V. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Y LA ESTRUCTURA DE LOS �TOMOS
PARA discutir algunas de las contribuciones de Niels Bohr a la f�sica at�mica nos referiremos al periodo de 1913 a 1923 durante el cual trabaj� inicialmente en Manchester y posteriormente en Copenhague. El influjo y la importancia de las ideas que el desarroll� en este periodo, y de sus aplicaciones, se pueden ilustrar a trav�s de dos hechos. En el tercer Congreso Solvay, realizado en Bruselas en 1921 sobre el tema de "Electrones y �tomos", una de las discusiones principales se organiz� en torno a su principio de correspondencia, y en 1922 se le otorg� el premio Nobel por sus contribuciones al entendimiento de la Estructura At�mica y la Radiaci�n.
La situaci�n que los f�sicos enfrentaron a principios del presente siglo, como se ilustr� en la mesa redonda anterior, se puede caracterizar mediante las contradicciones entre algunos hechos observacionales y las predicciones correspondientes de las diversas ramas de la f�sica cl�sica. En el problema de la estructura de los �tomos este tipo de contradicci�n se manifest� al comparar la estabilidad de los �tomos y los espectros at�micos discretos con las predicciones de la mec�nica y la electrodin�mica cl�sicas. De acuerdo con �stas, un electr�n en el �tomo al girar alrededor del n�cleo describir�a una espiral, precipit�ndose sobre el n�cleo en un tiempo del orden de un cienmillon�simo de segundo, y emitiendo radiaci�n con un espectro continuo de frecuencias.
Para resolver esta contradicci�n b�sica en el caso espec�fico de la estructura at�mica, Bohr adopt� una posici�n pragm�tica gui�ndose por los hechos observacionales y reconociendo la necesidad de reemplazar algunas de las ideas de la f�sica cl�sica. Las investigaciones de Bohr en el periodo bajo consideraci�n estuvieron orientadas hacia dos objetivos, uno general: construir una teor�a cu�ntica y otro espec�fico: explicar los espectros y la estructura de los �tomos. A pesar de los �xitos que logr� en sus intentos por alcanzar estos objetivos, las contradicciones persistieron e incluso se agudizaron, lo cual tal vez fue inevitable, antes de que pudieran ser resueltas. La resoluci�n de esas contradicciones se dio en los a�os siguientes al establecerse la nueva mec�nica cu�ntica, en la cual quedaron incorporados algunos de los principios que Bohr hab�a propuesto, y tambi�n se reconoci� la necesidad de abandonar algunos conceptos cl�sicos en el estudio de sistemas at�micos y subat�micos. Un m�rito indudable de la obra de Bohr en esa �poca es la de haber servido de base y de est�mulo para la generaci�n de j�venes f�sicos que contribuyeron a establecer la mec�nica cu�ntica.
A continuaci�n tratar� de ilustrar la forma en que Bohr llev� a la pr�ctica las ideas de que "se necesita una teor�a para entender los fen�menos" y "se necesita un estudio detallado de los fen�menos para que se sugiera la teor�a". Primero me referir�, en forma breve, al problema de los �tomos con un solo electr�n para complementar lo que ya se dijo en las intervenciones anteriores y tambi�n como base para discutir el problema de �tomos con varios electrones.
En el caso del �tomo de hidr�geno, la informaci�n espectrosc�pica. en la regi�n visible pod�a reproducirse cuantitativamente a trav�s de la f�rmula emp�rica de Balmer, que expresa la frecuencia de las radiaciones emitidas o absorbidas por ese elemento qu�mico como la diferencia entre dos t�rminos, uno proporcional a 1/2²y otro proporcional a l/n²donde n = 3, 4, 5..., y siendo la constante de proporcionalidad la llamada constante de Rydberg, R. El principio de combinaci�n de Ritz estableci� en forma general que las frecuencias medidas de las radiaciones emitidas o absorbidas por los elementos qu�micos se pueden expresar como la diferencia entre dos t�rminos, llamados t�rminos espectrosc�picos, los cuales toman una serie de valores caracter�sticos para cada elemento.
Desde su trabajo en 1913 sobre el �tomo de hidr�geno, Bohr introdujo dos suposiciones que, por una parte, contradicen a la mec�nica y a la electromec�nica cl�sicas, y por otra conducen a resultados consistentes con las observaciones experimentales. Una de ellas es el llamado postulado de estados estacionarios, en el cual se considera que los �tomos existen en estos estados con energ�as bien definidas, y que la emisi�n o absorci�n de radiaci�n est�n asociadas con transiciones entre dos de esos estados estacionarios. La segunda suposici�n es el postulado o relaci�n de frecuencias que establece que la frecuencia de la radiaci�n emitida o absorbida es igual a la diferencia de las energ�as de los estados estacionarios involucrados dividida entre la constante de Planck, h.
