VI. MATEMATIZACI�N DE LA ASTRONOM�A

INTRODUCCI�N

UNA CAUSA que propici� fuertemente el desarrollo de la aritm�tica fue el auge comercial experimentado por las ciudades del norte de Italia a partir del siglo XV, mientras que el redescubrimiento de los textos matem�ticos griegos en el siglo XVI hizo resurgir el inter�s por la geometr�a. Pronto estas disciplinas demostraron su utilidad como herramientas de c�lculo y an�lisis para quienes se interesaban por estudiar la naturaleza.

Entre los siglos XVI y XVII las matem�ticas tuvieron dos grandes progresos: la adopci�n del sistema de numeraci�n decimal y el descubrimiento de los logaritmos. El primero de esos hechos permiti� unificar y simplificar la notaci�n aritm�tica, mientras que el segundo facilit� considerablemente el manejo de grandes cifras. Gracias a esos avances se redujo en forma importante el tiempo y el esfuerzo dedicado a la complicada y laboriosa construcci�n de las tablas num�ricas utilizadas en las operaciones matem�ticas. Esto result� especialmente valioso para la astronom�a, donde hab�a necesidad de realizar extensos y complejos c�lculos para determinar las posiciones planetarias.

Desde los trabajos de Peurbach y Regiomontano fue claro que el uso sistem�tico de las matem�ticas permitir�a expresar en lenguaje preciso los resultados de los estudios que se estaban realizando en astronom�a y f�sica. Cop�rnico se dio muy bien cuenta del papel que las matem�ticas desempe�aban para quienes como �l intentaban entender la estructura c�smica. As� lo escribi� en la dedicatoria que hizo al papa Pablo III en el De revolutionibus, donde se�al� la importancia que �stas ten�an para la astronom�a, afirmando que esa ciencia deber�a estar en manos de expertos, �nicos capacitados para juzgar sus logros.

Aunque Galileo no se dedic� a las matem�ticas como una disciplina aut�noma, las utiliz� sistem�ticamente en sus diversos estudios, sobre todo en los relativos al an�lisis del movimiento de los cuerpos. Dec�a que "quien quiera responder a cuestiones de la naturaleza sin la ayuda de las matem�ticas, emprende lo irrealizable. Se debe medir lo medible y hacer que lo sea aquello que no lo es".

La intenci�n de este cap�tulo es mostrar que la aplicaci�n sistem�tica de las matem�ticas a la investigaci�n astron�mica dio excelentes resultados, ya que fue as� que se descubrieron leyes de la naturaleza de la mayor importancia.

KEPLER Y EL MOVIMIENTO PLANETARIO

La habilidad matem�tica de Johannes Kepler (1571-1630) qued� manifiesta desde que apareci� el Mysterium Cosmographicum ("El secreto del Universo"), su obra m�s temprana, publicada por primera vez en 1596. En ese texto busc� la correlaci�n que deber�a existir entre las diferentes �rbitas planetarias, tratando de establecer relaciones geom�tricas entre las distancias de los diferentes planetas al Sol, calculadas seg�n el modelo helioc�ntrico de Cop�rnico.

Figura 30. Los cinco s�lidos plat�nicos. El tetraedro o pir�mide rectangular (a), el hexaedro o cubo (d), el octaedro (b), el dodecaedro (e) y el icosaedro (c).

Una idea recurrente de todo el trabajo cient�fico de Kepler fue su certeza de que exist�a un orden matem�tico oculto en la naturaleza, el cual se manifestaba mediante armon�as del Universo. Esa fue su l�nea de razonamiento cuando, utilizando una rigurosa aproximaci�n matem�tica, trat� de construir un modelo donde los planetas guardaran relaci�n directa con los cinco s�lidos perfectos.³⁵ Siguiendo una manera de pensar t�pica de los pitag�ricos, Kepler lleg� a la conclusi�n de que s�lo esos cuerpos ten�an las propiedades necesarias para contener las �rbitas de cada uno de los planetas. En su modelo situ� al Sol en el centro de las esferas planetarias, y �stas se encontraban separadas entre s� sucesivamente por un octaedro, un icosaedro, un dodecaedro, un tetraedro y un hexaedro (figura 31). Como todos sus esfuerzos por adecuar los resultados de sus c�lculos a esa representaci�n fueron fallidos, a�os despu�s intent� encontrar la estructura del Universo por medio del estudio de la relaci�n que guardan las armon�as de la escala musical, regresando as� a la idea pitag�rica de la m�sica de las esferas y de las relaciones m�sticas.

