III. UNA "HISTORIA" DE LAS IDEAS
LA FORMA en que fueron descubri�ndose efectos, principios y leyes en muchos casos s�lo puede imaginarse, pues existe una laguna en cuanto a los protagonistas y sus condiciones sociales, econ�micas y culturales. La humanidad ha vivido siempre con fluidos. C�mo y cu�ndo aprendi� a usarlos s�lo puede adivinarse. En el presente libro no est�n todos los que fueron, aunque s� fueron todos los que est�n. Muchos nombres, fechas y circunstancias aparecen m�s como gu�a cronol�gica que como reconocimiento del papel que desempe�aron en la edificaci�n de la actual teor�a de los fluidos.
Una historia no es s�lo una secuencia de nombres, fechas, hechos y las an�cdotas que los conectan. Es m�s bien una explicaci�n e interpretaci�n de �stos a partir de hip�tesis fundamentadas y basadas en patrones globales del comportamiento; en nuestro caso es la tarea de los profesionales del campo, los historiadores de la ciencia. M�s que evocar una historia, lo que haremos ser� una visita parcial a trav�s del tiempo para recordar pasajes exquisitos del desarrollo del pensamiento humano. As�, pasaremos por algunos aspectos que costaron mucho entender o manejar, por ciertos puntos sencillos y pr�cticos que nos dejan sospechar las peculiaridades de un fluido y otros m�s bien curiosos o simplemente divertidos, que aparecen distribuidos en el tiempo y en diferentes sitios, lo cual les da una perspectiva que, al recordar las circunstancias culturales, pol�ticas, sociales o econ�micas, permite intuir la historia.
No es casual que los cambios y avances importantes que modificaron cualitativamente el conocimiento de la din�mica de los fluidos se llevaran a cabo en forma paralela a los cambios sociales. Es importante subrayar aqu�, aun cuando quiz� no pueda apreciarse en lo que sigue, que las etapas diversas de organizaci�n social, el florecimiento de una cultura o el decaimiento de una civilizaci�n, se ven reflejadas en el desarrollo particular de los fluidos. No puede entenderse �ste si no es como una huella m�s de la actividad humana en su conjunto.
III. 1. SOBREVIVENCIA, MAGIA, NECESIDADES Y LUJOS
Hasta hace aproximadamente 100 000 a�os el hombre segu�a tratando de acostumbrarse a vivir bajo los �rboles. El paso de recolector de frutos, que afortunadamente no hemos abandonado del todo, al del cazador, fue muy largo y es dif�cil intuir siquiera c�mo se llev� a cabo. En este paso invent� y descubri� m�ltiples utensilios que le hicieron m�s f�cil su existencia en un medio ajeno y hostil que luego domin� y, dir�amos ahora, casi se acab�. Invent� la rueda mucho despu�s del vestido y descubri� el fuego antes que aqu�lla. Desarroll� armas para subsistir, descubri� despu�s el bronce y, hace unos 10 000 a�os, la agricultura. Probablemente aprendi� a manejar los fluidos en forma circunstancial en este proceso.
Los primeros que se estaban ahogando por humo dentro de una cueva sacaron al fuego a la intemperie o se buscaron una cueva con el techo m�s alto, y aprendieron que el aire caliente sube, pero sin intuir en ello el principio de la flotaci�n. Los primeros navegantes tal vez surgieron de una poco afortunada p�rdida de equilibrio en la orilla de un r�o y del fortuito paso de un tronco en la vecindad inmediata. Tambi�n podemos imaginar que, al observar que ciertos objetos flotaban en un r�o, a m�s de uno se le ocurri� aprovechar el hecho para viajar r�o abajo y, con suerte, al otro lado.
La evoluci�n de un tronco a una canoa, de �sta a una balsa y de �sta a un medio de carga y transporte colectivo, as� como del mecanismo de propulsi�n de varas a remos y de �stos a velas, s�lo podemos reconstruirlo usando el sentido com�n y una f�rtil imaginaci�n. Algo semejante puede decirse de las armas. El proceso que va desde arrojar piedras y palos, que a m�s de una presa s�lo debe haber irritado lo suficiente como para comerse al c�ndido ancestro, hasta la invenci�n del mazo y, mucho m�s tarde, hace unos 30 000 a�os, el arco y la flecha, comprende m�ltiples pruebas e ins�litas experiencias. Bajo la presi�n de la supervivencia el hombre aguz� el ingenio para adaptarse y manejar su ambiente que, g�stele o no, lo dominan los fluidos.
En esta etapa de la protohistoria, que abusivamente catalogamos de supervivencia, se hicieron obras notables destinadas al riego. Las necesidades agr�colas de las culturas que florecieron en Mesopotamia y Egipto, al menos 4000 a�os a.C., llevaron a dise�ar y construir presas y diques, cuyos restos a�n pueden apreciarse en las m�rgenes de los correspondientes r�os. Vestigios semejantes, de tiempos casi tan remotos, fueron descubiertos en las riberas de r�os en la India y la China. La construcci�n de canales para riego, transporte y surtido de agua a las grandes metr�polis de entonces confirma la relaci�n directa entre el nivel de una civilizaci�n y la posesi�n de una tecnolog�a para mantenerla; en particular, la relaci�n con el agua.
En forma paralela a las obras hidr�ulicas a gran escala se desarrollaron artefactos, instrumentos y curiosidades asociadas al comportamiento de los fluidos. Es posible suponer que el ser humano intu�a algunos principios b�sicos, si consideramos su notable conocimiento emp�rico. El uso del fuelle, la jeringa y el sif�n era frecuente, como lo reflejan los legados pict�ricos y estelas fragmentadas que se conservan, mismas que muestran la existencia de la pipeta, la clepsidra, reloj de agua usado en Babilonia y posteriormente en Egipto, y el uso de los vasos comunicantes. Hubiera sido dif�cil, muy dif�cil, llevar a cabo algunas obras de ingenier�a sin algunos de estos aparejos. El nivel de pisos y b�vedas seguramente se establec�a, como a�n hoy lo hacen los buenos alba�iles, usando el principio de los vasos comunicantes.
La clepsidra, perfeccionada y usada a trav�s de la Edad Media, consist�a en un recipiente con un orificio por el que el agua goteaba a una velocidad constante. El nivel en el recipiente, al ir bajando, marcaba el tiempo en una escala fija en las paredes. Esta idea sencilla, como tantas otras, fue desarrollada hasta alcanzar un alto grado de complejidad t�cnica y art�stica. (figura III.1.)
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Figura III. 1. Vasos comunicantes (a) y clepsidra (b).
El paso de la informaci�n en forma oral, de una generaci�n a otra, hizo que gran parte de ella se perdiera en el tiempo. Por otro lado, algunos instrumentos y tal vez sus principios se manejaban con el m�s meticuloso sigilo por quienes detentaban el poder pol�tico o religioso, o ambos, como usualmente suced�a. Los portentos exhibidos en los templos egipcios para mantener la fe, mostrar el benepl�cito de los dioses o dejar ver la ira divina, se lograban usando mecanismos hidr�ulicos ocultos, empleando aire o agua como veh�culo; elevar objetos, desplazarlos y, con ingenio, desaparecerlos, fue una pr�ctica desarrollada en ciertas esferas no exclusivas a los cultos a Ra. Que el saber trae consigo el poder no s�lo fue explotado por quienes disfrutaban los m�danos del Nilo... Pero el secreto que rode� a esa "tecnolog�a" se qued� en el pasado y no podemos m�s que especular qu� tanto la entend�an.
Desde el remoto y oscuro pasado hasta el florecimiento de la cultura hel�nica, el hombre acumul� un vasto conocimiento pr�ctico sobre el comportamiento de los fluidos. De los complejos sistemas de riego a las elaboradas embarcaciones propulsadas por viento y de las aerodin�micas flechas y lanzas, al sif�n y la clepsidra..
Las extensas guerras de conquista de Alejandro Magno permitieron a la civilizaci�n occidental enriquecerse con el legado asi�tico. Alejandr�a sustituy� a Atenas y amalgam� la cultura de la �poca, resumiendo el conocimiento previo en su legendaria biblioteca. No es de sorprender que ah� brillaran las artes y ciencias con Euclides, Arqu�medes y Ptolomeo, entre otros.
