IX. LAPLACE Y LOS GEÓMETRAS

La simplicidad de la naturaleza no debe ser medida por la de nuestros conceptos. Infinitamente variada en sus efectos, la naturaleza es simple sólo en sus causas y, su economía consiste en producir un gran número de fenómenos, a menudo muy complicados, por medio de un número muy pequeño de leyes generales.                                P.S. LAPLACE

PIERRE SIMON, MARQUÉS DE LAPLACE, nació en Beaumont-en-Auge el 23 de marzo de 1749 y murió en París el 5 de marzo de 1827. Fue uno de los científicos más influyentes de todos los tiempos. Su producción fue absolutamente impresionante, antes y durante la Revolución Francesa. Sus biógrafos distinguen en su vida productiva cuatro etapas: de 1768 a 1789 hizo una serie de Memorias sobre cálculo integral, astronomía matemática, cosmología, teoría de los juegos de azar y la casualidad. De 1778 a 1789 escribió sus Tratados acerca de la mecánica celeste y las probabilidades, además de dedicarse a los temas de transformadas integrales, funciones generatrices, soluciones aproximadas, función potencial y de hacer experimentos acerca de la teoría del calor — con Lavoisier. De 1789-1805, durante la Revolución Francesa, se encargó de problemas de orden sociocientífico, como el establecimiento del sistema métrico y el cambio del sistema educativo. También en esta época, continúa la publicación de sus memorias y grandes tratados. Finalmente, de 1805-1827 formó una escuela (con Berthollet) y se ocupó con los problemas de la capacidad, la teoría del calor, la óptica corpuscular y la velocidad del sonido.

En particular, Laplace se ocupó de todos los temas que se tratan en este libro (excepto del péndulo de Foucault, que todavía no existía): la caída de los cuerpos desde grandes alturas, la variación del peso de un cuerpo con la latitud, la forma de la Tierra (y de los esferoides fluidos en general) y la teoría de las mareas. En 1778 publica un trabajo definitivo, Plusieurs points du systñme du monde, que trata los tres últimos temas; es allí donde presenta las llamadas Ecuaciones de marea de Laplace, que no sólo son las que se utilizan actualmente para modelar la marea, sino que constituyen también un paradigma de los modelos de circulación en los océanos terrestres y las atmósferas planetarias; son de hecho un paradigma de modelos de lo que se ha dado en llamar dinámica de fluidos geofísicos. La gran importancia de sus ecuaciones de marea radica en que en ellas Laplace introduce lo que hoy conocemos como fuerza de Coriolis, que es lo que más fundamentalmente distingue la dinámica de océanos y atmósferas de la física de cuerpos fluidos de dimensiones más reducidas, como albercas, tuberías y alambiques.

Primera página del artículo de Laplace.

No sólo Laplace introdujo la fuerza de Coriolis unos 60 años antes del trabajo del propio Coriolis (de hecho, ñ14 años antes de su nacimiento!) sino que, al hacerlo, critica a los grandes científicos que le precedieron en este tema por haber considerado los efectos de la rotación terrestre como aparentes; Laplace demuestra que estos efectos son reales, detalle que, aún 200 años más tarde, desconoce un gran número de libros de texto y enciclopedias.

 

Pierre Simon de Laplace.

En su trabajo de 1778; Laplace comienza exponiendo:

Los temas que me propongo tratar en esta Memoria son, 1ñ la Ley de Pesos en la superficie de esferoides homogéneos en equilibrio y 2ñ el fenómeno de flujo y reflujo de la marea, la precesión de los equinocios y la nutación del eje terrestre que resultan de tal fenómeno, las oscilaciones de la atmósfera [debidas a] la acción del Sol y la Luna.

