III. SIGUE LA HISTORIA: EINSTEIN

EN EL a�o de 1905 el famoso f�sico Albert Einstein (1879-1955) public� un c�lebre trabajo en el que propuso la explicaci�n del movimiento browniano. Es interesante notar que ese mismo a�o Einstein public� otros dos famosos trabajos: el del efecto fotoel�ctrico (que le valdr�a el premio Nobel de F�sica en 1923) y el de la teor�a de la relatividad.

Para apreciar la contribuci�n de Einstein hay que mencionar que hasta ese momento todos los argumentos propuestos para el movimiento browniano hab�an sido s�lo cualitativos. Es decir, no se hab�a formulado ninguna teor�a de la que se pudiera colegir relaci�n alguna que fuera susceptible de medirse experimentalmente.

En su trabajo, Einstein contrast� las predicciones de las leyes de la termodin�mica con las de la teor�a cin�tica, que estaba basada en la suposici�n at�mica. En particular se interes� por las conclusiones que se obtendr�an si el movimiento browniano se tratara de explicar por medio de la hip�tesis at�mica.

Un escollo importante fue la objeci�n hecha por N�geli, que ya mencionamos antes, acerca de la posibilidad de que el movimiento browniano se pudiera explicar como efecto de las colisiones entre la part�cula browniana y los at�mos que componen el fluido. Se hizo ver que el argumento de N�geli no era correcto. En efecto, en primer lugar, seg�n hab�a mostrado Maxwell, las part�culas del fluido no ten�an todas la misma velocidad, sino que ten�an muchas velocidades; es decir, ten�an una distribuci�n de velocidades. Adem�s, estas velocidades tienen todas las posibles direcciones (Figura 3). En segundo lugar, el n�mero de colisiones que experimenta una part�cula en un fluido es extraordinariamente grande, del orden de �10²⁰ (un uno seguido de veinte ceros) colisiones en cada segundo! Entonces, y a pesar de que en cada colisi�n con un �tomo del fluido una part�cula suspendida en �l cambia su velocidad en una cantidad extremadamente peque�a (tal y como lo calcul� N�geli), puesto que la partícula suspendida experimenta un n�mero extraordinariamente grande de colisiones, el efecto acumulado de todas las colisiones resulta ser apreciable.

Figura 3. Las velocidades de los �tomos de un fluido tienen todos las posibles direcciones y sentidos.

Otra objeci�n que se resolvi� fue la siguiente: si las part�culas del fluido chocan por todos lados con la part�cula suspendida puede ocurrir que dos de ellas choquen en forma opuesta (Figura 4) de tal manera que el peque�o efecto que cada una de ellas hace sobre la part�cula suspendida se cancele. Sin embargo, dado que es altamente improbable que dos part�culas del fluido que chocan en sentidos diametralmente opuestos con la suspendida tengan justamente las mismas magnitudes de sus velocidades, esta cancelaci�n de efectos no ocurre.

Figura 4. Es poco probable que en un instante dado dos part�culas del fluido choquen con la browniana en forma diametralmente opuesta y tengan justamente las mismas magnitudes de sus velocidades.

Est� claro entonces que el resultado neto es que la part�cula suspendida experimenta un cambio finito de velocidad y que su direcci�n tambi�n se altera. Estos cambios son impredecibles tanto en magnitud como en direcci�n ya que dada la cantidad de colisiones, no es posible seguir el efecto individual de cada una de ellas. Pero lo importante es que �stas ocurren continuamente, por lo que la part�cula suspendida cambiar� su velocidad tambi�n en forma continua, tanto en magnitud como en direcci�n. De este modo, la part�cula browniana realiza un movimiento fluctuante, azaroso, en zigzag como el mostrado en la figura 1. Nos damos cuenta de que este movimiento debe llevarse a cabo todo el tiempo mientras el sistema exista. Como se vio arriba, Cantoni y Oehl ya hab�an encontrado experimentalmente este resultado.