De las diez obras que se conocen de Arqu�medes (287-212, a.C.) destacan sus dos vol�menes sobre la hidrost�tica y la flotaci�n. En la mejor tradici�n de la escuela de Euclides, con cuyos disc�pulos se educa, basa todo su an�lisis en dos postulados sencillos y ciertamente correctos. A partir de �stos demuestra varios resultados que todav�a forman parte del cuerpo de los teoremas b�sicos de la hidrost�tica y la estabilidad de cuerpos que flotan. Uno de ellos es el principio que lleva su nombre y establece que "si un s�lido es parcial o totalmente inmerso en un fluido, sufre una fuerza ascendente igual al peso del fluido desplazado". Este sencillo enunciado nos permite entender un sinn�mero de fen�menos aparentemente dis�mbolos Veamos ahora tres de ellos: la flotaci�n de un barco, la flotaci�n de globos meteorol�gicos de altura fija y la proporci�n de oro en un anillo de bodas.
El principio dice que las cosas flotan en un fluido, lo que implica que pesan menos. La reducci�n en peso es igual al peso de una cantidad de l�quido de volumen igual al del objeto sumergido. Consideremos un ejemplo. Imaginemos un cubo de cuarzo de 1 cm³, se mide un cent�metro por lado. Al vac�o, encontramos que pesa 2.65 g. Al sumergirlo en agua desplaza 1 cm³ de �sta. Al pesar esta cantidad de agua se halla que pesa 1 g. Por lo tanto, en el agua, el peso de nuestro cubito de cuarzo es de 1.65 g.
�Por qu� flota un barco de acero?
Puesto que un metro c�bico de agua pesa una tonelada, para hacer flotar (reducir su peso a cero) a un barco de 1 000 toneladas es preciso que desplace 1 000 m³ de agua. Es decir que el volumen del barco, abajo de su l�nea de flotaci�n (Figura III.2), debe ser de, digamos, �un cubo de 10 m por lado! Si es m�s largo que ancho no tiene por qu� estar tan sumergido y ser� de menor calado. Criterios de estabilidad, tambi�n desarrollados por Arqu�medes, son algunos de los aspectos que determinan la forma m�s adecuada para el casco del barco, la parte sumergida.
Figura III. 2. L�nea de flotaci�n.
�C�mo subir un globo a una altura predeterminada?
Un globo lleno de alg�n fluido menos pesado que el aire sufre una fuerza que lo hace ascender, por flotaci�n. Puesto que con la altura el aire es cada vez menos denso, m�s enrarecido, el globo subir� hasta la altura en que ambos fluidos (el contenido en el globo y el aire externo desplazado) pesen lo mismo. Conociendo la forma en que var�a la densidad del aire con la altura es posible predeterminar la altura a la que un globo meteorol�gico llegar� y permanecer�, con s�lo variar su volumen y contenido. Estos globos se emplean principalmente para medir propiedades de la atm�sfera como la presi�n, la temperatura, la humedad y los contaminantes (�en la ciudad de M�xico �stos pueden medirse con un globo sobre la banqueta!).
Siendo el aire un fluido, todas las cosas sufren flotaci�n y, me apena decirlo, �las personas son más pesadas de lo que creen!
Otro ejemplo est� conectado a la leyenda seg�n la cual Arqu�medes descubri� la flotaci�n. Hier�n I, rey de Siracusa (Sicilia), cuna y residencia de Arqu�medes, deseaba saber si su corona conten�a oro en la proporci�n adecuada. La soluci�n la encontr� Arqu�medes, se dice, al entrar en el agua de un ba�o p�blico, del que sali� euf�rico gritando "�eureka!", rumbo a su casa, sin siquiera vestirse. Apenas lleg� sumergi� en agua pesos de oro y plata iguales, determinando los desplazamientos de agua respectivos. Al comparar �stos con el desplazamiento que generaba la corona determin� el porcentaje de cada metal por medio de una sencilla regla de tres. Con un anillo de bodas el proceso es el mismo, aunque las consecuencias son m�s dif�ciles de prever...
El trabajo de Arqu�medes en hidrost�tica es uno de los grandes logros de las matem�ticas y mec�nica griegas (aunque �l era tan griego como un latinoamericano espa�ol). "Es uno de los monumentos m�s espl�ndidos a su genio [...] al que poco han podido agregar quienes le sucedieron", dijo Lagrange, casi 2 000 a�os despu�s. Su genio en las matem�ticas lo pone en la categor�a que solo comparte con Isaac Newton y Friederick Gauss.
La herencia que recibi� Grecia para su notable desarrollo en todas las �reas le fue legada principalmente por Mesopotamia y Egipto. Sobre ella construy� el parten�n intelectual que conocemos. Por otro lado, las bases sobre las que creci� la cultura latina fueron tomadas e incorporadas intactas de los griegos. El imperio romano se consolid� sin que Alejandr�a hubiese dejado de ser el emporio cultural del mundo occidental. Si Grecia es recordada sobre todo por sus contribuciones en filosof�a, artes y matem�ticas, Roma busc� brillo en otras direcciones y muy poco contribuy� al avance de las matem�ticas y al conocimiento de los fluidos.
Los mil quinientos a�os subsecuentes fueron ricos en obras de gran importancia en torno al manejo de aguas. Todav�a pueden apreciarse los notables acueductos que los romanos sembraron en el orbe que dominaron. El dise�o y construcci�n de sistemas de aprovisionamiento de agua, de su distribuci�n a trav�s de grandes ciudades y de los drenajes correspondientes, hablan del grado de desarrollo de la ingenier�a hidr�ulica en el imperio. La necesidad de resolver problemas pr�cticos impuls� ese desarrollo. El regado de inmensos jardines palaciegos y el proveer de comodidades a sus ocupantes fue un ingrediente adicional. Poco o nada se logr� sobre el entendimiento y uso del agua y el viento. El intercambio con el mundo �rabe, a trav�s de las diversas guerras de conquista y reconquista mutua, incluyendo las Cruzadas, permiti� un flujo de ideas, invenciones y costumbres que en el crisol del tiempo dieron luz a la deslumbrante explosi�n renacentista.
III. 2. DE LA METAF�SICA A LA F�SICA
Los diez siglos que siguen a la ca�da del Imperio romano y que gestan la aparici�n de una brillante era en la historia de nuestra civilizaci�n, sirven para consolidar el sistema econ�mico feudal y el poder de la iglesia cristiana, asimil�ndose el legado filos�fico griego. Este �ltimo aspecto lleg� a su climax con la aristotelizaci�n del cristianismo por Tom�s de Aquino en el siglo XI. La incorporaci�n de las matem�ticas, la l�gica, la metaf�sica y la astronom�a griegas a la ense�anza en las "universidades" medievales, que fundara Carlomagno en el siglo VIII, llev� a la formulaci�n de la educaci�n escol�stica basada en las siete artes liberales agrupadas de la siguiente manera: el trivium (gram�tica, l�gica y ret�rica) y el quadrivium o artes matem�ticas (aritm�tica, astronom�a, geometr�a y m�sica).
En el periodo que concluye con el siglo XIV destacan los procesos de cr�tica a la metaf�sica y mec�nica aristot�licas, representados por Juan Buridan en Francia (1300-1358) y Guillermo de Occam (1285-1349) en Inglaterra. Esta etapa de revisi�n cr�tica fue el fruto de un proceso lento, laborioso y acumulativo de m�ltiples, protagonistas, tiempos y lugares. Una consecuencia directa de esto es el nacimiento de las ciencias experimentales.
En un siglo de notable esplendor sobresale un hombre que se destac� en todas y cada una de las diversas actividades en las que estuvo interesado. Su universalidad s�lo es igualada por su profundidad y calidad. Leonardo da Vinci (1452-1519), en cuanto a la ciencia y a los fluidos se refiere, marca el siguiente paso despu�s de Arqu�medes.