Figura 31. Representaci�n de las �rbitas planetarias de acuerdo a las ideas de Kepler sobre los cinco s�lidos perfectos. En la superficie dejada por el corte de la esfera exterior, marcada con la letra a y del lado izquierdo, coloc� a Saturno.

A pesar de este aparente retroceso, Kepler introdujo todo un cambio de actitud en la astronom�a, ya que no s�lo intent� describir los movimientos planetarios geometrizando el cosmos, sino que busc� las causas f�sicas que originaban dichos desplazamientos. Esto lo condujo a descubrimientos en verdad notables. As�, por ejemplo, en el Mysterium Cosmographicum estableci� que los planos que contienen a cada �rbita se hallan pr�ximos entre s�, pero con respecto a la ecl�ptica cada uno tiene una inclinaci�n diferente que permanece constante. Este importante descubrimiento lo puso en el camino que habr�a de llevarlo a establecer las leyes que rigen el movimiento planetario. Sin duda, la publicaci�n del Mysterium Cosmographicum hizo que Kepler fuera considerado un astr�nomo destacado en el medio acad�mico europeo de esa �poca. Ese primer trabajo llam� la atenci�n de gente como Tycho Brahe, quien vio en �l al matem�tico que podr�a complementar su obra, raz�n por la que lo invit� a colaborar con �l.

Debido a la creciente intolerancia religiosa contra los protestantes que habitaban Graz, ciudad donde ense�aba matem�ticas y astronom�a, as� como a su necesidad de contar con observaciones de gran exactitud, Kepler acept� trabajar con Tycho y se fue a radicar a Praga, lugar donde finalmente se estableci�. A poco de haber iniciado el trabajo, Tycho Brahe le encarg� resolver el problema de calcular la �rbita del planeta Marte partiendo de los datos obtenidos en Uraninburgo, ya que por m�s esfuerzos que �l hab�a hecho ayudado por Longomontanus (1562-1647), otro de sus destacados colaboradores, no hab�an logrado obtener una soluci�n que se ajustara bien a los datos que tras muchos a�os de observaci�n hab�a acumulado sobre ese planeta.

Kepler inici� el trabajo partiendo de la suposici�n ortodoxa de que los planetas en general, y Marte en particular, se mov�an siempre en �rbitas circulares, desplaz�ndose con velocidad uniforme; pero por m�s esfuerzos que hizo, no logr� resolver el problema. Bajo esas suposiciones encontr� que hab�a una diferencia de ocho minutos de arco entre la �rbita predicha por sus c�lculos y la posici�n observada de Marte. Esta diferencia era inaceptable pues, como �l mismo reconoc�a, las observaciones de Tycho eran tan exactas, que bajo ninguna circunstancia podr�a considerarse que un error tan grande proviniera de esos datos. Tycho Brahe muri�, y en su lugar Kepler fue nombrado matem�tico imperial, dedic� varios a�os a resolver el problema de la �rbita marciana.

Tras m�ltiples esfuerzos de c�lculo que resultaron infructuosos, Kepler dej� a un lado la idea de las �rbitas circulares y se plante� la posibilidad de una �rbita oval para Marte. Esta suposici�n tampoco lo condujo a resultados adecuados, por lo que al final y tras vencer sus propias reticencias lleg� a demostrar que la �rbita de Marte en torno al Sol era en realidad una elipse,³⁶ y por tanto la velocidad con la que ese planeta se desplazaba a lo largo de tal trayectoria no era uniforme. Estos resultados rompieron totalmente con un dogma cosmog�nico aceptado por m�s de 2 000 a�os, lo cual abri� la puerta al entendimiento din�mico del Universo.

En el proceso de sus investigaciones sobre los movimientos planetarios se dio cuenta de que entre m�s alejado se encontraba un planeta del Sol, m�s lentamente se mov�a. Por ejemplo Saturno, que se encuentra al doble de distancia que J�piter, tiene un periodo de traslaci�n de 30 a�os, que resulta ser m�s de dos veces el tiempo que le toma a J�piter recorrer completamente su �rbita, ya que lo hace solamente en 12 a�os. Esto significa que Saturno se mueve m�s lentamente que J�piter, pues si viajara a la misma velocidad que �ste tardar�a �nicamente el doble de tiempo para recorrer un circuito que es dos veces el que cubre J�piter, y la realidad es que tarda dos y media veces m�s.

