IX. MUY BAJAS TEMPERATURAS

LA DESCRIPCI�N microsc�pica presentada en el cap�tulo anterior supone que la din�mica que rige el movimiento de las part�culas del fluido y el de la part�cula browniana es la din�mica cl�sica, es decir, que los movimientos se rigen por medio de las ecuaciones de Newton. Sin embargo, en ciertas circunstancias, por ejemplo a bajas temperaturas, estas ecuaciones ya no rigen su descripci�n din�mica. Entonces la descripci�n que se tiene que hacer es cu�ntica.

Diremos unas cuantas palabras acerca de la mec�nica cu�ntica. A principios del presente siglo varios investigadores como Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, etc., se dieron cuenta de que varios fen�menos no pod�an explicarse usando la mec�nica desarrollada por Newton, por ejemplo, la estructura de los �tomos (v�ase el cap�tulo XI m�s adelante) o el comportamiento de las sustancias a muy bajas temperaturas. En general, se encontr� que la descripci�n de los fen�menos microsc�picos no puede hacerse tomando como base la mec�nica newtoniana. Durante la d�cada de 1920 se desarroll� una nueva mec�nica, la cu�ntica, con la que s� se pudo dar una explicaci�n satisfactoria de comportamientos microsc�picos. Se descubri� que es precisamente con la mec�nica cu�ntica con la que se tienen que describir todos los fen�menos. Pero resulta que si nos restringimos a cuerpos de masas much�simo mayores que las masas at�micas, por ejemplo cuerpos macrosc�picos que nos rodean cotidianamente, como pelotas, coches, edificios, etc., entonces la explicaci�n cu�ntica coincide con la newtoniana.¹

Hay que mencionar que no siempre tiene sentido f�sico trasponer la descripci�n de un sistema cl�sico a uno cu�ntico. As�, por ejemplo, no tiene caso intentar describir cu�nticamente una part�cula inmersa en un l�quido a muy bajas temperaturas, porque para aquellas temperaturas en casi todos los casos en que efectos cu�nticos pueden aparecer, el l�quido ya se habr� solidificado. Sin embargo, hay sistemas f�sicos de inter�s para los cuales s� tiene sentido f�sico (y es necesario) llevar a cabo una descripci�n cu�ntica. Solamente mencionaremos algunos sistemas: el movimiento de una part�cula masiva en un s�lido compuesto de part�culas ligeras, el caso de una part�cula el�ctrica inmersa en un campo de radiaci�n electromagn�tica fluctuante, un l�ser, entre otros. Haremos una breve presentaci�n de los resultados que se han obtenido para estos casos.

El modelo de osciladores arm�nicos expuestos en el cap�tulo VIII se ha utilizado para tratar, dentro de ciertos l�mites, un s�lido. Asimismo se puede demostrar que un campo electromagn�tico es equivalente a un conjunto de osciladores arm�nicos sin masa. En consecuencia, una part�cula (con masa) el�ctricamente cargada en interacci�n con el campo electromagn�tico es equivalente a una part�cula en interacci�n con un conjunto de osciladores arm�nicos. Por lo tanto, el modelo de osciladores arm�nicos se puede aplicar a estos sistemas f�sicos.

Consideremos las mismas condiciones se�aladas en el cap�tulo VIII, a saber:

1) El n�mero N de �tomos que forman el medio es muy grande. As�, se garantiza que los procesos son irreversibles. Tambi�n en este caso, el cu�ntico, existe un teorema de recurrencia de Poincar� an�logo al del caso cl�sico.

2) La masa de la part�cula browniana es much�simo mayor que la masa de cada uno de los �tomos del medio.

3) Se tratar� con tiempos muy grandes comparados con el tiempo que tardan en ocurrir dos colisiones entre las part�culas.

Bajo estas circunstancias se encuentra que, efectivamente, la part�cula browniana experimenta de nuevo dos fuerzas, an�logas a las del caso de altas temperaturas. Con respecto a la primera de estas fuerzas la situaci�n es id�ntica a la analizada anteriormente.