La selecci�n de los estados estacionarios fue realizada por Bohr trabajando con las leyes de la mec�nica y la electrodin�mica cl�sicas e imponiendo el principio de cuantizaci�n de la acci�n, es decir que la acci�n ocurre solamente en m�ltiplos enteros de la constante de Planck.
Conviene se�alar que estos postulados por ser contradictorios con la f�sica cl�sica no fueron aceptados en un principio, pero su validez se reconoci� eventualmente al comparar los resultados que se deducen de ellos con las observaciones experimentales.
La estabilidad de los �tomos est� garantizada por el postulado de los estados estacionarios y por la cuantizaci�n de la acci�n, al reconocer que de los estados estacionarios existe uno llamado estado normal en el cual el �tomo tiene la energ�a m�s baja posible; en los otros estados estacionarios, de mayor energ�a, los �tomos se dice que est�n excitados, y la tendencia natural es que realicen transiciones para pasar a estados estacionarios de menor energ�a hasta llegar al estado normal. Cuando se toma adem�s en cuenta la relaci�n de frecuencias se reconoce que se puede entender el principio de combinaci�n de Ritz con base en la conservaci�n de energ�a y la cuantizaci�n de la energ�a de la radiaci�n, siendo los t�rminos espectrosc�picos simplemente las energ�as de los estados estacionarios divididas entre la constante de Planck.
En su trabajo inicial sobre �tomos con un n�cleo de carga + Ze y un electr�n con carga 151-e y masa m, Bohr supuso �rbitas circulares. La cuantizaci�n de la acci�n en estas �rbitas es equivalente a la cuantizaci�n del momento angular. Entre los �xitos inmediatos de su teor�a podemos enumerar los siguientes. Se definieron escalas de los radios at�micos rn = h2a0/Z, en t�rminos del radio de Bohr, ao= h2/4p²me², y de las energ�as de los estados estacionarios En = ¾Z²e²/2aon². La aplicaci�n del postulado de frecuencias permiti� reproducir la serie de Balmer con base a transiciones entre estados estacionarios con n = 3, 4, 5..., y n' = 2, incluyendo al valor num�rico de la constante de Rydberg, R= 2p²e4m/h3, usando los valores medidos de las propiedades del electr�n y de la constante de Planck. Al considerar transiciones entre estados estacionarios con n > n' y n' = 1, 3, 4..., Bohr predijo, y efectivamente se observaron, otras series espectrales del hidr�geno en las regiones ultravioleta e infrarroja respectivamente. La serie espectrosc�pica en la regi�n ultravioleta que Pickering hab�a identificado en observaciones de algunas estrellas, y en la que las frecuencias eran aproximadamente cuatro veces las frecuencias de la serie visible del hidr�geno, fue correctamente identificada por Bohr como debida al helio una vez ionizado, cuya carga nuclear es Z= 2; adem�s tomando la masa reducida del sistema at�mico, en vez de la masa del electr�n, se obtuvo el valor num�rico de la constante de Rydberg correspondiente que coincidi� con el valor observado en la serie.
Las ideas y los resultados de Bohr para �tomos hidrogenoides se pudieron extender para describir e interpretar las frecuencias de los rayos X caracter�sticos de �tomos con muchos electrones, proporcionando una base te�rica para entender las regularidades que Moseley hab�a observado al estudiar sistem�ticamente los elementos a trav�s de la tabla peri�dica y que llevaron a establecer que el n�mero de carga Z coincide con el n�mero de orden de cada elemento en la tabla peri�dica. La distinci�n entre los diferentes grupos de rayos X est� dada tanto por los estados estacionarios involucrados en las transiciones respectivas, por ejemplo K(n ³2 ® n' = 1), L(n ³ 3® n' = 2), etc. como por las cargas efectivas, Zef, que es necesario asociarles para reproducir cuantitativamente las frecuencias. Bohr reconoci� que la emisi�n y absorci�n de rayos X caracter�sticos dependen no solamente de la interacci�n de un electr�n con el n�cleo sino que involucran rearreglos de todos los electrones en el �tomo. La informaci�n experimental sobre los rayos X lo llev� a establecer la existencia de grupos de electrones en los �tomos.