En el cap�tulo 20 del Mysterium Cosmographicum discuti� ampliamente estos hechos:

Si debemos acercarnos a la verdad y establecer alguna correspondencia en las proporciones entre las distancias y las velocidades de los planetas, entonces debemos elegir entre dos supuestos: o las almas que mueven a los planetas son menos activas cuanto m�s lejos se halla el planeta del Sol, o existe tan solo una anima motrix en el centro de todas las �rbitas, es decir, el Sol, que dirige a los planetas m�s vigorosamente cuanto m�s cerca est�, pero cuya acci�n se halla casi exhausta cuando act�a sobre los planetas exteriores debido a lo grande de la distancia y a la debilitaci�n de la acci�n que lo vincula.

La introducci�n que hizo Kepler del anima motrix³⁷ que emana del Sol y proporciona el movimiento a los planetas fue el antecedente directo del concepto de fuerza, que tan importante ha resultado para la f�sica. Signific� un cambio fundamental en la concepci�n del cosmos, ya que hizo innecesarios los entes aristot�licos que subordinados al Primum Mobile comunicaban movimiento a cada uno de los planetas en el esquema medieval.

Cuando finalmente Kepler acept� la soluci�n el�ptica para la �rbita marciana, inform� su resultado a David Fabricius (1564-1617), astr�nomo al que daba mucho cr�dito. En una carta fechada en diciembre de 1604 le informaba que "la �rbita de Marte es una elipse en uno de cuyos focos se encuentra el Sol". La respuesta de Fabricius se apeg� al dogma de la circularidad, pues fue incapaz de concebir que Marte pudiera moverse de otra manera. Le contest� a Kepler: "Con vuestra elipse quit�is la circularidad y uniformidad a los movimientos planetarios, lo cual me parece tanto m�s absurdo cuanto m�s profundamente pienso en ello. Si al menos pudierais conservar la �rbita circular perfecta, y justificarais vuestra �rbita el�ptica mediante otro peque�o epiciclo ser�a mucho mejor". Esta actitud caracteriz� pr�cticamente a todos los astr�nomos de ese momento.

En agosto de 1609 Kepler finalmente public� sus resultados sobre el estudio de la �rbita marciana en un texto al que titul� Astronomia nova, seu physica coelestis tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G. V. Tychonis Brahe ("Nueva astronom�a basada en la f�sica celeste derivada de las investigaciones de los movimientos de la estrella Marte. Fundada en las observaciones del noble Tycho Brahe"). Esta obra, mejor conocida como Astronom�a Nueva, contiene las dos primeras leyes del movimiento planetario, que en lenguaje moderno pueden ser enunciadas de la siguiente forma.

Primera ley: Todos los planetas siguen en su movimiento �rbitas el�pticas, encontr�ndose el Sol localizado en uno de sus focos.

Segunda ley: La velocidad con la que se desplazan los planetas en sus �rbitas no es uniforme, sino que lo hacen de tal forma que una l�nea imaginaria trazada desde el centro de cada planeta al Sol barrer� �reas iguales en tiempos iguales.

La segunda ley es tambi�n conocida como ley de las �reas. Su representaci�n gr�fica (figura 32) sirve para aclarar su significado. En esa figura las �reas A, B y C que son barridas por el radio vector R son iguales.³⁸ Para que esta afirmaci�n se cumpla, la velocidad del planeta a lo largo de su �rbita deber� ser mayor conforme se acerque al Sol. En el perihelio, que es el punto m�s pr�ximo a este astro, la velocidad planetaria es m�xima, mientras que en el afelio, o punto m�s alejado del Sol, esa velocidad es m�nima.

Veinticinco a�os despu�s de la aparici�n de la primera edici�n del Mysterium Cosmographicum y a s�lo ocho de la publicaci�n de la Astronom�a Nueva, Kepler public� otro texto donde retom� las ideas expresadas en el primero. En 1619 apareci� el De Harmonice Mundi ("Armon�as del mundo"), obra en la que dio a conocer la �ltima de sus leyes del movimiento planetario. �sta hab�a resultado de un largo proceso de prueba y error, seguido por Kepler al tratar de encontrar una relaci�n que ligara el periodo de traslaci�n de los planetas en torno al Sol con la distancia a �ste. Esa ley puede enunciarse as�:

Tercera ley: Los cuadrados de los tiempos de revoluci�n de cualesquiera dos planetas en torno al Sol, son proporcionales a los cubos de sus distancias medias a �ste.

