumas con sumandos equivalentes. Pero, en nuestro caso, el abeliano, si p y p' son los G/H-itas que queremos sumar, sabemos que habr� por ah� un par de G-itas g y g', llamados representantes de p y p', tales que p = g + H y p' = g' + H, y la definici�n natural:

p+p' =(g+g')+H

funciona de maravilla. Pero brinqu�monos los detalles, y regresemos al caso particular que nos ata�e, donde hemos conceptualizado lo suficiente para escribir sin pruritos formales:

S¹ = R/Z.

Y nos atrever�amos a dejar de ejercicio el probar que la estructura de grupo de este cociente es la de las rotaciones de un c�rculo r�gido, aquella suma de �ngulos de la secundaria.

Figura 23. La suma de �ngulos es el cociente de la suma de n�meros reales.

Resumiendo, tenemos una funci�n R ® S¹ = R/Z que a cada real le asocia su clase de equivalencia. Podemos interpretarla como una funci�n del espacio perceptivo de —o— en su verdadero universo. Las im�genes que potencialmente se podr�an formar en el espacio perceptivo, suponiendo inmovilidad salvo por transparentaciones, de un mismo punto p�S¹ van a dar a ese punto bajo la funci�n, y corresponden a un conjunto de puntos en el espacio perceptivo que entre s� distan enteros, determin�ndose esta clase por cualesquiera de ellos.

El toro: su geometr�a plana

Defin�mosla de un golpe para el caso bi y el tridimensional, usando a n como comod�n que remplace al 2 o al 3, pero ya entrados en gastos y viendo que tambi�n podr�a ser 1, y haciendo bien las analog�as, hasta 0, pues que se quede como n, un natural.

Es muy f�cil ver que los elementos de Rⁿ se pueden volver a sumar y restar tal cual lo hac�an cuando estaban solitos, en R, haciendo todo coordenada por coordenada. Y adem�s, cargan con sus enteros Z_n, aqu�llos de puras coordenadas enteras, que se suman s�lo entre ellos para formar su grupito, un subgrupo de Rⁿ. Y habiendo pasado por las definiciones generales pertinentes, nos aventuramos a definir al toro n-dimenszonal, n-toro pa' los cuates, como:

Rⁿ=Rⁿ/Zn

entiendi�ndolo ahora con toda la geometr�a que herede de Rⁿ.

Para demostrar que coincide con nuestra anterior definici�n topol�gica, obs�rvese, con el detalle que se quiera, que, de nuestras definiciones coordenada por coordenada, se tiene que Rⁿ/Zⁿ= (R/Z)ⁿ, pero hemos visto que S¹= R/Z.

Pensemos, para fluidificar las explicaciones, que Rⁿ se encuentra sobre el n-toro, y que la funci�n que los une (la que a cada x � Rⁿ le asocia su clase de equivalencia m�dulo Zⁿ, x + Zⁿ, la que lo ve como simple posici�n respecto a los enteros), es el acto de "cubrirlo". Lo que entendemos por "entenderlo con toda la geometr�a que hereda de su espacio cubriente", para el lector que se haya sentido abrumado por la frase, es que en todas las nociones que queramos definir abajo, en el n-toro, subimos al espacio euclidiano donde las reconocemos, y las regresamos, recubriendo. Por ejemplo, si queremos soltar un est�mulo luminoso abajo, pues lo soltamos arriba, dej�ndolo viajar por una trayectoria recta y a velocidad constante y luego veremos qu� describe, qu� cubre, abajo; si queremos medir esta trayectoria, pues lo hacemos antes de bajarla; as� con todo lo que se nos vaya ocurriendo. Arriba, desde Euclides, ya tenemos cierta experiencia. Abajo, aunque haya costado trabajo, como que ya conocemos el caso unidimensional.

Vayamos al siguiente, n=2. Caso del que ya no pasaremos en esta secci�n dedicada al espacio toroidal; dejando el an�logo tridimensional al lector afanoso o bien a las enso�aciones que a�n reververen desde los tiempos aquellos de la So�ata, la literaria, en su Tiempo II.

Retomemos a nuestro personaje, a WTo; a quien daremos ahora el don de la bidimensionalidad inteligente; a quien podemos dibujar c�modamente en esta hoja, y pensarlo en R2, con su origen perceptivo, o, el centro de su cabecita discoidal, en el origen de R², su cero para la suma: o = (0, 0). Y met�moslo al toro, poco a poco, con nuestra consigna geom�trica siempre en mente. Si le hacemos un peque�o cuartito —de lados m�s chicos que 1, por lo pronto— se sentir�, por consigna, tal como en la figura:

Figura 24. WTo en un cuadrito, I x I.