Aunque los espectros �pticos de los elementos m�s pesados son m�s complicados que el del hidr�geno, Rydberg hab�a establecido emp�ricamente que los t�rminos correspondientes se pod�an escribir en la forma general R/(n + m)². Bohr aplic� tambi�n sus ideas sobre el �tomo de hidr�geno para asociar la producci�n de esos espectros con las transiciones entre estados en los cuales un electr�n se mueve a distancias del n�cleo que son mayores que las distancias de los otros electrones al n�cleo. En tales estados ese electr�n est� sujeto a fuerzas ejercidas por el resto del �tomo que son casi iguales a la atracci�n que ejerce el n�cleo sobre el electr�n en el �tomo de hidr�geno a las distancias correspondientes.
En relaci�n a los puntos se�alados en los dos �ltimos p�rrafos es interesante se�alar que esas ideas de Bohr siguen teniendo utilidad en dos espectroscop�as at�micas modernas, con las adaptaciones apropiadas a cada caso. La primera corresponde a los llamados �tomos ex�ticos, en los cuales el electr�n es reemplazado por otra part�cula cargada negativamente, o bien el papel del n�cleo lo desempe�a otra part�cula cargada positivamente. Como ejemplos de part�culas negativas se tienen muones, piones y kaones, con masas del orden de 210, 140 y 490 veces la masa del electr�n; los radios de Bohr correspondientes son menores que el asociado al electr�n por esos factores, respectivamente, y las energ�as de los estados estacionarios son mayores por esos mismos factores. Como el mu�n se comporta en sus interacciones en forma id�ntica al electr�n, el estudio de �tomos mu�nicos ha servido para obtener informaci�n sobre la distribuci�n de carga en los n�cleos. El estudio de �tomos pi�nicos y ka�nicos proporciona informaci�n sobre las interacciones fuertes de esas part�culas con los n�cleos. Como ejemplos de part�culas positivas se tienen el positr�n y el mu�n; los �tomos respectivos con un electr�n, el positronio y el muonio, han servido para mediciones de alta precisi�n de propiedades de las part�culas mismas y para explorar la validez de la electrodin�mica. La segunda espectroscop�a por mencionar es la de los llamados �tomos de Rydberg, en los cuales un electr�n es excitado a estados con n�meros cu�nticos muy grandes, n¾~100. Los radios de tales �tomos son del orden de decenas de miles de veces mayores que los de �tomos ordinarios, y el electr�n excitado est� muy d�bilmente ligado. En observaciones astron�micas se han identificado radiaciones asociadas a transiciones en �tomos de este tipo. La producci�n y estudio de los mismos en el laboratorio se ha realizado en la �ltima d�cada gracias a la disponibilidad de l�seres capaces de producir las excitaciones de manera controlada. La modificaci�n de las propiedades de los �tomos en presencia de campos el�ctricos y/o magn�ticos es un tema que estudi� Bohr, y es el tema de inter�s presente en las investigaciones de �tomos de Rydberg.
El �xito del trabajo de Bohr en conexi�n con el �tomo de hidr�geno y su extensi�n a otros �tomos, hizo que otros f�sicos tomaran en serio la validez de sus postulados. En particular, Arnold Sommerfeld, quien hab�a estado dedicado a la f�sica matem�tica, concentr� su atenci�n en el estudio de los problemas de la f�sica at�mica. �l llev� a cabo la extensi�n del trabajo de Bohr para el �tomo de hidr�geno en dos direcciones. La primera para incluir �rbitas el�pticas, y la segunda para incorporar la correcci�n relativista a la masa del electr�n. La cuantizaci�n de la acci�n para el movimiento radial y para el movimiento angular requieren la introducci�n de dos n�meros cu�nticos independientes, n<r y k, respectivamente; si en vez del primero, se introduce al m�nimo cu�ntico total n = nr + k entonces se tiene que las elipses asociadas a los estados estacionarios tienen semiejes mayores que coinciden con los radios de las �rbitas circulares de Bohr y la raz�n del semieje mayor al semieje menor es n/k, y las energ�as correspondientes son id�nticas a las obtenidas por Bohr dependiendo s�lo del valor del n�mero cu�ntico principal. N�tese que para las �rbitas circulares n = k y nr = 0. Como el n�cleo ocupa uno de los focos de las elipses, mientras menor sea k, o sea el momento angular, mayor es la excentricidad, y el electr�n se aproximar� m�s al n�cleo. Las �rbitas lineales, con n = nr y k = 0, se eliminaron pues de otro modo el electr�n golpear�a al n�cleo. El efecto de la correcci�n relativista es hacer que las �rbitas el�pticas adquieran un movimiento de precisi�n en su propio plano constituyendo una roseta como �rbita resultante y en la que se identifican dos per�odos de rotaci�n independientes. Adem�s la energ�a de los estados estacionarios depende no solamente del n�mero cu�ntico principal n sino tambi�n del n�mero cu�ntico angular k. La correcci�n relativista a la energ�a es peque�a por ser del orden de (Z2pe²/he)² = Z²/137² veces la energ�a no relativista, donde c es la velocidad de la luz en el vac�o. Las energ�as de los estados estacionarios obtenidas por Sommerfeld permitieron predecir la estructura fina observada en los espectros del hidr�geno y del helio ionizado. Los mismos resultados se extendieron para entender la estructura de los grupos K, L..., de rayos X, para todos los elementos.
