II. �QUE SON Y C�MO LOS DESCRIBIMOS?

COMO en casi todas las novelas, todo resulta m�s comprensible si se comienza por aclarar de qu� se trata, sin echar a perder el final. As�, ser�a apropiado que, como con cualquier personaje principal de una novela decente (cosa que el protagonista no tiene por qu� serlo), tratemos de construir su imagen, esbozar su car�cter, describir sus pintorescas reacciones, sus variados comportamientos y su lenguaje; en fin, de mencionar todos aquellos aspectos que lo hacen sujeto de escritura y, se esperar�a, de lectura.

Como se ver� m�s adelante, el objetivo se logra s�lo parcialmente. Resulta que nuestro protagonista no es ni rubio ni moreno, ni alto ni bajo, ni lo uno o lo otro; simple y sencillamente es dif�cil de acorralar con palabras y escurridizo para manejar. Es m�s, despu�s de que hablemos de su interesante estructura (digamos, sus raros �rganos internos, sus prominentes se�as particulares, sus peculiaridades anat�micas y de algunas de sus idiosincrasias y traumas infantiles), resultar� que para algunos fines pr�cticos carece de importancia. Es como si, tras describir minuciosamente el origen de una tormentosa secta a la que pertenece el medio hermano de la hero�na, �sta se cambiara de continente y pasara ah� el resto de sus apasionados o buc�licos d�as, sin relaci�n alguna con los inconfesables cr�menes de la susodicha secta. Aun as�, un bi�grafo meticuloso no dejar�a pasar la oportunidad de abordar el m�rbido efecto que podr�a haber causado en su car�cter o en sus ocasionales delirios nocturnos.

Advertidos de lo que sigue, mejor es empezar por el principio y entrar en materia, es decir, en fluidos.

II. 1. UNA INDEFINICI�N PRECISA

La materia, es decir, todo lo que nos rodea y que percibimos a trav�s de los sentidos, viene en tres presentaciones aparentemente distintas y exclusivas: en s�lido, en l�quido o en gas. Una observaci�n m�s cuidadosa nos llevar�a a pensar que esta clasificaci�n es un tanto simplista y que debiera ampliarse, o cuando menos subdividirse. As�, empezar�amos por organizar las cosas seg�n su textura, color, abundancia, rigidez, etc., hasta llegar al punto en el que cada material quede ubicado y etiquetado correctamente en el nuevo y exhaustivo esquema as� elaborado. Este enfoque tendr�a sus ventajas, pues dada una sustancia con un nombre debidamente asignado (como el piridot�n-3-glutaciclina-6-fosfomentasa; le antepongo el art�culo "el" porque, de existir, debiera ser masculino), bastar�a con buscar en el compendio, por orden alfab�tico, para encontrar su descripci�n completa, tal vez una ilustraci�n y las referencias cruzadas a las otras sustancias que comparten una o m�s caracter�sticas.

En los t�rminos arriba expuestos la tarea parece imposible, si no es que rid�cula. Sin embargo, es �sta una de las formas en que se ha procedido y los resultados son sorprendentes. Partiendo de la hip�tesis, posteriormente confirmada, de que todo est� hecho de un conjunto reducido de elementos b�sicos que al combinarse, bajo ciertas reglas y en diversas proporciones, da lugar a la impresionante variedad que vemos, los investigadores se dieron a la tarea de aislarlos y caracterizarlos. Ahora contamos ya con obras que resumen el final de esta tarea monumental, considerada una quimera a mediados del siglo XIX, que en su forma m�s sucinta es la tabla peri�dica de los elementos de Mendeleev. A pesar de la importancia fundamental de este conocimiento, en cuanto a nuestra comprensi�n del Universo se refiere, la clasificaci�n no es suficiente para deducir las propiedades de los compuestos que estos elementos forman, ni incluye todo lo que observamos (literalmente, la luz), ni explica c�mo un material dado responde y se comporta cuando permitimos a un agente externo influir sobre �l. Esto �ltimo, el comportamiento din�mico de la naturaleza, exige un tratamiento, un enfoque diferente, m�s general, universal si es posible, que permita evitar el estudio detallado de cada material, lo que har�a del programa cient�fico una tarea inaccesible.

Buscando caracter�sticas gen�ricas, comunes, y las razones para que �stas se manifiesten, llegamos al estudio de la materia en sus diferentes estados de agregaci�n (formas de presentaci�n), que en �ltima instancia hemos reducido a s�lidos y fluidos. Parecer�a ofensivo el tener que explicar lo que es y lo que no es un s�lido. Sin embargo, la separaci�n no siempre es evidente, cuando no inadecuada, al presentar un mismo material con facetas que lo identifican como uno y otro, simult�neamente. Por un lado, a casi todos los compuestos los podemos observar en estado gaseoso, l�quido o s�lido, como al agua; dependiendo de la presi�n y temperatura a la que se encuentre, ser� vapor, agua o hielo. Es posible, y el proceso no es nescesariamente complicado, que un gas pueda licuarse sin cambio abrupto en su comportamiento, observ�ndose una formaci�n paulatina en el gas al ir haci�ndose cada vez m�s denso, hasta ser indistinguible de lo que consideramos l�quido. Este hecho es el que nos permite tratar a un mismo nivel, con los mismos criterios, es decir, en forma conjunta, a un gas y a un l�quido. Esto no sucede en el proceso de la solidificaci�n de un fluido, o el proceso inverso en el que un s�lido se licua o evapora. Hay siempre un punto en el que ciertas propiedades cambian radicalmente al aparecer las dos fases: una s�lida y otra fluida, cada una con propiedades �pticas, el�sticas, etc., muy distintas.

Sup�ngase que tenemos un medio homog�neo, es decir, un material cuya composici�n y propiedades son las mismas en cada parte que lo forma. En cuanto al estado f�sico en el que se encuentra el sentido com�n (a veces muy poco com�n) nos dice que si su car�cter es et�reo, terso o escurridizo, el medio no es s�lido. Si queremos mantenerlo entre las manos y escapa, se trata de un fluido. Si el medio es s�lido podemos retenerlo y es posible deformarlo hasta cierto l�mite. Un fluido parece no presentar l�mite a las deformaciones que podemos imprimirle. Estas ideas sueltas que forman parte de nuestra experiencia cotidiana son precisamente las bases para definir a un fluido, si delimitamos un poco m�s los t�rminos y conceptos incluidos. A�n as�, veremos que la naturaleza se las ingenia para exhibir ejemplos que escurren por nuestras definiciones sin dejarse atrapar.