El problema de la variación del peso con la latitud se remontaba al viaje de Jean Richer a la Guayana Francesa (1671) con el objeto de medir la distancia de la Tierra a Marte. Richer logró su propósito (con un error inferior a 10%) y también notó que un péndulo oscila más lentamente cerca del ecuador. Newton explicó este fenómeno atribuyéndolo a la rotación terrestre y es allí donde surgió su idea sobre la forma de la Tierra, ya que ambos fenómenos están ligados. Laplace afirma:

I.- Supóngase en equilibrio una masa de fluido homogéneo...al rotar alrededor de un eje, forma un sólido de revolución infinitésimamente diferente de una esfera...si en el ecuador de ese esferoide P es el peso y e es la razón entre la fuerza centrífuga y el peso21... el peso en un punto cualquiera [de latitud u] está dado por P (1+5/4 e sen2u).

Laplace deriva esta relación a partir de la ley de la gravitación universal y, lo que es muy importante, demuestra que el esferoide no es necesariamente un elipsoide de revolución, sino que la deformación puede también ser función de la longitud. La variación del peso con la latitud, válida para el caso general, es debida a la rotación terrestre a través de dos contribuciones: la componente vertical de la fuerza centrífuga y el cambio de la atracción gravitatoria causado por la redistribución de masa implicada en la deformación de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) ya se había percatado de que un elipsoide de revolución no es la única figura de equilibrio. En un acto inexplicable en su carrera, desechó esta posibilidad que luego recogió Laplace. Lagrange (1811) consideró la posibilidad de tres ejes diferentes pero luego se redujo al problema del elipsoide de revolución. Finalmente, el matemático alemán Carlos Jacobi (1804-1851) retomó y resolvió el caso general, en 1834, luego de ver en un "conocido libro de texto" que tomar dos ejes iguales era un paso necesario de Lagrange (ñvéase cita al comienzo de la Introducción!). La solución de Jacobi es válida en el caso de excentricidades tan grandes como se quiera, como también lo era la de Maclaurin.

Regresando al texto de Laplace, más adelante presenta su segundo tema:

II.- No buscamos una causa nueva del flujo y reflujo del Mar [que es sabido se debe a] la diferencia de peso [específico] del agua del mar y del centro de la Tierra, respecto del Sol y la Luna. Yo me propongo de hacer un análisis más riguroso de los efectos de esta diferencia y de las oscilaciones que resultan.

Para entender lo que había propuesto Newton, voy a citar, no a los Principia sino al artículo con el que Edmond Halley explica este aspecto de la obra. Halley era gran amigo de Newton, primero lo presionó para que escribiera los Principia, luego le ayudó a publicarlos (en muchos sentidos, incluso con dinero de su propia bolsa) sirvió de intermediario en la disputa entre Newton y Hooke y finalmente, con artículos como el que estoy mencionando, fue de los primeros en explicar los Principia, que aparentemente fueron tan admirados como poco comprendidos.

Fórmula donde aparece la "fuerza de Coriolis"

En Francia hubo también un movimiento muy importante de difusión de la obra de Newton, por parte de Maupertuis y la marquesa de Chatñlet, esta última, digno exponente de la tradición francesa de divulgación científica (haute vulgarization). De Chatñlet y Alexis Claude Clairaut tradujeron los Principia al francés, entre 1745 y 1748.

El título del trabajo de Halley, "The true theory of the tides, extracted from that admired treatise of Mr. Isaac Newton, intituled Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", muestra la admiración que, con justicia, tenía por la obra de su amigo.

Dice Halley:

El único Principio con el que este Autor [Newton] pasa a explicar la mayoría de los grandes y sorprendentes aspectos de la Naturaleza, no es otro que el de Gravedad, por el que la Tierra y todos los cuerpos tienen una tendencia [fuerza] hacia su Centro... [que] decrece como aumenta el cuadrado de la distancia. ...el Autor, con gran Sagacidad, indaga sobre las necesarias consecuencias de esta Suposición; encuentra la Causa genuina de varios Aspectos en la Teoría de la Luna y los Planetas, y descubre las hasta ahora desconocidas Leyes del Movimiento de los cometas, y del Flujo y Reflujo del Mar.

