VII. S�LIDOS DE ANCHO CONSTANTE
POR supuesto existen s�lidos de ancho constante. Tomemos una direcci�n en el espacio y planos soporte perpendiculares a esta direcci�n que aprisionen a un s�lido q. La distancia entre estos dos planos es el ancho de q en esta direcci�n. Un s�lido de ancho constante es un s�lido con la propiedad de que su ancho es el mismo en cualquier direcci�n.
Es f�cil construir un s�lido de ancho constante rotando el tri�ngulo de Reuleaux como lo indica la siguiente figura:
En un s�lido de ancho constante h, la distancia entre cualquier par de puntos es menor o igual a h. La raz�n, al igual que en las figuras de ancho constante, es que si hubiese dos puntos, X y Y a distancia mayor que h el ancho del s�lido en la direcci�n del segmento XY ser�a mayor que h cuando debe ser h.
Si P y P' son dos planos paralelos a distancia h y Y es un punto de P'; entonces existe un �nico punto X en P —aqu�l para el cual el segmento XY es perpendicular a P y a P'— con la propiedad de que la distancia entre Y y X es h. Para cualquier otro punto M en P, la distancia entre Y y M es mayor que h. Es por lo anterior que, de la misma forma como lo demostramos para las figuras de ancho constante:
Si P y P' son planos soporte paralelos de un s�lido q de ancho constante, entonces tanto P como P' tienen con q un solo punto de contacto y el segmento que une estos dos puntos es perpendicular tanto a P como a P'.
De lo anterior deducimos que todo s�lido de ancho constante h es un s�lido convexo con di�metro h.
Llamaremos di�metro de un s�lido de ancho constante al segmento de l�nea que une los puntos de contacto de dos planos soporte paralelos. En forma similar a como fue probado para las figuras, es f�cil ver que los di�metros de un s�lido de ancho constante h son precisamente los segmentos de l�nea contenidos en el s�lido que tienen longitud h.
Lo siguiente nos permitir� demostrar que un s�lido es de ancho constante verificando que todas sus proyecciones son figuras de ancho constante.
Si todas las proyecciones de un s�lido q son figuras de ancho constante h, es porque el s�lido q es un s�lido de ancho constante h y viceversa; las proyecciones de un s�lido de ancho constante h son siempre figuras de ancho constante h.
Demostraci�n. Supongamos que todas las proyecciones del s�lido q son figuras de ancho constante h. Queremos ver que q es un s�lido de ancho constante h (ver figuraVII.2). Tomemos d, una direcci�n cualquiera —escoja usted una. Llamemos P1 y P2 a los planos soporte de q perpendiculares a la direcci�n d. Vamos a verificar que el ancho de q en la direcci�n d, es decir, la distancia entre P1 y P2, es igual a h. Tomemos d1, una direcci�n perpendicular a d y proyectemos a q en la direcci�n de d1 sobre el plano P3 —que es perpendicular a d1. Llamemos d1 (q) a la proyecci�n deq sobre P3 y L1 y L2 a las l�neas que se obtienen cuando P3 corta a P1 y a P2 respectivamente. Es claro que L1 y L2 son l�neas soporte de d1(q) y adem�s la distancia entre ellas es precisamente la distancia entre P1 y P2. Como d1(q) es de ancho constante h, entonces la distancia entre L1 y L es h y por lo tanto el ancho de q en la direcci�n d es h. Si ahora escogemos cualquier otra direcci�n podemos argumentar igual para concluir tambi�n que en esta otra direcci�n el ancho de q es h, es decir, para concluir que el ancho de q en cualquier direcci�n es h.
Supongamos ahora que q es un s�lido de ancho constante h y que d(q) es la proyecci�n de q en la direcci�n d sobre el plano P (ver figura VIII.3). Queremos demostrar que d(q) es una figura de ancho constante h. Para tal efecto bastar� tomar una direcci�n cualquiera d1 en el plano P y ver que el ancho de d(q) en la direcci�n d1 es h. Pensemos en los planos y P1 y P2 en la direcci�n d que cortan a P en L1 y L2, respectivamente.
Vemos que P1 y P2 son planos soporte de q pues sus proyecciones en la direcci�n d son precisamente L1y L2. Como q es de ancho constante h y la distancia entre P1 y P2 es la misma que la distancia entre L1 y L2 tenemos que el ancho de d(q) en la direcci�n d1 es h. Es decir, d(q) es una figura de ancho constante h.
�Ser� cierto que si todas las tajadas (secciones transversales) de un s�lido son figuras de ancho constante, necesariamente el s�lido es un s�lido de ancho constante?
La respuesta es s� pero, como veremos m�s adelante, esta respuesta es m�s interesante que un simple s�. Por ahora, necesitamos una caracterizaci�n de los s�lidos de ancho constante en t�rminos de sus binormales.
Una cuerda de un s�lido y es un segmento de l�nea contenido en y cuyos extremos est�n en la frontera de y. Una normal de un s�lido y es una cuerda de y con la propiedad de que el plano perpendicular por uno de sus extremos es plano soporte de y. Finalmente, una binormal de un s�lido y es una cuerda con la propiedad de que los planos perpendiculares por sus dos extremos son planos soporte de y. Por supuesto, en un s�lido de ancho constante h, los conceptos de di�metro, binormal y cuerda de longitud h, coinciden.
Si en un s�lido toda normal es binormal es porque el s�lido es de ancho constante y viceversa; en un s�lido de ancho constante toda normal es binormal.
