VIII. DESCRIPCI�N MICROSC�PICA

EN LA secci�n anterior se rese�� la descripci�n macrosc�pica basada en las suposiciones hechas por Langevin. Como se recordar�, Langevin supuso varias propiedades de las fuerzas, tanto sistem�ticas como estoc�sticas, que experimentan las part�culas brownianas. Una vez aceptadas estas suposiciones se pudieron encontrar conclusiones acerca de las propiedades que deben tener las distribuciones tanto de la velocidad como de la posici�n. Estas conclusiones se compararon con resultados extra�dos de experimentos, obteni�ndose un buen acuerdo, lo que significa que las suposiciones hechas son adecuadas.

Sin embargo, uno podr�a pensar que la manera en que se hicieron las suposiciones es, en cierta forma, artificial. Cabe preguntar: �se podr�an justificar m�s fundamentalmente estas suposiciones? En particular, y como el lector podr� haber advertido, al proponer dichas suposiciones no se tom� en cuenta, en detalle, el hecho de que las sustancias en cuesti�n, por ejemplo el fluido, est�n constituidas por �tomos, es decir, que tienen una estructura microsc�pica.

Dedicaremos pues esta secci�n a estudiar m�s a fondo la descripci�n microsc�pica del movimiento browniano. En este tipo de tratamiento se adaptan las ideas desarrolladas en la teor�a cin�tica de la materia, ya descritas en el cap�tulo II. La aplicaci�n de estas ideas al movimiento browniano se inici� hacia fines de la d�cada de los a�os 50 y contin�a, de hecho, hasta hoy.

La idea general del enfoque microsc�pico es suponer la forma de las fuerzas que los �tomos se aplican entre s� y con la part�cula browniana. Con esto se plantean las ecuaciones mec�nicas que describen el movimiento de cada part�cula del sistema fluido-part�cula browniana, por ejemplo, las que se obtienen de aplicar la segunda ley de Newton. Si N es el n�mero de �tomos en el fluido, entonces se obtendr�n (N + 1) ecuaciones de este tipo. Estas ecuaciones resultan muy complicadas, ya que, en general, una part�cula puede interaccionar con cada una de las dem�s que componen el sistema (Figura 19). En general, no se han podido resolver exactamente estas ecuaciones. El procedimiento que se debe seguir es tratar de encontrar la soluci�n para la part�cula browniana, y ver qu� influencia tienen sobre ella las dem�s part�culas del sistema.

Figura 19. En el sistema part�cula browniana-fluido cada una de las part�culas componentes interacciona con todas las dem�s. En la figura solamente se indican algunas de estas interacciones.

Uno de los m�todos seguidos es suponer que la masa de la part�cula browniana es much�simo mayor que la masa de cualquiera de los �tomos que componen el fluido. Para los casos usuales la masa de la part�cula browniana es unas 300 millones de veces m�s grande que la masa de un �tomo del fluido. En estas condiciones, ocurre que las velocidades de cada una de las part�culas del fluido son much�simo mayores que las velocidades que tiene la part�cula browniana. Con ayuda de este hecho se ha podido encontrar, para un fluido, la soluci�n de manera aproximada. Hay que mencionar, sin embargo, que el desarrollo de este programa para fluidos est� plagado de dificultades matem�ticas, que todav�a no han podido ser resueltas.

En vista de lo anterior, se ha intentado estudiar otro tipo de modelos para los cuales se puedan obtener resultados exactos, simplificando matem�ticamente el modelo pero manteniendo suficiente contenido f�sico para que siga siendo de inter�s. Estos trabajos fueron realizados principalmente por P. C. Hemmer (1959), R. Rubin (1960), G. Ford, M. Kac y P. Mazur (1965), P. Mazur y E. Braun (1964). Los modelos llamados gen�ricamente de osciladores arm�nicos acoplados satisfacen los requisitos mencionados.

Se han estudiado estos modelos en una, dos y tres dimensiones. Sin embargo, las ideas f�sicas fundamentales que se manejan y los resultados que se obtienen en los modelos de una dimensi�n son, en esencia, los mismos que se presentan al tratar con otras dimensionalidades. As� que, para simplificar, analizaremos a continuaci�n modelos de osciladores arm�nicos en una dimensi�n. Esto significa que cada uno de los �tomos o mol�culas de nuestro sistema solamente se puede mover a lo largo de una l�nea recta.