Con nuestra experiencia unidimensional, podemos concluir que, manteniendo piso y techo fijos, mientras separamos las paredes hasta desvanecerlas, WTo tendr� el siguiente espacio perceptivo; y se podr� dar cuenta de ello con simples cabeceos que emulen las transparentaciones de —o—.

Figura 25.

A�n tenemos chance de aclarar por completo qu� pas�. Sabemos que en realidad WTo estaba, manteni�ndolo entre techo y piso, en un cilindro.

Figura 26.

Si entintamos a WTo y tomamos su "cuartito" como rodillo que gira y que presiona su plano cubriente, el que sirvi� para modelar la geometr�a, obtenemos lo que horizontalmente se percibe (figura 25). A cada vuelta del rodillo, los puntos del universito marcaron su huella sobre un representante m�dulo enteros. Cualquiera de los entintados emitir� luz en la direcci�n de o. Esta trayectoria se puede seguir abajo, y WTo deber� ser lo suficientemente inteligente para esquivar con su cuerpo el paso de este rayo antes de que sea percibido, antes de que d� tantas vueltas al cilindro como lo requer�a la imagen en cuesti�n, el punto entintado en R² que escogimos dentro de la peque�a franja.

Figura 27.

Pensemos un momento que esta franja del espacio perceptivo es un universo en s�, donde todas las im�genes son entes separados, que manejan muy bien su hacelamano-hacelatr�s. Y quitemos piso y techo. Tendremos ahora un cilindro horizontal infinito, pues la segunda coordenada del universito es un S¹ . Entintemos de nuevo, y rodemos el rodillo por todo el piano; corolario del trabajo en dimensi�n 1, obtenemos el espacio perceptivo de WTo, en T² : una imagen, WTo-n llam�smola, para cada n � Z2, centrada ah�, y con todos sus puntos correspondiendo (m�dulo enteros) a los de WTo, el �nico ser que habita este peque�o universo de volumen, �rea, mejor dicho en este caso, igual a un cuadrado unitario, cuarto c�modo para WTo. Si pensamos a WTo-o como subconjunto de R² , centrado en el origen, entonces WTo-n ser� el transladado de WTo-n por n, es decir (WTo-n) = (WTo-o) + n.

Figura 28. Percepci�n de WTo en el toro bidimensional.

Apaguemos la luz. Y pensemos que al momento de abrir los ojos en T² , WTo empieza a emitir su luz cotidiana. Un instante despu�s, al concluir la luz su primera vuelta, aparecer�n sus cuatro canchanchanes vecinos, y antes de concluir el segundo instante, por ah� del tiempo , surgir�n cuatro m�s en las esquinas, etc., etc. Despu�s de N instantes, se podr� ver a WTo-n siempre y cuando |n| � N, donde |n| es la distancia al origen, medida siguiendo a Pit�goras, por |n| = donde n = (n₀, n₁). WTo ir� sintiendo la enormidad de R², su espacio perceptivo.

N�tese por �ltimo, antes de entrar en movimiento, que desde la secci�n de su topolog�a, no hemos intentado dibujar al toro bidimensional m�s que en peque�os pedazos. Esto es causal.

Habiendo definido su geometr�a por un producto cartesiano cuyos factores corresponden a los haces paralelos "horizontal" y "vertical" en los dibujos, as� como al uso dado al postulado quinto, hemos obligado a T² a que en porciones peque�as (que no se autodesborden) sea como esta hoja de papel; lo hemos decretado a imagen y semejanza local del plano euclidiano (de la geometr�a plana o euclidiana, dir�amos para las dem�s dimensiones). De all� su apellido, el toro plano, que hab�amos usado en t�tulos pasados; y de all�, tambi�n, que no hayamos intentado dibujarlo, pues ni siquiera en R³ = E³ cabe sin que haya que deformar, torturar hasta distorsionar, su verdadera geometr�a; sumergirlo en R³ ser�a tanto como dise�ar un rodillo r�gido, de superficie toroidal localmente plana —papel sin dobladuras—, que gire como birrodillo que imprime impecable sobre dos direcciones perpendiculares; T² es una imposibilidad f�sica del espacio tridimensional, una realidad matem�tica sumergible isom�tricamente s�lo hasta R⁴, el espacio plano tetradimensional. Como ejemplo indicativo de la veracidad de este teorema, que no demostramos, n�tese que en la figura 16, que representa a un toro en R³, los c�rculos de uno de los factores (el horizontal) cambian c�clicamente de tama�o, algo que nunca suceder�a en nuestro toro plano; o bien, obs�rvese que al cubrirlo con papel mach� habr� que usar pedacitos y mucho engrudo para flexibilizarlos; no es localmente isom�trico a un plano.