"Un fluido es un material que fluye". As�, adem�s de risa, la definici�n no da m�s que pena y sorprender�a que pudiera servir para caracterizar a una sustancia. Ahora, hay que precisar lo que es fluir. Para esto vamos a separar en dos a las formas en que act�a una fuerza, que tampoco hemos definido, pero que puede entenderse como el efecto de un agente externo; con buena voluntad y sentido com�n las cosas usualmente funcionan. Toda fuerza (representada por la flecha en la figura II. 1), al actuar sobre una superficie, puede imaginarse formada de dos partes, una normal o perpendicular a la superficie (N) y otra paralela o tangencial a �sta (T). Cada una de �stas, llamadas componentes de la fuerza, tiene un efecto distinto sobre el material. La componente normal es la que asociamos a la presi�n y tiende a comprimir o estirar, dependiendo de la direcci�n de la fuerza. La componente tangencial produce un efecto de deslizamiento relativo entre los planos en que imaginamos estructurado al medio y se le llama tambi�n fuerza cortante.

Figura II. 1. Fuerza y su descomposici�n en componentes normal (N) y tangencial (T).

Para ilustrar esta descomposici�n de las direcciones y efectos de una fuerza consideremos el siguiente ejemplo. Imaginemos una esponja, de forma regular y pegada a dos vidrios planos en sus caras superior e inferior (Figura II. 2(a)). Si aplicamos una fuerza puramente normal a cada uno de los vidrios (Figura II. 2(b)), la esponja se comprime, reduciendo su volumen pero manteniendo su forma. Si ahora jalamos cada vidrio en direcci�n opuesta, de modo que la separaci�n entre ellos se mantenga constante, dando lugar a una fuerza de corte sobre la esponja, �sta se deformar� manteniendo su volumen (Figura II. 2(c)). Por lo general, una fuerza con una direcci�n arbitraria produce una mezcla de ambos efectos, dependiendo de la proporci�n entre su componente normal y su componente tangencial.

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Figura II. 2. Esponja (a), fuerzas normales (b) y de corte (c).

Volviendo a nuestro problema original, consideremos un medio sujeto a fuerzas cortantes, como la esponja en el caso (c). Un material que es s�lido se deforma hasta cierto l�mite, rearreglando sus elementos estructurales (�tomos) hasta generar una fuerza igual en magnitud, opuesta en direcci�n a la aplicada, y as� quedar en equilibrio; en �ltima instancia, los �tomos ligados entre s� por fuerzas de origen electromagn�tico se ven obligados a cambiar sus posiciones relativas hasta balancear exactamente la fuerza aplicada. La deformaci�n se detiene en el preciso momento en que esto se logra. Decimos que un material es el�stico si al retirar las fuerzas aplicadas recupera su forma inicial. Le llamamos pl�stico si no recupera su estado original y guarda cierta memoria de las fuerzas que sufri�. Una sustancia que bajo la acci�n de una fuerza cortante, por peque�a que �sta sea, se deforma sin l�mite se dice que fluye. �Un fluido es un material que fluye! Ahora ya no parece tan tautol�gica la definici�n. As�, el mar bajo la acci�n del viento, que produce una fuerza cortante sobre su superficie, se deforma sin l�mite, se mueve continuamente sin lograr frenar al viento por tenue que �ste sea: la deformaci�n resultante es la que percibimos como oleaje, hipnotizando a unos y mareando a otros.

Parecer�a que con esto se ha logrado clasificar a todas las sustancias en dos grandes grupos. Sin embargo no es as�, lo cual hace el punto m�s interesante. Hay sustancias que tienen un comportamiento dual para las que nuestra definici�n es inadecuada o insuficiente. Es tal la diversidad de sustancias que la tarea de completar y precisar una sola definici�n es in�til.

A las rarezas las tratamos en forma especial, en subgrupos, seg�n las circunstancias. Materiales tan familiares como el vidrio, la pintura y el pavimento pertenecen a esta clase ex�tica de materiales. El vidrio, que se comporta como s�lido cuando lo estudiamos en un laboratorio (o cuando una pelota de b�isbol es bateada en la direcci�n equivocada y va a dar precisamente a...), resulta ser un fluido cuando los tiempos de observaci�n son suficientemente largos. Se puede ver en los emplomados de las viejas catedrales g�ticas que la parte inferior es mucho m�s gruesa que la superior. La raz�n es que el vidrio ha fluido, por cientos de a�os bajo la acci�n de la gravedad.

Tambi�n hay sustancias que presentan comportamiento simult�neo de fluido y s�lido. Su tratamiento requiere de consideraciones particulares que caen en el �rea conocida como la reolog�a. Materiales de este tipo, con propiedades que gen�ricamente son llamadas viscoel�sticas, son por lo general soluciones con gran cantidad de part�culas (pol�meros) disueltas en ellas. Casos t�picos son las resinas, los pl�sticos, m�ltiples derivados del petr�leo y diversos tipos de champ� (el aire de la ciudad de M�xico parecer�a un buen candidato).

II. 2. LOS �TOMOS Y LA VENTAJA DE IGNORARLOS

La concepci�n atom�stica de la naturaleza, seg�n la cual todas las cosas estan constituidas por elementos indivisibles e inmutables, se remonta al origen de nuestra civilizaci�n. Si bien no es sino hasta el siglo XVII que esta imagen adquiere car�cter cient�fico, al empezar a ser fundamentada en la experimentaci�n, es notable la semejanza que hay entre las ideas b�sicas en sus primeras formas y las que hoy en d�a tenemos.

En la antigua Grecia es donde aparece no s�lo la idea general del atomismo, sino las diversas formas que �ste adquiere. La existencia de los �tomos y del vac�o que los rodea, como una necesidad en la explicaci�n de la constituci�n del mundo, es planteada por razones filos�ficas, manteniendo este car�cter hasta el renacimiento europeo.

