VIII. LA CONJETURA DE MIZEL
A CONTINUACI�N vamos a platicar sobre una conjetura que estuvo rondando, a principios de los a�os sesentas, en los c�rculos matem�ticos interesados en la convexidad geom�trica. Esta conjetura fue propuesta por V. Mizel y fue resuelta en el a�o de 1961 por A. S. Besicovitch.
Pensemos en un c�rculo. Ponga usted sobre �l un rect�ngulo de tal forma que tres de sus esquinas queden colocadas sobre la frontera del c�rculo. Es intuitivamente claro que entonces la cuarta esquina estar� tambi�n sobre la frontera del c�rculo. Esta propiedad del c�rculo no la comparten otras figuras, como por ejemplo las elipses o el tri�ngulo de Reuleaux. (ver figura VlII.1). La conjetura de Mizel afirmaba que s�lo el c�rculo posee esta curiosa propiedad.
Supongamos que usted tiene una figura convexa Q con la propiedad de que cada vez que usted pone un rect�ngulo de tal forma que tres de sus esquinas quedan colocadas sobre la frontera de Q entonces misteriosamente, la cuarta esquina tambi�n queda colocada sobre la frontera de Q. Empezaremos convenci�ndonos de que esta misteriosa figura convexa Q tiene que ser una figura de ancho constante.
Para demostrar que Q es una figura de ancho constante bastar� ver que toda normal de Q es una binormal. Sea PQ una normal de Q (ver figura VIII .2) y sea L la l�nea soporte de Q que pasa por P y es perpendicular a PQ. Sea L1 la otra l�nea soporte de Q paralela a L. Queremos ver que Q est� realmente sobre L1.
Sea L2 la l�nea paralela a L que pasa por Q. Como Q es una figura convexa y Q est� en la frontera de Q, la l�nea corta a Q exactamente en el segmento QR donde R es un punto de la frontera de Q. Consideremos el rect�ngulo PQRS determinado por los puntos P, Q y R. Claramente S pertenece a la frontera de Q, pero entonces, siendo Q convexo, todo el segmento PS pertenece a la frontera de Q. Tomemos ahora cualquier punto S' en el segmento PS y consideremos el rect�ngulo PQR'S' determinado por los puntos P, Q y S. Tenemos entonces que R' est� en la frontera de Q. Como S' fue en realidad cualquier punto del segmento PS, entonces todo el segmento QR pertenece a la frontera de Q, por lo que la l�nea L, al tocar a Q s�lo en puntos frontera, tiene que ser necesariamente una l�nea soporte de Q. Es decir, la l�nea L2 es realmente la l�nea soporte L1, el punto Q est� en L1=L2 y por lo tanto PQ es una binormal y no s�lo una normal de Q. Hemos comprobado que toda normal de Q es una binormal de Q, lo que muestra que Q es una figura de ancho constante.
Demostrar finalmente que Q es un c�rculo que requiere de m�s trabajo; sin embargo, en este momento es interesante notar que la versi�n tridimensional de este problema es, en virtud de nuestro trabajo previo, mucho m�s sencilla de demostrar.
Supongamos que un s�lido Q tiene la propiedad de que cada vez que un rect�ngulo tiene tres de sus esquinas en la frontera de Q entonces la cuarta esquina est� tambi�n en la frontera de Q. Es f�cil ver que Q es una esfera puesto que, en virtud de lo anterior, cada una de sus tajadas es una figura de ancho constante y sabemos, por el cap�tulo anterior, que la esfera es el �nico s�lido con la propiedad de que todas sus tajadas son de ancho constante.
Antes de continuar con nuestro problema original, recordemos un hecho simple de la geometr�a. Supongamos que tenemos un tri�ngulo rect�ngulo ABC con hipotenusa AC, es decir, supongamos que en el tri�ngulo ABC, el segmento AB es perpendicular al segmento BC. (ver figura VIII.3) Entonces el c�rculo y, que tiene al segmento AC como di�metro, pasa por B. M�s a�n, si un punto X est� sobre este c�rculo, el �ngulo AXC tiene exactamente noventa grados; si el punto X est� dentro del c�rculo y entonces el �ngulo AXC tiene m�s de noventa grados y los puntos X exteriores al c�rculo y son precisamente aquellos puntos para los cuales el �ngulo AXC tiene menos de noventa grados.
Volvamos a nuestro problema original. Tenemos una figura de ancho constante Q con la propiedad de que si un rect�ngulo tiene tres de sus esquinas en la frontera de Q entonces la cuarta esquina tambi�n est� en la frontera de Q. Queremos ver que Q es realmente un c�rculo. Lo iremos viendo por partes.