EFECTOS ESPECIALES

Hemos rendido cuentas de la panor�mica general que nuestro joven personaje de la agorafobia en el Tiempo II percibe al estar solo en el toro plano. Para concluir nuestros apuntes sobre/en este espacio, comentamos, breve e intuitivamente, la fundamentaci�n matem�tica de dos escenitas que ocurrieron ah�; dejando el efecto sonoro —canta WTo el tema de La Novena de Beethoven, se escucha, y trata de hacer m�sica, �qu� sucede?— al trabajo de ejercitaci�n y entendimiento del lector estudioso, y manteni�ndose, para las figuras y el pensamiento geom�trico —como ya hab�amos establecido—, en el caso bidimensional.

Ilusi�n �ptica relativista

El problema que nos planteamos aqu� es �qu� ve WTo al moverse en T²?

Para responder en forma precisa, habr�a que describir en forma precisa su movimiento:

Podemos pensar que T² est� fijo y que WTo se desplaza en �l. Pensemos a WTo como un simple conjunto de puntos, W, cohesionados entre s� de alguna manera, biol�gica quiz�, para mencionar, aunque sea de paso, un t�rmino m�gico. Y tenemos que para cada tiempo t, WTo ocupa un determinado lugar en su universo. Entonces, el movimiento estar� determinado por una funci�n

f:: W x R ® T²;

donde el factor R parametriza al tiempo. As�, si z � W (que representa, por decir algo, la punta de un zapato), f (z, t) es la posici�n de z en el tiempo t.

Lo que WTo ver� en un tiempo determinado t₀ est� dictado por el tiempo pasado. De hecho, como ya hab�amos acordado desde las "Notas generales", recibir� un est�mulo e = (p, d, t) asociado a alg�n punto z � W, si y s�lo si: i) p = f (z, t), es decir, z estuvo en p en el tiempo t (para lanzar su est�mulo), y ii) saliendo de p en la direcci�n d a velocidad-luz y sin volante —como rayo de luz— llegamos en un tiempo t₀ - t a f (o, t₀), es decir, origen perceptivo y est�mulo luminoso se dan cita a las t₀ en el punto p₀ = f (o, t₀), y llegan justos.

Figura 29. Foto en tiempo t₀.

Nos ahorramos el exigir que el viaje de e no haya sido obstruido por WTo en su recorrido inc�gnito —dictado por f—, pues hemos aprendido ya de las transparentaciones.

Veamos un ejemplo sencillo. En T², pues, cabe subrayar que lo que llevamos de secci�n y algo de lo que sigue es generalizable a otros universos, aunque lo mantengamos en silencio para no pecar de abstractos y salir r�pido del trance. En T², dec�amos, y con el movimiento m�s simple de todos: el inercial a velocidad constante v, no cero y menor a la de la luz, es decir 0 <v < 1, pues recordemos que la velocidad-luz ha quedado determinada por el 1 en nuestra parametrizaci�n de T². WTo viaja, sin esforzarse, en movimiento rectil�neo uniforme; y, para simplificarlo a�n m�s, supongamos que es "hacia arriba" la direcci�n positiva del segundo factor de nuestro toro (siendo v m�s-menos a medio cuerpo por instante en los dibujos que siguen, aunque el texto proceda en general para cualquier v entre 0 y 1, dej�ndole rebasar esta cota superior al lector). En este caso, la funci�n de movimiento es sencilla, a saber f ((x₀, x₁), t) = (x₀, x₁ + tv), donde z � W se identifica con su posici�n (x₀,x₁) en el tiempo 0.

Figura 30.

Revivamos pues a WTo, quien, tras parametrizar su espacio perceptivo en relaci�n n�tida con su universo, regresa de un sue�o bien merecido. Abr�mosle los ojos en el tiempo t₀ para que tome una foto de lo que percibe en el instante justo t₀ = 0. Y supongamos que viene movi�ndose como indicamos arriba desde siempre, es decir, con todo el tiempo que requiera para estudiar su situaci�n.