Un antecedente de mucha relevancia que hay que mencionar en este momento es que desde el a�o de 1902 Einstein hab�a trabajado en la teor�a microsc�pica de la termodin�mica, teor�a que en la actualidad recibe el nombre de mec�nica estad�stica. En el transcurso de estas investigaciones, Einstein se vio en la necesidad de estudiar las fluctuaciones que ocurren en las cantidades termodin�micas alrededor de sus valores de equilibrio. Una vez que pudo establecer con claridad las caracter�sticas de estas fluctuaciones se interes� en aplicar las ideas que desarroll� a otros fen�menos f�sicos que involucraran tambi�n fluctuaciones. �ste fue uno de los motivos por los que se interes� en el movimiento browniano. Otro campo en el que aplic� sus ideas sobre fluctuaciones fue el de la radiaci�n de cuerpo negro; de ah� surgio su famoso trabajo sobre el efecto fotoel�ctrico.

Regresando al tema del movimiento browniano, Einstein obtuvo adem�s de conclusiones cualitativas predicciones cuantitativas que podr�an compararse con resultados experimentales. Entre estas predicciones destacan dos muy importantes: predijo la distancia que debe recorrer una part�cula suspendida en un fluido y adem�s, mostr� que la segunda ley de la termodinámica se cumple s�lo en promedio. Supongamos que en el instante inicial la part�cula suspendida est� en cierto punto, digamos en A (Figura 5,(a)). Despu�s de cierto tiempo t, la part�cula se encontrar� en B, que est� a una distancia d del punto inicial A. Si se repite esta experiencia, resulta que la part�cula en el mismo tiempo t no se encontrar� ahora a una distancia d como antes, sino a otra distancia, digamos d_<1 (Figura 5(b)). Si se vuelve a repetir la experiencia, en lugar de d₁ se encontrar� otra distancia, digamos d₂ (Figura 5(c)), y as� sucesivamente. Se pueden tomar los cuadrados de estas distancias encontradas en una sucesi�n muy grande de experiencias y calcular el promedio de estos cuadrados. Denotaremos este promedio como <d²> y lo llamaremos desplazamiento cuadr�tico medio. Einstein predijo que esta cantidad debe comportarse, seg�n transcurre el tiempo, en la forma mostrada en la figura 6. Esta curva tiene dos secciones. La primera de ellas, que va de O a N, o sea entre el tiempo inicial y un tiempo que llamamos t es una par�bola. Para tiempos mayores que t, la gr�fica es una l�nea recta, que corresponde a la secci�n NM. El tiempo es un tiempo extremadamente corto. Ahora bien, en mec�nica se demuestra que el hecho de que la curva sea una par�bola nos indica que en el intervalo entre O y t la part�cula suspendida se comporta como una part�cula libre. Esto se desprende del siguiente argumento. Al colocar la part�cula en el fluido, mientras no choque con ninguna de las part�culas del fluido, se comportar� como part�cula libre. Es obvio que este intervalo dura muy poco tiempo. Una vez que empieza a chocar con las part�culas del fluido, entonces, seg�n Einstein, la gr�fica cambia y debe ser una l�nea recta. Resulta de la hidrodin�mica que un comportamiento rectil�neo de este tipo corresponde a la difusi�n de la part�cula en el fluido. Einstein encontr�, adem�s, que la inclinaci�n de la recta depende de varias cantidades: la temperatura del fluido, su viscosidad, las dimensiones de la part�cula y el n�mero de Avogadro. Recordemos que �ste es el n�mero de �tomos que contiene un mol de sustancia.

Figura 5. Al realizar repetidas veces la observaci�n del movimiento de part�culas brownianas que inicialmente est�n en el mismo punto (A), se encontrar� que al final del mismo intervalo se hallan a distintas distancias de su posici�n inicial.

Por otro lado, Einstein hizo ver adem�s, que en el caso del movimiento browniano efectivamente se violaba la segunda ley de la termodin�mica, y no porque esta ley no fuera correcta, sino porque no se la pod�a interpretar de la manera absoluta en que los energeticistas lo hac�an. De hecho hab�a que darle una interpretaci�n estad�stica: la segunda ley se cumple solamente en promedio.

De esta forma, Einstein plante� un problema al que solamente la naturaleza, a trav�s de un experimento, podr�a dar soluci�n: la posibilidad de medir el desplazamiento cuadr�tico medio de una part�cula browniana.

