INTRODUCCIÓN
Escribir un libro de matemáticas para un público amplio es, sin lugar a dudas, una aventura de la cual es difícil salir bien librado o al menos satisfecho. "Pero le sé decir, desocupado lector que, aunque me costó algún trabajo, ninguno tuve por mayor que hacer esta introducción que va leyendo. La razón es que quisiera que este libro, como hijo del entendimiento, fuera el más hermoso, el más gallardo y más discreto que pudiera imaginarse. Pero no he podido yo contravenir a la orden de naturaleza, que en ella cada cosa engendra su semejante."
Me he atrevido a presentar este libro —y de paso a mal citar a Cervantes— con el vano afán de destruir varios mitos, porque estoy convencido de que la imagen que de las matemáticas y los matemáticos tiene la mayoría de la gente es parecida a aquella que de la música tiene quien sólo ha escuchado un metrónomo y nunca una sonata lo que tradicionalmente se enseña sobre matemáticas está lejos de su verdadera esencia y creo que la aversión hacia ellas desaparecería si tan sólo intentáramos presentarlas como lo que son: una bella y terrible pasión.
—Matemático es aquel individuo para el cual los centros de la creatividad y la lujuria se encuentran alejados en la corteza cerebral muy cerca uno del otro— —me dijo un día mi maestro y concluyó—: recuerde usted las palabras de Newton: "No podía dormir sin dejar de pensar en ella."
— En la gravedad, por supuesto —contestó.
Yo, como muy frecuentemente sucede cuando él toca alguna fibra sensible, sonreí... y me quedé pensando. Recordé entonces aquella noche en la que por primera vez soñé, en un jardín de azucenas, con aquella bellísima mujer vestida de blanco... Decíase llamar Convexidad. Recuerdo que al final del sueño me reprochó no haberle sido lo suficientemente fiel. Y era cierto. Mi primer trabajo original, mi primera pasión intelectual, fue la solución al problema del equilibrio de los cuerpos, usando ideas de convexidad. No sé por qué (no me lo explico aún) pero, después de resolver el problema, por mucho tiempo no volví a pensar en ella, excepto ocasionalmente. Me dediqué a otras áreas: la combinatoria primero, la topología después. Aún la sigo soñando... Con este libro espero saldar mi deuda con ella.
Platico todo esto porque sé que mucha gente piensa que las matemáticas son feas, áridas, rígidas y frías. Yo sé que son bellas, cálidas, a veces terribles, sí, pero siempre apasionantes y entretenidas. Mucho se ha dicho acerca de que la belleza de las matemáticas es sólo para iniciados, sólo accesible para aquellos que entienden su lenguaje, y que está vedada para los demás. Yo he cometido la osadía de intentar conducirlo a usted, a través de este libro, por el jardín en donde sé que suele pasear.
La idea central alrededor de la cual gira esta obra es, como su nombre lo indica, la cara oculta de los círculos y las esferas. Son aquellas misteriosas y ocultas propiedades de círculos y esferas las que quiero tratar, no con el propósito de hacerlos parecer más lejanos, sino como un reconocimiento a la inesperada riqueza geométrica que se encuentra escondida en su interior. ¿Qué es lo que los hace ser lo que son?, ¿Qué parecen ser y no son exclusivamente?
Este libro comienza realmente en el capítulo IV, con un relato sobre la Escuela Polaca de Matemáticas y el "Libro escocés." Sin embargo, he querido dedicar el capítulo I a las sombras y las tajadas de los sólidos, no debido a que este material tenga una importancia especial, sino porque me permite establecer uno de los objetivos del libro: mostrar que las matemáticas son fundamentalmente una vivencia y que por lo tanto es posible hacerlas sobre hechos y objetos cotidianos. Además, todo esto me ha servido para implantar, desde un principio, un tono y una cadencia que prevalecerá durante el transcurso de la obra. El capítulo II es una introducción a la teoría de la convexidad, sin la cual el tratamiento de los capítulos posteriores sería imposible. El capítulo III es en sí mismo un tema aparte y trata una caracterización del círculo que usaremos de manera crucial en los capítulos V y VI, su lectura completa no es esencial y puede usted omitirlo si así lo desea; sin embargo, le recomiendo recordar el resultado principal de ese capítulo para cuando sea usado más adelante. La parte original del libro se encuentra en el capítulo V con la solución al problema del equilibrio de los cuerpos y en el capítulo VI, con la forma en que han sido presentadas las figuras de ancho constante, muy particularmente en el tratamiento de sus binormales. El libro finaliza con la solución de L. Danzer a una bella conjetura.
Leer un libro de matemáticas es fundamentalmente un acto de recreación y en poco se parece, digamos, a la lectura de un bestseller: No intente usted tomar este libro y leerlo de corrido, su lectura requiere de otro procedimiento que se parece más, por ejemplo, a la lectura de un libro de recetas de cocina. Lo que yo quiero decir es que en ambos casos uno tiene que reproducir concretamente y a cada momento lo que el autor señala. Por ejemplo, en la demostración correspondiente a la figura II.9, en el capítulo II de este libro, se dice: "Para ver esto dibujemos primero dos líneas en la dirección dada, que tengan a la figura entre ambas. Luego deslicémoslas hasta que toquen a la figura".
Leer este libro significa tener los ingredientes: papel y lápiz: luego dibujar con ellos, primero una figura y a continuación dos líneas paralelas a ambos lados de la figura; posteriormente deslizarlas, es decir, dibujar varias de ellas hasta dibujar dos que toquen a la figura. Con la práctica, lector, usted sabrá cuándo es necesario dibujar y cuándo basta imaginarlo. Lo importante es, pues, no sólo leer el texto sino, de alguna manera, recrearlo y reproducirlo para usted mismo.
Este libro tomó forma en un curso que sobre convexidad impartí en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México; tengo una deuda perenne con los estudiantes y mi ayudante, sin cuyo entusiasmo jamás se hubiese concretado este libro. A ellos pertenece parte de esta obra y creo justo mencionar sus nombres: Daniel Cervantes Peredo, Claudia Gómez Wulschner, Daniel Juan Pineda, Atocha Aliseda, Rafael Morales Gamboa, Sairy Karp y Andrés Silverman. Quiero también agradecer a Víctor Neumann Lara el haberme introducido en el bellísimo mundo de la convexidad, a Isabel Puga la síntesis que dio origen al nombre de este libro y a todas aquellas personas que están cerca de mí por darme la suficiente libertad para vivir y crear.
México, D.F., mayo de 1988