Antes de abandonar Manchester en 1916, Bohr hab�a estado preparando la publicaci�n de un trabajo titulado "Sobre la aplicaci�n de la teor�a cu�ntica a sistemas peri�dicos" que iba a consistir de cuatro partes. I Sobre la teor�a general, II Sobre el espectro del hidr�geno, III Sobre los elementos con n�meros at�micos mayores y IV Sobre la constituci�n de �tomos y mol�culas. Las dos primeras partes ya estaban aceptadas para publicaci�n en el Philosophica Magazine y en la etapa de revisi�n de galeras. Al recibir copias de los trabajos de Sommerfeld, Bohr decidi� suspender la publicaci�n de su propio trabajo para hacer una presentaci�n m�s completa incorporando las ideas de Sommerfeld. El trabajo lo public� con el t�tulo Sobre la teor�a cu�ntica de los espectros de l�neas en Copenhague, las partes I y II en 1918 y la parte III en 1922; la parte IV no la public� siguiendo el consejo de Sommerfeld. En la Colecci�n de Obras de Bohr se destaca la conexi�n de las dificultades que enfrent� para escribir y completar este trabajo con su concepci�n, desarrollo y aplicaci�n del principio de correspondencia.
Cabe mencionar en este punto las coincidencias afortunadas para los trabajos de Planck, de Rutherford y de Bohr sobre la cuantizaci�n de la radiaci�n, la dispersi�n de rayos a por los n�cleos at�micos y el �tomo de hidr�geno, respectivamente, y sus consecuencias para el desarrollo de la teor�a cu�ntica y sus aplicaciones a la f�sica at�mica de que s�lo, precisamente para el oscilador arm�nico y para la interacci�n coulombiana entre dos cargas, la aplicaci�n de la mec�nica cl�sica junto con la cuantizaci�n de la acci�n conduce a los mismos resultados que el tratamiento cu�ntico riguroso. Fueron las coincidencias de estos resultados las que permitieron avances en la interpretaci�n de los hechos observados. Las contradicciones en el uso de la f�sica cl�sica y los postulados cu�nticos persistieron.
En la introducci�n a Sobre la teor�a cu�ntica de los espectros de l�neas, Bohr se�ala expl�citamente la limitaci�n de su teor�a del �tomo de hidr�geno como una teor�a v�lida para sistemas peri�dicos, y la posibilidad de extender la teor�a a sistemas no peri�dicos, dando los cr�ditos de tal extensi�n a Sommerfeld, cuya teor�a ofrec�a una clave para interpretar la estructura m�s complicada de los espectros de los otros elementos, a Epstein y Schwarzchild, quienes independientemente uno del otro hab�an explicado el efecto Stark que es el efecto de un campo el�ctrico uniforme sobre el espectro del hidr�geno, y a Sommerfeld y Debye, quienes hab�an investigado el efecto Zeeman que es el efecto de un campo magn�tico uniforme sobre el espectro del hidr�geno. Tambi�n reconoce que hay muchos problemas fundamentales sin resolver, no solamente en lo que se refiere a la aplicabilidad limitada de los m�todos usados para calcular las frecuencias de los espectros, sino especialmente en lo que se refiere a la cuesti�n de la polarizaci�n y la intensidad de las l�neas espectrales. Cita, sin explicitar, los trabajos de Ehrenfest sobre invariancia adiab�tica, y de Einstein sobre la deducci�n de la Ley de Planck para la radiaci�n de cuerpo negro, como pasos importantes hacia el establecimiento de una teor�a consistente. Concluye se�alando que en el trabajo se mostrar� que parece posible iluminar las dificultades b�sicas de la teor�a cu�ntica tratando de trazar una analog�a lo m�s cercana posible entre la teor�a cu�ntica y la teor�a ordinaria de la radiaci�n.
