AP�NDICE
Existe un dispositivo muy simple que permite simular muchos de los tipos de crecimiento poblacional mencionados en el libro. Se trata, b�sicamente, de un tablero de unos 60 por 60 cm, subdividido en 64 casillas, como tablero de ajedrez. En algunas versiones se usan casillas blancas y negras, pero basta con distinguir cuadros pares y nones. Se a�ade al tablero, por los cuatro costados, una pared de unos 10 cm de alto, con lo cual se obtiene una especie de charola de las dimensiones descritas y con una cuadr�cula interna. Este tablero representa el h�bitat donde interact�an las poblaciones, las cuales pueden simbolizarse con frijoles de dos colores, por ejemplo: negros para las presas y bayos para los depredadores. Los frijoles se mezclan en una lata y luego se arrojan al tablero. Aquellos que caigan en la l�nea entre dos cuadros se asignan al cuadro del cual ocupen m�s espacio. Se tiene entonces que en cada uno de los 64 espacios puede haber una cantidad de frijoles de una u otra clase. Por ejemplo, un cuadro con dos frijoles negros, otro con uno bayo y uno negro, otro vac�o, etc. Entonces se efect�a una contabilidad por cuadro, de acuerdo con reglas que son un modelo de la interacci�n que se trata de representar. Por ejemplo, los cuadros vac�os no producen nuevos frijoles; aquellos que contengan un frijol negro producir�n tres (se reprodujo); aquellos con dos frijoles negros producen dos (solamente sobrevivieron), etc. Acabada la contabilidad se colocan en la lata los n�meros obtenidos de cada "especie" de frijol y se repite la operaci�n. Con este sencillo m�todo se pueden simular interacciones bastante complicadas.
El "frijolarium", como se conoce en M�xico al dispositivo, fue popularizado
por Luis Boj�rquez, quien actualmente trabaja en la Universidad Aut�noma Metropolitana
de Xochimilco. Aunque muy ilustrativas, las simulaciones realizadas f�sicamente,
con tablero y frijoles, pueden llevar demasiado tiempo, sobre todo para dos
especies, o en altas densidades de poblaci�n (m�s de unas pocas decenas de frijoles).
Por esta raz�n se desarroll� un programa de computadora bastante complejo para
simular pr�cticamente cualquier interacci�n entre dos especies (v�ase el libro
Juegos ecol�gicos y epidemiol�gicos, de J. Negrete, G. Yankelevich y
J. Sober�n, segunda edici�n, FCE). El programa POLIFEMO
(en Algol) est� concebido para ser utilizado en computadoras grandes, pero aqu�
se presenta una versi�n muy simplificada, llamada MICROFEMO, dise�ada
para simular las principales din�micas descritas en el libro, escrita en una
versi�n est�ndar de BASIC y que puede ser usada en las microcomputadoras
m�s comunes en nuestro medio. El lector est� invitado a copiarlo, modificarlo
y experimentar cuanto quiera con el programa.
Ya sea f�sicamente o haciendo uso del programa, resultar� muy instructivo a los lectores el efectuar las simulaciones sugeridas y otras de su invenci�n. Quiz� estas caricaturas de la realidad resulten bastante est�mulo como para convencer a alg�n lector de lo interesante que es estudiar los casos reales en la naturaleza.
Se trata del crecimiento con tasa constante. Se arrojan los frijoles al tablero y la contabilidad tiene las siguientes reglas:
1. Los frijoles que caigan en cuadrado par se descartan. Suponemos que el medio en estos cuadros no era favorable a los frijoles, que, por lo tanto, mueren. 2. Los frijoles que cayeron en un cuadrado non se reproducen, multiplic�ndose por un factor constante. |
Si el factor de reproducci�n es de tres o m�s, esperar�amos un crecimiento irrestricto (puesto que aproximadamente la mitad de los frijoles se descartan al caer en cuadro par, hay que compensar esta mortalidad con una natalidad mayor que dos). Si la tasa es de dos, se esperar�a que los n�meros fluctuaran sin tendencia definida hasta que por pura suerte se extinguiera la poblaci�n. En la l�nea 2 100 del programa se determina el valor de la tasa de crecimiento, a la que se denomina F1.