Las tres leyes de Kepler son afirmaciones precisas y verificables que pueden ser expresadas y manejadas matem�ticamente. Su importancia radica en que, al aplicarlas, es posible calcular con gran exactitud todos los datos necesarios para determinar c�mo se desplaza cada uno de los planetas alrededor del Sol, por lo cual se convirtieron en la soluci�n definitiva al a�ejo problema que buscaba determinar las posiciones de los astros y que originalmente surgi� entre los antiguos pueblos de Mesopotamia. La categor�a de leyes que tienen estos tres resultados se debe a que su aplicabilidad es de car�cter general, es decir, no est�n restringidos solamente al c�lculo de los datos orbitales de los planetas, sino que pueden aplicarse en cualquier situaci�n donde las condiciones del movimiento sean las adecuadas. Por ejemplo, su uso permite tambi�n el estudio completo de las �rbitas descritas por los sat�lites planetarios. Tal es el caso de la Luna y de los sat�lites galileanos de J�piter. Posteriormente se ver� que la aplicaci�n de estas leyes ha permitido determinar la informaci�n necesaria para poner en �rbita los sat�lites artificiales y controlar los viajes de las naves espaciales, estudiar el comportamiento de las estrellas binarias,³⁹ analizar las �rbitas estelares que los astros siguen en nuestra galaxia, e incluso determinar caracter�sticas fundamentales de sistemas tan complejos como las galaxias. Como ejemplo de la aplicaci�n de estas leyes, en el Ap�ndice D se hace el c�lculo para determinar las distancias a que se encuentran J�piter y Saturno del Sol.

Figura 32. Diagrama que muestra el significado de la Ley de las �reas.

Entre 1618 y 1622 Kepler dio a conocer la obra titulada Epitome Astronomiae Copernicanae ("Compendio de astronom�a copernicana"), donde expuso sus resultados sobre el c�lculo de distancias y tama�os de los cuerpos del sistema planetario, as� como sus ideas cosmol�gicas. Mencion� especialmente sus descubrimientos sobre el car�cter el�ptico de la �rbita marciana y lo que hab�a logrado obtener Galileo mediante el uso del telescopio. En ese texto afirm� y demostr� que las leyes que hab�a encontrado para el caso particular del movimiento de Marte eran aplicables a los dem�s planetas, as� como a sus sat�lites.

El Ep�tome es la obra de madurez de Kepler. En ella finalmente ha desaparecido la teor�a de los epiciclos y las deferentes utilizada por m�s de un milenio para calcular los movimientos planetarios. En ese texto se present� por vez primera la estructura correcta del Sistema Solar, propiciando desde entonces que surgiera la diferenciaci�n conceptual entre �ste y el resto del Universo. Sin lugar a dudas, el Ep�tome constituye el primer manual completo de astronom�a construido enteramente bajo los preceptos helioc�ntricos.

Esa obra trata de la forma y del tama�o de la Tierra, as� como de su lugar en el Universo. Siguiendo una curiosa l�nea de razonamiento guiada por su obsesi�n de hallar armon�as en la naturaleza, Kepler desarroll� la idea de relacionar la densidad de cada planeta con su tama�o y distancia al Sol. Las densidades planetarias las deriv� al establecer una correspondencia directa con las densidades de metales como el hierro, el plomo, la plata y el oro, y con la de algunas piedras preciosas, ya que pens� que esos materiales estaban relacionados con cada uno de los planetas. As� obtuvo que Saturno gira alrededor del Sol a una distancia 10 veces mayor que la Tierra. Seg�n sus c�lculos, J�piter lo hac�a a 5.2 y Marte a 1.5 UA, mientras que Venus se localizaba a 0.7 veces la distancia Tierra-Sol y Mercurio a s�lo 0.4 veces el valor de esa unidad.

Figura 33. Ilustraci�n que muestra el significado del �ngulo de paralaje.

En ese texto discuti� tambi�n la necesidad de corregir adecuadamente el valor de la UA, pues diferentes datos observacionales indicaban que deber�a tener m�s de los 1 210 radios terrestres tradicionalmente aceptados desde la �poca de Tolomeo. Analiz� con detalle la precisi�n m�xima que por entonces pod�a obtenerse en las observaciones, y estim� que su valor deber�a ser de 3 460 radios terrestres.

Siguiendo su curiosa forma de pensar y de buscar armon�as y proporciones ocultas en la naturaleza, Kepler fue capaz de asignar dimensiones al Universo. Consider� que como la �rbita de Saturno es 2 000 veces mayor que el di�metro solar, la esfera de las estrellas fijas tendr�a que tener un di�metro igual a 2 000 veces la distancia que separa a ese planeta del Sol. Ante la imposibilidad de medir en forma directa la paralaje estelar,⁴⁰ que le permitir�a determinar la distancia a las estrellas, y por ende el tama�o lineal del Universo, encontr� en el recurso de comparaci�n arriba aludido la forma de estimar sus dimensiones. Y aunque su valor de la distancia a las estrellas fijas fue muy subjetiva y considerablemente menor que el que ahora se ha determinado, sirvi� para que Kepler ampliara a�n m�s el tama�o del cosmos.