En el �tomo de hidrogeno, el electr�n est� sujeto solamente a la atracci�n coulombiana del n�cleo, que es una fuerza central inversa del cuadrado de la distancia, y de ah� se deriva la periodicidad del sistema, y la simplicidad de su espectro. En el mismo �tomo de hidr�geno, al considerar las variaciones relativistas de su masa o al someterlo a campos el�ctricos o magn�ticos, y en �tomos con varios electrones, adem�s de la atracci�n nuclear existen fuerzas adicionales sobre los electrones, lo cual se traduce en la p�rdida de periodicidad en sus movimientos, y en los espectros m�s complejos. Inclusive en los casos en que act�an fuerzas adicionales, pueden existir ciertas cantidades din�micas, los invariantes adiab�ticos, que se conservan. Por ejemplo, si las fuerzas adicionales son centrales, el momento angular se sigue conservando; si se tiene el �tomo de hidr�geno en un campo el�ctrico uniforme, o en un campo magn�tico uniforme, la componente del momento angular a lo largo de la direcci�n del campo externo se sigue conservando. Sommerfeld, Epstein, Schwarzchild y Debye usaron la cuantizaci�n de las acciones asociadas a los invariantes adiab�ticos para determinar los estados estacionarios de los sistemas at�micos que estudiaron respectivamente. Epstein y Schwarzchild reconocieron que los sistemas estudiados son de los llamados sistemas condicionalmente peri�dicos, para los cuales la ecuaci�n de movimiento de Hamilton-Jacobi es separable y en los que hay dos o m�s periodos independientes. Bohr adopt� esta aplicaci�n combinada de la invariancia adiab�tica y la cuantizaci�n de las acciones asociadas, en lo que llam� el principio de "transformabilidad mec�nica" de los estados estacionarios, como criterio para seleccionar tales estados de un sistema de entre la multitud continua de movimientos mec�nicos posibles. Por cada invariante adiab�tico se tiene un n�mero cu�ntico y tambi�n un periodo o frecuencia caracter�sticos para el movimiento de la coordenada generalizada asociada.
El principio de correspondencia desarrollado por Bohr en conexi�n con el problema de la radiaci�n emitida o absorbida por sistemas at�micos tiene dos aspectos, uno asociado a las frecuencias de los espectros y el otro asociado a las intensidades y polarizaciones de las l�neas espectrales. Por lo que se refiere al primer aspecto, Bohr desde 1913 ya hab�a reconocido que hay una correspondencia entre su teor�a cu�ntica y la teor�a ordinaria de la radiaci�n en el sentido de que "la frecuencia de la radiaci�n emitida en transiciones entre estados estacionarios altamente excitados tiende a ser igual a la frecuencia predicha por la electrodin�mica cl�sica". Para el aspecto de las intensidades, Bohr adopt� el concepto de probabilidades de transici�n, introducido por Einstein en 1916 en su deducci�n de la ley de Planck para la radiaci�n de cuerpo negro a partir de los postulados de Bohr sobre estados estacionarios y la relaci�n de frecuencias. Adicionalmente, y a falta de otra alternativa, Bohr regres� al uso de la electrodin�mica cl�sica, no solamente en el l�mite asint�tico de transiciones entre estados estacionarios altamente excitados, como en el aspecto de las frecuencias, sino tambi�n para transiciones entre estados con n�meros cu�nticos bajos.
De acuerdo con la mec�nica cl�sica el movimiento de una part�cula ligada se puede resolver en sus componentes arm�nicas, y si la part�cula est� cargada la electrodin�mica cl�sica le asocia radiaciones cuyas intensidades y polarizaciones est�n determinadas por las amplitudes y direcciones de cada una de estas componentes arm�nicas.
