IX. LAPLACE Y LOS GE�METRAS

La simplicidad de la naturaleza no debe ser medida por la de nuestros conceptos. Infinitamente variada en sus efectos, la naturaleza es simple s�lo en sus causas y, su econom�a consiste en producir un gran n�mero de fen�menos, a menudo muy complicados, por medio de un n�mero muy peque�o de leyes generales.                                P.S. LAPLACE

PIERRE SIMON, MARQU�S DE LAPLACE, naci� en Beaumont-en-Auge el 23 de marzo de 1749 y muri� en Par�s el 5 de marzo de 1827. Fue uno de los cient�ficos m�s influyentes de todos los tiempos. Su producci�n fue absolutamente impresionante, antes y durante la Revoluci�n Francesa. Sus bi�grafos distinguen en su vida productiva cuatro etapas: de 1768 a 1789 hizo una serie de Memorias sobre c�lculo integral, astronom�a matem�tica, cosmolog�a, teor�a de los juegos de azar y la casualidad. De 1778 a 1789 escribi� sus Tratados acerca de la mec�nica celeste y las probabilidades, adem�s de dedicarse a los temas de transformadas integrales, funciones generatrices, soluciones aproximadas, funci�n potencial y de hacer experimentos acerca de la teor�a del calor — con Lavoisier. De 1789-1805, durante la Revoluci�n Francesa, se encarg� de problemas de orden sociocient�fico, como el establecimiento del sistema m�trico y el cambio del sistema educativo. Tambi�n en esta �poca, contin�a la publicaci�n de sus memorias y grandes tratados. Finalmente, de 1805-1827 form� una escuela (con Berthollet) y se ocup� con los problemas de la capacidad, la teor�a del calor, la �ptica corpuscular y la velocidad del sonido.

En particular, Laplace se ocup� de todos los temas que se tratan en este libro (excepto del p�ndulo de Foucault, que todav�a no exist�a): la ca�da de los cuerpos desde grandes alturas, la variaci�n del peso de un cuerpo con la latitud, la forma de la Tierra (y de los esferoides fluidos en general) y la teor�a de las mareas. En 1778 publica un trabajo definitivo, Plusieurs points du syst�me du monde, que trata los tres �ltimos temas; es all� donde presenta las llamadas Ecuaciones de marea de Laplace, que no s�lo son las que se utilizan actualmente para modelar la marea, sino que constituyen tambi�n un paradigma de los modelos de circulaci�n en los oc�anos terrestres y las atm�sferas planetarias; son de hecho un paradigma de modelos de lo que se ha dado en llamar din�mica de fluidos geof�sicos. La gran importancia de sus ecuaciones de marea radica en que en ellas Laplace introduce lo que hoy conocemos como fuerza de Coriolis, que es lo que m�s fundamentalmente distingue la din�mica de oc�anos y atm�sferas de la f�sica de cuerpos fluidos de dimensiones m�s reducidas, como albercas, tuber�as y alambiques.

Primera p�gina del art�culo de Laplace.

No s�lo Laplace introdujo la fuerza de Coriolis unos 60 a�os antes del trabajo del propio Coriolis (de hecho, �14 a�os antes de su nacimiento!) sino que, al hacerlo, critica a los grandes cient�ficos que le precedieron en este tema por haber considerado los efectos de la rotaci�n terrestre como aparentes; Laplace demuestra que estos efectos son reales, detalle que, aún 200 a�os m�s tarde, desconoce un gran n�mero de libros de texto y enciclopedias.

 

Pierre Simon de Laplace.

En su trabajo de 1778; Laplace comienza exponiendo:

Los temas que me propongo tratar en esta Memoria son, 1� la Ley de Pesos en la superficie de esferoides homog�neos en equilibrio y 2� el fen�meno de flujo y reflujo de la marea, la precesi�n de los equinocios y la nutaci�n del eje terrestre que resultan de tal fen�meno, las oscilaciones de la atm�sfera [debidas a] la acci�n del Sol y la Luna.

