V. TEOR�A CU�NTICA DE LOS �TOMOS COMPLEJOS

ESA nueva f�sica, basada en nociones probabil�sticas y en el principio de incertidumbre, es heredera de los viejos cuantos de Planck. Por ello se le conoce como mec�nica cu�ntica. Con la teor�a cu�ntica se han podido explicar las propiedades de los �tomos y mol�culas, las reacciones entre ellos y sus consecuencias qu�micas. En particular, podemos entender las regularidades que Mendeleyev plasm� en su tabla peri�dica de los elementos qu�micos.

Los qu�micos del siglo pasado sab�an bien que el hidr�geno era el elemento m�s ligero y que su �tomo ser�a el m�s simple: en el modelo planetario un electr�n con carga e dar�a vueltas atra�do el�ctricamente por el primero de los n�cleos, el prot�n. La ecuaci�n de la mec�nica cu�ntica, llamada ecuaci�n de Schr�dinger, puede resolverse en este caso y a su soluci�n se le llama la funci�n de onda y, relacionada con la probabilidad de encontrar al electr�n en distintos puntos del espacio que rodea al prot�n.

La funci�n y tiene tres caracter�sticas: tama�o de la regi�n en el espacio donde y no es nula, su forma geom�trica y su orientaci�n. La primera caracter�stica de la funci�n y equivale al tama�o del �tomo, es decir, de la regi�n donde est� confinado el electr�n. Esto fija la longitud de onda l t�pica que debe asociarse al electr�n dentro del �tomo. De acuerdo al principio de incertidumbre, el momento lineal correspondiente deber�a ser del orden de / l. Como la energ�a cin�tica es p²/2m_e, donde m_e es la masa del electr�n, l determina la energ�a del �tomo de hidr�geno. En otras palabras, el tama�o de un sistema cu�ntico est� relacionado con su energ�a. Mientras menor sea la regi�n de confinamiento, m�s energ�a se requiere para mantenerlo estable.

Podemos tener una idea del tama�o del �tomo de hidr�geno, cuyo radio es R, si igualamos la energ�a el�ctrica que lo confina, e²/R, a la energ�a cin�tica que el confinamiento induce,

De aqu� resulta que R = ²/m_ee² que, por cierto, es la �nica combinaci�n de , m_e y e que tiene las dimensiones de longitud. El radio se conoce como el de Bohr y vale 0.5 x 10^-8 cent�metros. Si el �tomo fuera del tama�o de una pelota de futbol por ejemplo, un hombre tendr�a una altura bastante mayor que la distancia entre la Tierra y la Luna. �As� de peque�os son los �tomos! No ha de extra�arnos, pues, que las leyes f�sicas que rijan en el mundo de los min�sculos �tomos sean distintas a las que vemos en acci�n en nuestra vida diaria.

Una vez que conocemos R, podemos estimar las energ�as t�picas de un electr�n dentro del �tomo. Obtenemos que esa energ�a E es del orden de m_ee⁴/2², equivalente a 20 x 10^-12 ergs, donde el erg es la unidad de energ�a en el sistema CGS.¹ Como vestigio de las �rbitas cuantizadas de Bohr, la energ�a del electr�n s�lo puede tomar ciertos valores discretos. Con ello, la teor�a cu�ntica explica el espectro del �tomo de hidr�geno, que hab�a sido observado por Balmer, Lyman y otros �pticos del siglo diecinueve.

La segunda caracter�stica de y es su forma geom�trica. De la misma manera en que hay tama�os discretos de y, as� s�lo algunas formas de y satisfacen la ecuaci�n de Schr�dinger. Con y entra en la f�sica la forma geom�trica. Resulta curioso, pero no hab�a en la teor�a cl�sica de la f�sica algo relacionado con la forma de las cosas. Y eso a pesar de que la naturaleza est� llena de formas, desde las facetas de un cristal a los p�talos de las flores.

Seg�n sea la forma de y, sus propiedades ante las rotaciones cambian. Din�micamente, en la antig�edad se sab�a que el momento angular 1 caracteriza las propiedades de rotaci�n de un sistema f�sico. Distintas formas de y, pues, corresponden a diferentes valores del momento angular. Y s�lo ciertas formas son permitidas porque solamente ciertos valores del momento angular 1 son posibles. Esta variable din�mica, al igual que la energ�a, toma valores discretos: est� cuantizada, como dicen los f�sicos.