Como pocos de sus antecesores y contempor�neos, Leonardo subray� en numerosas ocasiones la necesidad ineludible de la observaci�n y el experimento. As� lo mostr� en sus bellos, meticulosos y copiosos dibujos; una exquisita selecci�n puede encontrarse en la publicaci �n del C�dice Hammer (Hammer, 1972). Sus razones se pueden leer en algunas de sus notas, por ejemplo: "Huid de la opini�n de los especuladores, pues sus argumentos no est�n sustentados en la experiencia [...] a diferencia de ellos, no puedo citar autoridades, pero, m�s importante y digno, es argumentar con base en el experimento, maestro de sus maestros." M�s tarde, discutiendo su m�todo de trabajo escribi�: pero antes llevar� a cabo algunos experimentos, ya que es mi premisa empezar as� y entonces demostrar por qu� los cuerpos se comportan de cierta manera. Este es el m�todo que debe seguirse en la investigaci�n de los fen�menos naturales [...]".
De la gran cantidad de observaciones y experimentos que llev� a cabo sobre el comportamiento de los fluidos, Leonardo obtuvo resultados cuantitativos y generalizaciones sorprendentes que no fueron apreciadas sino mucho despu�s, �algunas hasta el siglo XIX!
Encontr� que el aire y el agua tienen un apellido com�n. Al comparar en forma sistem�tica los movimientos de masas de aire (vientos) y agua (estanques, r�os y mares) intuy�, cit�ndolo en forma recurrente, los elementos comunes de su comportamiento.
Al observar el movimiento de aguas en ductos, canales y r�os, descubri� y formul� en forma cuantitativa uno de los principios fundamentales en la mec�nica de los fluidos: el principio de continuidad o de conservaci�n de la masa. Si bien es cierto que al menos desde la �poca de Arqu�medes se sab�a que el agua que entra por el extremo de un tubo sale por el otro, la relaci�n entre este hecho y la descarga era si acaso sospechada, aun por los constructores romanos. La descarga es la cantidad de fluido que atraviesa una secci�n de un tubo o de un canal por unidad de tiempo. Por ejemplo, el n�mero de litros por segundo que pasa por cualquier parte de un tubo, cuya secci�n sea variable, es siempre el mismo.
En las palabras de Leonardo: "En cada parte de un r�o, y en tiempos iguales, pasa la misma cantidad de agua, independientemente de su ancho, profundidad, tortuosidad y pendiente. Cada masa de agua con igual �rea superficial correr� tanto m�s r�pido como poca profunda sea [...]" (ver Figura III. 3);"[...] en A el agua se mueve m�s r�pido que en B, tanto m�s como la profundidad de A cabe en B...".
Figura III. 3. Secciones de Leonardo da Vinci.
Este an�lisis b�sico y casi evidente, que eludi� a sus predecesores, puede considerarse como la primera formulaci�n clara y cuantitativa de la ecuaci�n de continuidad para el flujo estacionario (que no cambia con el tiempo) de un fluido incompresible (de densidad constante). Este resultado, en t�rminos m�s apropiados, que no m�s comunes, establece que la velocidad es inversamente proporcional a la secci�n transversal. Equivalentemente, el producto de la velocidad y el �rea, en cada secci�n, es constante. La generalizaci�n de este resultado a la forma en que hoy se conoce tom� todav�a 300 a�os mas.
Otros estudios de Leonardo versaron sobre el vuelo, la generaci�n y propagaci�n de ondas, el movimiento de remolinos (v�rtices) y el papel de �stos en los flujos complicados e irregulares que llamamos turbulentos. Estos estudios de car�cter cualitativo o puramente descriptivo influyeron en forma directa e indirecta en el desarrollo de la hidr�ulica y la hidrodin�mica, entendidas �stas como la parte pr�ctica y te�rica de la mec�nica de fluidos, respectivamente. La percepci�n visual de Leonardo fue la herramienta clave de su obra art�stica y cient�fica, la cual se aprecia en cada detalle de sus penetrantes y hermosas ilustraciones, y gracias a ella estableci� una pauta en la b�squeda del conocimiento.
Si la observaci�n y la experimentaci�n, entendidas como el registro meticuloso y pasivo, la primera, y la ocurrencia intencional, repetitiva y controlada del fen�meno, la segunda, son elementos indispensables del conocimiento cient�fico, el uso de un lenguaje adecuado y la generalizaci�n deductiva o inductiva las complementan y dan sentido.
A Galileo Galilei (1564-1642) es a quien, un siglo despu�s, le toca completar el esqueleto del m�todo cient�fico, pues transforma a la mec�nica en una ciencia partiendo de una cr�tica constructiva de la metaf�sica escol�stica. Usando a la experimentaci�n como gu�a, como lo hiciera Leonardo, introduce el lenguaje de las matem�ticas para formalizar y extender sus resultados, generalizar sus concepciones y sentar las bases de una nueva manera de estudiar la naturaleza. Con metodolog�a semejante a la de Arqu�medes, Galileo habl� a una �poca m�s madura; a diferencia de Leonardo, no escribi� "al rev�s" y fue le�do y, desde luego, criticado por sus contempor�neos.
La contribuci�n de Galileo a la din�mica de los fluidos fue profunda, aunque indirecta, al participar en la fundamentaci�n de la mec�nica, de la f�sica y de la ciencia misma. La astronom�a fue la motivaci�n de su trabajo y la pasi�n de su vida. Afirmaba entender m�s de los cuerpos celestes que de los fluidos que observamos todos los d�as...
Un aspecto decisivo en el paso de la especulaci�n aristot�lica a la ciencia posgalileana fue la introducci�n de la observaci�n como pilar y sustento de la raz�n. Para entender el mundo, la raz�n pura demostr� su fracaso. Del muy joven Leonardo al anciano Galileo se ve un cambio �nico en la historia. En estos doscientos a�os se lleva a cabo el florecimiento resultante de los previos dos mil a�os de siembras y cuidados
III. 3. DEL HORROR AL VAC�O, AL AGUA SECA
Es claro que no puede culparse a Arist�teles del estancamiento intelectual que sigui� a su muerte. Fue la dogmatizaci�n de sus ideas y la exclusi�n de su actitud cr�tica y din�mica, que predic� y practic�, lo que casi paraliz� la evoluci�n del conocimiento.
La concepci�n aristot�lica en torno al vac�o y la aceptaci�n sin reservas de
�sta dominaron hasta mediados del siglo XVII. Seg�n Arist�teles
la naturaleza tiende a llenar todos los espacios con cualquier medio a su alcance,
siendo el vac�o una imposibilidad f�sica. La frase horror vacui vino
a resumir esta creencia a trav�s del tiempo, y se llegaron a inventar sustancias
como el �ter, con propiedades inconmensurables, no factibles de ser medidas,
para "explicar" la presencia de espacios aparentemente vac�os.
La cr�tica, no es de sorprender, fue iniciada por Galileo. La generaci�n que le sucedi� la continu� y la resolvi�.
El compa�ero inseparable de Galileo en los �ltimos tres meses de su vida fue Evangelista Torricelli (1608-1647). Tras de extender algunos trabajos de aqu�l en din�mica de proyectiles y de generalizar en forma brillante parte de la obra de Arqu�medes, fue invitado a Florencia por el anciano Galileo para discutir y escribir sus �ltimas ideas. As�, Torricelli se vio expuesto a muy variadas especulaciones y proposiciones que, en su desafortunadamente breve carrera cient�fica, desarroll� al suceder al maestro en su c�tedra de matem�ticas.
Torricelli se ocup� de diversos problemas en forma te�rica y experimental. En el �rea de fluidos destacan sus estudios sobre el flujo de chorros que salen por el orificio de un recipiente, su descubrimiento del principio del bar�metro de mercurio y su uso en el estudio de la presi�n atmosf�rica. Con estos trabajos logr�, entre otras cosas, acabar con el mito de la imposibilidad del vac�o. Uno de sus experimentos consisti� en demostrar la existencia de la presi�n atmosf�rica y la forma de crear un vac�o, usando un dispositivo como el que se muestra en la figura II. 5. Una variaci�n de �ste se describe a continuaci�n.