El problema de la variaci�n del peso con la latitud se remontaba al viaje de Jean Richer a la Guayana Francesa (1671) con el objeto de medir la distancia de la Tierra a Marte. Richer logr� su prop�sito (con un error inferior a 10%) y tambi�n not� que un p�ndulo oscila m�s lentamente cerca del ecuador. Newton explic� este fen�meno atribuy�ndolo a la rotaci�n terrestre y es all� donde surgi� su idea sobre la forma de la Tierra, ya que ambos fen�menos est�n ligados. Laplace afirma:

I.- Sup�ngase en equilibrio una masa de fluido homog�neo...al rotar alrededor de un eje, forma un s�lido de revoluci�n infinit�simamente diferente de una esfera...si en el ecuador de ese esferoide P es el peso y e es la raz�n entre la fuerza centr�fuga y el peso21... el peso en un punto cualquiera [de latitud u] est� dado por P (1+5/4 e sen2u).

Laplace deriva esta relaci�n a partir de la ley de la gravitaci�n universal y, lo que es muy importante, demuestra que el esferoide no es necesariamente un elipsoide de revoluci�n, sino que la deformaci�n puede tambi�n ser funci�n de la longitud. La variaci�n del peso con la latitud, v�lida para el caso general, es debida a la rotaci�n terrestre a trav�s de dos contribuciones: la componente vertical de la fuerza centr�fuga y el cambio de la atracci�n gravitatoria causado por la redistribuci�n de masa implicada en la deformaci�n de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) ya se hab�a percatado de que un elipsoide de revoluci�n no es la �nica figura de equilibrio. En un acto inexplicable en su carrera, desech� esta posibilidad que luego recogi� Laplace. Lagrange (1811) consider� la posibilidad de tres ejes diferentes pero luego se redujo al problema del elipsoide de revoluci�n. Finalmente, el matem�tico alem�n Carlos Jacobi (1804-1851) retom� y resolvi� el caso general, en 1834, luego de ver en un "conocido libro de texto" que tomar dos ejes iguales era un paso necesario de Lagrange (�v�ase cita al comienzo de la Introducci�n!). La soluci�n de Jacobi es v�lida en el caso de excentricidades tan grandes como se quiera, como tambi�n lo era la de Maclaurin.

Regresando al texto de Laplace, m�s adelante presenta su segundo tema:

II.- No buscamos una causa nueva del flujo y reflujo del Mar [que es sabido se debe a] la diferencia de peso [espec�fico] del agua del mar y del centro de la Tierra, respecto del Sol y la Luna. Yo me propongo de hacer un an�lisis m�s riguroso de los efectos de esta diferencia y de las oscilaciones que resultan.

Para entender lo que hab�a propuesto Newton, voy a citar, no a los Principia sino al art�culo con el que Edmond Halley explica este aspecto de la obra. Halley era gran amigo de Newton, primero lo presion� para que escribiera los Principia, luego le ayud� a publicarlos (en muchos sentidos, incluso con dinero de su propia bolsa) sirvi� de intermediario en la disputa entre Newton y Hooke y finalmente, con art�culos como el que estoy mencionando, fue de los primeros en explicar los Principia, que aparentemente fueron tan admirados como poco comprendidos.

F�rmula donde aparece la "fuerza de Coriolis"

En Francia hubo tambi�n un movimiento muy importante de difusi�n de la obra de Newton, por parte de Maupertuis y la marquesa de Chat�let, esta �ltima, digno exponente de la tradici�n francesa de divulgaci�n cient�fica (haute vulgarization). De Chat�let y Alexis Claude Clairaut tradujeron los Principia al franc�s, entre 1745 y 1748.

El t�tulo del trabajo de Halley, "The true theory of the tides, extracted from that admired treatise of Mr. Isaac Newton, intituled Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", muestra la admiraci�n que, con justicia, ten�a por la obra de su amigo.

Dice Halley:

El �nico Principio con el que este Autor [Newton] pasa a explicar la mayor�a de los grandes y sorprendentes aspectos de la Naturaleza, no es otro que el de Gravedad, por el que la Tierra y todos los cuerpos tienen una tendencia [fuerza] hacia su Centro... [que] decrece como aumenta el cuadrado de la distancia. ...el Autor, con gran Sagacidad, indaga sobre las necesarias consecuencias de esta Suposici�n; encuentra la Causa genuina de varios Aspectos en la Teor�a de la Luna y los Planetas, y descubre las hasta ahora desconocidas Leyes del Movimiento de los cometas, y del Flujo y Reflujo del Mar.