Lo primero que tenemos que notar es que, debido a que Q es de ancho constante, existe por ah� un punto en la frontera de Q por el cual pasa una sola l�nea soporte. Vamos a encontrar dicho punto. Tomemos A, cualquier punto en la frontera de Q (ver figuraVIII. 4). Si por A pasa una sola l�nea soporte, ya lo hemos encontrado. Si no, existen dos l�neas soporte, L1 y L2 de Q, por A; m�s a�n, cualquier l�nea que pase por A entre L1 y L2, es l�nea soporte de Q. Las cuerdas de Q que pasan por A y son perpendiculares a todas estas l�neas soporte son binormales de Q y por lo tanto todas ellas poseen la misma longitud. Luego entonces, en la frontera de Q, en la parte opuesta a A, existe un arco de c�rculo con centro en A. Hemos encontrado el punto que busc�bamos, pues por cualquiera de los puntos del interior de este arco de c�rculo pasa solamente una l�nea soporte de Q. De ahora en adelante llam�mosle A a este punto de la frontera de Q. Notemos que por A pasa una sola l�nea soporte y por lo tanto una sola binormal de Q.
Existen muchos rect�ngulos inscritos en Q, es decir, con sus cuatro esquinas sobre la frontera de Q. Algunos de ellos tienen al punto A como una de sus esquinas. Construir de estos �ltimos es muy f�cil; basta seguir una cuerda AB, que no sea una binormal de Q, doblar a noventa grados en B sobre la perpendicular a AB hasta encontrar la frontera de Q, digamos en el punto C. El rect�ngulo ABCD determinado por los puntos A, B y C tiene sus cuatro esquinas sobre la frontera de Q.
D�mosle una direcci�n a la frontera de Q. Empezando en A y caminando en esta direcci�n, sobre la frontera de Q, paremos en M la primera vez que encontremos un rect�ngulo ABMD con diagonal AM inscrito en Q. Notemos que si X es un punto de la frontera de Q que se encuentre, siguiendo esta direcci�n, entre A y M, entonces la perpendicular a la cuerda AX por X corta a la frontera de Q en un punto Y que se encuentra, siguiendo esta misma direcci�n, despu�s de M (ver figura VIII .5). Por lo tanto, para cualquier punto X de la frontera de Q que se encuentre entre A y M, el �ngulo AXM tiene m�s de noventa grados y consecuentemente se encuentra dentro del c�rculo z , que tiene al segmento AM como di�metro. Es decir, el arco AM de la frontera de F se encuentra dentro del c�rculo z.
Vamos a demostrar que la cuerda BD, diagonal del rect�ngulo ABMD, es una binormal de Q. Bastar� ver que la l�nea soporte a Q por B es perpendicular a la cuerda BD. Tracemos el c�rculo z que tiene a AM como di�metro y pasa por los puntos B y D. Sea L la l�nea tangente a z por el punto B. Dado que el arco AM de la frontera de Q se encuentra dentro de z, la l�nea L es una l�nea soporte de Q que pasa por B. Siendo BD una diagonal del rect�ngulo ABMD, es claro que la l�nea L es perpendicular al segmento BD. Es decir, BD es una normal y por lo tanto una binormal de Q.
Ahora que ya sabemos que BD es una binormal de Q, es f�cil ver que tambi�n la cuerda AM es una binormal de Q, puesto que cualquier cuerda de Q que tenga la misma longitud que la longitud de BD es una binormal de Q.
Volvamos a caminar sobre la frontera de Q,
pero esta vez paremos en el punto N la �ltima vez que encontremos un
rect�ngulo AGNT inscrito en Q con diagonal
AN. De la misma manera en que verificamos que AM era una binormal
de Q, es posible comprobar —h�galo usted—
que AN es tambi�n una binormal de Q,
pero como escogimos el punto A de tal forma que por �l s�lo pasase una
binormal, el punto M tiene que coincidir con el punto N. Debido
a la forma como encontramos al punto M y el punto N, al coincidir
estos dos, tenemos que todo rect�ngulo inscrito en Q,
que tiene a A como a una de sus esquinas, tiene forzosamente al segmento
AM como una de sus diagonales. En particular, si X es cualquier
punto de la frontera de Q, distinto de A
y de M, y L es una l�nea perpendicular a AX por X,
entonces L corta a la frontera de Q
en M, de lo contrario habr�a un rect�ngulo inscrito en Q
cuya diagonal no es AM. Es decir, para cualquier punto X en la
frontera de Q, el �ngulo AXM tiene
noventa grados y por lo tanto X tiene que estar en el c�rculo que tiene
a AM como diagonal. Esto es, Q es necesariamente
el c�rculo con di�metro AM.