Fue el f�sico Jean Perrin, con ayuda de su disc�pulo M. Chaudesaigues, quien entre los a�os 1908-1911 realiz� este experimento. Describiremos brevemente la manera en que lo hiciera. En primer lugar, hay que darse cuenta de que no es posible registrar la posici�n exacta de una part�cula browniana. Al ser observada en un ultramicroscopio, una part�cula de �stas se manifiesta como un destello luminoso. Debido al tipo de movimiento que realiza, este destello parece vibrar alrededor de una posici�n promedio. Fue V. Henri quien introdujo el m�todo de observar este movimiento por medio de una serie de fotograf�as tomadas por una c�mara cuyo ojo se abr�a en intervalos de 0.05 s y con exposiciones de 0.003 s. Lo que hizo Perrin fue tomar una serie de estas fotograf�as, registrando las posiciones de la part�cula en intervalos de 30 s. As� obtuvo algo an�logo a lo mostrado en la figura 1. Grafic� luego los valores cuadr�ticos medios y obtuvo que, efectivamente, a partir de cierto instante, su gr�fica era una l�nea recta. Adem�s, pudo medir la inclinaci�n de esta recta, y dado que conoc�a la temperatura y la viscosidad del fluido as� como las dimensiones de la part�cula, dedujo de la f�rmula de Einstein que el valor del n�mero de Avogadro deber�a ser igual a 6.4 X 10²³. Este valor concordaba con los obtenidos por otros m�todos completamente independientes, como la electr�lisis, el experimento de Millikan para encontrar la raz�n de la carga a la masa del electr�n, la separaci�n reticular en un cristal, y otros m�s. El valor del n�mero de Avogadro, medido en la actualidad con mucha mayor precisi�n, es 6.02 x 10²³. Por sus estudios sobre el movimiento browniano Jean Perrin recibi� el premio Nobel de F�sica en 1926.

La predicci�n de la l�nea recta que aparece en la figura 6 y el valor del n�mero de Avogadro fueron tambi�n el resultado del trabajo de otros cient�ficos, entre los que solamente citaremos a M. Seddig (1908), V. Henri (1908), T. Svedberg (1906-1912), F. Ehrenhaft (1907), M. de Broglie (1909), H. Fletcher (1911).

Despu�s de esta brillante confirmaci�n del trabajo de Einstein, y para ser m�s precisos, de las hip�tesis que formul�, quedaron muy pocas dudas sobre la realidad de la estructura at�mica de la materia. As�, por ejemplo, S. Arrhenius dijo lo siguiente en una conferencia que dict� en Par�s en 1911: "Despu�s de esto, no es posible dudar que la teor�a at�mica considerada por los fil�sofos de la antig�edad, Leucipo y Dem�crito, haya alcanzado la verdad, por lo menos en su parte esencial."

Fue Ostwald, uno de los impugnadores de la teor�a at�mica, quien en 1909 escribi� en el prefacio de su libro Grundriss der allgemeinen Chemie: "Me he convencido de que hemos entrado recientemente en posesi�n de la prueba experimental de la naturaleza discreta de la materia, que la hip�tesis at�mica hab�a buscado en vano durante siglos, por no decir milenios." Es decir, todos estos trabajos convencieron a Ostwald. Sin embargo, Ernst Mach, otro de los opositores, no cambi� su opini�n. De hecho, �l fue pr�cticamente el �nico cient�fico que no acept� la hip�tesis at�mica por lo que se qued� solo.

Figura 6. El desplazamiento cuadr�tico medio de la part�cula browniana predicho por Einstein.

A partir de entonces se consolid� para siempre esta hip�tesis y ya nadie ha vuelto a dudar de ella. Asimismo, quedaron claros los l�mites para entender la segunda ley de la termodin�mica.

Se podr�a pensar que una vez explicado el movimiento browniano por el trabajo de Einstein ya no hab�a nada que hacer en este campo. Sin embargo, esto no es cierto. La importancia del movimiento browniano dej� de residir en la explicaci�n de sus causas o en la confirmaci�n de la hip�tesis at�mica, adquiriendo un renovado inter�s por otras posibilidades que ofreci�. Solamente mencionaremos algunas de ellas: dar luz en el campo de los procesos irreversibles; impulsar al campo de las matem�ticas que estudia las llamadas funciones no-diferenciables; aplicaciones en la teor�a de suspensiones coloidales; utilizaci�n de estas ideas en otros campos, como el de los l�seres; abrir sorprendentes horizontes en el desarrollo de la teor�a de los fractales, y varias m�s.