Es f�cil convencerse de que la atm�sfera ejerce una presi�n igual en todas direcciones. Se requiere un vaso, una hoja de papel o de pl�stico, agua y una cubeta (para no salpicar todo, como sucede; cuando se intenta por primera vez). Encima del vaso bien lleno de agua se pone el trozo de pl�stico, cuidando de que no quede en el aire entre �ste y el agua. El vaso puede invertirse lentamente sin que el agua se caiga, debido a que el aire empuja constantemente contra el pl�stico (Figura III. 4(a)). Para que la demostraci�n sea m�s contundente puede sumergirse parcialmente el vaso invertido en una cubeta llena de agua y retirar el pl�stico; �el agua no se sale! (Figura III. 4(b)). En este caso el aire empuja hacia abajo sobre la superficie horizontal del agua con la misma presi�n que en el caso anterior lo hizo hacia arriba.
Figura III. 4. La presi�n atmosf�rica en la cocina.
Si el vaso mide m�s de 14 m de longitud (ji, ji), al realizar el experimento de la figura III. 4 (b), se saldr�a un poco de agua, quedando lo que parece una burbuja en el vaso. Ah�, en realidad, hay un razonable vac�o; de hecho hay un gas (aire y vapor de agua) tan enrarecido como el que se encuentra a 200 km de altura sobre esta p�gina (suponiendo que no es usted astronauta en funciones). Usando mercurio, basta con una columna de m�s de 76 cm de longitud para obtener un vac�o equivalente; se ilustra en la figura II. 5, en el espacio de la parte superior del tubo.
Blaise Pascal (1623-1662) fue quien, repitiendo y extendiendo los experimentos de Torricelli, dio una clara explicaci�n de las observaciones. Al darse cuenta de que los experimentos b�sicos pod�an ser explicados por igual en t�rminos de la presi�n atmosf�rica en vez de en t�rminos de un parcial horror al vac�o, llev� a cabo un experimento de vac�o dentro de otro vac�o. De esta manera, al quitar la presi�n externa la altura de la columna de mercurio deb�a reducirse a cero, y as� lo demostr�, desechando la segunda explicaci�n. No satisfecho, repiti� los experimentos a diferentes alturas sobre el nivel del mar. Con ello prob� que, si es la columna de aire que est� arriba del dispositivo la que hace que el mercurio suba en el tubo, entonces la altura de �ste deb�a cambiar seg�n la cantidad de aire encima de �l. Si a la naturaleza le daba horror el vac�o, deb�a horrorizarle por igual ya fuera arriba o abajo de una monta�a. Con esto qued� abandonada en forma definitiva la concepci�n del horror vacui.
En el proceso de estudio de la presi�n atmosf�rica Pascal invent� la prensa hidr�ulica, descubriendo el principio f�sico subyacente. Seg�n �ste la presi�n en un fluido act�a por igual en todas las direcciones; conocido como el principio de Pascal, es uno de los dos axiomas fundamentales de la hidrost�tica. El otro es el principio de Arqu�medes. A los 31 a�os de edad y siendo una celebridad por sus variadas contribuciones en f�sica y matem�ticas, Pascal se convirti� en asceta; dedic� sus �ltimos ocho a�os de vida a la teolog�a con la misma intensidad que dedicara antes a la ciencia.
Unos d�as antes del primer aniversario de la muerte de Galileo, en el pueblito ingl�s de Woolsthorpe, naci� Isaac Newton (1642-1728). Como Da Vinci en su �poca, la luz de Newton brilla por encima del estrellado cielo de sus contempor�neos.
En agosto de 1665 la peste obliga a las autoridades a cerrar el Trinity College de Cambridge y Newton, cuatro meses despu�s de su graduaci�n, se ve obligado a regresar a su aldea natal. Ah�, aislado por dos a�os, lleva a cabo una haza�a sin paralelo en la historia del pensamiento humano. Lo que necesita y no sabe, lo inventa; lo que sabe y no le sirve, lo generaliza o lo cambia sin pudor alguno; sobre lo que no entiende, medita, observa, hace experimentos y propone hip�tesis. Al final de este periodo ha cimentado sus tres contribuciones fundamentales: el c�lculo infinitesimal, la mec�nica y la gravitaci�n, y la teor�a de la luz y los colores. As�, aquel joven com�n y corriente que se fue, regresa convertido en el profundo pensador que sentar�a las bases de la f�sica y las matem�ticas de los siguientes siglos.
Caracter�stico de la revoluci�n cient�fica del siglo XVII, y en la mejor tradici�n cartesiana de la �poca, parti� de la base de un universo real cuyo comportamiento pod�a y deb�a ser explicado solamente en t�rminos de sus elementos y sus relaciones. Sobre esta base filos�fica desarroll� la herramienta matem�tica requerida y formul� las leyes de la mec�nica. Su trabajo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado hasta 1687, es, adem�s de su obra maestra, uno de los trabajos m�s importantes de toda la ciencia moderna.
La contribuci�n de Newton a los fluidos fue m�ltiple y a niveles muy diferentes. Abarc� desde sus fundamentos, en forma indirecta, hasta los meticulosos experimentos que llev� a cabo sobre v�rtices (remolinos) y viscosidad (fricci�n interna).
Desde el punto de vista general, el marco te�rico, el aparato matem�tico y las leyes f�sicas que Newton estableci�, fueron, y siguen siendo, los ingredientes esenciales de la teor�a de los fluidos. Estos elementos fueron una aportaci�n fundamental, aunque indirecta, para el establecimiento final de la teor�a que realiz� la notable generaci�n que le sigui�, formada por Euler, dos de los Bernoulli, D'Alambert y Lagrange.
Su trabajo directamente conectado con fluidos comprende casi un tercio de los Principia. Esto resulta sorprendente si no se toma en cuenta que Newton busca establecer una teor�a alternativa, en contenido, forma y consecuencias, a la cartesiana. �sta, que domina el pensamiento de la �poca, era una imaginer�a mec�nica verbal sobre esferas y v�rtices en movimiento en un medio et�reo que todo lo embeb�a.
La demoledora cr�tica de la cosmolog�a cartesiana, que Newton presenta como pre�mbulo a su "sistema del mundo", es a la vez un cuidadoso estudio del comportamiento de los fluidos. En �ste destacan sus an�lisis te�ricos y experimentales sobre el movimiento de un v�rtice y la naturaleza de la fricci�n interna de los fluidos, apareciendo as� la primera definici�n, estudio y cuantificaci�n de lo que posteriormente se llam� la viscosidad de un fluido. La incorporaci�n de este resultado, de suma importancia en la din�mica de fluidos, no sucedi� sino hasta un siglo y medio despu�s.
�Cu�ntos hay todav�a que, dedicados a los fluidos, no la entienden!
Salvo la revisi�n de las siguientes ediciones de sus obras, Newton dedic� el resto de su vida, que durar�a a�n m�s de cuarenta a�os, a toda suerte de actividades relacionadas con la organizaci�n y administraci�n p�blica y acad�mica. Tambi�n, debido a su dif�cil personalidad, trabaj� arduamente para hacerle la vida de cuadritos a m�s de uno.
Gran parte del trabajo de Newton ha sido extendido, completado y reformulado en varias direcciones a trav�s del tiempo. En cuanto a los fluidos, algunos de los problemas que abord� siguen siendo objeto de numerosas investigaciones; un problema tan aparentemente simple como el determinar el patr�n de flujo que resulta del movimiento de una esfera en un medio viscoso, contin�a siendo un desaf�o en el campo de las matem�ticas aplicadas.
A la muerte de Newton, en plena ilustraci�n, tres brillantes hombres empiezan a dominar, extender y perfeccionar las herramientas anal�ticas nuevas y, al mismo tiempo, a explotar su utilidad en el campo f�rtil y abierto de los fluidos. Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler (1707-1783), formados en matem�ticas por Johann Bernoulli, padre del primero, elaboran una serie de trabajos que, junto con los desarrollados por Jean le Rond d'Alambert (1717-1783), culminan con la formulaci�n expl�cita de los principios generales y las ecuaciones b�sicas de la mec�nica de los fluidos.