Sabiendo que estamos en T², instintivamente buscamos a WTo-1 (donde 1 = (1,0) � Z²), nuestra imagen vecina.

Figura 31.

A distancia uno no hay nadie. Pues hace un instante est�bamos en (0, - v) (1, - v), y en (1, 0) = 1 ~ o no hab�a nadie; a menos que WTo sea cabez�n respecto a la velocidad. Notemos, inclusive, que la luz que sali� de o � W en t = - 1 con la direcci�n de la figura, todav�a no llega a (0, 0) en el tiempo t₀; la distancia de (1, - v) a (0, 0) es mayor que 1.

Figura 32.

Para encontrar a WTo-l, nuestro fiel compa�ero de andanzas que debe andar por ah�, tenemos que retroceder m�s en el tiempo, y por ende, bajar en su l�nea vertical, equivalente a la de nuestro movimiento perceptual. Su centro deber� llegar al punto 1(~o) en un tiempo igual a su distancia al origen. Es decir, hay que resolver la ecuaci�n.

Figura 33.

Sea entonces t₁ la soluci�n negativa a esta ecuaci�n, que existe por hip�tesis. El est�mulo luminoso que sale del origen de WTo en la direcci�n de (1, t₁ v) a (0, 0), es percibido en el tiempo t₀ ; "autopase completo de WTo a WTo".

Figura 34.

Y ya que descubrimos el centro de WTo-l, busquemos sus zapatos, o bien, un punto z bajo su centro, para ser m�s precisos. Fij�monos en z en el tiempo t₁ ; el rayo que emite hacia o no llegar� a tiempo a su cita para ser percibido en t₀ .

Figura 35.

Sin embargo, nuestra intuici�n nos dice que debe haber un z-equivalente rondando a un o-equivalente; un zapato se conecta por un cuerpo a su cabeza. En efecto, pero debemos buscar al z de WTo-l m�s en el pasado; y notando que z viaja r�gidamente pegado a o y por la mismita v�a, obtenemos la siguiente figura, "foto en t₀".

Figura 36.

Nuestra imagen vecina (lateral a nuestro movimiento), WTo-l, se ha retrasado y alargado.

�Puede el lector dar las coordenadas precisas de z � WTo-l (figura 36)?

�Puede explicar por qu� la imagen que viene persiguiendo WTo se ver� m�s cerca y achaparrada?

Figura 37.

�Se aventura a a�adir im�genes a la figura anterior?

�Puede imaginar qu� pasa si WTo empieza a maniobrar, cambiando la direcci�n de su vuelo?, �si empieza a acelerar, se acerca, juega con, y rebasa la velocidad de la luz?

�Puede demostrar que un punto x + Z² � T² presenta como im�genes en el espacio perceptivo en el tiempo t₀ = 0, al siguiente conjunto

donde v = (v₀, v₁) es el vector velocidad del movimiento rectil�neo uniforme en que viaja WTo desde tiempo infinito?

�Puede usar esta f�rmula para hacer que una computadora dibuje espacios perceptivos de T², bajo distintas y variables condiciones de movimiento —inercial, para empezar?

Deformaci�n de la geometr�a (topolog�a)

Es claro que si WTo (viviendo en T²) lanza un mecate por su lado derecho lo recibir� con su mano izquierda. �Qu� pasa si buscando aproximarse a sus im�genes jala con fuerza de ambos lados?

La f�sica de nuestros universitos no ha sido definida con la precisi�n suficiente como para deducir una respuesta. Podemos, sin embargo, tomar dos caminos: decretarlos r�gidos, de tal manera que la geometr�a permanece inalterada, siendo entonces infructuoso el jaloneo —y esta secci�n— o bien, suponer que la energ�a —concentrada universalmente en los m�sculos de WTo— es capaz de modificar la estructura geom�trica.

Para la So�ata (en el pasaje que enlaza los dos subtiempos del Tiempo II, cuando nuestro joven personaje, huyendo de la agorafobia, cay� jal�ndose a s� mismo en la claustrofobia, acabando a punto de orinarse ante la tortura, o bien, de perecer por asfixia) tomamos la segunda ruta, guiados por la intuici�n topol�gica. Me ci�o al son de la So�ata.