Dem�crito, en el siglo V, a.C., es sin duda el representante m�s importante del atomismo griego. Para �l, la naturaleza estaba formada de un n�mero infinito de corp�sculos invisibles por su tama�o, que difer�an entre s� s�lo en forma, dimensi�n y estado de movimiento. Comparte con Parm�nides la idea de un Universo cualitativamente inmutable, pero difiere de �ste en cuanto al aspecto cuantitativo, pues atribuye los cambios a la multiplicidad de maneras en que estos �tomos se combinan, manteniendo su naturaleza. As�, un cambio aparente en calidad pod�a ser entendido, al menos en principio, como una variaci�n en la cantidad de �tomos que participaban en el proceso.

En la misma �poca, Emp�docles propone la idea de un Universo formado de cuatro elementos b�sicos, aire, agua, tierra y fuego, que al mezclarse en distintas proporciones generan la inmensa variedad observada. Este modelo, que domina el panorama a todo lo largo de la Edad Media, sin ser atomista en el sentido estricto, refleja la necesidad de reducir a componentes primitivos a la naturaleza. Estas ideas, compartidas y desarrolladas por Plat�n un siglo m�s tarde, y la concepci�n de su disc�pulo, Arist�teles, en torno a la desaparici�n de las partes al formar un todo, impidieron el florecimiento y desarrollo del atomismo en la civilizaci�n hel�nica.

Cuando Tito Lucrecio Caro escribe su poema De rerum natura (Sobre la naturaleza de las cosas) en el siglo I, a.C., el atomismo griego es incorporado a la cultura latina, enriquecido en el proceso por Epicuro, su defensor en el siglo III, a.C. Durante los siguientes diecisiete siglos, crisol del renacimiento y etapa de gestaci�n de los principios del conocimiento experimental, las ideas filos�ficas sobre este particular se mantienen casi invariables: la materia no puede ser dividida sin l�mite y sus elementos constitutivos primitivos son inmutables, incontables en n�mero y finitos en su diversidad.

En las d�cadas alrededor de 1600, mientras Galileo Galilei y Francis Bacon establecen las bases del m�todo cient�fico o experimental, Pierre Gassendi revive el atomismo cl�sico para una �poca mas madura. Daniel Sennert y Robert Doyle, aceptando la idea atomista, le dan su verdadera dimensi�n al buscar su contenido en la experimentaci�n. As�, Boyle logra descartar en forma definitiva el sobresimplificado esquema de los cuatro elementos. Un siglo m�s tarde, Antoine Laurent de Lavoisier desarrolla la metodolog�a del an�lisis qu�mico y define en la pr�ctica a los elementos qu�micos. La generaci�n que le sigue establece los fundamentos de la teor�a at�mica moderna, con la obra de John Dalton, al identificar elementos qu�micos con �tomos y proponer las formas en que �stos se combinan para formar compuestos.

El atomismo griego, la teor�a at�mica de Dalton y la idea contempor�nea sobre la constituci�n de la materia, comparten suficientes rasgos como para considerarlos un mismo proceso animal observado en su evoluci�n a trav�s del tiempo; cada etapa muestra los cambios indispensables para alcanzar la madurez. Si bien los �tomos, concebidos como constituyentes �ltimos de la materia, han sido sustituidos por las part�culas elementales, como el electr�n y el neutrino, se ha mantenido el atomismo que imaginara Dem�crito. Por otro lado, se ha perdido el car�cter inmutable de aquellos �tomos de Lucrecio y de Dalton; los nuevos �tomos, en el verdadero sentido etimol�gico del t�rmino, pueden combinarse para disolverse en luz (al reaccionar un electr�n con un positr�n) o perder su identidad formando un todo (al combinarse un prot�n, un electr�n y un neutrino para formar un neutr�n).

Esta b�squeda de la explicaci�n �ltima de la materia en t�rminos de sus componentes m�s simples ha sido, y es, un esfuerzo por alcanzar uno de los objetivos fundamentales de la f�sica. Creemos tener una idea bastante cercana y correcta sobre estos peque�os bloques universales con los que se construye todo lo que observamos. Otro es el problema de c�mo �stos se combinan para formar �tomos, �stos a su vez formar mol�culas y �stas agruparse para conformar un elote, o un insecto rayado que almacena miel en hex�gonos o, lo que resulta m�s sorprendente, dos mam�feros que se comunican entre s�, uno pinto que ladra, y otro b�pedo que lo cuida, circunnavega el planeta y se asombra de todo, hasta de su mismo asombro.

No deja de llamar la atenci�n que lo que damos ya como un hecho, la existencia de los �tomos, sea en realidad algo que no se puede intuir f�cilmente. Nuestros sentidos son incapaces de percibirlos y lo que nos rodea parece consistir de objetos, s�lidos y fluidos, de aspecto terso y continuo. Es dif�cil imaginar que el humo de un cigarro est� formado de mol�culas relativamente complejas o que al aire que respiramos lo componen mol�culas simples separadas unas de otras millares de veces la distancia que caracteriza su tama�o. Para tener una idea de las dimensiones at�micas tendr�amos que imaginar todo amplificado, de manera que por ejemplo una manzana fuese del tama�o de la Tierra. �Un �tomo de la manzana ser�a entonces del tama�o de una canica! Si toda esta concepci�n es cierta, y todo parece indicar que as� es, la tarea de explicar, por ejemplo, el movimiento del agua al salir de un tubo, en t�rminos de �tomos, parece equivalente a tratar de construir la Torre de Babel.

El problema de estudiar el movimiento individual de mir�adas de part�culas para luego predecir su comportamiento conjunto es algo que no tiene que ver con la f�sica; en la pr�ctica el problema no puede ni plantearse, mucho menos resolverse. Ser�a necesario aplicar las leyes b�sicas de los �tomos, la mec�nica cu�ntica, a cada part�cula, y conocer detalladamente todas las fuerzas que act�an sobre cada una, establecer sus posiciones en alg�n momento y, con las matem�ticas usuales, resolver simult�neamente el problema para todas.