La aplicaci�n del principio de correspondencia de Bohr para determinar las frecuencias, intensidades y polarizaciones de las radiaciones que un sistema peri�dico o condicionalmente peri�dico puede emitir o absorber entre dos estados estacionarios, requiere reconocer las energ�as y las componentes arm�nicas de los movimientos cl�sicos asociados a cada estado, incluyendo las frecuencias caracter�sticas, los n�meros cu�nticos y las amplitudes y direcciones de las componentes arm�nicas. Por lo que se refiere a las frecuencias, �stas est�n determinadas por la relaci�n de frecuencias y para transiciones entre estados con n�meros cu�nticos bajos difieren de las frecuencias predichas por la electrodin�mica cl�sica, pero para transiciones entre estados con n�meros cu�nticos altos tienden a ser iguales a las frecuencias predichas por la electrodin�mica cl�sica. En cuanto al segundo aspecto, Bohr propuso que la probabilidad de transici�n espont�nea, y de aqu� las intensidades y polarizaciones de la radiaci�n emitida, est�n determinadas de acuerdo con las reglas de la electrodin�mica cl�sica por los coeficientes de las oscilaciones arm�nicas en el estado estacionario inicial, siendo las componentes que participan en una transici�n determinada aqu�llas cuyo orden de armonicidad est� dado por las diferencias entre los n�meros cu�nticos de los estados inicial y final. En particular, si todas las oscilaciones asociadas a una posible transici�n tienen amplitudes nulas, la transici�n correspondiente no ocurrir�; esto permite explicar que no todas las transiciones consistentes con la relaci�n de frecuencias, o el principio de combinaci�n, ocurren en sistemas at�micos.
En el caso de sistemas peri�dicos, las aplicaciones del principio de correspondencia son claras e inmediatas. Efectivamente, en los ejemplos del rotador plano y del oscilador arm�nico, cl�sicamente se predicen radiaciones con la frecuencia del movimiento mec�nico y m�ltiplos enteros de esa frecuencia; de acuerdo con el principio de correspondencia, debido a que el movimiento mec�nico s�lo contiene la componente fundamental, se espera que los sistemas cu�nticos correspondientes solamente emitan o absorban la radiaci�n correspondiente y no las otras. Para el rotador r�gido, s�lo en el l�mite de altos n�meros cu�nticos las frecuencias de las radiaciones emitidas o absorbidas tienden a ser iguales a la frecuencia de rotaci�n; para el oscilador arm�nico todas las transiciones involucran radiaciones con la frecuencia de oscilaci�n, lo cual justifica la hip�tesis de Planck. En ambos casos se tiene la regla de selecci�n Dn = ni ¾ nf = ± 1 que restringe las posibles transiciones a aqu�llas entre estados consecutivos. Adicionalmente, para el rotador se tiene radiaci�n circularmente polarizada y para el oscilador la radiaci�n est� linealmente polarizada.
Como ejemplo de la aplicaci�n del principio de correspondencia a sistemas condicionalmente peri�dicos, inclusive cuando los n�meros cu�nticos no son altos, Bohr se�al� el excelente acuerdo entre los c�lculos de Kramers de las intensidades las componentes Stark de las l�neas de Balmer Hb, Hg, Hd del hidr�geno y las observaciones experimentales de Paschen. En cuanto a las polarizaciones se justific� la regla emp�rica propuesta por Epstein.
En el estudio del efecto Zeeman, Bohr reprodujo los resultados de Sommerfeld y Debye para las energ�as de los estados estacionarios, pero adem�s explic� la no ocurrencia de ciertas transiciones as� como la polarizaci�n de las radiaciones que s� son emitidas con base a la regla de selecci�n Dm=0, ± 1 para la componente del momento angular a lo largo de la direcci�n del campo magn�tico. Tambi�n se�al� el acuerdo de los resultados de este tratamiento cu�ntico con los resultados del tratamiento cl�sico de Lorentz, y de ambos con la versi�n normal del efecto Zeeman en que cada l�nea espectral original se divide en tres componentes igualmente espaciadas.
En la versi�n an�mala del efecto Zeeman cada l�nea espectral se puede dividir en n�meros de componentes diferentes de tres, o se pueden tener tres componentes pero con espaciamientos diferentes. La estructura m�ltiple de las l�neas espectrales se manifiesta inclusive en ausencia de campos externos. Por ejemplo, los elementos alcalinos presentan dobletes, el helio y los elementos alcalino-t�rreos tienen singuletes y tripletes, y en general los elementos con un n�mero impar (par) de electrones presentan multiplicidades pares (impares). Solamente las l�neas singuletes presentan el efecto Zeeman normal y las l�neas con estructura m�ltiple presentan el efecto Zeeman an�malo.
