XXIV. EL MONOPOLO MAGN�TICO DE DIRAC

A PESAR de que el electromagnetismo cl�sico funciona muy bien bajo la suposici�n de que no hay monopolos magn�ticos, nada hay en la f�sica cl�sica que prohiba su existencia. �Ser� esto cierto en la f�sica cu�ntica o habr� en ella alg�n obst�culo para el monopolo? �sta es la pregunta que Paul Dirac se plante� en 1931 y a la que dio una respuesta por dem�s ingeniosa. Dirac hall� algo m�s, pues demostr� que de existir una carga magn�tica aislada, se encontrar�a la respuesta a una vieja inc�gnita de la f�sica moderna: �por qu� todas las part�culas elementales que podemos observar aisladas tienen una carga que es m�ltiplo entero de la del electr�n?

El razonamiento de Dirac, en su m�s pura usanza, es un claro ejemplo del pensamiento matem�tico aplicado a la f�sica. Es una manifestaci�n clara, tambi�n, de la creencia de Dirac seg�n la cual incluso es mejor tener belleza en las ecuaciones de la f�sica que ajustar los datos experimentales. No obstante, puede omitirse lo que sigue y, sin perder continuidad en la lectura, pasar directamente al siguiente cap�tulo.

Todo arranca de la interpretaci�n de la funci�n de onda de Schr�dinger que, como postul� Born, al elevarse al cuadrado es proporcional a la probabilidad de encontrar a la part�cula, digamos a un electr�n. Ahora bien, la ecuaci�n de Schr�dinger admite soluciones que en general son n�meros complejos, por lo que ese cuadrado debe entenderse como el valor absoluto de la funci�n de onda y al cuadrado. Esto implica que una funci�n de onda cualquiera y otra que se obtenga multiplic�ndola por una funci�n cuyo valor absoluto valga uno tienen la misma informaci�n f�sica. Tan buena es una como la otra.

A estas funciones de valor absoluto unidad los f�sicos y matem�ticos las llaman fases. Estas fases pueden o no depender del punto del espacio-tiempo. Si no dependen, nada espectacular ocurre. Pero si existe alguna dependencia espacio-temporal de la fase, pueden tambi�n ocurrir dos cosas: al recorrer un circuito cerrado en el espacio, la fase puede o no recuperar su valor. Si lo recupera, nada espectacular ocurre, pero si la fase no regresa al valor que ten�a antes del recorrido por el circuito y al llegar al mismo punto, Dirac dice que ello significa que el electr�n est� sujeto a un campo electromagn�tico.

En este sentido, Dirac encuentra un segundo principio de equivalencia en la f�sica. El primero, postulado por Einstein, nos dice que un sistema de referencia acelerado (como un elevador que cae, por ejemplo) es indistinguible de un campo gravitacional constante. Dirac nos dice que estas fases raras que no regresan a su valor al recorrer un circuito son indistinguibles de un campo electromagn�tico.

Y contin�a Dirac su razonamiento impecable: la fase es una funci�n matem�tica peculiar, pues al aumentarse por un m�ltiplo entero del n�mero 2p nada pasa. Por ello el cambio en la fase, al recorrer el circuito, o este cambio m�s 2np siendo n un n�mero entero, da lo mismo. Por su principio de equivalencia, �ste es el flujo magn�tico, o sea, la cantidad de l�neas de campo magn�tico que cruzan cualquier superficie S que bordee al circuito. Cuando este circuito es muy peque�o, el flujo magn�tico y el cambio en la fase se anulan, por lo que n debe ser igual a cero. Todo est� de acuerdo a nuestros prejuicios.

Sin embargo, hay algunos puntos donde y es cero. En tal caso, por peque�o que sea el circuito, la fase puede cambiarse bruscamente y ya no se anular�a necesariamente. En general, y = 0 a lo largo de una l�nea en el espacio, que llamaremos l�nea nodal. Pueden darse dos situaciones distintas: la l�nea nodal tiene o no un principio. En el primer caso, surge algo interesante, como ahora veremos.

Supongamos que la superficie S que rodea al circuito se cierra, esto es, que hacemos el circuito peque��simo. Ya que una superficie cerrada no tiene per�metro, el cambio en la fase al recorrer ese per�metro se anula. S�lo sobreviven las l�neas nodales, donde y es igual a cero. Si la l�nea nodal no tiene principio ni final, nada ocurre, pues esa l�nea contribuye dos veces al flujo magn�tico en S: de manera positiva cuando entra a la superficie, de forma negativa cuando sale. Pero si la l�nea nodal empieza (o termina) dentro de S, �un campo magn�tico se origina ah� adentro! Es como si hubiera una carga magn�tica, como si existiera el monopolo. Nada hay en la mec�nica cu�ntica que impida la presencia del monopolo.

Llegamos as�, tomados de la mano de Dirac, a la situaci�n siguiente: existen algunas funciones de onda de Schr�dinger con una l�nea nodal que tiene un principio o un final. En estos puntos en que comienza o termina la l�nea nodal se encuentra un monopolo magn�tico, que produce unas l�neas de campo magn�tico semejantes a las de la Figura 13a. Si las l�neas empiezan en ese punto, por convenci�n llamamos al monopolo "norte", y si ah� acaban le llamamos "sur".

Dirac aplica despu�s las leyes del electromagnetismo —las ecuaciones de Maxwell— al problema de un electr�n con carga e que se mueve frente a un monopolo de intensidad m. Si m ha de existir, la mec�nica cu�ntica requiere que

donde n es un entero o, puesto al rev�s, la carga el�ctrica ha de ser un m�ltiplo entero de la cantidad c/2m. Si en alg�n punto del universo existiera un monopolo magn�tico, la carga el�ctrica ser�a por fuerza un m�ltiplo entero de una carga el�ctrica fundamental. A esto le llaman los f�sicos la cuantizaci�n de la carga. El monopolo de Dirac es la �nica explicaci�n razonable que tenemos de este hecho misterioso. De ah� la importancia que sus colegas dieron a esta idea revolucionaria.