Al jalar WTo de una geod�sica cerrada, de una curva de longitud m�nima entre sus vecinas, la dejamos ceder, es decir, permitimos que se acerquen sus manos reduciendo un poco el largo de su cuerpo.

Figura 38.	Figura 39.

La geometr�a cambia; la topolog�a permanece. Se acort� una curva, una cuerda tensa por la resistencia del universo, pero a la topolog�a las distancias la tienen sin cuidado. En el justo momento del jal�n, suponemos que el toro con el cintur�n apret�ndose se ver�a en foto instant�nea y con la geometr�a de vivir en R³, como algo as�:

Figura 40.

Pero si dejamos las cosas tal cual vagamente est�n, perder�amos la planaridad del toro, su definici�n precisa, y toda la herramienta que con tanta paciencia hemos construido.

Suponemos entonces —aunque me gustar�a invocar alguna ley pomposa, es simple hip�tesis de trabajo— que este universito tiende a aplanarse; que busca homogeneizarse y despu�s de unas vibraciones (que no me atrevo a definir) por su espacio continuo de geometr�as, regresa a un estado de planaridad local, ganando WTo un poquito de terreno. Es f�cil precisarlo: reducimos el tama�o de un factor S¹, el que se apret�.

Figura 41.

(Anoto que) WTo no tuvo tiempo de montar en su aparato descriptivo de la realidad perceptivo-visual qu� aconteci� al irse incorporando al pasado este simple fen�meno de propinarle un jal�n que le duela y afecte a su universo (para que quede como ejercicio avanzado), pues se fij� m�s bien en el "dolorcito" aquel que sinti� en el pecho y que significaba la deformaci�n local de la geometr�a, la salida moment�nea y tensa de la planaridad punto a punto. Pero regres� a ella y sigui� jalando, aprendiendo a sentir (disfrutar) los "escalofr�os el�ctricos", hasta agarrarse de sus manos extendidas y abrazarse gustoso a s� mismo. Sin dificultad, encaram�ndose ahora sobre los tocados, hizo lo mismo con la direcci�n perpendicular, reduciendo el otro factor.

Figura 42.

Puede ahora tomar su pie izquierdo, extendiendo hacia arriba su mano derecha y jalar fuerte con sendos miembros.

Figura 43.

Ha cambiado la geometr�a, y quiz�s el �rea se haya resentido un poquito; pero, guiados por la intuici�n de la reja que se reclina sobre un eje, o por el �ltimo dibujo, podemos definirle su geometr�a al nuevo toro: es el cociente de R² m�dulo el subgrupo de combinaciones (posibles sumas) enteras de 1 y 2 (v�ase la figura). Podr�amos pensar en una reparametrizaci�n a la Descartes, en que s�lo hemos cambiado las varas de medir, puesto que la suma de R² coincide con tomar distancias dirigidas de un origen fijo en el plano euclidiano, para luego usarlas como pasos de un mapa del tesoro. Tenemos que, dados dos tipos de pasos dirigidos, no colineales, retornos permitidos, podremos llegar saltando a unas islitas parametrizadas por Z² (parejas de n�meros): "cu�ntos brincos de uno y cu�ntos del otro tipo". El nuevo toro consiste entonces en las posiciones relativas a nuestros puntos-islotes, con la geometr�a heredada por el plano euclidiano que lo cubre; las varas de medir en este nuevo universo se han "descuadrado" (abandonado la perpendicularidad) y se han acortado respecto a su �nico habitante.

En este proceso de jaloneo (que termin�, al avanzar la agorafobia, en patadas y empujones desesperados) nos hemos movido por las geometr�as del toro. Y ahora estamos hablando del toro topol�gico: el que se mantuvo inamovible ante las deformaciones; el que siempre sigui� dando su forma b�sica, su cohesi�n puntual al universo, sin importarle distancias, �reas, vol�menes o �ngulos. (El que, con alguna de sus geometr�as y en la dimensi�n adecuada, podr�a ser el nuestro.)