En una gota de agua hay 100 000 000 000 000 000 (10¹⁷) mol�culas de agua aproximadamente, �tantas como segundos en la edad estimada del Universo! Ser�a rid�culo intentar escribir las ecuaciones y pat�tico pensar en resolverlas. Nos tom� siglos pasar de una idea filos�fica a una concreta que nos permite explicar suficientes cosas como para que su validez est�, por lo pronto, m�s all� de toda duda razonable. Ahora resulta que el asunto es tan complicado, que la idea es algo enteramente in�til (al menos para estudiar chorros de agua).

La soluci�n de este problema se encuentra en la complejidad del mismo. Suena parad�jico, pero con un ejemplo podemos intuir el argumento que siguieron quienes contribuyeron a esclarecer la soluci�n.

Imaginemos un dado perfecto, cada arista de la misma longitud y cada �ngulo de 90�. Supongamos ahora que el dado se encuentra parado sobre un v�rtice, con el v�rtice diametralmente opuesto sobre una l�nea vertical, y que nos preguntamos por la direcci�n en la que va a caer al soltarlo (Figura II.3). Si el lado es perfectamente sim�trico, �no cae! Se quedar� as� mientras no sea perturbado. Una corriente de aire o una vibraci�n, por imperceptibles que sean, har�n que caiga el dado.

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Figura II. 3. Equilibrio de un dado.

Una peque�a variaci�n trae como consecuencia un efecto grande: la ca�da del dado. Los detalles de la perturbaci�n son casi imposibles de prever y por consiguiente la posici�n precisa del dado no se puede predecir. Las fuentes que originan estas peque�as variaciones son diversas, complicadas y dif�ciles de estimar. Un efecto es siempre el mismo: el dado se cae. Si hacemos una serie de pruebas encontraremos que las direcciones en las que cae est�n distribuidas sobre un c�rculo y que las caras que quedan hacia arriba son las tres opuestas al v�rtice de abajo, apareciendo �stas con igual frecuencia, si el n�mero de pruebas es suficientemente grande. As�, del problema inicial, imposible de resolver, hemos podido encontrar varios aspectos claros y precisos de la soluci�n, quiz� obvios o triviales en este caso, pero que nos dicen cosas concretas sobre la ca�da. En primer lugar sabemos que cae; si esperamos lo suficiente, algo o alguien llegar� a importunar la delicada paz del dado. Segundo, el dado no tiene preferencias y cae en cualquier direcci�n. En tercer lugar, hay tres caras que se reparten por partes iguales el derecho de aparecer arriba.

Este ejemplo ilustra los puntos claves que permiten estudiar la din�mica de un fluido, constituido de un n�mero extraordinario de �tomos.

Nuestro sistema, el dado y sus alrededores, todo lo que rodea y afecta al dado, siguen ciertas leyes, las leyes de la mec�nica. La aplicaci�n de estas leyes resulta tan complicada que no podemos resolver el problema en la forma originalmente planteada, es decir, predecir en detalle el movimiento del sistema. Si cambiamos el enfoque buscando ahora una descripci�n cualitativa, m�s general, es posible entonces responder en forma precisa algunos aspectos de la ca�da de dados; aspectos de car�cter m�s amplio que no dependen de los minuciosos y abrumadores detalles del proceso. Para esto aceptamos a cambio describir el comportamiento m�s probable o promedio del sistema, introduciendo un elemento esencialmente nuevo en nuestra descripci�n: la probabilidad. Esta herramienta, una de las m�s poderosas que las matem�ticas han generado, es ahora un ingrediente fundamental en la f�sica.

Podr�a pensarse que el precio de nuestra ignorancia o incapacidad es el de conformarse con una descripci�n m�s burda, menos exacta, pero no es as�. En realidad el problema inicial es irrelevante y en el fondo ni siquiera interesa. Si en el ejemplo del dado pudi�semos resolver un caso en particular, haciendo uso de todo lo que sabemos y una dosis de ingenio, tendr�amos precisamente eso, un caso especial. Una peque�a variaci�n y el resultado ser�a muy distinto (otra direcci�n y otra cara). Este efecto, en el que un peque�o cambio en el estado inicial produce un resultado final radicalmente distinto, ha introducido m�s de una sorpresa en nuestro estudio de la naturaleza. Esto es particularmente cierto con los fluidos. Mucho m�s fruct�fera ha sido en cambio la b�squeda del comportamiento global, promedio y gen�rico de un sistema.

No es raro escuchar que cuando se recurre al an�lisis estad�stico o al uso de conceptos probabil�sticos es debido a nuestra incapacidad o ignorancia. Sin afirmar que esta posici�n es rid�cula, s� es s�lo una parte de la historia; a veces irrelevante. Al promediar muchos detalles se obtiene una descripci�n completa. En el caso de los gases no es necesario conocer muchos de los detalles at�micos para conocer su temperatura, presi�n y volumen. Esto es caracter�stico del sistema, �no de quien lo observa! En todo caso, la tarea del cient�fico es la de explicar c�mo y por qu� sucede esta maravillosa contracci�n de la informaci�n. Encontrar qu� cantidades o propiedades microsc�picas son irrelevantes para predecir el comportamiento que observamos es parte de la investigaci�n en curso, si bien contamos con respuestas exquisitas e indicaciones claras de c�mo proceder en muchos casos.

La descripci�n macrosc�pica de un fluido, es decir, la definici�n de las cantidades que se usan para caracterizar su estado y las leyes que determinan la variaci�n temporal y espacial de �stas, tiene su fundamento en el comportamiento (din�mica) de las part�culas que lo forman. Esto ocurre de tal manera que, al actuar en concierto, cada �tomo o mol�cula pierde su identidad, heredando algunas de sus caracter�sticas a cantidades gen�ricas o colectivas llamadas coeficientes de transporte, como la viscosidad y la conductividad t�rmica. Estas etiquetan al fluido, distingui�ndolo de otro de composici�n diferente.