Es la teor�a de mareas de Newton la que Laplace —tambi�n con justicia— criticar�a cien a�os m�s tarde. As� la explica Halley:

Si la tierra estuviera sola, es decir, no afectada por las Acciones del Sol y la luna, no puede dudarse que el Oc�ano, siendo igualmente presionado por la fuerza de gravedad hacia el centro, continuar�a en estancamiento perfecto, siempre a la misma altura, sin Fluir o Refluir jam�s; pero [...] la tierra est� dentro de la actividad de las atracciones [del Sol y la luna] ...el Oc�ano que es el fluido, cede a la fuerza m�s d�bil, levant�ndose donde es menos presionado y hundi�ndose donde es m�s presionado... donde la luna est� perpendicular, ya sea arriba o abajo del horizonte... [es donde] la fuerza de gravedad es m�s disminuida... el Oc�ano debe hincharse...con Agua de aquellas partes donde la presi�n es mayor, viz. de aquellos lugares donde la Luna est� cerca del Horizonte... el Mar, que de lo contrario ser�a Esf�rico, bajo la Presi�n de la Luna debe tomar forma Oval, con el diametro mayor all� donde la Luna est� vertical.

Y aqu� viene la parte clave, cuando introduce la rotaci�n terrestre:

la Luna al cambiar su Posici�n al girar alrededor de la Tierra una vez por d�a, [ya que el] Oval de Agua gira con ella, ocasiona as� dos Flujos y dos Reflujos observables cada 25 horas.22

Es decir, se puede calcular la forma de un oc�ano sobre una Tierra que no rota sobre su eje y luego agregar la rotaci�n con lo cual aparecen dos mareas altas y dos bajas por d�a.²³Esto es lo que llamamos un cambio de coordenadas; el flujo y reflujo de la marea es, seg�n esta teor�a, un fen�meno aparente ( en el sentido definido en el segundo cap�tulo); un observador inercial no ver�a efectos de la rotaci�n terrestre (por supuesto que s�lo en este caso idealizado en que no hay costas). Esto es lo que critic� Laplace, y tuvo raz�n. Dice Laplace:

todos los Ge�metras que se han ocupado de [el problema de la marea] han supuesto de entrada un Astro inm�vil encima de un Planeta inm�vil y recubierto de fluido; han buscado la figura que el fluido debe tomar para estar en equilibrio; considerando luego el caso de un Astro en movimiento real o aparente en torno al planeta, ellos han supuesto que la figura del fluido en equilibrio, que hab�an determinado en el caso de un astro inm�vil, no era alterada por este movimiento, por lo tanto todo el efecto consist�a en cambiar en cada instante la posici�n de esta figura relativa al Planeta, de manera que conserve siempre su [relaci�n con] el Astro. Es as� que los Sres. Newton, Daniel Bernoulli, y Maclaurin, han determinado los efectos de las atracciones del Sol y de la Luna sobre el mar; pero es f�cil ver que, poco se conforman estas suposiciones con lo que se da lugar en la Naturaleza y se debe a los grandes Ge�metras que acabo de citar, la justicia de observar que ellos mismos reconocieron la inexactitud y la insuficiencia para explicar muchos fen�menos de las mareas. [...] pero reflexionando con atenci�n sobre la naturaleza del problema, se observa pronto que el cambio de la posici�n del Sol y la Luna respecto al mar, no es el �nico efecto de la rotaci�n de la Tierra.

Luego Laplace pasa a desarrollar su propia teor�a; la forma en que lo hace es digna de ser comentada. Considera movimientos peque�os con respecto a un oc�ano que rota como un cuerpo s�lido con la Tierra. Para eso, trabaja con coordenadas "polares" en la Tierra (longitud, latitud y distancia al centro), pero las utiliza para escribir la posici�n de un peque�o paralelep�pedo ("elemento de fluido") desde un sistema que no rota con la Tierra (o sea, un sistema inercial). La ecuaci�n de Newton (a=f/m) la escribe en este sistema, donde es v�lida pero expresa el resultado final en las coordenadas fijas a la Tierra. De esta forma se evita tener que escribir la ecuaci�n de Newton en el sistema de rotaci�n (f�rmula que derivar�a Coriolis 60 a�os m�s tarde) y anticipa la flexibilidad de la mec�nica ante cambios de coordenadas, incluso aquellos dependientes del tiempo, procedimiento que formalizar�an Lagrange (1788) y Hamilton (1834) a�os despu�s.