Es la teoría de mareas de Newton la que Laplace —también con justicia— criticaría cien años más tarde. Así la explica Halley:

Si la tierra estuviera sola, es decir, no afectada por las Acciones del Sol y la luna, no puede dudarse que el Océano, siendo igualmente presionado por la fuerza de gravedad hacia el centro, continuaría en estancamiento perfecto, siempre a la misma altura, sin Fluir o Refluir jamás; pero [...] la tierra está dentro de la actividad de las atracciones [del Sol y la luna] ...el Océano que es el fluido, cede a la fuerza más débil, levantándose donde es menos presionado y hundiéndose donde es más presionado... donde la luna está perpendicular, ya sea arriba o abajo del horizonte... [es donde] la fuerza de gravedad es más disminuida... el Océano debe hincharse...con Agua de aquellas partes donde la presión es mayor, viz. de aquellos lugares donde la Luna está cerca del Horizonte... el Mar, que de lo contrario sería Esférico, bajo la Presión de la Luna debe tomar forma Oval, con el diametro mayor allí donde la Luna está vertical.

Y aquí viene la parte clave, cuando introduce la rotación terrestre:

la Luna al cambiar su Posición al girar alrededor de la Tierra una vez por día, [ya que el] Oval de Agua gira con ella, ocasiona así dos Flujos y dos Reflujos observables cada 25 horas.22

Es decir, se puede calcular la forma de un océano sobre una Tierra que no rota sobre su eje y luego agregar la rotación con lo cual aparecen dos mareas altas y dos bajas por día.²³Esto es lo que llamamos un cambio de coordenadas; el flujo y reflujo de la marea es, según esta teoría, un fenómeno aparente ( en el sentido definido en el segundo capítulo); un observador inercial no vería efectos de la rotación terrestre (por supuesto que sólo en este caso idealizado en que no hay costas). Esto es lo que criticó Laplace, y tuvo razón. Dice Laplace:

todos los Geómetras que se han ocupado de [el problema de la marea] han supuesto de entrada un Astro inmóvil encima de un Planeta inmóvil y recubierto de fluido; han buscado la figura que el fluido debe tomar para estar en equilibrio; considerando luego el caso de un Astro en movimiento real o aparente en torno al planeta, ellos han supuesto que la figura del fluido en equilibrio, que habían determinado en el caso de un astro inmóvil, no era alterada por este movimiento, por lo tanto todo el efecto consistía en cambiar en cada instante la posición de esta figura relativa al Planeta, de manera que conserve siempre su [relación con] el Astro. Es así que los Sres. Newton, Daniel Bernoulli, y Maclaurin, han determinado los efectos de las atracciones del Sol y de la Luna sobre el mar; pero es fácil ver que, poco se conforman estas suposiciones con lo que se da lugar en la Naturaleza y se debe a los grandes Geómetras que acabo de citar, la justicia de observar que ellos mismos reconocieron la inexactitud y la insuficiencia para explicar muchos fenómenos de las mareas. [...] pero reflexionando con atención sobre la naturaleza del problema, se observa pronto que el cambio de la posición del Sol y la Luna respecto al mar, no es el único efecto de la rotación de la Tierra.

Luego Laplace pasa a desarrollar su propia teoría; la forma en que lo hace es digna de ser comentada. Considera movimientos pequeños con respecto a un océano que rota como un cuerpo sólido con la Tierra. Para eso, trabaja con coordenadas "polares" en la Tierra (longitud, latitud y distancia al centro), pero las utiliza para escribir la posición de un pequeño paralelepípedo ("elemento de fluido") desde un sistema que no rota con la Tierra (o sea, un sistema inercial). La ecuación de Newton (a=f/m) la escribe en este sistema, donde es válida pero expresa el resultado final en las coordenadas fijas a la Tierra. De esta forma se evita tener que escribir la ecuación de Newton en el sistema de rotación (fórmula que derivaría Coriolis 60 años más tarde) y anticipa la flexibilidad de la mecánica ante cambios de coordenadas, incluso aquellos dependientes del tiempo, procedimiento que formalizarían Lagrange (1788) y Hamilton (1834) años después.