La importancia de las investigaciones de Kepler puede resumirse diciendo que la astronom�a que �l desarroll� fue una reformulaci�n completa de los m�todos, principios y objetivos de esta disciplina, pues al conjuntar las mejores observaciones entonces disponibles con los nuevos y poderosos desarrollos matem�ticos, marc� definitivamente el rumbo a seguir para todos aquellos que aspiraran a entender las leyes que rigen el comportamiento de los astros.

NEWTON Y LA LEY DE GRAVITACI�N UNIVERSAL

Las leyes de Kepler fueron un valioso soporte para la teor�a helioc�ntrica desarrollada por Cop�rnico. Igual sucedi� con las observaciones telesc�picas de Galileo. Adem�s de simplificar considerablemente el estudio de los movimientos planetarios y facilitar los c�lculos correspondientes, los trabajos de estos cient�ficos convirtieron a la astronom�a en una disciplina predictiva de gran exactitud. Sin embargo, no pudieron establecer las causas que originan los movimientos planetarios, ni por qu� los planetas est�n ligados al Sol. Esto habr�a de lograrlo Isaac Newton (1642-1727), quien, adem�s de ser un gran sintetizador de los hallazgos de Cop�rnico, Galileo y Kepler, realiz� aportaciones originales que permitieron considerar a la f�sica una ciencia exacta.

Aunque Newton contribuy� de manera notable a la fundamentaci�n de disciplinas como la �ptica y la mec�nica, e invent� herramientas matem�ticas tan poderosas como el c�lculo diferencial, fue su descubrimiento de la ley de la gravitaci�n la que le dio dimensiones gigantescas dentro del terreno cient�fico. Gracias a ella finalmente se entendi� la din�mica c�smica y comprendieron las causas que obligan a los cuerpos celestes a describir las trayectorias observadas. Al establecer la expresi�n matem�tica que permite calcular c�mo y d�nde act�a la fuerza de gravedad, Newton pas� de la mera descripci�n del movimiento a una interpretaci�n de las causas de �ste.

En este punto debe recordarse que durante milenios la tendencia de los cuerpos a caer hacia el centro de la Tierra fue entendida como una propiedad inherente a su naturaleza, sin necesitar mayor explicaci�n. Por otra parte, las leyes que gobernaban los desplazamientos de los cuerpos celestes eran consideradas muy diferentes de las que se aplicaban al movimiento que ten�a lugar sobre la superficie terrestre. La ley de la gravitaci�n permiti� la uni�n de fen�menos naturales aparentemente tan distintos como la ca�da de una piedra y el movimiento orbital de la Luna, surgiendo as� una sola f�sica cuyas leyes se aplicaban por igual a cualquier tipo de movimiento, rompiendo en forma definitiva con la visi�n aristot�lica de una mec�nica terrestre y otra celeste.

En 1687 apareci� publicada en Londres la obra m�s importante de Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principios matem�ticos de la filosof�a natural"), donde, siguiendo un estricto marco matem�tico sintetiz� y analiz� las observaciones y experimentos relativos al movimiento de los cuerpos, fundamentando as� la rama de la f�sica conocida como mec�nica. Aprovechando la larga serie de trabajos que se hab�an realizado sobre el movimiento, entre los que destacaban los estudios experimentales de Galileo sobre la ca�da libre de los cuerpos, logr� encontrar leyes generales aplicables a cualquier tipo de movimiento. En esa obra reconoce que la masa de los cuerpos es una medida de la resistencia que tienen a cambiar su estado de reposo o de movimiento. Adem�s, precis� y defini� el concepto de fuerza y le dio un car�cter operacional, hecho que habr�a de ser de enorme utilidad para el desarrollo de la f�sica. Todo ese trabajo conceptual y matem�tico le permiti� establecer las tres leyes del movimiento, base de toda la mec�nica.

Al analizar la interacci�n entre dos cuerpos mediante su tercera ley, lleg� a establecer el concepto de fuerza mutua entre el Sol y cada uno de los planetas, lo que finalmente lo condujo a la idea de que todos los cuerpos del Universo est�n interactuando entre s� a trav�s de fuerzas que los atraen unos a otros, fuerzas que pueden actuar a distancia y sin ning�n soporte material. De ese enorme esfuerzo intelectual surgi� la ley de la gravitaci�n universal.