Las contribuciones m�s importantes de Bernoulli aparecieron en el a�o de 1738 en su libro Hydrodynamica, cuando se acu�a el t�rmino. Entre ellas destaca el teorema que ahora lleva su nombre y que fue la primera formulaci�n del principio de la conservaci�n de la energ�a para el caso de los fluidos. En su versi�n moderna, cuya formulaci�n general y correcta se debe a Euler, establece que la suma de tres cantidades es igual a una constante:
los sumandos corresponden a tres formas particulares de energ�a. El primero tiene que ver con el estado de movimiento, el segundo con la altura a la que se encuentra y el tercero con la presi�n. Si la suma de estas cantidades ha de permanecer constante es preciso que al aumentar una de ellas, al menos una de las restantes se vea disminuida en la proporci�n adecuada. Una restricci�n del teorema es que los efectos de fricci�n interna (viscosidad) y de compresibilidad en el fluido sean despreciables, es decir, muy peque�os. Bernoulli, con el s�lido juicio de un cient�fico de su estatura, adem�s de subrayar la "maravillosa utilidad" de su teorema, advert�a del error que podr�a traer su abuso o el olvido de sus limitaciones, las cuales eran si acaso intuidas.
M�s t�cnicamente, los t�rminos que aparecen en el teorema de Bernoulli son la energ�a cin�tica (A), la energ�a potencial (B) y la entalp�a (C). A depende de la velocidad, A = rv²/2 (r es la densidad y v la velocidad); B depende del peso y su altura relativa, B = rgz (g es la aceleraci�n de la gravedad y z la altura relativa a un nivel de referencia) y C depende de la presi�n, C = p, siendo p la presi�n.
As�, cuando una masa de agua desciende, disminuyendo la altura y por consiguiente el sumando B, la velocidad aumenta de manera tal que el sumando A crece lo suficiente para balancear la suma. De igual modo, en un tubo horizontal (Figura III. 5) en que el t�rmino B permanece fijo (z no cambia), la suma de A y C es la relevante. Puesto que en cada secci�n del tubo (s1 y s2) la cantidad de fluido que pasa es la misma, en la regi�n m�s estrecha (s2) la velocidad debe ser mayor que en la m�s ancha (s1). De acuerdo con el teorema de Bernoulli, la presi�n es menor en donde la velocidad es mayor, es decir, en la zona angosta.
Figura III. 5. Tubo que se estrecha.
La situaci�n parece irse haciendo un tanto tediosa. Como dif�cilmente podr�a ponerse peor, le solicito seguir leyendo un poco m�s para ver algunos casos en los que la aplicaci�n del teorema es m�s interesante y que son f�ciles de comprobar en un centro de investigaci�n bien equipado, por ejemplo una cocina.
Imagine un tubo vertical por el que sale un chorro de aire (Figura III. 6(a)), por ejemplo, el tubo de una aspiradora casera conectado por la parte de atr�s. Al poner una esfera ligera, digamos una pelota de ping-pong, dentro del chorro ascendente, �sta permanece ah� sin caer. La raz�n es que la presi�n del aire en el chorro (cuya velocidad es grande) es menor que la del aire fuera de �ste (con velocidad baja). Cuando la pelota empieza a salir de la corriente, la presi�n exterior, mayor a la interior, la regresa al chorro. El otro efecto, superpuesto al anterior, es la competencia entre el empuje del chorro, hacia arriba, y el peso de la esfera.
Un caso an�logo es el de un pulverizador (Figura III. 6(b)). Cuando se sopla por un tubo (t) que termina en punta, el aire aumenta su velocidad al llegar a la punta y en consecuencia pierde presi�n. En la boca del tubo (e) se encuentra entonces aire cuya presi�n es menor a la que hay en su interior, que es la atmosf�rica y tiende a salir. La superficie del l�quido en el recipiente (s) tiene una presi�n igual a la atmosf�rica, excepto la parte contenida en (e). Esto da lugar a que el l�quido dentro del recipiente suba por el tubo. Al llegar a la salida, donde hay un chorro de aire, es arrastrado por �ste y se pulveriza formando gotas min�sculas.
Usando el mismo razonamiento anterior puede explicarse el hecho de que al suspender dos esferas ligeras cercanas una de la otra y soplar en medio de ellas, se aproximen y choquen entre s�, como si apareciera una fuerza de atracci�n (Figura III. 6 (c)).
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Figura III. 6. Explicaciones "a los Bernoulli". (a) Pelota en un chorro, (b) pulverizador, (c) "atracci�n" entre esferas.
Esta atracci�n aparente, debida a la distinta distribuci�n espacial de presiones, que es sencilla de explicar invocando el teorema de Bernoulli, es el origen de m�ltiples fen�menos que de otra manera parecen incomprensibles. Entre ellos destaca la atracci�n entre autom�viles y barcos que viajan paralelos. Cuando un autom�vil rebasa a un cami�n de grandes dimensiones, es necesario sostener el volante con cierta fuerza; si se deja el volante libre, el autom�vil se mover� hacia el cami�n (no es muy recomendable realizar este experimento).
Los capitanes de grandes barcos conocen este efecto; los que no, tienen ahora otra actividad de naturaleza terrestre. Un caso conocido es el de los barcos Olympic y Hauk. El primero, un transatl�ntico de grandes dimensiones, navegaba tranquilamente en mar abierto durante el mes de octubre de 1912. El segundo era un acorazado, peque�o en relaci�n al Olimpic, que navegaba con una velocidad mucho mayor y en forma paralela (Figura III. 7(a)). Al encontrarse a una distancia de unos cien metros sucedi� algo imprevisto, que no tuvo nada que ver con saludos mutuos. El Hauk cambi� de rumbo en forma intempestiva y se dirigi� directo al Olympic, sin que el tim�n sirviera para evitar la colisi�n (Figura III. 7(b)). La proa del acorazado se hundi� en el casco del gran buque, abriendo una aparatosa v�a de agua. Al margen de la incapacidad del tribunal mar�timo que juzg� el caso y culp� al capit�n del Olympic por no dar paso al acorazado, lo que ocurri� fue precisamente un caso de atracci�n hidrodin�mica. Entre los barcos se form� un "canal" por donde el agua pas� m�s r�pido que en la regi�n exterior, esto en ambos barcos, que se consideran fijos (Figura III. 7(a)). La diferencia de presiones entre la zona interna y la zona externa produjo una fuerza que se puso de manifiesto en el barco m�s peque�o.
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Figura III. 7. (a) El Olympic alcanza al Hauk. (b) Resultado de la atracci�n hidrodin�mica.
El teorema fue s�lo una de las aportaciones de Bernoulli. El original enfoque que dio el planteamiento y soluci�n de diversos problemas fue de gran valor para el desarrollo de la naciente disciplina y constituy� un vigoroso est�mulo para las brillantes dotes de algunos de sus contempor�neos y amigos.
En 1755 aparecen, una tras otra, las obras cl�sicas de Euler sobre los fundamentos de la mec�nica de los fluidos. El genio matem�tico m�s notable del siglo hab�a asimilado por completo la obra newtoniana y lo hab�a plasmado en un lenguaje mucho m�s elegante y preciso. Formul� las ecuaciones diferenciales de movimiento en su forma general, deduciendo a partir de ellas los resultados previos ya conocidos, como el teorema de Bernoulli, d�ndoles su verdadera dimensi�n y generalidad. Posteriormente, explor� un gran n�mero de consecuencias y atac� m�ltiples problemas de car�cter pr�ctico asociados a la maquinaria hidr�ulica, particularmente la turbina, la resistencia sobre barcos y la propulsi�n.
La copiosa correspondencia entre Euler, D'Alambert y Lagrange, entre otros, permite entender el inter�s que ten�an las mejores mentes anal�ticas de la �poca por los problemas asociados a los fluidos. D'Alambert, que goz� la cima de las matem�ticas francesas, dedic� la segunda parte de su vida a estudios de car�cter experimental. Despu�s de introducir diversos conceptos y m�todos anal�ticos en sus dos obras b�sicas sobre fluidos, demostr� lo que se conoce como la paradoja de D'Alambert. Como consecuencia de las ecuaciones de Euler, que ignoraban la existencia de la viscosidad, resultaba que la fuerza que sufre un obst�culo inmerso en una corriente era nula; es decir, el objeto no era arrastrado por el flujo. Para D'Alambert era claro que este resultado matem�tico estaba en franca contradicci�n con sus observaciones y que el problema deb�a estar en alguna de las premisas de la teor�a. En forma consistente subray� la primac�a que el experimento deb�a tener sobre la teor�a. Argumentos diversos de Euler y de Lagrange, para aclarar la paradoja, no pudieron convencerlo. La formulaci�n matem�tica de la teor�a hac�a imposible que a un fluido en movimiento se le pidiera adherirse a la superficie de un s�lido en reposo.