Sin embargo, la fuerza estoc�stica ya no tiene las mismas propiedades que a altas temperaturas. Mientras que cl�sicamente la fuerza no est� correlacionada consigo misma en cualquier otro instante, en el caso cu�ntico existe una correlaci�n y puede durar un tiempo t_q muy grande (E. Braun, 1967). En la figura 22 se muestra la gr�fica de la dependencia de este tiempo de correlaci�n t_q con la temperatura. A medida que la temperatura del medio se hace m�s baja, el tiempo de correlaci�n se vuelve cada vez m�s grande. Es decir, se presenta un fen�meno de persistencia de las fluctuaciones (K. Lindenberg y B. West, 1984; E. Braun, 1985). Una caracter�stica muy interesante de este tiempo t_q es que es universal. Con esto queremos decir que no depende de ninguna caracter�stica del sistema, salvo de su temperatura. Esto constrasta con el tiempo de relajaci�n t obtenido para el caso de altas temperaturas, que s� depende de las caracter�sticas particulares del sistema. En otras palabras, dos sistemas distintos a la misma temperatura, tienen distintos valores de t, mientras que tienen el mismo valor de t_q .

Figura 22. El tiempo de correlaci�n cu�ntico t_q como funci�n de la temperatura. A medida que la temperatura disminuye el tiempo aumenta.

Una consecuencia de lo anterior es que el valor cuadr�tico medio de las velocidades ya no decae con un solo tiempo de relajaci�n como ocurre en el caso cl�sico, sino que aparece, adem�s, el nuevo tiempo de relajaci�n cu�ntico t_q. Debe mencionarse que aun en estas condiciones resulta que el promedio de la velocidad decrece como en el caso de altas temperaturas; es decir, con el tiempo de relajaci�n t introducido arriba.

Si la temperatura t es suficientemente baja, vemos de la gr�fica que t_q grande y por lo tanto existe un r�gimen de tiempos t tales que son muchos mayores que el tiempo de relajaci�n t por un lado, y por el otro, mucho menores que el tiempo de relajaci�n cu�ntico t_q (ver la figura 23).

En este r�gimen de tiempos, el valor cuadr�tico medio de la velocidad de la part�cula no ha alcanzado todav�a su valor de equilibrio, en contraste con el caso cl�sico en que para estos tiempos la part�cula ya habr�a llegado a equilibrio y, por tanto, habr�a "olvidado" sus condiciones iniciales.

Figura 23. A temperaturas suficientemente bajas el tiempo t puede ser mucho mayor que el tiempo de relajaci�n t, pero mucho menor que el tiempo cu�ntico t_q.

En el caso cl�sico, como se vio anteriormente, el promedio de la velocidad de la part�cula browniana decae en un tiempo t; esta disipaci�n se debe a la fricci�n (o viscosidad) que se genera entre el medio y la part�cula, cuando �sta se mueve en el medio. Por otro lado, como vimos, el valor cuadr�tico medio de la velocidad tambi�n decrece con el mismo tiempo de relajaci�n t.

En el caso cu�ntico, a temperaturas suficientemente bajas, las cosas son distintas. Se presentan dos escalas de relajaci�n diferentes: la debida a la fricci�n viscosa dada por t y la de origen cu�ntico dada por t_q. Lo anterior tiene como consecuencia que, en el caso cl�sico, el mecanismo de disipaci�n viscosa relaja una fluctuaci�n que haya ocurrido en el sistema por cualquier motivo. La fluctuaci�n desaparece y el sistema regresa al equilibrio. En el caso cu�ntico esta descripci�n ya no es cierta. Las fluctuaciones a bajas temperaturas dejan de relajarse y por lo tanto la disipación viscosa no lleva al sistema al equilibrio.

Otra interesante consecuencia es la siguiente: dado que las cantidades f�sicas que acabamos de se�alar determinan las propiedades macrosc�picas, termodin�micas, del sistema, este efecto de la persistencia de las fluctuaciones debe ser observable. Hay que mencionar que diversas facetas de este problema todav�a son hoy materia de investigaci�n.

Es interesante anotar que el comportamiento cu�ntico que acabamos de presentar se ha obtenido a partir de una base microsc�pica. A diferencia del caso cl�sico, no exist�a antes una teor�a fenomenol�gica (o emp�rica) cu�ntica en busca de fundamentaci�n. Antes del desarrollo de las teor�as cu�nticas microsc�picas no se hab�a encontrado la forma de atacar el problema. �ste es un buen ejemplo de la superioridad de las teor�as microsc�picas, que estudian con mayor profundidad los comportamientos de los sistemas macrosc�picos.

NOTAS

1 Para una explicaci�n m�s amplia v�ase E. Braun, Una faceta desconcida de Einstein, M�xico, FCE, 1986.