De todos es conocida la an�cdota seg�n la cual Newton concibi� esta ley al observar la ca�da de una manzana. Al margen de si ese hecho es cierto o falso, lo que hizo Newton fue tratar el movimiento lunar en torno a nuestro planeta como si se tratara de una piedra (o cualquier otro objeto) que cayera hacia el centro terrestre. Se dio cuenta de que para producir una �rbita estable como la de la Luna, su movimiento deber�a estar compuesto por uno rectil�neo, dirigido a lo largo de la l�nea tangente a la trayectoria orbital, y otro que deber�a apuntar hacia el centro de la Tierra (figura 34). Fue as� como pens� en descomponer el movimiento curvil�neo seguido por la Luna en una componente que llam� inercial y en otra centr�peta. Al desplazarse la Luna en su �rbita la componente inercial tiende a lanzarla a lo largo de la recta tangente a su trayectoria, mientras que la centr�peta la aparta continuamente de ella, jal�ndola hacia nuestro planeta, combin�ndose en forma tal que la Luna ni sigue la trayectoria rectil�nea ni cae a la Tierra, sino que se ve obligada a moverse en una trayectoria el�ptica. Newton se dio cuenta de que si esta �ltima fuerza no estuviera actuando, la Luna se escapar�a siguiendo la trayectoria tangencial tal y como sucede cuando una piedra sujeta por una honda es liberada instant�neamente. Esta fuerza central es permanente y atrae a los objetos en movimiento hacia un punto fijo que, para el caso de los planetas, como intuy� Kepler al postular la existencia de una alma motrix, se origina en el Sol.

Figura 34. Aceleraci�n de una manzana y de la Luna en direcci�n del centro de la Tierra.

Para aclarar m�s la idea de la ca�da de la Luna hacia nuestro planeta, Newton analiz� el efecto de las fuerzas centr�petas, y demostr� que los planetas pueden ser retenidos en sus �rbitas por ese tipo de fuerzas. Consider� el caso de un proyectil cualquiera lanzado desde lo alto de una gran monta�a y sujeto a la acci�n de una fuerza que lo jala hacia el centro de la Tierra (figura 35). Para todos es claro que entre mayor es la velocidad de lanzamiento, mayor ser� el arco descrito por el proyectil antes de volver a tierra (trayectorias VD, VE, VF y VG, respectivamente). Si no se considera la resistencia que el aire opone al movimiento, y si se imprime al proyectil la suficiente velocidad, �ste dejar� de caer a tierra, dar� vueltas a lo largo de una curva cerrada y se convertir� entonces en un sat�lite, como la Luna. �ste es el principio utilizado en la actualidad para lanzar los sat�lites artificiales, pues mediante el empuje inicial generado por los cohetes transportadores se les proporciona la velocidad necesaria para que describan una �rbita cerrada que les permita permanecer en el espacio.

Figura 35. Newton represent� as� las diferentes trayectorias seguidas por un cuerpo lanzado horizontalmente desde lo alto de una monta�a, bajo la acci�n de la atracci�n gravitacional terrestre.

Para deducir la ley de la gravitaci�n, Newton procedi� de la siguiente manera. Sab�a que el periodo de traslaci�n de la Luna en torno a la Tierra era de 27.3 d�as, y que el radio de la trayectoria que aqu�lla describe en torno a nuestro planeta era de 385 000 km, as� que calcul� la aceleraci�n con la que ese cuerpo celeste se desplaza a lo largo de su �rbita, encontrando que era de 0.00273 metros por segundo cuadrado. Por otra parte, determin� cu�l ser�a la aceleraci�n de cualquier cuerpo (como una manzana) que cayera en la cercan�a de la superficie terrestre, y encontr� que era de 9.8 metros por segundo cuadrado.

Tomando en cuenta que el radio de nuestro planeta es de 6 400 km, Newton determin� que el valor de la aceleraci�n sufrida por la Luna al describir su �rbita es 3 600 veces menor que la de una manzana al caer sobre la superficie terrestre. Esta proporci�n es igual al cuadrado del cociente del radio de la �rbita lunar y del radio de la Tierra, raz�n por la que pudo relacionar la fuerza de atracci�n ejercida por nuestro planeta sobre esas dos masas tan diferentes, colocadas tambi�n a dos distancias muy diferentes. Para complementar lo discutido en este p�rrafo, v�ase el Ap�ndice E, donde se reproducen los c�lculos que al respecto hizo Newton.