Como consecuencia de haber ignorado la fricci�n interna de los fluidos se ten�a el peculiar resultado de que los fluidos no mojaban las paredes... �La hidrodin�mica era el estudio del agua seca!
En los cien a�os comprendidos entre 1750 y 1850 se sentaron las bases te�ricas y experimentales de la mec�nica de los fluidos. Ese siglo sirvi� para resumir, ordenar y extender el conocimiento que sobre los fluidos se hab�a acumulado durante miles de a�os. Desde entonces hasta la fecha la tarea ha sido la de extraer de estos principios, formulados en forma matem�tica, la informaci�n necesaria para poder entender y predecir el comportamiento de los fluidos.
En la primera mitad de este notable periodo aparecieron, junto a las hist�ricas obras de car�cter te�rico, una serie de memorias cl�sicas de cuidadosos trabajos experimentales. Destacan el veneciano Giovanni Poleni (1683-1781), el ingl�s John Smeaton (1724-1792) y la escuela francesa, en particular Henri de Pitot (1695-1771), Antoine Ch�zy (1718-1798), Jean Charles de Borda (1733-1799), el mismo D'Alambert, Charles Bossut (1730-1814) y Pierre Louis George DuBuat (1734-1809).
Es embarazoso limitar la lista de nombres y, m�s a�n, no mencionar algunos de los detalles que hicieron de sus contribuciones un p�rrafo hermoso en las p�ginas de la investigaci�n. As�, con la frente baja y ofreci�ndoles nuestra admiraci�n, diremos que sus esfuerzos y logros no fueron en vano. Los estudios que dejaron sobre la fuerza de flujos sobre obst�culos, sobre la salida de fluidos a trav�s de orificios, sobre el cauce de canales y r�os, ondas y olas, m�quinas hidr�ulicas de la m�s diversa �ndole y m�s, fueron el cimiento de las obras futuras. Sus experimentos fueron nuevos y determinantes, como lo fue el an�lisis de los datos y su interpretaci�n al usar conceptos originales y m�s sencillos, abriendo as� el panorama para las correctas e importantes generalizaciones que establecieron.
El periodo de gestaci�n asociado a los �ltimos cincuenta a�os del siglo XVIII no se limit�, desde luego y antes bien al contrario, a los fluidos, a la parte acad�mica o a la intelectual. La sociedad estaba fraguando una lucha contra el hambre, contra la injusticia y por la libertad e igualdad. As�, se entiende la intensa actividad que se aprecia en los fluidos; nada sorprende pues que Lagrange visitara a Voltaire a instancias de D'Alambert y que este �ltimo dirigiera y participara en una extensa obra de coordinaci�n y planeaci�n de v�as fluviales, navegaci�n y canalizaci�n en toda Francia.
La explosi�n revolucionaria francesa, la primera Rep�blica, Robespierre y Danton, la aventura napole�nica, la reinstauraci�n de la Rep�blica y tantos hechos, aparecen reflejados en todo. Tambi�n en la revoluci�n asociada a los fluidos.
Con la segunda etapa, correspondiente a la primera mitad del siglo XIX, concluye el nacimiento de la mec�nica de los fluidos. Mucho se ha hecho desde entonces y mucho, seguramente mejor, habr� de hacerse en el futuro. La criatura naci� y creci�, llegando a su infancia al empezar el �ltimo siglo del milenio. Veamos c�mo acab� de formarse y qu� dones (y defectos) trajo al mundo. Para hablar de su madurez habr� que esperar, al menos, un ratito.
Desde el punto de vista experimental, el siglo XIX se inici� con una s�lida tradici�n. Se contaba con una gran variedad de t�cnicas y m�todos muy confiables y, en consecuencia, de resultados razonablemente precisos, en especial sobre la resistencia de obst�culos a un flujo. La hidr�ulica hab�a avanzado en forma casi independiente de la hidrodin�mica te�rica. En cierto sentido, caminaban por veredas distintas, aunque paralelas, compartiendo problemas y perspectivas pero difiriendo en m�todos, prioridades y lenguaje.
El consenso en torno a lo equivocado que era ignorar los efectos de la viscosidad se hab�a alcanzado en la primera d�cada del naciente siglo. Sin duda, Newton y algunos de los que le siguieron se dieron cuenta de la necesidad de incorporar el efecto y as� lo comentaron en sus obras. Sin embargo, sus intentos para lograrlo fueron infructuosos.
En 1821 se present� ante la Academia de Ciencias, en Par�s, un trabajo de Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836), ingeniero de formaci�n y vocaci�n. En �ste se deduc�an las ecuaciones fundamentales de la elasticidad, que hoy en d�a llevan su nombre, para describir el equilibrio y las vibraciones en un s�lido. Estas resultaban de un an�lisis puramente matem�tico en el que los �tomos, entonces entes hipot�ticos, se imaginaban como part�culas que interactuaban por medio de resortes. No sorprende que fuese Navier el primero en construir un puente colgante a partir de un proyecto y de un c�lculo; previamente las construcciones se hac�an sobre bases emp�ricas.
Un a�o despu�s, Navier present� una memoria en la que, guiado por una analog�a formal con la teor�a de la elasticidad, deduc�a por primera vez las ecuaciones que incorporaban la viscosidad en la din�mica de un fluido. Como caso especial, el fluido ideal o inv�cido (que no presenta fricci�n interna), recuperaba las ecuaciones de Euler; en el caso general, las ecuaciones eran de una naturaleza esencialmente distinta. Desafortunadamente, la deficiente interpretaci�n que dio a sus resultados, al resolver ciertos casos, le impidi� explorar su notable contribuci�n. Aun as�, el agua, y todos los fluidos, �hab�an empezado a mojar!
Las ideas de Navier sobre la atracci�n y repulsi�n entre las mol�culas, como origen de la viscosidad, fueron seguidas y ampliadas por dos excelentes matem�ticos de la �poca: Simeon Denis Poisson (1781-1840) y Agoustin Lonis de Cauchy (1789-1857). El car�cter especulativo de las hip�tesis "microsc�picas" que usaron le da a sus trabajos en este particular un inter�s s�lo hist�rico.
Siguiendo una argumentaci�n totalmente distinta y en t�rminos de conceptos puramente macrosc�picos, evitando todo lo relativo a la constituci�n �ltima de un fluido, Jean Claude Barr� de Saint Venant (1797-1886) dedujo las mismas ecuaciones de Navier. Su trabajo publicado en 1843, contiene una deducci�n semejante a la que hoy en d�a se sigue para obtener las ecuaciones; ese cr�dito nunca lo recibi�. La fama de Saint Venant provino de sus m�ltiples trabajos en elasticidad, ya que en hidrodin�mica su nombre no fue asociado ni a las ecuaciones que obtuvo, ni a diversos resultados que posteriormente fueron encontrados por otros investigadores, particularmente de Inglaterra.
El Imperio brit�nico, en plena expansi�n y en la v�spera de su apogeo, fue el �mbito donde la teor�a y los experimentos alcanzaron la cumbre. Pasadas las guerras napole�nicas y con la Rep�blica francesa en proceso de consolidaci�n, la hegemon�a pol�tica pasa a la sede del imperio; el dominio acad�mico tambi�n. Mientras se consolidan, controlan y explotan las colonias africanas, americanas y asi�ticas, que incluyen a cerca de la cuarta parte de la poblaci�n y superficie del planeta, las ciencias florecen otra vez, sobre la f�rtil tierra de una tradici�n s�lida y rica. T�cnica y ciencia retroalimentan a la Revoluci�n Industrial que, en estos cien a�os que hemos considerado sincr�ticos, nace, madura y se extiende.
En ese emporio econ�mico y cultural brilla, con otros distinguidos cient�ficos, George Gabriel Stokes (1819-1903). Este matem�tico y f�sico irland�s, quien se educ� y vivi� en Cambridge casi toda su vida, fue el primero en ocupar, despu�s de Newton, la c�tedra lucasiana de f�sica y los puestos de secretario y presidenter de la Sociedad Real de F�sica.