Es un crecimiento regulado de acuerdo con un modelo muy simple. A cada cuadro se le asigna el n�mero m�ximo de individuos que puede sostener. Por arriba de este n�mero los organismos adicionales mueren. Corresponde a situaciones en las que el recurso limitante tiene un n�mero fijo (agujeros para anidar, territorios, etc�tera). Las reglas son:
1. En aquellos cuadros con un n�mero de frijoles igual o menor al valor m�ximo sostenible por cuadro, los frijoles se reproducen multiplic�ndose por una tasa fija. 2. Los cuadros con m�s frijoles que el m�ximo sostenible aportan una cantidad de nuevos individuos que es constante e igual al m�ximo. |
Una tasa mayor de uno produce un crecimiento r�pido que se suaviza al acercarse la poblaci�n al m�ximo total del tablero (64, multiplicado por el m�ximo sostenible de cada cuadro). En las l�neas 2 140 y 2 150 se dan los valores Fl=2 para la tasa de crecimiento, y LI=2 para el m�ximo de frijoles que un cuadro puede sostener.
Es un crecimiento en el que la intensidad de la mortalidad a altas densidades es muy grande, dando como resultado fluctuaciones bruscas alrededor de un valor medio. Las reglas son:
1. Los frijoles en cuadros con menos que el m�ximo sostenible se reproducen. 2. Los frijoles en cuadros a la densidad m�xima, solamente sobreviven, sin multiplicarse. 3. Los frijoles en todos los dem�s cuadros se descartan. |
En las l�neas 2 180 y 2 190 se dan los valores de Lasa reproductiva F1=7 y de capacidad m�xima por cuadro, L1=2.
Cuando las tasas reproductivas son muy altas y la mortalidad a altas densidades es muy intensa, es posible que se generen fluctuaciones muy irregulares y violentas del tama�o de la poblaci�n. Las reglas son id�nticas a las de la simulaci�n anterior, pero la tasa de multiplicaci�n debe ser mayor. En el programa (l�nea 2 230) se sugiere un valor F1=12. Las oscilaciones en este juego pueden ser tan bruscas que la poblaci�n se extinga completamente. Cuando esto ocurre, el programa reinicia el proceso con un solo frijol (que simula un inmigrante).
MODELACI�N DE LA COMPETENCIA INTERESPEC�FICA
Esto representa un caso m�s complicado, en el que dos especies interact�an competitivamente. Las reglas son las siguientes:
1. En aquellos cuadros en los que haya una sola especie de frijoles, �stos siguen las reglas correspondientes a la log�stica oscilatoria, pero con par�metros propios para cada especie. En el programa se sugieren fecundidades de F1=3 y F2=3 (l�neas 2 280 y 2 290) y capacidades m�ximas por cuadro de L1=2 y L2=3 (l�neas 2 300 y 2 310). Se simula entonces el caso de que la especie A es menos eficiente para explotar los recursos de su medio. 2. Los frijoles de la especie A de aquellos cuadros donde haya m�s de A que de B, sobreviven sin reproducirse. Los de la especie B se descartan. Esto se interpreta como que la especie A venci� en la competencia. Lo rec�proco ocurre para cuadros donde haya m�s de B que de A. 3. Los cuadros donde haya iguales cantidades de A y de B no contribuyen con ning�n sobreviviente a la contabilidad: ambas especies pierden en estos cuadros. |
Aqu� se supone que una de las especies de frijoles necesita alimentarse de la otra para reproducirse. Las reglas son las siguientes:
Estas reglas producen una din�mica oscilatoria t�pica de las interacciones depredador-presa.
Este juego es id�ntico al anterior, salvo en lo que se refiere a las reglas tres y cuatro, que se modifican para simular un depredador menos agresivo y presas m�s resistentes. Las reglas modificadas son:
3. En los cuadros donde haya m�s presas que depredadores, todos los depredadores se reproducen (F2=3; l�nea 2 420). En estos cuadros las presas excedentes no son atacadas y tambi�n se reproducen a su propia velocidad (F1 =3; l�nea 2410) 4. En los cuadros donde haya m�s depredadores que presas, los depredadores solamente sobreviven sin reproducirse. Las presas se descartan. |
Este juego produce una din�mica de oscilaciones amortiguadas que contrastan con las fluctuaciones del juego anterior.
A los futuros ec�logos de "frijolarium" se les sugiere mantener m�s bien bajos los valores de las fecundidades y las capacidades de carga por cuadro, tal como aparecen en el programa. La raz�n es que valores mucho m�s altos pueden dar lugar a n�meros exagerados, inmanejables incluso para una micro computadora casera.