Luego de derivar la ecuaci�n de incomprensibilidad. Laplace obtiene las fuerzas que act�an sobre el elemento de fluido: 1) la que ahora llamamos "de Coriolis", 2) la centr�fuga, 3) la de atracci�n gravitatoria de todas las "mol�culas" de la Tierra (incluyendo las del propio oc�ano) y de otros astros (Luna y Sol), y 4) la depresi�n. En primer lugar Laplace considera al oc�ano en equilibrio y todav�a no incluye la atracci�n gravitatoria de otros astros. En la superficie del mar, la presi�n es uniforme y por lo tanto en ambas direcciones horizontales debe haber equilibrio entre la atracci�n gravitatoria de todas las mol�culas de la Tierra y la fuerza centr�fuga. De esta manera determina "el nivel del fluido", el cual es un elipsoide que difiere de una esfera en una cantidad del orden de e=W²R_T/g»1/290, que es la "fuerza centr�fuga en el ecuador" (relativa a la de atracci�n gravitatoria). Argumenta entonces que la velocidad vertical es despreciable, calcula la presi�n debajo de la superficie (ya ha desaparecido la fuerza centr�fuga, absorbida en la forma de equilibrio de la superficie) e incluye la atracci�n gravitatoria de los otros astros.

Las ecuaciones de la marea de Laplace no tuvieron una aceptaci�n inmediata. El astr�nomo ingl�s George Biddell Airy (1801-1892), en su obra Tides and Waves (1845) critica fuertemente a Laplace y al mismo tiempo curiosamente opina que:

debe reconocerse que [la teor�a de mareas de Newton] es una de las teor�as m�s despreciables (contemptible) que se hayan jam�s empleado para explicar una colecci�n de hechos f�sicos importantes. Es completamente falsa en sus principios y completamente inaplicable en sus resultados. Sin embargo, por extra�o que parezca, esta teor�a ha sido de gran utilidad.

William Thompson (1824-1907), mejor conocido como Lord Kelvin defendi� la teor�a de mareas de Laplace en 1875... pero fue muy dif�cil entender su trabajo. De todos modos, no es mi intenci�n tratar en este libro los resultados de Laplace sobre el problema de la marea (de hecho, para obtenerlos a partir de sus ecuaciones tuvo que hacer algunas simplificaciones no del todo justificadas). Mi prop�sito es, en cambio, destacar que fue el primero en descubrir la ahora llamada fuerza de Coriolis que lo hizo en un contexto oceanogr�fico y, sobre todo, que insisti� desde un principio en el car�cter no aparente —sino real— de los efectos de la rotaci�n terrestre, lig�ndonos a la forma que toma la superficie del mar con la rotaci�n terrestre. Las ecuaciones de marea de Laplace son hoy en d�a un paradigma de los modelos de din�mica oce�nica o atmosf�rica, en los que no se incluye necesariamente las fuerzas generadoras de la marea, y en cambio, normalmente se agregan otras fuerzas externas, como el empuje del viento, o internas, como la flotabilidad debida a los cambios de densidad con la profundidad.

Como ya mencion� m�s arriba, la realidad de la rotaci�n terrestre no fue aceptada por el p�blico en general hasta mediados del siglo pasado, con motivo del experimento de Foucault. Ocho a�os m�s tarde (1859) Perrot realiz� el experimento de la generaci�n de vorticidad al vaciar un recipiente (para poder medir de la manera m�s precisa este efecto en un experimento, fue necesario utilizar un recipiente muy sim�trico y tambi�n, dejar reposar el agua durante todo un d�a, con el fin de eliminar cualquier posibilidad de vorticidad inicia por peque�a peque�a que fuera). Posteriormente, la idea de la importancia de la fuerza de Coriolis en la hidr�ulica y la meteorolog�a fue adquiriendo peso, hasta que se formaliz� la idea del balance geostr�fico. En los oc�anos y la atm�sfera existe, en muy buena aproximaci�n, este equilibrio entre las fuerzas de Coriolis y la de presi�n, la �ltima es por tanto casi perpendicular a la direcci�n de movimiento.

Si la Tierra no rotara, si no actuara la fuerza de Coriolis, la din�mica de los oc�anos y la atm�sfera ser�a tan diferente que, por ejemplo, el clima terrestre no tendr�a nada en com�n con el actual. De hecho, la vida —al menos tal como la conocemos— no ser�a posible en nuestro planeta.