IV. EL "LIBRO ESCOCÉS"

EN LA matemática, como en cualquier otro arte, existen corrientes, influencias y misteriosas afinidades. Mi vida como matemático ha estado ligada sin que yo así lo hubiera decidido, a la escuela polaca de matemáticas y al maravilloso y mágico mundo que rodea, no a ese libro, sino a ese mito que es el "Libro escocés". No recuerdo quién me habló o dónde oí hablar por primera vez del "Libro escocés" . Sólo recuerdo haber quedado hechizado por la noticia de la existencia de un cuaderno de problemas de matemáticas escrito en un café o en un bar polaco por unos, más que matemáticos, bohemios. Recuerdo haber oído que el cuaderno fue enterrado en un campo de futbol durante la segunda Guerra Mundial y recuperado misteriosamente al término de ésta, sin que en ese momento se supiera bien a bien dónde estaba y qué tipo de problemas contenía. Me imaginaba, no a Banach, a Ulam o a Steinhaus, sino a nuestros bohemios: Díaz Mirón, Gutiérrez Nájera, Acuña, y en el colmo del delirio, a mí mismo, pasar los días en un bar, platicando de poesías, mujeres y matemáticas, por el solo gusto de derrocharse la vida por ellas, pensando en ellas. Tenía noticias también de que los autores ofrecían botellas de cognac, de whisky, o un simple café, como recompensa a quien resolviera alguno de sus problemas.

Ese era el mito, la realidad no estaba muy lejos.

Dejemos que Ulam, uno de los autores del "Libro escocés", nos la relate: Para aquellos que no lo sepan, empezaré diciendo que el así llamado "Libro escocés" (Scottish Book) es una colección informal de problemas en matemáticas. Empezó a escribirse en Lvov, Polonia —mi ciudad natal— en 1935; cómo y por qué, será explicado a su debido tiempo. La mayoría de los problemas fueron propuestos por un pequeño grupo de matemáticos de la localidad, entre los que me encontraba yo. De hecho, muchos de los primeros problemas se originaron antes de 1935 —quizá seis o siete años antes— durante el periodo en el que aún era yo estudiante. Como principiante, asistía regularmente a todos los seminarios y conferencias en el campo de mi interés, y me hice amigo de varios de los viejos matemáticos ya establecidos. Fue entonces cuando me permitieron tomar parte en las discusiones informales —generalmente discutíamos dos o tres al mismo tiempo—, lo que era la manera usual de convivir entre los matemáticos del Lvov de antes de la segunda Guerra. Por muchos años, yo fui invariablemente el más joven de ese grupo; al final apareció Mark Kac y tuve que cederle el privilegio de haber sido el más joven durante cinco años. La historia del "Libro escocés" podría también ser llamada "La rivalidad entre dos cafés", el Café Roma y el de al lado, el Café Szkocka, o Café Escocés. Estos dos establecimientos están situados en una pequeña placita a unos 50 o 100 metros de la Universidad de Lvov. No hace mucho, mi amigo Mazur —uno de los autores más prolíficos representados en el "Libro escoces"— me envió una postal en la que aparecen estos dos cafés tal y como estaban a principios de los años setenta (quizá estén aún ahí). Hasta donde pude ver, nada ha cambiado desde aquellos días antes de la segunda Guerra Mundial. Para nuestra historia, el Café Roma fue, en un principio, el más importante de estos dos cafés. Fue ahí en donde los matemáticos empezaron a reunirse después de las reuniones semanales de nuestra sección de la Sociedad Matemática Polaca. Estas reuniones tenían lugar comúnmente los sábados en un salón de seminarios de la Universidad —y por lo tanto cercano a los cafés—. Podían ser en la tarde o en la mañana. Usualmente el programa consistía en pláticas que duraban cuatro o cinco minutos; las pláticas de media hora eran poco comunes y, afortunadamente, las pláticas de una hora eran muy raras. Por supuesto había cierta discusión en el salón de seminarios, pero la discusión realmente fructífera se daba en el Café Roma después de que la reunión se acababa oficialmente.

Figura IV. 1 El Café Escocés a principio de los años setenta.