Notemos adem�s que le estamos dando al toro geometr�as planas, es decir, que fuera de perturbaciones despreciables el espacio sigue siendo localmente euclidiano, justo como �ste que ocupa nuestro cuerpo. Podemos entonces reducir el volumen del universo hasta hacerlo casi coincidir con el de su �nico habitante, dejando apenas un poquito de aire bordeando las peque�as �reas de piel que no est�n presionadas por otras partes de la misma piel, sin necesidad de especular sobre el comportamiento fisiol�gico —de los huesos, por ejemplo— ante geometr�as que localmente no son planas, ante curvaturas extra�as a la de nuestra experiencia cotidiana. Supusimos, por cierto, que para reexpander su universo se requer�a algo m�s que la fuerza bruta, haci�ndoselo imposible a nuestro cautivo personaje; de ah� que empujar se traduc�a en presi�n desde otras direcciones, y que irremediablemente se fuera reduciendo su universo hasta casi coincidir con su cuerpo. No nos atrevimos a llegar al l�mite. Sin embargo, Escher, con hermosas parejas de seres bidimensionales, s� lo ha logrado.

Figura 44

LA ESFERA

VISI�N CON DEFINICI�N

La caverna en que se refugi� nuestro atormentado personaje claustrof�bico, el escenario donde transcurre el Tiempo II en su parte segunda y �ltima, la que se hizo caverna-tenis para finalizar en la agujeta-caverna-br�coli, es la hermana tridimensional de la distinguida familia de las esferas:

Sⁿ = { x �Rⁿ⁺¹; çxç = 1}.

La n-esfera, Sⁿ, consta de los puntos a distancia uno del origen, de los "vectores" de magnitud unitaria, en Rⁿ⁺¹; podemos entonces explicitar

y dibujar los tres primeros casos:

Figura 45. Las esferas de dimensi�n 0, 1 y 2.

Las esferas obtienen su geometr�a al vivir, por decreto definitorio, dentro de un espacio euclidiano: el de dimensi�n siguiente.

Es f�cil ver que las geod�sicas, las trayectorias m�nimas que unen los puntos, corren a lo largo de c�rculos m�ximos. N�tese, para husmear el �por qu�?, que entre m�s grande es un c�rculo en esta hoja, m�s se parece a una recta. As� que para irse de un punto p₀ con prisa de llegar a p₁ , en el entendido de no salirse de esa esfera "cascarita", lo mejor ser� agarrar por su intersecci�n con el plano que pasa por el origen, p₀ y p₁ . Esta intersecci�n es un c�rculo m�ximo; un S1 tal cual se acaba de definir (los puntos a distancia unitaria del origen en un plano euclidiano); sobre ese S¹, viajar� la luz de p₀ a p₁ .

Figura 46. La geod�sica de p₀ a p₁ en S².

Obs�rvese —de los mism�simos axiomas de Euclides, si se quiere— que el plano que acabamos de utilizar es �nico, salvo en el caso en que o, p₀ y p₁ sean colineales; y en este caso especial decimos que p₀ y p₁ , son ant�podas, forman un S⁰, su relaci�n es distinguida, y cada punto en la esfera distingue a su ant�poda de todos los puntos de su universo, pues vienen en parejas.

Figura 47. Par de ant�podas.

Un punto en la esfera comparte a todas sus geod�sicas con su punto ant�poda, es su Roma para los caminos de luz que de �l emanan, su inverso para la suma, obtenido al cambiar los signos de todas sus coordenadas, o bien, multiplicando por -1.

Se explica entonces la escenograf�a.

Se mueve un origen perceptivo ó en la esfera. Si su ant�poda -o, que se mueve conforme a o aunque est� muy lejos, de hecho, lo m�s lejos posible para este universito —dos, tres metros en la So�ata—, est� transparente, es decir, si -o no afecta en nada a los rayos de luz que pasan por �l, entonces este ser perceptivo se ver� a s� mismo invertido (en cada direcci�n ve el punto en que abandona su cuerpo el rayo que pasa por o en la direcci�n dada). Se sentir� en la caverna.

Pero en el momento en que ese punto ant�poda al origen perceptivo, el "anticentro", se hace opaco, se recubre, digamos, de alg�n objeto material, verbigracia, un tenis, las cosas habr�n cambiado dr�sticamente. Todos los rayos de atenci�n que salgan de nuestro centro o, viajando por geod�sicas hacia el pasado, chocar�n con el objeto que cubre al anticentro -o. Lo veremos entonces en todas direcciones, interpretando, con nuestro mecanismo de visi�n tridimensional, a cada punto de su superficie visible como puesto a una distancia aproximada a la mitad de la circunferencia del universo; llam�mosle instante-luz; p radios o la distancia entre ant�podas. En el espacio perceptivo (el euclidiano de la misma dimensi�n que la esfera-universo y que debemos identificar con el tangente a ella en o) veremos, desde su justo centro, toda una esfera —la hermanita menor del universo con el radio citado— de est�mulos luminosos rode�ndonos, pero en la realidad, esos est�mulos que forman una pantalla-caverna salieron todos del mismo punto, el ant�poda, hace exactamente un instante, y vienen empapados con la informaci�n —el color, el tiempo— del punto por donde emergieron de la opacidad. Basta que el anticentro se cubra, se opaque con un granito de arena, para que aparezca una caverna intermedia esbozando luminosamente a una hermanita menor, mostr�ndonos la superficie de aquel polvo alejado al m�ximo de nosotros.