La teor�a que establece la conexi�n entre este mundo microsc�pico de �tomos y mol�culas y el mundo de los fluidos, de chorros y remolinos, es un activo proyecto de investigaci�n en m�ltiples instituciones acad�micas en casi todos los pa�ses, en particular en M�xico. En el caso de fluidos poco densos, de los gases, la teor�a fue construida por James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann a finales del siglo pasado y desarrollada a todo lo largo del presente siglo; se conoce como la teor�a cin�tica de los gases. El notable �xito logrado en el caso de los gases confirma la viabilidad del programa que busca establecer esta conecci�n en el caso de un fluido arbitrario y fuera de equilibrio.

Desde un punto de vista m�s pr�ctico, cualquier fluido como el agua o el aire forma una estructura continua y suave al estudiarlo macrosc�picamente, es decir en dimensiones mayores a, digamos, d�cimas de mil�metro (0.1 mm = 10^-4 m). En un volumen de un cubo de 0.1 mm de longitud por lado, de una millon�sima de litro (10^-12 m³), hay 7.34 x 10¹⁵ (734 seguido de 13 ceros) mol�culas de aire, a una temperatura de 27� C �y a presi�n atmosf�rica! En este volumen, tan peque�o como parece, hay tal cantidad de mol�culas que la presencia de unos millones de m�s o de menos de �stas no afectan de manera apreciable ninguna cantidad medible, aun con los instrumentos m�s precisos de que se dispone. Estos instrumentos miden cantidades promedio sobre un desorbitado n�mero de part�culas, de manera independiente de �ste.

En una verdadera escala microsc�pica los �tomos ocupan una fracci�n muy peque�a del volumen que los contiene, el espacio vac�o entre unos y otros �es mayor al 99.999... %!, de modo que las propiedades del fluido son muy irregulares, cambiando r�pidamente de una regi�n a otra debido al continuo movimiento de las mol�culas; no usamos pues esta microescala cuando lo que interesa es entender c�mo se vac�a un lavabo o se infla un globo.

La hip�tesis b�sica, que es v�lida para la teor�a en todos los niveles, es la llamada hip�tesis del continuo. �sta consiste en suponer que todas las cantidades necesarias para caracterizar a un fluido, como pueden ser su temperatura, su velocidad, su densidad, etc., est�n bien definidas en cada punto del espacio y var�an suavemente de uno a otro, ignor�ndose as� la naturaleza discreta, at�mica, del fluido. Por un punto se sobreentiende entonces un volumen muy peque�o, digamos una mil�sima del considerado en el p�rrafo anterior, en el que hay un n�mero tan grande de mol�culas como para que el promedio de la velocidad no dependa de este n�mero, pero lo suficientemente peque�o como para que pueda verse como un punto por los instrumentos m�s sensibles y finos.

A partir de ahora dejaremos de lado a los �tomos, pues a pesar de su importancia hemos encontrado la ventaja de ignorarlos. Nuestras part�culas de fluido tendr�n el sentido que dimos a un punto en el fluido. A pesar de la advertencia, volveremos a los �tomos en el �ltimo cap�tulo, cuando nos dejemos sorprender por los superfluidos.

II. 3. APEROS: FRASCOS Y TUBOS, IDEAS, MATEM�TICAS Y... FLUIDOS

El estudio de un fen�meno, o un grupo de ellos, se inicia con una serie de observaciones que permiten apreciar cu�les son los aspectos m�s importantes, los que gobiernan el proceso. En el fondo, lo que se busca es la forma de simplificar el an�lisis, aislando las causas que determinan el efecto principal e ignorando aquellas que desempe�an un papel secundario. Establecer cu�les cantidades y la forma en que �stas contribuyen es una parte medular del proceso de entendimiento. Encontrar las razones por las que se combinan de esa manera, usando los principios o leyes correspondientes, es otra etapa igualmente dif�cil e importante. La �ltima parte, la esencia misma del conocimiento cient�fico, es la predicci�n. Con base en el estudio previo debe ser posible anticipar el resultado de nuevas observaciones al cambiar de diversas formas el arreglo inicial del fen�meno.

En el esquema anterior est� impl�cito lo que se conoce como m�todo cient�fico. Lejos de ser un procedimiento sistem�tico y consciente, que lo convertir�a en una receta, hermosa, complicada y �til, pero al fin y al cabo una secuencia de pasos bien definidos a seguir, los investigadores intuyen este procedimiento con base en una tradici�n racional, participando en una o m�s de estas etapas, omitiendo algunas, ocasionalmente agregando otras y ligados indisolublemente, conscientemente o no, a su entorno social. Lo que s� podemos extraer son algunos de los elementos que parecen siempre estar presentes en una u otra forma en el quehacer cient�fico y en especial en la f�sica; este problema, ciertamente abierto, es materia de la teor�a del conocimiento, la epistemolog�a, y ha sido objeto de estudio y reflexi�n de fil�sofos e investigadores.

Un primer aspecto es la concepci�n filos�fica que el observador tiene de la naturaleza y del conocimiento que sobre �sta puede adquirir; aquella puede ser expl�cita o t�cita. En este mismo nivel hay una serie de principios filos�ficos y de reglas l�gicas que el investigador establece, usa y que, normalmente, van impl�citas en su trabajo. As�, su contribuci�n diaria puede sobreentender un materialismo que da por hecho la existencia de un mundo objetivo independiente de �l, una convicci�n total en el principio de causalidad que justifica buscar el origen de un efecto, o el uso irrestricto de la l�gica cl�sica, que sin temor al abuso se omiten al discutir de pol�tica.

En la parte que toca a las observaciones mismas, empezamos por elaborar un modelo a priori (antes de empezar) sobre el fen�meno al separarlo en partes, el sistema y sus alrededores, y asociarle una regularidad que nos asegure que al repetirse el fen�meno podremos observar y medir lo mismo. Si un resultado no se puede reproducir, por lo general pierde el inter�s cient�fico, convirti�ndose en un hecho fortuito, objeto de un an�lisis de otra especie. El llevar a cabo un experimento que "remede en todo" al anterior, tantas veces como sea necesario, es algo que s�lo puede lograrse en un laboratorio.

As�, con base en el ingenio, la minuciosidad sistem�tica, la intuici�n y la experiencia, como en cada etapa en la dilucidaci�n del fen�meno, se escogen las cantidades relevantes. Acto seguido se determina la forma de medirlas, las posibles fuentes de error y se procede a su cuantificaci�n, estableciendo la consistencia interna y la estad�stica de los datos obtenidos.