En el caso de �tomos con varios electrones, en contraste con el caso del �tomo de hidr�geno, el problema mec�nico no tiene una soluci�n exacta conocida. Correspondientemente, Bohr y sus contempor�neos no dispon�an de un criterio para seleccionar los estados estacionarios de tales �tomos. Desde 1916 Bohr y Kramers realizaron c�lculos sobre la mec�nica y la estructura del �tomo de helio, pero sus resultados no fueron satisfactorios y no llegaron a ser publicados. Land� public� un trabajo sobre la estructura del helio en 1919, lo cual motiv� que estableciera una correspondencia con Bohr; ambos se encontraron al a�o siguiente, primero en Berl�n, durante una visita de Bohr para hablar ante la Sociedad Alemana de F�sica sobre "Los espectros de series de los elementos", y despu�s en Copenhague, durante una visita de Land� invitado por Bohr para hablar ante la Sociedad de F�sica de Copenhague sobre "�tomos c�bicos, sistema peri�dico y estructura molecular". Bohr y Kramers discutieron con Land� sobre sus respectivos c�lculos para el helio. Bohr no estuvo de acuerdo con los c�lculos de Land�, pero la discusi�n lo estimul� a trabajar sobre la estructura de �tomos con varios electrones.
Bohr formul� el problema de la constituci�n del �tomo en t�rminos de la pregunta �C�mo se puede formar un �tomo mediante la captura y ligadura sucesiva de electrones uno tras otro en el campo de fuerza que rodea al n�cleo? En la b�squeda de la soluci�n de este problema �l se gui� por la informaci�n experimental sobre los espectros, tanto �pticos como de rayos X, y sobre las propiedades qu�micas de los elementos a trav�s de la tabla peri�dica, y por la interpretaci�n y correlaci�n de esa informaci�n con base a sus postulados cu�nticos y el principio de correspondencia.
La similaridad entre el espectro del hidr�geno y el espectro de helio una vez ionizado, se extiende a otros sistemas como fue se�alado por Sommerfeld y Kossel en 1919 en la llamada ley de desplazamiento espectrosc�pico. De acuerdo con esta ley el espectro de un �tomo neutro con Z electrones es similar al espectro del i�n de un �tomo con carga nuclear Z + 1 y Z electrones. Esta propiedad de los espectros at�micos es un punto clave para entender la formaci�n de los �tomos en la manera sugerida por la pregunta planteada en el p�rrafo anterior.
Aunque, como ya se mencion�, no se ten�a un m�todo para determinar los estados estacionarios de �tomos con varios electrones, Bohr infiri� de los espectros at�micos la posibilidad de extender la caracterizaci�n de esos estados en la forma en que Sommerfeld caracteriz� los estados del hidr�geno. Entonces, el uso de los n�meros cu�nticos principal n y angular k es v�lido para caracterizar a los electrones en los �tomos de todos los elementos a trav�s de la tabla peri�dica, reconociendo desde luego que las energ�as asociadas a los estados correspondientes difieren de las del electr�n en el hidr�geno debido a la presencia de los otros electrones. A esto lo llam� el principio de la existencia y permanencia de los n�meros cu�nticos.
La periodicidad de las propiedades espectrosc�picas y qu�micas de los elementos a trav�s de la tabla peri�dica fue un punto de orientaci�n clave en la soluci�n global que formul� Bohr para el problema de la estructura at�mica. Tanto la informaci�n sobre los grupos de rayos X como la periodicidad de los elementos sugirieron la distribuci�n de los electrones en grupos dentro de los �tomos de los diferentes elementos.
La formaci�n de esos grupos se relacion� directamente con la ocupaci�n sucesiva de las �rbitas electr�nicas, a cada una de las cuales se le asocia una energ�a, -Z²ef e²/2a0 (n+ak)² que toma en cuenta la presencia de los otros electrones para reducir la atracci�n nuclear efectiva y las desviaciones con respecto a una fuerza netamente coulombiana, y que determina el orden de llenado en los �tomos sucesivos en su estado normal. Mientras en el �tomo de hidr�geno la energ�a del electr�n s�lo depende del n�mero cu�ntico principal en los otros �tomos los electrones con el mismo valor n de este n�mero cu�ntico y diferentes valores del n�mero cu�ntico angular k tienen diferentes energ�as. Bohr asoci� el origen de esta diferencia, en la que los estados de menor momento angular tienen menor energ�a, a la distinci�n entre �rbitas penetrantes y no penetrantes. Efectivamente, mientras menor es el momento angular, mayor es la excentricidad de la �rbita, y el electr�n se acerca m�s al n�cleo y siente m�s la atracci�n correspondiente en comparaci�n con los electrones en �rbitas de mayor momento angular y menor excentricidad. Usando la notaci�n nk para designar las �rbitas, en la Tabla 1 se ilustra en forma resumida los grupos y subgrupos que Bohr propuso en 1921 y el n�mero de electrones en cada uno de ellos para los �tomos a trav�s de la tabla peri�dica.