Dejamos al lector que se explique solito los efectos visuales de los amaneceres del anticentro, o de su introducci�n pausada y cuidadosa a una regi�n opaca del espacio. Quiz�s ayude el siguiente boceto coreogr�fico para el movimiento esc�nico del punto ant�poda al origen perceptivo en la escena de exploraci�n del tenis.

Figura 48. Viaje del anticentro de acuerdo al tiempo II.ii.

ACCI�N DE LA HERMANITA MENOR CON REINTEGRO

DEFINITORIO A LA CAVERNA

(Final en el dodecaedro)

S⁰, la hermanita menor de nuestra familia, la cero-esfera, es el conjunto {1, -1 } de n�meros reales que, con el producto, forma un grupo, el m�s chico no trivial: al multiplicar por uno nada pasa, y al multiplicar por menos-uno se permutan (se comportan, pues, como pares e impares sum�ndose en los enteros. Por eso a este grupo se le conoce tambi�n como los enteros modulo 2).

Ya que cualquiera de sus hermanas mayores admite a su vez ser multiplicada por S⁰ (por el uno fij�ndola y por el menos uno permutando ant�podas), tenemos una acci�n de S⁰ en Sⁿ y podemos pensar en su cociente, Sⁿ/S⁰: espacio continuo y m�trico de �rbitas (parejas de ant�podos en nuestro caso). Podemos pensar as� en estas �rbitas como puntos, e identificarlas (cada �rbita entre s�) para formar un nuevo espacio de "posiciones relativas" a una �rbita dada, el cociente bajo la acci�n.

Esto ya lo hemos vivido.

Recordemos que al discutir nuestra visi�n en el espacio proyectivo descubrimos un plano al infinito de un punto o, que llamamos � (o); vimos tambi�n que cada punto en �l se percib�a al mismo tiempo-distancia en direcciones opuestas, es decir, los puntos del plano proyectivo �(o), tal como los de cualquier otro, corresponden a las l�neas por o, o bien, a las parejas ant�podas en una dos-esfera perceptiva. Generalizando, definimos entonces al n-espacio proyectivo como:

Pⁿ = Sⁿ/S⁰

Podr�amos invitar al lector interesado a repasar, con esta definici�n en mente, la secci�n dedicada al espacio proyectivo, demostrando todo a su paso, empezando por los axiomas. Sin embargo, tendr� que aventurarse �l solo, pues en este punto el libreto nos obliga a concluir en un dodecaedro:

Consid�rese un pent�gono (plano y regular por definici�n), pens�ndolo como lo acotado por cinco l�neas cuyas intersecciones por parejas contiguas en un orden c�clico —llamadas v�rtices— limitan, en sus l�neas respectivas, segmentos iguales —lados— que se encuentran en �ngulos iguales, o bien, que distan lo mismo de un mismo punto —su centro.

Figura 49. Pent�gono equil�tero.

Este pent�gono euclidiano, independientemente del tama�o de sus lados, tiene los �ngulos fijos, entre 90° y 120° (tres pent�gonos no ajustan pero cuatro sobran para una vuelta).

Figura 50. Para una vuelta, cuatro pent�gonos sobran y tres no alcanzan.

Y ser� esencialmente el mismo si lo metemos a vivir en una esfera inmensa (sus medidas no cambian aunque recordemos que la Tierra es redonda); pero cambiar� su geometr�a conforme sus dimensiones se aproximen a las de su universo. Fijemos, para ver esto, un origen o en S² Si lanzamos desde o cinco est�mulos regularmente distribuidos, y pensamos en los segmentos geod�sicos, que c�clicamente los unen en todo momento, tendremos, con centro fijo, a una familia creciente de pent�gonos esf�ricos regulares. Cuando los cinco v�rtices emisarios lleguen al ecuador ortogonal del centro de partida, los cinco lados se ajustar�n para formar una sola geod�sica (�qu� sucede con este experimento en P² ?); el �ngulo del pent�gono ha llegado a 180°, y �ste se ha convertido en la cascarita de una media naranja, perdiendo los "picos".