El an�lisis siguiente consiste en asociar un s�mbolo a cada cantidad y precisar las posibles relaciones entre �stos, es decir, la forma en que unos dependen de otros. Este proceso lleva a la elaboraci�n de expresiones (f�rmulas) que vinculan a los s�mbolos entre s�, sintetizando grandes cantidades de datos. Las reglas para asociar n�meros a s�mbolos y para manipular y combinar estos �ltimos constituye el lenguaje que llamamos matem�ticas.

En realidad, las matem�ticas son una disciplina te�rica que va m�s all� de un lenguaje o una herramienta, aunque vistas como tales permiten, en manos educadas y h�biles, forjar una imagen abstracta, extremadamente �til y especialmente bella del universo concreto que percibimos. Una virtud de las im�genes as� logradas es su capacidad de hablar, a quien las sabe o�r, sobre lo que es posible y lo que es probable. �C�mo hubiesen aprovechado algo semejante las sacerdotisas del or�culo de Delfos! No siendo de origen divino las predicciones as� logradas, como nunca lo fueron las pregonadas por las pitias en Delfos, siempre son sujetas de verificaci�n, a trav�s de m�s experimentos. Basta con uno de �stos que no corresponda a lo esperado o predicho, para que sea necesario modificar parte de las premisas usadas en la elaboraci�n de la predicci�n, repiti�ndose entonces el proceso. Ha sucedido, por fortuna muy de vez en cuando, que las modificaciones necesarias han ido al mismo fondo de los principios filos�ficos.

La f�sica funciona m�s o menos como lo hemos esbozado. Al construir una teor�a se parte de algunos conceptos primitivos que se dejan sin definir o se apela a la intuici�n para introducirlos, como la masa, el espacio y el tiempo. Despu�s, se definen cuidadosamente cantidades compuestas, como la densidad, la velocidad y la presi�n, y acto seguido se postulan ciertas proposiciones (basadas en experimentos), los axiomas o leyes fundamentales, como verdaderas y universales. Su inmensa virtud es que, ante la duda, basta con llevar a cabo un experimento para constatar su validez. A partir de los axiomas se deducen entonces una serie de proposiciones o teoremas que, posteriormente, llegan a ser consecuencias no triviales y lejanas de aquellos postulados originales. En muchos casos los teoremas son formulados como conjeturas basadas en la intuici�n o como resultado de un experimento. El reto en estas circunstancias es encontrar el procedimiento para deducirlo a partir de los axiomas: encontrar la explicaci�n completa del fen�meno a partir de las leyes fundamentales de la teor�a.

El estudio de los fluidos, como parte de la f�sica, ha seguido un camino semejante lleno de obst�culos salvados, de an�cdotas pintorescas, de errores pat�ticos, de experimentos notables y de teor�as ingenuas. Cada faceta del proceso desempe�� una parte importante para alcanzar el nivel que ahora tiene. En la din�mica de fluidos la dificultad m�s grande ha radicado en la demostraci�n de los teoremas; una enorme cantidad de resultados experimentales y de f�rmulas emp�ricas esperan ser deducidos de los principios b�sicos de la teor�a. Esto permitir�a generalizarlos, arrojando luz sobre otros resultados experimentales aparentemente ajenos e igualmente incomprendidos. No hay ninguna rama de la f�sica que pueda considerarse cerrada y todas son objeto de investigaci�n activa; los fluidos no son una excepci�n. El problema de la turbulencia, que se menciona m�s adelante, es uno de los grandes retos de la f�sica te�rica.

Para construir un aparato te�rico que nos permita entender y explicar el movimiento de los fluidos y de los objetos inmersos en ellos, lo cual observamos todos los d�as, es necesario introducir tres elementos como punto de partida. El primero es el de los conceptos primitivos de masa, espacio y tiempo, el segundo es el constituido por las cantidades (variables) que usamos para caracterizar y describir a un fluido cualquiera y el tercer elemento es el marco de referencia adecuado para determinar estas variables.

En cuanto a los conceptos b�sicos las definiciones tal vez dejar�n que desear y seguramente el lector podr�a encontrar otras m�s adecuadas, pero por ahora no hacen falta. La masa es la cantidad de fluido que medimos con una balanza. El espacio es el escenario que usamos para localizar o ubicar al fluido o a una parte de �ste. Imaginamos que existe un punto especial, que llamamos origen, y desde �l medimos longitudes con una regla. El tiempo ser� un par�metro que nos permita ordenar estados diferentes del fluido de acuerdo con su aparici�n en el experimento; este ordenamiento lo establecemos en relaci�n con el Sol o con un reloj. Si no hay cambios, o estados distintos, el par�metro tiempo desaparecer� de la descripci�n. Si el fluido presenta comportamiento electromagn�tico, a los elementos b�sicos debe agregarse la carga.

El segundo punto es m�s complicado y tiene que ver con cu�ntas y cu�les cantidades es necesario disponer para contar con una descripci�n completa y exhaustiva de un fluido. Esta cuesti�n, que no est� del todo libre de controversia, especialmente cuando se trata de fluidos un tanto ex�ticos, ha ido resolvi�ndose a lo largo del tiempo con base en la experiencia. Al quedar enunciadas las leyes en su forma actual se estableci� cu�ntas y cu�les variables, que llamaremos variables dependientes, son las m�nimas para caracterizar el estado din�mico de un fluido. Al espacio y al tiempo se les llama variables independientes. Antes de especificar qu� variables dependientes se usan para describir a un fluido consideremos ahora el punto que se refiere al marco en el que �stas se definen. Para esto vamos a usar una analog�a con la astronom�a.

Al observar el cielo en una noche clara, con la ayuda de un telescopio, adem�s de la reverencia que infunde su extensi�n, profundidad y belleza, aparece la duda por saber en qu� direcci�n fijar el instrumento. Si lo que queremos es llevar a cabo una observaci�n sistem�tica podr�amos escoger entre dos posibilidades: una, enfocar un objeto celeste y seguirlo en su trayectoria. Una vez determinada �sta, repetir el proceso con un segundo objeto y as� sucesivamente hasta tener una muestra representativa del movimiento de los objetos m�s brillantes o m�s azules o lo que sea; la segunda posibilidad consiste en dejar fijo el telescopio, como una ventana al firmamento, y observar los objetos que cruzan el campo visual, determinando su brillo, color, velocidad o belleza. Posteriormente, cambiar la direcci�n del telescopio e iniciar de nuevo el proceso y, como en el caso anterior, obtener un muestreo de los objetos celestes y de su comportamiento.