Entre sus numerosos trabajos, en muy diversos campos de las matem�ticas; y la f�sica te�rica y experimental, destacan los que versan sobre: la din�mica de los fluidos viscosos. En la parte que concierne a los fundamentos de esta �ltima, el joven Stokes llev� a cabo una elegante deducci�n de las ecuaciones que primero obtuviera Navier, en una memoria presentada ante la Sociedad Real en 1845. Su razonamiento, an�logo al de Saint Venant, fue totalmente fenomenol�gico, eludiendo especulaciones en torno a la constituci�n microsc�pica de los fluidos.
Postulando como principios generales la conservaci�n de la masa y el momento lineal (la segunda ley de Newton), como lo hicieran antes Bernoulli y Euler, lleva a cabo un cuidadoso an�lisis de las fuerzas que puede experimentar una peque�a parte de fluido. Fue importante la separaci�n que hizo entre las fuerzas que dependen de la masa de fluido en consideraci�n, como el peso (atracci�n gravitacional), y las que dependen de la superficie de la muestra, que son las responsables de la fricci�n (recordemos que los raspones los lucimos en la piel). As�, Stokes construy� una expresi�n para estas �ltimas que era la generalizaci�n de los estudios que hab�a hecho Newton al respecto, ya casi olvidados con el tiempo.
El resultado clave fue encontrar que la fuerza de fricci�n de una parte de fluido sobre otra depende de la velocidad con la que se mueve una respecto de la otra; en t�rminos m�s t�cnicos, se dir�a que la fuerza de fricci�n, por unidad de �rea, depende linealmente del gradiente de la velocidad (es decir, de la forma en que var�a la velocidad de un punto a otro); qu� tan estrecha es esta relaci�n lo determina un factor constante llamado el coeficiente de viscosidad. A diferencia de Navier y de Saint Venant, Stokes analiz� y resolvi� las ecuaciones para algunos casos, obteniendo los primeros resultados que pod�an ser contrapunteados exitosamente con los experimentos. Las ecuaciones llevan ahora el nombre de Navier Stokes.
Ser�a dif�cil hallar a un cient�fico cuyo nombre est� asociado a más resultados que el de Stokes. En matem�ticas hay un importante teorema que lleva su nombre, en fluidos las ecuaciones b�sicas llevan su apellido, al igual que una ley de movimiento para esferas y una paradoja; en �ptica, unas l�neas espectrales y el corrimiento de la luminiscencia son sus hijas registradas y bautizadas.
Con el establecimiento de las ecuaciones b�sicas, el �xito de las primeras e importantes aplicaciones de ellas, el gran c�mulo de precisas observaciones y el desarrollo de muy diversos m�todos de investigaci�n experimental y anal�tica, la ciencia de los fluidos tomaba la forma que tiene tal y como hoy la conocemos. Los cimientos del trabajo de las generaciones futuras estaban completos.
III .5. MATRIMONIO POR CONVENIENCIA
Una visi�n antropom�rfica de la ciencia de los fluidos nos puede ayudar a entender la situaci�n.
Se podr�a pensar que con las bases de la teor�a bien establecidas, una sistem�tica educaci�n dar�a a la criatura una madurez de brillante productividad. Como suele suceder, lo que pod�a salir mal, sali� mal. Apareci� un problema que hasta la fecha no ha sido resuelto satisfactoriamente: las matem�ticas necesarias para resolver las reci�n descubiertas ecuaciones (no lineales) no se hab�an desarrollado (�inventado?, �descubierto?...). As�, al comenzar la segunda parte del siglo XIX , los interesados en la hidrodin�mica se encontraron con un problema claramente planteado pero con insuficientes herramientas para resolverlo.
No es de sorprender que el mismo Stokes iniciara uno de los enfoques para abordar el problema. "Si no puedes agarrar al toro por los cuernos, �corre!", dice un adagio azteca, y as� lo hizo. Argumentado cuidadosamente, simplific� las ecuaciones de manera que pudiera domesticarlas y sacarles provecho. Los resultados que obtuvo por la aproximaci�n tuvieron tal �xito que hoy en d�a se siguen explotando estas mismas ecuaciones que, desde luego, tambi�n llevan su nombre. Su an�lisis del movimiento de una esfera en un l�quido sigue siendo uno de los resultados cl�sicos de la mec�nica de fluidos; la expresi�n que relaciona a la fuerza que arrastra a la esfera con el producto de la velocidad de la corriente, el radio de la esfera y la viscosidad del fluido, se conoce como la ley de Stokes. La utilidad de un resultado tan "simple" como �ste ha sido amplia y de la m�s diversa �ndole
Un problema representativo de los fluidos fue (y sigue siendo) el de establecer el flujo en tuber�as. Por evidentes razones pr�cticas hab�a sido objeto de innumerables estudios te�ricos y experimentales. Hasta que no se incorpor� el efecto de la viscosidad, la teor�a correspondiente se hab�a reducido a ejercicios pintorescos en matem�ticas "no aplicadas". Experimentalmente, fue el siglo XIX el que vio los primeros resultados correctos sobre el flujo en un tubo, lo que no deja de llamar la atenci�n por el uso que de acueductos, drenajes, fuentes y tuber�as en general hab�a anteriormente.
Entre otros, destacan los trabajos de Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) y de Jean Louis Poiseuille (1799-1869). El primero fue un distinguido ingeniero alem�n cuyas contribuciones recibieron la injusticia de la historia; nunca recibi� el cr�dito por su trabajo. Poiseuille fue un m�dico interesado en la fisiolog�a de aparato cardiovascular que, para caracterizar el flujo sangu�neo, llev� a cabo cuidadosos experimentos en tuber�as muy delgadas (tubos capilares) para determinar la forma del flujo, la resistencia de �ste y la descarga. De esta manera estableci� que la cantidad de l�quido que pasa por un tubo cada segundo depende de la carga (la diferencia de presiones por unidad de longitud) y de la cuarta potencia de su di�metro (el di�metro multiplicado por s� mismo cuatro veces). Veinte a�os m�s tarde se desarroll� el primer an�lisis te�rico que explicaba las observaciones de Poiseuille. Franz Neumann (1798-1895) y Eduard Hagenbach (1833-1910), en forma independiente, obtuvieron las expresiones para la forma (parab�lica) del flujo y para la descarga, que se ajustaban bien a los datos conocidos; Hagenbach, al citar s�lo a Poiseuille sin mencionar a Hagen, inici� la discriminaci�n de su compatriota.
Vale la pena hacer notar que el problema a�n est� lejos de resolverse. Una gran cantidad de trabajos experimentales sobre el flujo en tuber�as se sigue publicando en la bibliograf�a especializada; innumerables tablas emp�ricas se han publicado para su uso en el dise�o de sistemas de drenaje, plantas industriales de diferentes caracter�sticas, etc., y complicadas relaciones entre par�metros del flujo siguen siendo elaboradas. Para las condiciones que se dan en la pr�ctica, el movimiento de un l�quido es sumamente complicado y la teor�a ha sido, hasta la fecha, incapaz de dilucidar el problema. Las predicciones te�ricas del siglo XIX, desde luego aproximadas, han podido mejorarse muy poco.
Muchas contribuciones previas y subsecuentes a las de Navier y de Stokes merecer�an un libro cada una. Sin embargo, aqu� el prop�sito ha sido el de delinear la forma en que se establecieron los principios b�sicos. Es conveniente recalcar que la hidr�ulica, que escuetamente ser�a el manejo de los fluidos, goz� del mismo vertiginoso avance que la hidrodin�mica, su contraparte te�rica. Aqu� s�lo hemos esbozado el crecimiento de esta �ltima. Sin embargo, el desarrollo paralelo de ambas, independiente hasta cierto punto, llev� a la pareja a la edad del cortejo... Si bien se conoc�an desde la infancia, como suele suceder, hubo etapas en que se hablaban poco, cuando no es que se odiaban, especialmente al obligarlos a estar juntos. Antes de entrar en la parte que concierne al romance, vale la pena describir algunos rasgos de una de las partes comprometidas.