Imaginemos un conjunto de part�culas colocadas a lo largo de una l�nea recta, en posiciones equidistantes. Supongamos ahora que entre cada pareja de part�culas adyacentes hay un resorte (Figura 20). Si, por alg�n motivo, cualquiera de las part�culas se mueve, nos podemos dar cuenta que despu�s de cierto tiempo todas las dem�s part�culas habr�n de moverse. Esto se debe a que todas las part�culas est�n acopladas entre s� por medio de resortes, aunque la interacci�n directa de una part�cula sea solamente con sus dos vecinas pr�ximas. A este sistema se le llama conjunto de osciladores arm�nicos. En este modelo, una de las part�culas, la de masa grande, desempe�ar� el papel de la browniana, mientras que todas las dem�s, de masas peque�as, representar�n al fluido.

Figura 20. Modelo en una dimensi�n de un conjunto de osciladores arm�nicos. La part�cula grande desempe�a el papel de la browniana y el resto de ella el del fluido.

Se ha podido resolver en forma exacta el sistema de ecuaciones de movimiento de todo el conjunto de part�culas. La soluci�n que corresponde a la part�cula browniana se puede expresar de la siguiente forma:

En primer lugar para este modelo se ha podido estudiar con bastante detalle, la manera en que la evoluci�n de la part�cula browniana resulta irreversible. Para poner en el contexto adecuado esta cuesti�n, debemos mencionar que las ecuaciones de Newton, resultantes de su segunda ley, son ecuaciones que describen procesos reversibles. Entonces surge la pregunta: �c�mo es posible que si la din�mica esencial del movimiento de las part�culas del sistema es reversible, pueda ocurrir que la evoluci�n de la part�cula browniana sea irreversible? Este problema fue planteado en 1876 por Josef Loschmidt (1821-1895) y se le conoce como la paradoja de la reversibilidad.

Loschmidt plante� esta paradoja en forma general. De hecho dudaba que fuera posible, en principio, hacer la descripci�n que se intenta. Esto ocurr�a en tiempo en que todav�a no se confirmaba la composici�n at�mica de la materia.

Posteriormente, en 1896, Ernst Zermelo (187l-l953) plante� otra paradoja con la que trat� de mostrar que no era posible suponer que la materia estuviese compuesta de �tomos. Esta paradoja se basa en un famoso teorema general de la mec�nica, el llamado teorema de recurrencia debido a Henri Poincar� (1854-1912), que dice: en un sistema mec�nico con un n�mero finito de part�culas, los valores que adquieren en cierto instante las variables que lo describen volver�n a repetirse tan cercanamente a los originales como se quiera, si uno espera un tiempo suficientemente grande.

El teorema de Poincar� nos dice que si en cierto instante tomamos una fotograf�a de las posiciones y de las velocidades de las part�culas que componen un sistema arbitrario (Figura 21 (a)), y si esperamos un tiempo suficientemente grande, el sistema regresar� a un estado que tendr� valores de las posiciones y de las velocidades de sus part�culas muy cercanos a los originales (Figura 21 (b)). Es decir, el sistema recurre a su estado inicial, y la nueva fotograf�a deber� coincidir con la original, lo que significa que la evoluci�n del sistema no es irreversible, sino reversible. Este teorema de recurrencia es una consecuencia del car�cter reversible de los movimientos descritos por la mec�nica. Este teorema, como fue aplicado por Zermelo, nos hace ver que, seg�n la mec�nica, los procesos irreversibles no pueden existir.

Por otro lado, como se analiz� en el cap�tulo IV, sabemos de nuestra experiencia diaria que s� existen procesos irreversibles en la naturaleza.

Es claro que estas dos paradojas son un grave escollo para la descripci�n general de procesos irreversibles, en particular, para el sistema que estamos tratando.

Figura 21. Si inicialmente un sistema tiene una configuraci�n y ciertas velocidades (a), despu�s de un tiempo suficientemente grande volver� a tener casi los mismos valores de sus posiciones y velocidades (b).

Afortunadamente la conciliaci�n de estas paradojas se puede encontrar para el modelo de osciladores arm�nicos que estamos tratando. En efecto, es posible calcular el tiempo de recurrencia, es decir cu�nto tiempo tarda un sistema, en un estado dado, en regresar a su estado inicial. Se ha hecho este c�lculo para el caso de diez osciladores y se ha exigido que el sistema regrese a un estado en el que las posiciones recurran con un error menor o igual a 3%. Esto es, se quiere que las posiciones de las part�culas est�n en el intervalo X_j +DX_j DX_j donde X_j son las posiciones iniciales de las part�culas y los intervalos DX_j sean tales que Dx_j/x_j = 0.3. En 1959 Hemmer encontr� que para que esto ocurra tiene uno que esperar, en promedio �10¹⁰ a�os! (un uno seguido de diez ceros). �Este tiempo es m�s grande que la edad del Universo! Y esto solamente para diez part�culas....