En base a la aplicaci�n de la teor�a cu�ntica al problema de la estructura
at�mica Bohr encontr� el camino para explicar las propiedades espectrosc�picas
y qu�micas de los elementos, relacionando la clasificaci�n de �stos en familias
y grupos con el llenado de las �rbitas electr�nicas sucesivas. Su predicci�n
de que el elemento con n�mero at�mico 72, al que eventualmente se llam� hafnio,
es hom�logo del zirconio y no una tierra rara, y la comprobaci�n por espectroscop�a
de rayos X de esta predicci�n dieron confianza en que efectivamente se ten�a
el camino correcto.
N�meros de electrones en grupos y subgrupos de �rbitas nk (Bohr 1921)
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| Elemento | Z |
nk |
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| 11 |
21 |
22 |
31 |
32 |
33 |
41 |
42 |
43 |
44 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
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| Helio | 2 |
2 |
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| Neón | 10 |
2 |
4 |
4 |
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| Argón | 18 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
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| Kriptón | 36 |
2 |
4 |
4 |
6 |
6 |
6 |
4 |
4 |
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| Xenón | 54 |
2 |
4 |
4 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
4 |
4 |
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| Radón | 86 |
2 |
4 |
4 |
6 |
6 |
6 |
8 |
8 |
8 |
8 |
6 |
6 |
6 |
4 |
4 |
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A pesar del �xito global y cualitativo del trabajo de Bohr en su desarrollo de la teor�a cu�ntica y su explicaci�n de la estructura at�mica, persist�an muchos problemas sin resolver. Entre �stos ya se mencionaron la estructura de multipletes en los espectros at�micos y el efecto Zeeman an�malo. Land� trabaj� sobre estos problemas, encontrando f�rmulas emp�ricas que describ�an satisfactoriamente las observaciones, pero a costa de introducir un n�mero cu�ntico adicional que a veces ten�a que tomar valores semienteros. Tambi�n ya se mencion� la falta cuantitativa de los c�lculos para el �tomo de helio.
Como se anticip� al principio, a mediados de la d�cada de los veintes las contradicciones
se hab�an agudizado, y el trabajo de Bohr estimul� su resoluci�n. Pauli descubri�
el principio de exclusi�n, Uhlenbeck y Goudsmit propusieron la existencia del
esp�n semientero del electr�n, Heisenberg y Born desarrollaron la mec�nica matricial,
De Broglie y Schrödinger desarrollaron la mec�nica ondulatoria. La nueva
mec�nica cu�ntica nac�a confirmando y validando muchos de los conceptos y resultados
de Bohr, y tambi�n forzando el abandono de algunos conceptos e im�genes de la
f�sica cl�sica.
N�meros de electrones en grupos y subgrupos de �rbitas nk (1926)
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| Elemento | Z |
nk |
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| 11 |
21 |
22 |
31 |
32 |
33 |
41 |
42 |
43 |
44 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
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| Helio | 2 |
2 |
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| Neón | 10 |
2 |
2 |
6 |
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| Argón | 18 |
2 |
2 |
6 |
2 |
6 |
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| Kriptón | 36 |
2 |
2 |
6 |
2 |
6 |
10 |
2 |
6 |
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| Xenón | 54 |
2 |
2 |
6 |
2 |
6 |
10 |
2 |
6 |
10 |
2 | 6 |
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| Radón | 86 |
2 |
2 |
6 |
2 |
6 |
10 |
2 |
6 |
10 |
14 |
2 | 6 |
10 |
2 |
6 |
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Concluir� esta presentaci�n se�alando que en 1924 Main en la revista Qu�mica e Industria, y Stoner en el Philosophical Magazine propusieron distribuciones de electrones en subgrupos que difer�an considerablemente de los propuestos por Bohr. Ellos tambi�n usaron argumentos basados en los espectros de rayos X y en las propiedades qu�micas de los elementos. Bohr acept� en principio esa distribuci�n, ilustrada en la Tabla 2 en su art�culo sobre el �tomo en la Enciclopedia Brit�nica en 1926, y que se reconoce como la que sobrevivi�.