La teor�a de Schr�dinger para el �tomo de hidr�geno result� satisfactoria hasta que se enfrent� a un nuevo hecho experimental. Los f�sicos alemanes Stern y Gerlach hicieron pasar un haz, formado por �tomos de hidr�geno, entre los polos de un im�n asim�trico, de dise�o especial; observaron que el haz se parte en dos. Ello significa que el �tomo de hidr�geno, neutro el�ctricamente, tiene propiedades magn�ticas que la teor�a anterior no contiene ni logra explicar. Hubo que enmendar la teor�a de Schr�dinger y asociarle un momento magn�tico al electr�n, como si fuera un cuerpo cargado en rotaci�n. A esta rotaci�n intr�nseca se le llam� esp�n (de la palabra inglesa spin, que significa giro). El esp�n, como toda variable din�mica en la teor�a cu�ntica, tambi�n est� cuantizado. Los resultados del experimento de Stern y Gerlach indican dos posibles orientaciones del esp�n del electr�n, por lo que decimos que esta part�cula tiene esp�n igual a 1/2: sus dos orientaciones son hacia arriba, proyecci�n +1/2, o hacia abajo, proyecci�n del esp�n igual a -1/2. Como luego veremos, el esp�n es una propiedad ubicua e important�sima en el mundo microsc�pico. Todas las part�culas muy peque�as tienen esp�n.

�tomos m�s complejos que el hidr�geno constan de muchos electrones, digamos Z, que orbitan alrededor de un n�cleo con carga positiva. Ya que el �tomo es neutro el�ctricamente, el n�cleo m�s pesado debe tener m�s carga, siempre un m�ltiplo entero de la carga e del prot�n. A Z se le llama el n�mero at�mico. Mientras m�s grande sea Z, menor resulta la repulsi�n entre los electrones comparada con la fuerza de atracci�n que sobre cada uno ejerce el n�cleo. Ello conduce a �rbitas electr�nicas de menor tama�o. En conclusi�n, mientras m�s pesado el �tomo, menor deber�a ser su tama�o.

Experimentalmente sabemos que la �ltima afirmaci�n es falsa. Algo mal debe haber en el razonamiento anterior. Lo que ocurre es que no todos los Z electrones caben en la misma �rbita. Los electrones pertenecen, dentro del zool�gico cu�ntico, a un tipo de part�culas que son muy poco sociables, que repelen a sus semejantes. Si un electr�n tiene una cierta energ�a, o una velocidad, o una posici�n dada, en fin, si est� en un cierto estado cu�ntico, otro electr�n no cabe ah�. Con este principio, que Pauli postul� y llam� el principio de exclusi�n, podemos entender el tama�o y la estructura no s�lo de �tomos complejos, sino tambi�n de los n�cleos y de muchos otros sistemas cu�nticos. El principio de Pauli es una de las piedras angulares de la f�sica cu�ntica y sus aplicaciones; nunca se ha encontrado una violaci�n a sus mandatos.

NOTAS

1 Cuando se usan tantas potencias de 10 los c�lculos se vuelven engorrosos y la memoria falla. Esas potencias negativas de 10 aparecen al hablar de �tomos porque el sistema de unidades empleado es conveniente cuando se trata con sistemas f�sicos a la escala del hombre. Si se describen sistemas muy grandes, como las galaxias, o muy peque�os, como los �tomos, es conveniente usar sistemas de unidades a la medida. As�, ²/m_ee² es la longitud natural para los �tomos y m_ee⁴/2² es la unidad natural de energ�a. Por ello se introdujeron el �ngstrom (�), igual a 10^-8 cm, y el electr�n-voltio (eV), igual a 1.6 x 10^-12 erg y a la energ�a que una carga el�ctrica igual a la del electr�n adquiere cuando se le acelera con una diferencia de potencial de un volt. El radio de Bohr vale medio �ngstrom, aproximadamente, y la energ�a para arrancarle un electr�n al �tomo de hidr�geno equivale a 13.6 eV.