Demostraci�n. Supongamos que tenemos un s�lido q con la propiedad de que todas sus normales son realmente binormales. Vamos a ver que si as� es, entonces todas sus proyecciones son de ancho constante y por lo tanto, �l mismo es de ancho constante. Tomemos d, una direcci�n cualquiera, y proyectemos a q en la direcci�n d sobre el plano P perpendicular a d. Llamemos d(q) a la proyecci�n de q sobre P (ver figura VII.4). Vamos a comprobar que d(q) es de ancho constante probando que toda normal de d(q) es una binormal. Sea PQ una normal de d(q), es decir, PQ es una cuerda de d(q) y la l�nea L que se encuentra en P y es perpendicular a PQ por P es l�nea soporte de d(q). Sea P1 el plano paralelo a la direcci�n d que corta a P en la l�nea L. Es decir, P1 es el plano que, al proyectarse sobre P en la direcci�n d, deja a la l�nea L como sombra. Por supuesto P1, es un plano soporte de q y por tanto existe un punto P' en el que se proyecta sobre el punto P. Sea P'Q' la cuerda de q perpendicular a P1. La cuerda P'Q' es una normal de q y por lo tanto una binormal de q. As�, el plano P2 perpendicular a P'Q' por Q' , es un plano soporte de q. Por otro lado, el plano P2 corta a P en la l�nea L' que es una l�nea soporte de d(q) paralela a L —pues P1 y P2 son planos paralelos. Obviamente, la proyecci�n de la cuerda P'Q' sobre P es la cuerda PQ de d(q). Por lo tanto, la l�nea soporte L' pasa por q, lo que muestra que PQ es realmente una binormal de d(q). Esto muestra que d(q) es una figura de ancho constante. Como toda proyecci�n de q es de ancho constante, entonces q tambi�n lo es.
Supongamos ahora que q es un s�lido de ancho
constante. Es posible convencerse de que toda normal de q
es una binormal repitiendo, palabra por palabra, la demostraci�n de que lo mismo
sucede en las figuras de ancho constante
Si toda secci�n transversal de un s�lido Q es una figura de ancho constante es porque el s�lido Q es una esfera.
Demostraci�n. Empezaremos demostrando que Q es un s�lido de ancho constante, verificando que todas sus normales son en realidad binormales. Sea PQ una normal de Q y llamemos P al plano soporte de Q, perpendicular a PQ, que pasa por P (ver figura VII. 5). Necesitamos probar que el plano P' , perpendicular a PQ, que pasa por Q, es un plano soporte de Q. Pensemos en un plano cualquiera que pase por PQ. Escoja usted uno y ll�melo P1. La secci�n transversal determinada por P1 es una figura de ancho constante, a la que llamaremos Q1. Claramente, PQ es una normal de Ql pues, si L es la l�nea en donde P corta a P1, entonces L es una l�nea soporte de Ql que pasa por P y es perpendicular a PQ. Como en una figura de ancho constante toda normal es binormal, entonces si L' es la l�nea en donde P' corta a P1, tenemos que L' es una l�nea soporte de Q1 que pasa por Q y es perpendicular a PQ. Como lo mismo pasa para cualquier plano que contenga a PQ entonces P 'es un plano soporte de Q, PQ es una binormal de Q, y Q es un s�lido de ancho constante.
A continuaci�n mostraremos que Q es realmente una esfera demostrando que todas las proyecciones de Q son c�rculos. Tomemos d, una direcci�n cualquiera, y llamemos P y P´ a los planos soporte de Q perpendiculares a la direcci�n d (ver figura VII.6). Como Q es un s�lido de ancho constante, digamos h, entonces el plano P toca a Q en el punto K, el plano P' toca a Q en el punto T y K T es una cuerda de longitud h, perpendicular a P a P '. Sea y la proyecci�n de Q en la direcci�n d, sobre el plano P. Usaremos el resultado principal del cap�tulo III para demostrar que y es un c�rculo. Tomemos un punto M de la frontera de y. Necesitamos comprobar que existe una l�nea soporte de y que pasa por M y es perpendicular al segmento de l�nea KM. Para esto ser� suficiente probar que la cuerda MN de y que pasa por K y por M es una binormal de y.
Tomemos ahora el plano P1 que
pasa por los puntos K, T, M y N, y llamemos f
a la figura de ancho constante h que se obtiene en P1
como secci�n transversal de Q. Las l�neas
L1 y L2, paralelas a KT, que est�n
en P1 y pasan por M y por
N respectivamente, son l�neas soporte de Q
por lo que la distancia entre ellas, es decir, la longitud del segmento MN,
es h. Luego entonces, MN es una cuerda de y
que tiene longitud h. Como y
es una figura de ancho constante, por ser proyecci�n de un s�lido de ancho constante,
MN es una binormal de y y por lo tanto,
por M pasa una l�nea soporte de y que
es perpendicular al segmento KM. Por el resultado principal del cap�tulo
III, y es un c�rculo. Finalmente, Q
es una esfera pues todas sus proyecciones son c�rculos.
Anora es claro, puesto que no todo s�lido de ancho constante es una esfera, que no todas las tajadas de un s�lido de ancho constante, distinto de una esfera, son figuras de ancho constante pero, entonces, �qu� figuras pueden obtenerse como tajadas de un s�lido de ancho constante? �Es posible que una figura convexa muy larga, por ejemplo con la forma de una lombriz ovalada, pueda obtenerse como tajada de un s�lido de ancho constante?
La respuesta a la segunda pregunta es s�, siempre y cuando el s�lido sea de un ancho suficientemente grande.
