AP�NDICE

M�TODOS DE MODELAJE Y PROYECCI�N

Asumamos que la tasa de cambio de una variable de inter�s ambiental o urban�stico se mantiene relativamente constante dentro de un cierto intervalo de tiempo. En t�rminos matem�ticos, esto puede escribirse como una ecuaci�n diferencial del tipo:

	1	dX
			=   k,		(1)
	X	dt

donde X es la variable en cuesti�n y k es la tasa relativa de cambio. Los valores de k ser�n positivos para variables que tienden a aumentar con el tiempo (por ejemplo, el n�mero de habitantes en la ciudad de M�xico) y ser�n negativos para variables que tienden a disminuir con el tiempo (por ejemplo, la proporci�n de �reas verdes dentro de la ciudad). Integrando la ecuaci�n (1) obtenemos:

X (t) =X (0) e kt ,

(2)

que es la t�pica curva de crecimiento exponencial usada en demograf�a para proyectar valores futuros de una poblaci�n cuando la tasa relativa de crecimiento (k) ha sido estimada.

Si s�lo conocemos dos puntos de la curva de crecimiento (es decir, si conocemos el valor de la variable X s�lo para dos tiempos distintos), la tasa relativa de crecimiento puede calcularse a partir de la ecuaci�n, (1), reescribi�ndola como:

	d lnX
		=   k,	(3)
	dt

y aproximando su valor a partir de una ecuaci�n en diferencias finitas:

	D ln X
k =		(4)
	Dt

Alternativamente, si conocemos m�s de dos puntos de la curva de crecimiento (es decir, si conocemos el valor de la variable X para varios tiempos distintos), la tasa relativa de crecimiento puede ser calculada a partir de la ecuaci�n (2), reescribi�ndola en forma logar�tmica como:

lnX(t) = In X(0) + kt

(5)

donde k puede calcularse como la pendiente de la recta de regresi�n entre el logaritmo de la variable bajo estudio (ln X) y el tiempo (t). La estimaci�n por regresi�n nos arroja tambi�n los errores est�ndar de la tasa relativa, un estad�stico de gran valor para realizar comparaciones entre tasas relativas de cambio de distintas variables.

Una vez que los valores de la tasa relativa de cambio han sido calculados, pueden ser utilizados para proyectar el comportamiento del sistema hacia el futuro. Claramente, estas proyecciones ser�n v�lidas si los valores de la tasa actual (k) se mantienen relativamente constantes en el tiempo. Aunque no existe ninguna certeza de que esto ser� efectivamente as�, los valores proyectados por este m�todo son, por lo menos, buenos indicadores de las consecuencias futuras de mantener una tendencia actual.