Entre los matemáticos ya formados que frecuentaban el Café Roma, el más prominente era sin lugar a dudas Banach. Los otros profesores titulares o asistentes eran Stozek, Ruziewick, y Lomnicki. Además asistían algunos ayudantes jóvenes y uno que otro estudiante como yo. Kuratowski, que era profesor en el Instituto Politécnico, y Steinhaus, que estaba en la Universidad, preferían ir a un café más elegante. Pero Banach, Mazur y algunos visitantes como Sierpinski, eran clientes del Café Roma. Ahí nos sentábamos a discutir matemáticas, chiquiteando una taza de café o de té, durante tres o cuatro horas —algo que aún puede hacerse en algunos cafés de París. Además de matemáticas, había ajedrez. Auerbach era un jugador muy fuerte. Frecuentemente jugaba una o dos partidas con Stozek o Nikliborc mientras Banach miraba y por supuesto metía su cuchara. Pero además de todo esto, los matemáticos continuábamos con la discusión que habíamos empezado más temprano en la reunión de la Sociedad Matemática. La atmósfera que se vivía, especialmente en Lvov, era de una colaboración entusiasta; la gente estaba realmente interesada en los problemas de los otros. Esto también era cierto en Varsovia, en donde había muchísima colaboración entre topólogos, aquéllos que hacían teoría de conjuntos, y lógicos. En Lvov, el interés no sólo estaba en la teoría de conjuntos sino, debido a la influencia de Steinhaus y Banach, también en el análisis funcional y algunos otros campos. Fue Steinhaus quien descubrió a Banach; de hecho, solía decir que fue su descubrimiento más grande. Steinhaus cuando joven, fue profesor en Cracovia, una ciudad que se encuentra a 300 kilómetros al oeste de Lvov. Una mañana, mientras caminaba por un parque, oyó discutir a dos jóvenes, que se encontraban sentados en una banca, acerca de la integral de Lebesgue. La integral de Lebesgue era en ese entonces una teoría muy novedosa (esto sucedía en 1917). Steinhaus estaba tan intrigado que comenzó a platicar con los dos jóvenes, uno de los cuales era Banach. Quedó muy impresionado y desde entonces apoyó y aconsejó a Banach para que continuara con sus estudios. Banach, por otro lado, era una persona muy excéntrica en sus hábitos y en su vida personal. Jamás presentó un examen, pues los odiaba intensamente. Pero escribió tantos artículos originales y propuso tantas nuevas ideas, que años más tarde fue premiado con el grado de doctor sin haber pasado por ninguno de los exámenes regulares. Todo esto sucedía a finales de la primera Guerra Mundial, alrededor de 1919.

Figura IV.2 Del "Libro escocés" original, manuscrito de Banach.


Pero para volver a la escuela polaca de matemáticas, a los cafés y al "Libro escocés" debo señalar que las áreas tratadas por nosotros formaban parte de algo muy novedoso. La teoría de conjuntos era todavía muy nueva y la topología de conjuntos más aún. La teoría de funciones de variable real y la idea de espacio de funciones fueron, en cierto sentido, descubiertas y desarrolladas en Polonia, específicamente en Lvov. Aún no he explicado cómo nació esta colección de problemas. Volvamos entonces al Café Roma y a Banach. Él solía pasar horas, y aun días enteros ahí, especialmente hacia el final del mes, que era cuando la Universidad pagaba. Un día se enojó muchísimo, pues ya no le querían fiar en el Café Roma y decidió cambiarse al Café Escocés que se encontraba en la puerta de al lado, a sólo diez metros del Roma. Stozek y algunos químicos y físicos continuaron frecuentando el Roma, pero el Café Escocés se convirtió, desde ese momento, en el lugar de reunión de un pequeño grupo de matemáticos, que incluían a Banach, a Mazur, a mí, y ocasionalmente a algunos otros. A esto se debe que muchos de los problemas de esta colección lleven nuestros nombres. Había, por supuesto, visitantes, mi amigo Schreier entre otros, pero los consumidores habituales éramos nosotros tres. ¿Cómo nació el libro? Un día Banach decidió que ya que hablábamos de tantas cosas, deberíamos escribir las ideas, cuando era posible, para que no se nos olvidaran. Trajo un cuaderno muy largo y muy bien empastado en el que empezamos a escribir los problemas. El primero de ellos tiene la fecha del 17 de julio de 1935. Esto sucedió cuando yo todavía vivía en Polonia. El cuaderno era guardado en el Café Escocés por un mesero que conocía el ritual —cuando Banach o Mazur llegaban, bastaba con que dijeran "el libro, por favor", para que el mesero lo trajera inmediatamente junto con unas tazas de café. Los años pasaron, hubo más y más problemas propuestos por otros matemáticos polacos, Borsuk, por ejemplo —un topólogo amigo mío de Varsovia— y muchos otros. El "Libro" creció y llegó a ser una colección de unos 190 problemas, de los cuales ahora, cerca de cincuenta años más tarde, tres cuartas partes han sido resueltos. Algunos de los problemas fueron propuestos sin que se hubiera pensado mucho desde antes en ellos; pocos fueron resueltos inmediatamente. Todo esto está anotado en el libro. El documento permaneció en Polonia. En mi último viaje a Polonia antes de la guerra, en el verano de 1939, Mazur, más realista que yo acerca de la situación del mundo, me dijo que creía que una gran guerra era inminente. Dijo que nuestros resultados acerca de grupos numerables, entre otros, algunos de los cuales no estaban publicados para entonces, no deberían de perderse. Entonces propuso que cuando viniera la guerra pondría el libro en una pequeña caja y lo enterraría donde pudiera ser encontrado más tarde, cerca de la portería de un campo de futbol. Nunca supe si ésta fue la forma en la que el "Libro escocés" fue conservado, pues cuando volví a ver Mazur en Varsovia hace pocos años olvidé preguntarle. De cualquier forma el "Libro escocés" sobrevivió la guerra y Banach lo tuvo a la mano. Cuando Banach murió en 1945, su hijo Stephan Banach, Jr. (ahora un neurocirujano en Varsovia) lo encontró, y se lo enseñó a Steinhaus inmediatamente después de la guerra. Steinhaus entonces lo copió a mano palabra por palabra y en 1956 me envió esta copia a los Alamos. Yo lo traduje y le saqué en mimeógrafo 300 copias, después envié por correo esas copias a varias universidades tanto de aquí como del exterior y se lo envié también a varios amigos. Desde entonces, el libro empezó a conocerse en los círculos matemáticos.

