APÉNDICE

MÉTODOS DE MODELAJE Y PROYECCIÓN

Asumamos que la tasa de cambio de una variable de interés ambiental o urbanístico se mantiene relativamente constante dentro de un cierto intervalo de tiempo. En términos matemáticos, esto puede escribirse como una ecuación diferencial del tipo:

	1	dX
			=   k,		(1)
	X	dt

donde X es la variable en cuestión y k es la tasa relativa de cambio. Los valores de k serán positivos para variables que tienden a aumentar con el tiempo (por ejemplo, el número de habitantes en la ciudad de México) y serán negativos para variables que tienden a disminuir con el tiempo (por ejemplo, la proporción de áreas verdes dentro de la ciudad). Integrando la ecuación (1) obtenemos:

X (t) =X (0) e kt ,

(2)

que es la típica curva de crecimiento exponencial usada en demografía para proyectar valores futuros de una población cuando la tasa relativa de crecimiento (k) ha sido estimada.

Si sólo conocemos dos puntos de la curva de crecimiento (es decir, si conocemos el valor de la variable X sólo para dos tiempos distintos), la tasa relativa de crecimiento puede calcularse a partir de la ecuación, (1), reescribiéndola como:

	d lnX
		=   k,	(3)
	dt

y aproximando su valor a partir de una ecuación en diferencias finitas:

	D ln X
k =		(4)
	Dt

Alternativamente, si conocemos más de dos puntos de la curva de crecimiento (es decir, si conocemos el valor de la variable X para varios tiempos distintos), la tasa relativa de crecimiento puede ser calculada a partir de la ecuación (2), reescribiéndola en forma logarítmica como:

lnX(t) = In X(0) + kt

(5)

donde k puede calcularse como la pendiente de la recta de regresión entre el logaritmo de la variable bajo estudio (ln X) y el tiempo (t). La estimación por regresión nos arroja también los errores estándar de la tasa relativa, un estadístico de gran valor para realizar comparaciones entre tasas relativas de cambio de distintas variables.

Una vez que los valores de la tasa relativa de cambio han sido calculados, pueden ser utilizados para proyectar el comportamiento del sistema hacia el futuro. Claramente, estas proyecciones serán válidas si los valores de la tasa actual (k) se mantienen relativamente constantes en el tiempo. Aunque no existe ninguna certeza de que esto será efectivamente así, los valores proyectados por este método son, por lo menos, buenos indicadores de las consecuencias futuras de mantener una tendencia actual.