INTRODUCCI�N
Escribir un libro de matem�ticas para un p�blico amplio es, sin lugar a dudas, una aventura de la cual es dif�cil salir bien librado o al menos satisfecho. "Pero le s� decir, desocupado lector que, aunque me cost� alg�n trabajo, ninguno tuve por mayor que hacer esta introducci�n que va leyendo. La raz�n es que quisiera que este libro, como hijo del entendimiento, fuera el m�s hermoso, el m�s gallardo y m�s discreto que pudiera imaginarse. Pero no he podido yo contravenir a la orden de naturaleza, que en ella cada cosa engendra su semejante."
Me he atrevido a presentar este libro —y de paso a mal citar a Cervantes— con el vano af�n de destruir varios mitos, porque estoy convencido de que la imagen que de las matem�ticas y los matem�ticos tiene la mayor�a de la gente es parecida a aquella que de la m�sica tiene quien s�lo ha escuchado un metr�nomo y nunca una sonata lo que tradicionalmente se ense�a sobre matem�ticas est� lejos de su verdadera esencia y creo que la aversi�n hacia ellas desaparecer�a si tan s�lo intent�ramos presentarlas como lo que son: una bella y terrible pasi�n.
—Matem�tico es aquel individuo para el cual los centros de la creatividad y la lujuria se encuentran alejados en la corteza cerebral muy cerca uno del otro— —me dijo un d�a mi maestro y concluy�—: recuerde usted las palabras de Newton: "No pod�a dormir sin dejar de pensar en ella."
— En la gravedad, por supuesto —contest�.
Yo, como muy frecuentemente sucede cuando �l toca alguna fibra sensible, sonre�... y me qued� pensando. Record� entonces aquella noche en la que por primera vez so��, en un jard�n de azucenas, con aquella bell�sima mujer vestida de blanco... Dec�ase llamar Convexidad. Recuerdo que al final del sue�o me reproch� no haberle sido lo suficientemente fiel. Y era cierto. Mi primer trabajo original, mi primera pasi�n intelectual, fue la soluci�n al problema del equilibrio de los cuerpos, usando ideas de convexidad. No s� por qu� (no me lo explico a�n) pero, despu�s de resolver el problema, por mucho tiempo no volv� a pensar en ella, excepto ocasionalmente. Me dediqu� a otras �reas: la combinatoria primero, la topolog�a despu�s. A�n la sigo so�ando... Con este libro espero saldar mi deuda con ella.
Platico todo esto porque s� que mucha gente piensa que las matem�ticas son feas, �ridas, r�gidas y fr�as. Yo s� que son bellas, c�lidas, a veces terribles, s�, pero siempre apasionantes y entretenidas. Mucho se ha dicho acerca de que la belleza de las matem�ticas es s�lo para iniciados, s�lo accesible para aquellos que entienden su lenguaje, y que est� vedada para los dem�s. Yo he cometido la osad�a de intentar conducirlo a usted, a trav�s de este libro, por el jard�n en donde s� que suele pasear.
La idea central alrededor de la cual gira esta obra es, como su nombre lo indica, la cara oculta de los c�rculos y las esferas. Son aquellas misteriosas y ocultas propiedades de c�rculos y esferas las que quiero tratar, no con el prop�sito de hacerlos parecer m�s lejanos, sino como un reconocimiento a la inesperada riqueza geom�trica que se encuentra escondida en su interior. �Qu� es lo que los hace ser lo que son?, �Qu� parecen ser y no son exclusivamente?
Este libro comienza realmente en el cap�tulo IV, con un relato sobre la Escuela Polaca de Matem�ticas y el "Libro escoc�s." Sin embargo, he querido dedicar el cap�tulo I a las sombras y las tajadas de los s�lidos, no debido a que este material tenga una importancia especial, sino porque me permite establecer uno de los objetivos del libro: mostrar que las matem�ticas son fundamentalmente una vivencia y que por lo tanto es posible hacerlas sobre hechos y objetos cotidianos. Adem�s, todo esto me ha servido para implantar, desde un principio, un tono y una cadencia que prevalecer� durante el transcurso de la obra. El cap�tulo II es una introducci�n a la teor�a de la convexidad, sin la cual el tratamiento de los cap�tulos posteriores ser�a imposible. El cap�tulo III es en s� mismo un tema aparte y trata una caracterizaci�n del c�rculo que usaremos de manera crucial en los cap�tulos V y VI, su lectura completa no es esencial y puede usted omitirlo si as� lo desea; sin embargo, le recomiendo recordar el resultado principal de ese cap�tulo para cuando sea usado m�s adelante. La parte original del libro se encuentra en el cap�tulo V con la soluci�n al problema del equilibrio de los cuerpos y en el cap�tulo VI, con la forma en que han sido presentadas las figuras de ancho constante, muy particularmente en el tratamiento de sus binormales. El libro finaliza con la soluci�n de L. Danzer a una bella conjetura.
Leer un libro de matem�ticas es fundamentalmente un acto de recreaci�n y en poco se parece, digamos, a la lectura de un bestseller: No intente usted tomar este libro y leerlo de corrido, su lectura requiere de otro procedimiento que se parece m�s, por ejemplo, a la lectura de un libro de recetas de cocina. Lo que yo quiero decir es que en ambos casos uno tiene que reproducir concretamente y a cada momento lo que el autor se�ala. Por ejemplo, en la demostraci�n correspondiente a la figura II.9, en el cap�tulo II de este libro, se dice: "Para ver esto dibujemos primero dos l�neas en la direcci�n dada, que tengan a la figura entre ambas. Luego deslic�moslas hasta que toquen a la figura".
Leer este libro significa tener los ingredientes: papel y l�piz: luego dibujar con ellos, primero una figura y a continuaci�n dos l�neas paralelas a ambos lados de la figura; posteriormente deslizarlas, es decir, dibujar varias de ellas hasta dibujar dos que toquen a la figura. Con la pr�ctica, lector, usted sabr� cu�ndo es necesario dibujar y cu�ndo basta imaginarlo. Lo importante es, pues, no s�lo leer el texto sino, de alguna manera, recrearlo y reproducirlo para usted mismo.
Este libro tom� forma en un curso que sobre convexidad impart� en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut�noma de M�xico; tengo una deuda perenne con los estudiantes y mi ayudante, sin cuyo entusiasmo jam�s se hubiese concretado este libro. A ellos pertenece parte de esta obra y creo justo mencionar sus nombres: Daniel Cervantes Peredo, Claudia G�mez Wulschner, Daniel Juan Pineda, Atocha Aliseda, Rafael Morales Gamboa, Sairy Karp y Andr�s Silverman. Quiero tambi�n agradecer a V�ctor Neumann Lara el haberme introducido en el bell�simo mundo de la convexidad, a Isabel Puga la s�ntesis que dio origen al nombre de este libro y a todas aquellas personas que est�n cerca de m� por darme la suficiente libertad para vivir y crear.
M�xico, D.F., mayo de 1988