Una vez terminado el relato de Ulam (que hemos traducido en sus partes esenciales), diremos que el "Libro escocés" consta de exactamente 193 problemas, algunos de ellos resueltos, algunos otros aún sin resolverse. Los temas que se tocan son muy variados, pero todos ellos tienen como común denominador la sencillez y nitidez con la que están planteados. Todos ellos fueron escritos en el cuaderno original, en el Café Escocés, ya sea por el grupo de matemáticos que lo frecuentaba o por amigos suyos que llegaban de visita. La mayoría de los problemas están planteados por Banach, Ulam, Steinhaus o Mazur, pero existen además nombres tan famosos como: Erdoz, Frechet, Infeld, Kuratowski, Sierpinski, Eilenberg, Lusternik, von Neumann, Knaster, Alexandroff, etc. Aunque Ulam afirma que los primeros problemas datan del año de 1928, el primer problema tiene la fecha del 17 de julio de 1935 y el último la fecha del 31 de mayo de 1941. Muchos de los problemas permanecen aún sin resolverse y los premios o recompensas que se ofrecen van desde una botella de champagne, una botella de whisky, una botella de vino, una copa de brandy, una cerveza pequeña, una taza de café, 100 gramos de caviar, cenas en varios restaurantes, hasta un kilo de tocino o un ganso vivo.

Hablaremos sobre un problema en particular de este libro: el problema número 19, planteado por Ulam:

Si un sólido de densidad uniforme tiene la propiedad de flotar en equilibrio —sin voltearse— en cualquier posición en la que se le deje, ¿deberá ser éste necesariamente una esfera? En particular, cuando la densidad es cero: Si un sólido descansa en equilibrio en cualquier posición en la que se le deje sobre una superficie plana horizontal, ¿deberá ser éste una esfera?

Existe una versión bidimensional de este problema —se refiere a figuras y no a sólidos. En este caso, pensamos en un cilindro de densidad uniforme y suponemos que el cilindro tiene la propiedad de que, mientras su eje permanezca paralelo a la superficie del agua, flota en equilibrio, de acuerdo con la Ley de Arquímedes, sin voltearse en cualquier posición en la que se le deje. ¿Deberá ser este cilindro un cilindro circular?

En 1938, H. Auerbach —el mismo que era muy buen jugador de ajedrez en el Café Roma— estudió el caso cuando la densidad es un medio. Se dio cuenta de que cuando la sección transversal del cilindro es radialmente simétrica, entonces el cilindro tiene que ser un cilindro circular. Sin embargo, y es lo más sorprendente, mostró que en general el cilindro no necesariamente es circular.

En la figura IV.3 mostramos dos posibles soluciones. En ambas existe un segmento de línea que rota dentro de la figura y que, en cada posición, corta el área y el perímetro a la mitad.

Figura IV.3

En 1921 el matemático Zindler encontró figuras F con la curiosa propiedad de que todas las cuerdas que cortan el área de F a la mitad tienen la misma longitud y cortan el perímetro también a la mitad. Auerbach probó que son precisamente estas figuras, o curvas de Zindler, aquellas que flotan en equilibrio en cualquier posición cuando la densidad es un medio. Más adelante describiremos un método más o menos sencillo para trazar curvas de Zindler.

El problema original —en tres dimensiones— adquiere a la luz de estos ejemplos un aspecto mucho más interesante e intrigante —después de los ejemplos de Auerbach no es fácil decidirse por un sí o por un no como respuesta— y aun después de más de cincuenta años "nadie sabe la respuesta".

Con respecto al segundo problema —cuando la densidad es cero— vamos a ver en el siguiente capítulo que la respuesta es un rotundo sí —tanto en la versión bidimensional como en la versión original.

Quizá el caso más simple que queda aún sin responder se refiere a la versión bidimensional, cuando la densidad es distinta de cero o un medio, y la sección del cilindro es radialmente simétrica. Es decir, nadie conoce —que yo sepa— la respuesta a la siguiente pregunta:

Si un cilindro con densidad uniforne distinta de cero y un medio, cuya sección transversal es radialmente simétrica, tiene la propiedad de que flota en equilibrio —manteniendo su eje paralelo a la superficie del agua— en cualquier posición en la que se le deje, ¿deberá ser éste un cilindro circular?