Por un lado, son notables las teor�as de v�rtices que desarrollaron Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894), Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) y William Thomson (1824-1907), m�s conocido por su t�tulo nobiliario de lord Kelvin. Destacan tambi�n las obras de Joseph Boussinesq (1842-1929) y de John William Strutt (1842-1919), el famoso lord Rayleigh. El primero de �stos desempe�� el papel que Fernando de Rojas diera a Celestina; sus rigurosos estudios anal�ticos fueron siempre contrastados con los datos y las observaciones, subrayando las virtudes de una relaci�n duradera entre la hidr�ulica y la hidrodin�mica. Rayleigh, vers�til como algunos de sus brillantes contempor�neos, abord� problemas que siguen siendo una muestra del claro pensar de una exitosa generaci�n de cient�ficos; su teor�a de la propagaci�n del sonido es s�lo un ejemplo.
Un protagonista singular de esta �poca es Osborne Reynolds (1842-1912). Estudiando casi los mismos problemas que Boussinesq, cultiv� el otro lado de la relaci�n que nos ocupa, la hidr�ulica. Aun as�, cada uno destac� en la contraparte; Reynolds se sublim� en la hidrodin�mica. Sus meticulosos trabajos experimentes eran delicadamente contrapunteados con resultados anal�ticos; algo parecido a lo que Mozart hubiese logrado si en lugar de componer su exquisita e insuperable m�sica se hubiera concentrado en jugar con charcos y la teor�a correspondiente. �De lo que se perdieron los fluidos y lo que ganamos todos!
Reynolds, prototipo del profesor distra�do, introdujo conceptos y m�todos que siguen siendo aprovechados por quienes nos ganamos el pan con los fluidos. Como "para muestra basta un bot�n", caracteriz� la forma en que un fluido pasa de un estado de movimiento laminar (regular) a uno turbulento (ca�tico), introduciendo, entre otras cosas, un par�metro adimensional conocido ahora como el n�mero de Reynolds.
La idea b�sica es como sigue. Una madre ingeniosa decide jugar en la cocina de su casa con unos popotes. A pesar de las protestas de su familia, averigua c�mo se mueve el jugo de mandarina en su "dispositivo experimental" y, como es de suponerse publica un art�culo sobre el tema. Meses m�s tarde y en otro pa�s, en una oficina con poca luz, un ingeniero del Departamento de Aguas debe redise�ar el sistema de drenaje de un barrio, dentro del cual se encuentra su casa; es decir, le interesa que funcione. �Le sirve lo que escribi� la susodicha mam�? Ella trabaj� con el jugo de un c�trico, tubos de pl�stico y una sana curiosidad; �l debe hacerlo con... otros materiales. Gracias a la dama y a Reynolds, el ingeniero puede evitar hacer pruebas costosas y, tal vez, desagradables.
Sup�ngase que U es la velocidad media del fluido en un tubo, D el di�metro de �ste y v la viscosidad del fluido. Lo que Reynolds encontr� fue que si el valor num�rico del producto de U y D, dividido por v, es el mismo para dos sistemas, aunque parezcan muy distintos, �el flujo ser� el mismo!. Cosas como el gasto, el car�cter laminar o turbulento, etc., ser�n iguales. Lo que tiene que hacer el ingeniero es ver si su sistema escala adecuadamente.
Si el di�metro de los tubos del drenaje es de 2 m y el de los popotes es de 0.5 cm, parecer�a no haber mucha relaci�n. Digamos que la viscosidad del jugo de mandarina es de aproximadamente .01 cp y la de lo que se mueve en el drenaje es de cerca de 1 cp (unas cien veces m�s viscoso); cp es la abreviatura del centipoise (pron�nciese "sentipuazz"), la unidad de medici�n de la viscosidad. Entonces, para que los n�meros de Reynolds de cada caso sean iguales, basta con que la velocidad del jugo en los popotes sea cuatro veces la del "fluido" en el drenaje. Adem�s de ser m�s barato el experimento casero, la vitamina C es mucho m�s saludable.
Es justamente en este hecho, el principio de semejanza, que est� basado el modelado hidro y aerodin�mico. Cuando se hacen maquetas de muelles, de rompeolas, de aviones o de submarinos, adem�s de divertirse, los investigadores (ingenieros, f�sicos o matem�ticos) se est�n ahorrando tiempo, esfuerzo y (a sus patrones) muchos kilogramos de oro. Si el juguetito flota, el buque tanque de 100 000 toneladas tambi�n lo har�..., si es semejante.
Al iniciarse el siglo XX, el cortejo entre la hidrodin�mica y la hidr�ulica parec�a no tener futuro alguno; los intereses comunes o bien se expresaban en lenguajes diferentes o parec�an in�tiles o muy complicados. Las obras de Horace Lamb y de A. A. Flamant ilustran bien la situaci�n; la primera cubre los aspectos te�ricos y la otra los experimentales, con poco material com�n. La hidrodin�mica se interesaba principalmente en los flujos inv�cidos o ideales, lateralmente en los flujos viscosos laminares y no hac�a caso de los flujos turbulentos, siendo esta �ltima la caracter�stica m�s importante para la hidr�ulica. As�, las excelentes virtudes de una disciplina eran ignoradas por la otra.
En estas condiciones, en 1904, se present� un trabajo experimental, en un congreso de matem�ticas, en la ciudad de Heidelberg, Alemania. El autor, un brillante ingeniero llamado Ludwig Prandtl (1875-1953), iniciaba una conspiraci�n para unir a la caprichosa pareja. A ra�z de esa participaci�n, Prandtl fue invitado a trabajar y colaborar en uno de los ambientes m�s estimulantes y f�rtiles para la investigaci�n de que se tiene memoria. Con ese trabajo, titulado Sobre el movimiento de fluidos con viscosidad peque�a, empezaba una profunda revoluci�n mec�nica de fluidos.
El punto esencial de la contribuci�n de Prandtl, elaborado en una secuencia de publicaciones a lo largo de una d�cada, y que s�lo es parte de su variada obra acerca de los fluidos, fue el siguiente.
La dificultad era que la hidrodin�mica, ese elegante aparato matem�tico que estudiaba sobre todo a los fluidos ideales, describ�a muy bien una parte importante del movimiento real de los fluidos, como la forma de la estela que deja tras de s� un objeto inmerso en una corriente. Por otra parte, predec�a algunos casos claramente absurdos, como la inexistencia del arrastre de la corriente sobre el objeto inmerso en ella, en franca contradicci�n con las observaciones (y la experiencia de los ahogados en torrentes por todo el mundo).
La soluci�n ahora parece mas o menos obvia, como siempre sucede con los problemas una vez resueltos. Si la teor�a de los fluidos ideales no pod�a describir correctamente el movimiento de los fluidos reales cerca de cuerpos s�lidos, deb�a haber una forma de tomar en cuenta los efectos de la viscosidad en la inmediata vecindad de las paredes de �stos. Es decir, muy cerca de una superficie s�lida deb�a existir una regi�n, que Prandtl bautiz� como la capa l�mite, en la que dominaran los efectos viscosos; fuera de ella, la descripci�n del modelo de fluidos ideales deb�a ser suficiente. De esta manera, el problema se reduce a simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes lo necesario como para poder resolverlas dentro de la capa l�mite; fuera de �sta, los resultados deben ser iguales a los del caso ideal.
Y as�, Prandtl quiso, pudo e hizo. Haciendo ver las bondades de cada parte y las desventajas del celibato para una pareja tan potencialmente f�rtil, manipul� la situaci�n y document� (con teor�a y experimentos) la conveniencia de ese matrimonio. El amor llegar� despu�s —les dec�a— y a la pareja la dej� bien casada. La prole sigue agradecida a Prandtl por las delicadas gestiones que hizo para abrir un horizonte que explorar, donde antes s�lo parec�a haber una oscuridad abisal.
Las contribuciones sobresalientes de Prandtl no quedaron ah�, ni fue �ste el �ltimo de los brillantes investigadores en el tema; algunos de los que faltan, varias ideas y m�todos, como las que abordan la turbulencia o el uso de las computadoras, aparecer�n m�s adelante.
Con este panorama de la historia de los fluidos, un tanto cubierto de nubes, pero con suficientes claros que dejan entrever el hermoso paisaje, es mejor dejar a la mente descansar y a los ojos distraer. Es un buen momento para detener la lectura, estirar las piernas y mirar a un fluido de frente. Luego, viendo agua, aire o fuego, murmurar en silencio, (lo que no har�amos con un adolescente) "te voy entendiendo...".