La fuerza que act�a sobre la Luna y la que act�a sobre la manzana dependen de sus masas, as� como tambi�n de la masa de la Tierra. Por tanto, Newton asumi� que la fuerza gravitacional est� en funci�n de las masas de los cuerpos que se atraen y del inverso del cuadrado de la distancia que los separa. En los Principia nos dice: Yo deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus �rbitas deber�an ser rec�procas al cuadrado de sus distancias a los centros alrededor de los cuales giran, y por tanto compar� la fuerza necesaria para mantener a la Luna en su �rbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, encontrando que ellas eran bellamente iguales.

Con su gran capacidad de s�ntesis Newton se dio cuenta de que esta fuerza es la que nos mantiene unidos a la superficie del planeta, pero que por sernos tan familiar ya no reparamos en su constante presencia. Comprendi� claramente que la fuerza de atracci�n gravitacional resultaba de la interacci�n de la masa de la Tierra con cada uno de los objetos atrapados sobre ella. Su acci�n se manifestaba sin importar el tama�o, la estructura, la composici�n o la forma de los cuerpos. Bien pod�a tratarse de la m�s alta monta�a terrestre o de una peque�a manzana, ambos objetos sufren la acci�n de la fuerza de gravedad, por lo que afirm� que la atracci�n existe entre todos los cuerpos materiales, ya sean manzanas, planetas, cometas o estrellas. Este �ltimo hecho es el que le confiere car�cter de universalidad a su ley de la gravitaci�n.

Utilizando hechos observacionales, como la similitud de la ca�da lunar con la de la manzana, y sus tres leyes sobre el movimiento, y con el antecedente importante de las leyes de Kepler, Newton fue capaz de establecer la ley de la gravitaci�n, que puede expresarse as�: la fuerza de atracci�n ejercida entre dos cuerpos cualesquiera, cuyas masas m y M se encuentren separados por una distancia r, est� dirigida a lo largo de la l�nea que los une, siendo su magnitud directamente proporcional al producto de las masas m y M, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r.

Adem�s de establecer el hecho fundamental de que tanto los cuerpos c�smicos como los terrestres est�n sujetos a la acci�n de esta fuerza de atracci�n por la �nica raz�n de tener masa, demostr� que la ley de la gravitaci�n universal tiene m�ltiples consecuencias y aplicaciones. Newton mismo la utiliz� para resolver diversos problemas. Tanto en los Principia como en una obra posterior menos t�cnica a la que llam� El sistema del mundo, trat� ampliamente diversos aspectos astron�micos. Usando esa ley dedujo en forma natural las tres leyes del movimiento planetario encontradas emp�ricamente por Kepler, con lo cual les dio una fundamentaci�n f�sica clara. Tambi�n determin� la masa del Sol, que es 330 000 veces mayor que la masa terrestre. Adem�s, demostr� que la masa de cualquier planeta que tuviera al menos un sat�lite orbit�ndolo pod�a ser calculada.

Aplic� su ley para determinar la densidad media de la Tierra, encontrando un valor muy pr�ximo al que conocemos actualmente (5.5 g/cm³). Demostr� que nuestro planeta no es una esfera perfecta, sino un esferoide achatado por los polos, y calcul� el valor de ese achatamiento. Tambi�n comprob� que esa deformaci�n y la acci�n del tir�n gravitacional ejercido por la masa del Sol sobre tal achatamiento es la causa del fen�meno de precesi�n de los equinoccios. Con toda esa informaci�n pudo calcular el periodo de cambio de direcci�n del eje terrestre, que encontr� era de 26000 a�os, valor obtenido por Hiparco 2000 a�os antes a partir del an�lisis de observaciones realizadas desde la �poca de los caldeos, pero que antes de las investigaciones de Newton carec�a de sustento te�rico.

Explic� tambi�n el fen�meno de las mareas, atribuy�ndolo correctamente a la acci�n combinada de las fuerzas ejercidas sobre nuestros mares por las masas de la Luna y del Sol. Estudi� las modificaciones que sufre la �rbita lunar por efecto de la fuerza gravitacional del Sol, y demostr� que los cometas se mueven m�s all� de la trayectoria lunar y que se localizan en regiones propiamente planetarias, donde sus desplazamientos siguen �rbitas el�pticas o parab�licas. Para corroborar lo afirmado en este p�rrafo, en el Ap�ndice F se da un ejemplo sencillo de la aplicaci�n de la ley de gravitaci�n, calculando la masa de la Tierra.

Fue muy amplio el estudio que Newton realiz� sobre las consecuencias que la fuerza de atracci�n solar tiene en el movimiento de la Luna. Sirvi� mucho en su �poca ya que era de gran relevancia disponer de una teor�a lunar lo m�s completa posible, pues sus aplicaciones pr�cticas en la navegaci�n, y sobre todo en los viajes interoce�nicos, eran econ�micamente muy importante.