Al primer procedimiento se le conoce como descripci�n lagrangiana, en memoria de Louis Lagrange, uno de los grandes genios de su tiempo, quien dio a la mec�nica de Newton una estructura matem�tica que lo menos que puede decirse es que su elegante belleza iguala su generalidad. La segunda opci�n es la descripci�n euleriana, llamada as� en honor a Leonhard Euler, el m�s prol�fico matem�tico en su �poca, quien formul� la primera teor�a de los fluidos; parte de ella se mantiene en su forma original hasta la fecha.

Estas dos descripciones son usadas en f�sica indistintamente, dependiendo de las circunstancias. Como herramienta conceptual, sin embargo, la formulaci�n euleriana conduce a lo que se llama una teor�a de campo, esquema que se emplea en la mayor�a de las teor�as modernas de la f�sica.

Partir de una descripci�n lagrangiana supone identificar a una part�cula de fluido, considerada como un peque��simo volumen, y aplicarle las leyes de la mec�nica. Si bien es dif�cil establecer esta identificaci�n en la pr�ctica, conceptualmente es mucho m�s atractiva la idea de aplicar los principios de la f�sica a un pedazo de materia que se mueve, manteniendo su identidad como sistema, que aplicarlos a un punto por el que van pasando distintas partes del fluido. En los textos modernos que tratan de este tema se hace precisamente esto; se empieza con una descripci�n lagrangiana y, una vez introducidos los principios e hip�tesis f�sicas necesarias, se traduce al lenguaje euleriano, usando el diccionario (matem�tico) apropiado que toda lengua merece.

La formulaci�n euleriana, en la que vamos observando diferentes puntos del espacio y estudiamos lo que ah� sucede al transcurrir el tiempo, da lugar a una teor�a de campos. La siguiente idea ilustra el contenido de la frase anterior. En cada punto se hallan definidos ciertos atributos f�sicos del fluido, digamos densidad y velocidad. De un sitio a otro las propiedades cambian de valor, como en la imagen de un paisaje var�an las tonalidades de azul o de verde. Adem�s, con el paso del tiempo las propiedades van cambiando, al igual que sucede en los cambios de las estaciones, cuando una planta nace, crece, florece y muere. Las causas para que cada uno de los cambios se d� pueden ser diversas y lejanas; las apreciamos al estudiar no un s�lo punto sino muchos, todos, si es posible.

Finalmente, para concluir con los preparativos que nos permitan entrar en el tema, vamos a introducir las variables dependientes, los campos, que nos facilitan la descripci�n de diversos procesos y la discusi�n de los principios subyacentes. Dividimos en dos clases a estas variables, los campos escalares y los campos vectoriales.

Los campos escalares son relativamente sencillos y los conocemos por la pr�ctica que adquirimos al habitar nuestro planeta. Su especificaci�n en cada punto est� dada por un n�mero de acuerdo con una escala universalmente aceptada. Una gr�fica o una tabla de datos correspondientes cada uno a puntos distintos, nos da toda la informaci�n espacial del campo. Si �ste cambia con el tiempo se necesita una tabla para cada tiempo. Los campos escalares usuales son la densidad, la temperatura y la presi�n, que representamos por r, T y p, respectivamente.

La densidad nos da una medida relativa entre masa y volumen, es decir, entre la cantidad de materia y el espacio que ocupa, y es una propiedad m�s o menos familiar. El oro es m�s denso que el merengue y �ste m�s denso que el aire, todos lo intuimos.

Es importante hacer notar que la densidad es una propiedad intensiva; es decir, no depende de la cantidad. Por ejemplo, las densidades de un anillo y de un lingote, los dos de plata, son iguales, como lo es su color. Definida como el cociente de la masa, que medimos con una balanza, y el volumen, que medimos con... ingenio, la densidad es una propiedad que no depende de la forma del material, pero s� de la temperatura y la presi�n (no definidas a�n, pero cuyo significado sospechamos). Sus dimensiones son, obviamente, las del cociente masa/volumen. Las unidades correspondientes son, por ejemplo, toneladas/litro, kilogramo/gal�n, miligramo/kil�metro c�bico, etc. La convenci�n usual es el gramo/cent�metro c�bico, gr/cm³ (recordemos que 1 litro = 1 000 cm³ ). La tabla siguiente ilustra los valores de la densidad para algunos objetos.

Material	Densidad (gr/cm3)
Hoyo negro	~ 1018
Núcleo atómico	~ 1014
Centro del Sol	~ 160 000
Otro sólido	19.3
Centro de la Tierra	~ 12
Agua	1
Hidrógeno líquido	0.07
Aire ambiente	0.0012
Aire a 300 km de altura	~ 10-14
~ aproximadamante

La temperatura, otra noci�n familiar, es un concepto primitivo que no podemos construir en t�rminos de masa, espacio y tiempo en una teor�a macrosc�pica, pero que est� asociado a la idea intuitiva del grado de calentamiento de un cuerpo. Aqu� nos contentaremos (indignando quiz� a m�s de uno) con definirla como la propiedad que medimos por medio de un term�metro, instrumento que todos conocemos en alguna versi�n y que hemos usado alguna vez, posiblemente para evitar ir a la escuela. La escala tiene por unidades a los grados Kelvin (� K) y se conoce como la escala absoluta de temperatura; cada � K es equivalente a un � C. De manera que la escala Celsius, que se usa para asignar temperaturas al consom� de pollo o a un ni�o resfriado, marca las mismas diferencias de temperatura que la escala absoluta, con la peculiaridad de que la m�nima temperatura que es posible alcanzar en la naturaleza es de 0� K (= -273.15� C). En el cap�tulo VI regresaremos a esta singular ley de la naturaleza.