Figura 51. El �ngulo de los pent�gonos esf�ricos var�a conforme al radio.

Podemos concluir que en alg�n punto de su viaje los emisarios forman un pent�gono regular cuyos �ngulos miden 120° tres de �stos se acomodan justos por sus esquinas:

Figura 52. Pent�gonos esf�ricos con �ngulo de 120—.

En los nuevos huecos van embonando otros de estos pent�gonos, y otros m�s. Con doce de ellos se ha cubierto por completo a la esfera, que queda enmosaicada con pent�gonos iguales, dispuestos con la estructura del dodecaedro (esf�rico, especifiquemos). Los v�rtices de cada mosaico est�n en un plano euclidiano (como lo estar�an los de cualquier pent�gono o pol�gono esf�rico regular; al espacio que queda acotado por estos doce planos en R³ , se le conoce, desde los griegos y asociado al nombre de Plat�n, como dodecaedro (que aqu� apellidaremos euclidiano). Este s�lido queda inscrito en la esfera original y comparte con ella s�lo sus veinte v�rtices.

Figura 53. Dodecaedro esf�rico y dodecaedro euclidiano (uno de los s�lidos plat�nicos).

Consideremos ahora...

TERCERA LLAMADA, TERCERA

�Shh!...

—...Finaliza el intermedio; regresa cuchicheante el p�blico a sus lugares; y, para variar, nos ha ganado el tiempo. S�lo nos queda entonces, amigos televidentes, pedirle al escen�grafo que tan gentilmente nos ha acompa�ado en la cabina, un apunte brev�simo sobre el escenario del �ltimo acto de la So�ata que estamos a punto de reiniciar para conluir, en su estreno mundial que transmitimos hoy, en vivo y a todo color, por XFCE. �Tiene algo r�pido con qu� concluir, se�or escen�grafo?

—Bueno. A ver... Recojamos nuestro tinglado. En la So�ata nos hab�amos quedado dentro de la tres-esfera, S³ , la caverna-tenis-agujeta: reingresemos a ella. Y est�bamos a punto, en los Apuntes, de considerar al dodecaedro esf�rico, figura 53, como dibujado en el plano, dos-esfera m�xima, S², ecuador de distancias entre nuestro origen perceptivo y su anticentro o ant�poda (recuerden, estamos en S³).

Mandemos llamar a nuestros veinte emisarios (v�rtices del dodecaedro ecuatorial) jal�ndolos por sus hilos-luz a nuestro origen. Notemos que un instante imperceptible, un infinitesimal antes de llegar, forman un dodecaedro euclidiano indiferenciable de estos de �nix que tengo en mis manos. Observen ustedes c�mo puedo juntar a tres de ellos por una arista, sobrando algo de espacio para el ajuste impecable; concl�yase, pues, que en alg�n momento pasamos por un dodecaedro esf�rico de empaque ideal: caras encontr�ndose en �ngulos de 120 grados. Qued�monos en el interior s�lido en S³ de este dodecaedro esf�rico espec�fico, ajustando su volumen al de este cuarto inflando a toda la esfera. Y ahora, deshag�monos de su frontera: identif�quense piso y techo pentagonales tirando de ellos hacia el centro y empalm�ndolos isom�tricamente al llegar a �l por el giro de m�nimo esfuerzo, anul�ndoles as� su condici�n de frontera. Proc�dase asimismo con las cinco parejas restantes de caras opuestas. Se han borrado los l�mites. Estamos ya en el espacio dodeca�drico, tambi�n conocido como la variedad de Poincar�, definible como el espacio fase de dodecaedros inscritos en una esfera euclidiana fija, o como cociente de ciertos hermosos grupos, o por medio de cirug�a en el nudo tr�bol, o de algunas otras maneras muy bien documentadas en la cuarta secci�n de mis apuntes. Sin embargo, lo importante no es que...

—Disc�lpenos, se�or escen�grafo, pero nos piden ya silencio absoluto, concrete r�pido.

—Bueno, agradecer la atenci�n del p�blico... de nuestros patrocinadores... y que en el mundo matem�tico actual, lo que no sabemos es lo que dice el Mago que...

—Muchas gracias por su presencia en esta cabina, se�or escen�grafo. Y ahora, de acuerdo con el programa, retornemos a la So�ata.