En cuanto a las estrellas, Newton dedic� solamente un breve p�rrafo en el Sistema del mundo, al que subtitul� "Sobre la distancia a las fijas". Argumentando acerca del hecho observacional bien establecido en su �poca de que �stas no presentaban paralaje alguno, infer�a, como otros hicieron antes que �l, que estaban muy alejadas del �ltimo cuerpo del sistema planetario. Partiendo del valor angular m�nimo que por ese entonces pod�a ser medido con precisi�n, estim� que la distancia m�nima a la que podr�an encontrarse ser�a 360 veces mayor que la que separaba al Sol de Saturno, valor que sin embargo consider� peque�o.

Por otra parte, comparando mediante ingeniosos c�lculos el brillo de ese planeta con el del Sol, Newton determin� la distancia a la cual este astro se ver�a tan luminoso como una estrella de primera magnitud, y encontr� que esa distancia era 64 800 veces mayor que la distancia que separa a Saturno del Sol. Como en esas fechas el sistema planetario ten�a como cuerpo m�s alejado de su centro precisamente a ese planeta, Newton concluy� que el cosmos en su conjunto tendr�a alrededor de 65 000 veces el tama�o de todo el Sistema Solar, lo que sin lugar a dudas dio dimensiones nunca antes imaginadas al Universo.

La importancia que para la astronom�a han tenido los trabajos de Newton es enorme, pues no s�lo descubri� la ley de la gravitaci�n universal y las tres leyes del movimiento, que permitieron entender en forma din�mica el comportamiento c�smico, sino que tambi�n invent� el telescopio reflector, instrumento que en la actualidad se ha convertido en los ojos con los que el astr�nomo escudri�a el cielo. Adem�s, descubri� que la luz est� compuesta por diversos colores, lo que, aplicado al estudio de los astros, ha permitido determinar importantes caracter�sticas f�sicas de �stos.

Sin exageraci�n puede decirse que, gracias a los trabajos de Newton, el hombre dispuso de las herramientas necesarias para comenzar la m�s fecunda etapa de investigaci�n astron�mica. Esto le ha permitido ampliar a tal grado sus conocimientos sobre el cosmos, que desde la aparici�n de los Principia ha establecido modelos cada vez m�s completos sobre el Universo.

En el aspecto pr�ctico la aplicaci�n del trabajo de Newton ha permitido construir m�quinas que han facilitado mucho nuestra vida, pero seguramente sus aplicaciones de mayor espectacularidad han ocurrido en el terreno astron�mico, donde entre otras cosas se han descubierto planetas y se ha podido predecir el retorno de cometas. Edmond Halley (1656-1743), astr�nomo ingl�s que estudi� observaciones de cometas de siglos anteriores, se dio cuenta de que hab�a varios casos en que, debido a su movimiento, parec�an tratarse del mismo cometa. Aplicando la mec�nica newtoniana calcul� los elementos de las �rbitas seguidas por cometas que hab�an sido observados en 1531, 1607 y 1682, y encontr� que era uno solo. Demostr� que ese cometa se mov�a en una �rbita el�ptica muy alargada que lo llevaba a recorrer gran parte del Sistema Solar, y que su periodo era de 76 a�os. Con esos elementos predijo que retornar�a a las inmediaciones del Sol a fines de 1758 o principios de 1759. Cuando eso sucedi� se confirm� el poder de la mec�nica newtoniana. Como es bien sabido, ese cometa fue bautizado como "Halley", en honor de quien calcul� por primera vez su �rbita y encontr� su periodo. Este cuerpo del sistema planetario volvi� a nuestra vecindad en 1835, 1910 y por �ltima vez en 1986-1987, y en todas esas ocasiones fue muy estudiado (figura 36).

Figura 36. Fotograf�a del cometa Halley en su paso de 1910, tomada en el Observatorio Astron�mico Nacional de M�xico, entonces ubicado en Tacubaya, Distrito Federal.

En resumen, gran n�mero de fen�menos naturales, entre los que se cuentan los complejos movimientos de los cuerpos del Sistema Solar, pudieron ser manejados y comprendidos gracias a la fuerza de atracci�n gravitacional encontrada por Newton, lo que posteriormente ha permitido entender la estructura y jerarqu�a de los fen�menos c�smicos no solamente en la Tierra, sino tambi�n en todo el universo observable, donde esta fuerza adquiere su verdadera magnitud, ya que es la que domina y mantiene la estructura misma del Universo.