El otro campo escalar que usaremos es la presi�n y, como se dijo en la secci�n II. 1, est� definida como la fuerza normal que act�a sobre un �rea dada. Si la misma fuerza normal act�a sobre dos �reas distintas, la presi�n es menor sobre el �rea mayor. Como ilustraci�n imaginemos un objeto cuyo peso es suficiente como para que al ponerlo encima de un huevo �ste se aplaste sin remedio. Siempre podemos poner suficientes huevos como para que el peso se reparta entre todos, de modo que la fuerza que recibe cada uno no exceda su "factor de aplastamiento". Al distribuirse la fuerza sobre un �rea mayor, la presi�n es menor. (figura II.4.)

Figura II. 4. Presi�n: fuerza repartida en un �rea.

Por eso los cuchillos cortan, los picahielos pican y las palas palean con la eficiencia que lo hacen; ni se diga si adem�s el usuario sabe emplearlos.

Las dimensiones de presi�n son de fuerza/�rea y las unidades de uso más común son el pascal (Pa), las atmósferas (atm) y los milímetros de mercurio (mm-Hg); la equivalencia entre �stas es: 1 atm = 760 mmHg = 101,352 Pa. La presi�n de una atm�sfera es igual al peso que una columna de mercurio de 76 cm de altura ejerce sobre un cm², al nivel del mar. Es la misma que ejerce toda la columna de aire arriba de nuestra cabeza. Esto lo demostr� Evangelista Torricelli, disc�pulo predilecto y �ltimo de Galileo, usando el sencillo y convincente dispositivo que aparece en la figura II. 5.

Figura II. 5. Tubo de Torricelli para determinar la presi�n atmosf�rica.

Un efecto semejante se observa con el agua, excepto que la columna es �de m�s de 10 m de altura!; por eso es m�s sensato usar mercurio, pues siendo metal se mantiene l�quido a temperatura ambiente. Curiosamente, fue Ren� Descartes, fil�sofo y matem�tico del siglo XVII, quien sugiri� a Blaise Pascal el experimento para determinar la forma en que cambia la presi�n atmosf�rica con la altura. El joven genio construy� entonces un bar�metro, como el de la figura II. 5, pero us� vino tinto en lugar del mercurio, �en una columna de 14 metros! Debi� ser una experiencia memorable...

En el caso de los campos vectoriales las cosas son un poco m�s complicadas e interesantes, como las personas. Los vectores requieren para su especificaci�n de algo m�s que un n�mero: reclaman direcci�n. La velocidad es un ejemplo caracter�stico, ya que no es suficiente dar un n�mero, su magnitud, como 20 km/h; hace falta agregar la informaci�n que establece en forma un�voca la direcci�n en la que se mueve el objeto en cuesti�n. En cada punto y a cada tiempo es preciso dar tres datos, como por ejemplo la magnitud (el tama�o de a flecha que representa al vector) y dos �ngulos.

Convencionalmente se usan los �ngulos q y f, definidos geom�tricamente como se ilustra en la figura II. 6. En �sta, las l�neas (ejes) x, y, z son mutuamente perpendiculares y al sistema de coordenadas as� definido se le llama cartesiano, en honor a Descartes, a pesar de no haber sido quien lo defini� por primera vez.

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Figura II. 6. Sistema de ejes cartesianos.

Cada vector es entonces representado por una tema de n�meros que nos da, en el punto e instante correspondientes, la magnitud y orientaci�n locales del campo. Una representaci�n frecuente de un campo vectorial es a trav�s de sus l�nea de campo, que para el caso de la velocidad en un fluido se llaman l�neas de corriente o de flujo. En cada punto de �stas el vector velocidad (cada flecha) es tangente. En donde las l�neas de corriente tienden a juntarse la velocidad es mayor que en aquellas donde parecen separarse. Si consideramos flujos en dos dimensiones, como el flujo de una pel�cula delgada encima de una superficie, s�lo necesitamos dos cantidades, la magnitud y el �ngulo con respecto a una direcci�n; esta �ltima la escogemos con base en alg�n capricho o conveniencia. En la figura II. 7 se ilustran estas curvas.

Figura II. 7. Flujo uniforme y lento alrededor de un cilindro circular. N�tese que es (casi) imposible distinguir la direcci�n del flujo.

La velocidad, instant�nea y local, la definimos como el cociente de la distancia recorrida y el intervalo de tiempo que le toma recorrerla. La velocidad as� definida puede cambiar de un punto a otro, o en un mismo punto con el paso del tiempo. Los intervalos de tiempo que corresponder�an a esta definici�n los supondremos tan peque�os como sea posible medirlos en un experimento. En la pr�ctica, lo que se acostumbra hacer es suspender en el fluido part�culas reflectoras de luz (hojuelas de aluminio) que al ser iluminadas son captadas por una c�mara; la exposici�n debe ser tan breve como para que las trazas dejadas en la pel�cula sean segmentos rectos. El tiempo de exposici�n es el intervalo de tiempo y la longitud de la traza es la distancia recorrida. La hip�tesis impl�cita es que las part�culas suspendidas en el fluido se mueven con �ste sin alterar el flujo, de modo que las fotograf�as nos revelan las l�neas de corriente y las velocidades (Figura II. 8).

Figura II. 8. Visualizaci�n, por medio de trazadores, de flujo alrededor de un cilindro circular. La velocidad del flujo es mayor que en la figura II. 7.

La fotograf�a muestra el flujo alrededor de un cilindro, como en la figura anterior; la diferencia estriba en que en este caso la velocidad con la que llega el fluido (de derecha a izquierda) es mucho mayor.

Esta t�cnica de visualizaci�n, introducida a principios de siglo, es hoy en d�a un elaborado arreglo experimental en el que intervienen todos los adelantos tecnol�gicos en �ptica, electr�nica, computaci�n y dise�o mec�nico. El procesado num�rico de im�genes y datos, logrados a partir del an�lisis de luz l�ser, dispersada por esferas de poliestireno de una micra de di�metro suspendidas en el fluido, nos permite estudiar minuciosamente flujos que hace unas d�cadas no se imaginaban, en particular los flujos turbulentos, ca�ticos y complejos, que discutiremos en el cap�tulo V.