Luego de derivar la ecuación de incomprensibilidad. Laplace obtiene las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido: 1) la que ahora llamamos "de Coriolis", 2) la centrífuga, 3) la de atracción gravitatoria de todas las "moléculas" de la Tierra (incluyendo las del propio océano) y de otros astros (Luna y Sol), y 4) la depresión. En primer lugar Laplace considera al océano en equilibrio y todavía no incluye la atracción gravitatoria de otros astros. En la superficie del mar, la presión es uniforme y por lo tanto en ambas direcciones horizontales debe haber equilibrio entre la atracción gravitatoria de todas las moléculas de la Tierra y la fuerza centrífuga. De esta manera determina "el nivel del fluido", el cual es un elipsoide que difiere de una esfera en una cantidad del orden de e=W²R_T/g»1/290, que es la "fuerza centrífuga en el ecuador" (relativa a la de atracción gravitatoria). Argumenta entonces que la velocidad vertical es despreciable, calcula la presión debajo de la superficie (ya ha desaparecido la fuerza centrífuga, absorbida en la forma de equilibrio de la superficie) e incluye la atracción gravitatoria de los otros astros.

Las ecuaciones de la marea de Laplace no tuvieron una aceptación inmediata. El astrónomo inglés George Biddell Airy (1801-1892), en su obra Tides and Waves (1845) critica fuertemente a Laplace y al mismo tiempo curiosamente opina que:

debe reconocerse que [la teoría de mareas de Newton] es una de las teorías más despreciables (contemptible) que se hayan jamás empleado para explicar una colección de hechos físicos importantes. Es completamente falsa en sus principios y completamente inaplicable en sus resultados. Sin embargo, por extraño que parezca, esta teoría ha sido de gran utilidad.

William Thompson (1824-1907), mejor conocido como Lord Kelvin defendió la teoría de mareas de Laplace en 1875... pero fue muy difícil entender su trabajo. De todos modos, no es mi intención tratar en este libro los resultados de Laplace sobre el problema de la marea (de hecho, para obtenerlos a partir de sus ecuaciones tuvo que hacer algunas simplificaciones no del todo justificadas). Mi propósito es, en cambio, destacar que fue el primero en descubrir la ahora llamada fuerza de Coriolis que lo hizo en un contexto oceanográfico y, sobre todo, que insistió desde un principio en el carácter no aparente —sino real— de los efectos de la rotación terrestre, ligándonos a la forma que toma la superficie del mar con la rotación terrestre. Las ecuaciones de marea de Laplace son hoy en día un paradigma de los modelos de dinámica oceánica o atmosférica, en los que no se incluye necesariamente las fuerzas generadoras de la marea, y en cambio, normalmente se agregan otras fuerzas externas, como el empuje del viento, o internas, como la flotabilidad debida a los cambios de densidad con la profundidad.

Como ya mencioné más arriba, la realidad de la rotación terrestre no fue aceptada por el público en general hasta mediados del siglo pasado, con motivo del experimento de Foucault. Ocho años más tarde (1859) Perrot realizó el experimento de la generación de vorticidad al vaciar un recipiente (para poder medir de la manera más precisa este efecto en un experimento, fue necesario utilizar un recipiente muy simétrico y también, dejar reposar el agua durante todo un día, con el fin de eliminar cualquier posibilidad de vorticidad inicia por pequeña pequeña que fuera). Posteriormente, la idea de la importancia de la fuerza de Coriolis en la hidráulica y la meteorología fue adquiriendo peso, hasta que se formalizó la idea del balance geostrófico. En los océanos y la atmósfera existe, en muy buena aproximación, este equilibrio entre las fuerzas de Coriolis y la de presión, la última es por tanto casi perpendicular a la dirección de movimiento.

Si la Tierra no rotara, si no actuara la fuerza de Coriolis, la dinámica de los océanos y la atmósfera sería tan diferente que, por ejemplo, el clima terrestre no tendría nada en común con el actual. De hecho, la vida —al menos tal como la conocemos— no sería posible en nuestro planeta.