A medida que el n�mero de part�culas N del sistema aumenta, el tiempo de recurrencia tambi�n aumenta. Como vemos, dichos tiempos son astron�micos. Esto quiere decir que un observador como el hombre, con tiempos de observaci�n del orden de, digamos, siglos (o milenios), no tendr� oportunidad de darse cuenta de la recurrencia y sufrir� la sensaci�n de que el fen�meno que estudia es irreversible.

Ahora bien, si el n�mero de part�culas N del sistema se hace extremadamente grande, por ejemplo, para tratar sistemas macrosc�picos que contienen 10²⁰ part�culas en cada cent�metro c�bico de volumen, entonces el tiempo de recurrencia se vuelve pr�cticamente infinito. Lo que ocurre es que al aumentar N, el tiempo de recurrencia se hace tan grande que deja de haber recurrencia y el fen�meno f�sico se vuelve efectivamente irreversible.

Como conclusi�n podemos decir que el movimiento de la part�cula browniana ser� irreversible si el n�mero de las otras part�culas con las que est� acoplada, las del "fluido", es muy grande, y de esta manera se concilian satisfactoriamente las paradojas de Loschmidt y de Zermelo.

Del tratamiento exacto tambi�n se encuentra que efectivamente la part�cula browniana experimenta dos fuerzas, como lo supuso Langevin. Sin embargo, es solamente bajo ciertas condiciones que estas dos fuerzas que aparecen ahora tienen las mismas caracter�sticas que les asign� este cient�fico. Veamos ahora cada una de ellas por separado.

En primer lugar, se obtiene una fuerza que es proporcional a la velocidad de la part�cula browniana. Sin embargo, para que esta fuerza sea efectivamente la fuerza viscosa de la que hablamos en el cap�tulo VI se deben cumplir dos condiciones:

1) La masa de la part�cula browniana tiene que ser much�simo m�s grande que la masa de cualquier �tomo del fluido.

2) El r�gimen de tiempos tiene que ser muy grande comparado con el tiempo caracter�stico de la colisi�n entre dos part�culas.

F�sicamente esto quiere decir que para que la part�cula pesada realice movimiento browniano debe haber transcurrido suficiente tiempo como para que haya recibido un n�mero grande de impactos de las part�culas que componen el fluido.

Bajo estas condiciones, la primera fuerza es justamente la viscosa y resulta que depende solamente de propiedades generales de las interacciones entre los �tomos que componen el "fluido" y no de otros detalles espec�ficos. Esto tambi�n est� de acuerdo con las observaciones emp�ricas, ya que no importa qu� tipo de part�cula sea la pesada y en qu� fluido se le introduzca: siempre que sea mucho m�s masiva que los �tomos del fluido, realizar� movimiento browniano.

Ahora consideremos las caracter�sticas de la otra fuerza que se obtiene del tratamiento te�rico. Resulta que esta segunda fuerza depende de los valores iniciales de las posiciones y de las velocidades de los �tomos que componen el fluido. En general, no hay manera de conocer estas cantidades con precisi�n. Lo que s� se sabe en las condiciones experimentales usuales es que el fluido en el que se introduce la part�cula browniana est� inicialmente en equilibrio a determinada temperatura. Esto quiere decir que en un principio las velocidades de los �tomos del fluido est�n distribuidas de manera maxwelliana. Ello implica que las posiciones y velocidades iniciales son realmente cantidades estoc�sticas, que est�n distribuidas gaussianamente. Por lo tanto, la segunda fuerza es una combinaci�n de cantidades estoc�sticas gaussianas (las velocidades y posiciones de las part�culas del fluido), y en consecuencia, como se puede demostrar en estad�stica matem�tica, es una cantidad estoc�stica gaussiana.

Si adem�s se cumplen las condiciones de los incisos 1) y 2), se puede demostrar que el promedio y la desviaci�n est�ndar de esta fuerza estoc�stica tienen justamente las propiedades supuestas por Langevin, descritas en el cap�tulo VI. En particular, resulta que las fuerzas estoc�sticas no est�n correlacionadas en distintos instantes de tiempo. Es decir, las fluctuaciones decaen muy r�pidamente.

De esta manera vemos c�mo a partir de un modelo microsc�pico se pueden justificar las suposiciones fenomenol�gicas de Langevin para descubrir el movimiento browniano.

Para finalizar este cap�tulo recordaremos al lector que este programa s�lo se ha podido llevar a cabo, con toda plenitud, para el modelo de osciladores arm�nicos. Para otros tipos de sistemas, el problema contin�a abierto.