VIII. LA FORMA DE LA TIERRA

Lo felicito: ha aplastado a los polos y a los Cassini. ...VOLTAIRE (a Maupertuis)

AL IGUAL que en el caso de la cubeta, la explicación del efecto de Coriolis en la Tierra se halla ligada a su forma, tema que ha apasionado a la humanidad desde tiempos inmemoriales. "Sabemos" que la Tierra es, en muy buena aproximación, una esfera; si ésta fuera exactamente su forma y la atracción gravitatoria estuviera dirigida hacia el centro de la Tierra, entonces un cuerpo apoyado sobre una mesa bien pulida se iría hacia el ecuador, ya que desde el punto de vista de un observador inercial, tiene una velocidad diferente de cero. (De hecho, como comentaba más arriba, éste era uno de los argumentos esgrimidos en contra de la existencia de la rotación terrestre.) Lo que es importante en la forma de la Tierra es su desviación de una esfericidad perfecta; éste es otro tema que también apasionó —y lo sigue haciendo— si bien no a toda la humanidad, al menos a los científicos.

La medida más antigua de la esfericidad terrestre data del siglo III antes de nuestra era y fue hecha por Eratóstenes, entonces director de la Biblioteca de Alejandría. Eratóstenes tuvo conocimiento de que cuando el Sol estaba perfectamente vertical al mediodía sobre Siene (hoy Asuán, Egipto), en Alejandría la sombra tenía un ángulo mínimo de 7.2ñ con la dirección de la plomada. Como el Sol está tan lejos que sus rayos nos llegan prácticamente paralelos, la diferencia del ángulo de la sombra respecto a la vertical local sólo se puede deber a la curvatura de la superficie terrestre. Este ángulo puede ser usado para medir indirectamente al radio terrestre. Al respecto, Eratóstenes necesitaba saber la distancia entre Alejandría y Siene; se dice que la midió multiplicando la velocidad promedio de un camello por el tiempo que le llevaba hacer ese viaje. Si así lo hizo, es un ejemplo bellísimo del ingenio científico para hacer una medida difícil. La distancia es de unos 800 km. Como 7.2ñ es igual a 1/50 de 360ñ, entonces un círculo máximo terrestre (una vuelta completa a la Tierra) debe tener 50 x 800 km = 40 000km; es decir, el radio terrestre es de unos 6 400 kilómetros.

Mapa de Laponia, obra de Maupertuis

En términos modernos, lo que hizo Eratóstenes fue utilizar al Sol para tener una medida de la diferencia entre las latitudes de Siene y Alejandría ²⁰ y mediciones sobre la Tierra para saber la distancia entre ambas ciudades. De geometría elemental sabemos que un arco de circunferencia es proporcional al ángulo y al radio, con lo que la diferencia de latitudes y la distancia son suficientes para determinar este último siempre y cuando, ambas ciudades estén sobre el mismo meridiano (una al norte de la otra) lo cual es prácticamente cierto para Alejandría y Siene. (Se dice también que el resultado de Eratóstenes difería en tan sólo 1% del valor moderno lo cual, de ser cierto, debe tan sólo ser una casualidad, ya que al no estar Siene exactamente al sur de Alejandría —hay una diferencia de unos tres grados de longitud— la distancia entre ciudades es más bien de unos 850 km.)

Diecinueve siglos más tarde, el abad Jean Picard (1620-1682), uno de los fundadores de la Academia de Ciencias de París, midió un grado del meridiano que pasa por París, obteniendo una medida del radio terrestre con tan sólo 0.1% de error. Este resultado fue fundamental para los cálculos de Newton.

Para explicar el efecto de Coriolis no basta saber que la forma de la Tierra es, aproximadamente, la de una esfera, sino que es necesario conocer las pequeñas desviaciones de ella. Hace tres siglos había dos escuelas que rivalizaban acerca del tema: la de quienes pensaban que nuestro planeta está achatado en los polos y los que argumentaba que está alargado. La primera idea era de Newton, quien llegó a esta conclusión (y a una primera predicción del valor del achatamiento) a partir de la observación de que el agua de los mares no se va hacia el ecuador (como tampoco se va un objeto apoyado sobre una mesa pulida, observación a la que he hecho mención varias veces). La idea contraria se debía a Descartes y la mantenían ardientemente los Cassini, una dinastía de astrónomos y topógrafos franceses que proveyó a los cuatro primeros directores del Observatorio de París.

El hecho de que una de las hipótesis proviniera de Inglaterra y la otra de Francia no facilitaba precisamente las cosas. Sin embargo, un hecho fortuito abrió paso para que los franceses confirmaran la idea del científico inglés. Francois Marie Voltaire luego de una segunda temporada en La Bastilla (por haber ofendido a un noble) tuvo que exiliarse a Inglaterra en 1726. Allí conoció a Newton, al que desde entonces admiró tanto como a Descartes. De regreso a Francia, Voltaire se constituyó en uno de los defensores de las ideas de Newton en "el Continente" —como llaman los ingleses al resto de Europa— (Su amante, de Voltaire se entiende, la marquesa de Chatñlet escribió el primer libro de divulgación sobre los Principia). Años más tarde, Voltaire y su —entonces— amigo Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) fueron los principales impulsores de las expediciones francesas a la actual República de Ecuador y a Laponia (en Finlandia) para medir la longitud de un grado de meridiano y confirmar la predicción de Newton. Probablemente a Voltaire le importaba menos si la Tierra está o no achatada en los polos que el triunfo de las ideas nuevas sobre las actitudes antiguas (ñque le habían, en particular, significado la cárcel!), pero su entusiasmo era, de todos modos, sin par.

Pierre-Louis de Maupertuis

La misión de ambas expediciones fue en cierta forma similar al trabajo de Eratóstenes, sólo que con métodos mucho más refinados, pues lo que interesaba era las pequeñas diferencias entre las medidas hechas en distintas latitudes (al norte o sur de París, donde ya se conocía la relación entre cambio de latitud y distancia). "Un grado de meridiano" se refiere a un cambio de latitud o, si se quiere, de la orientación de la vertical local (a una hora fija del día) respecto de las estrellas. La distancia requerida para este cambio debe ser mayor hacia los polos (donde está más curvada). Pero las diferencias son minúsculas, inferiores a un kilómetro. Concretamente, un grado meridiano cerca del ecuador representa 110.6 km, en París 111.2 km y en Laponia 111.5 kilómetros.

La primera expedición partió hacia la ciudad de Quito en 1735, bajo la dirección de Charles Marie de La Condamine (1701-1774). La componían diez franceses, dos españoles (que, en parte, eran espías de su rey) y un criollo. La expedición sufrió una serie de inconvenientes desde el comienzo, en parte por la gran rivalidad entre La Condamine (que era aristócrata y protegido de Voltaire) y Bouguer (que no poseía ninguna de esas dos "virtudes"). De los franceses, uno murió de fiebres tropicales, otro apuñalado en una corrida de toros y un tercero al caer de la torre de una iglesia (que había ayudado a diseñar); dos se casaron con ecuatorianas y otro perdió momentáneamente la razón cuando su colección botánica fue arrojada a la basura.

Mientras tanto en París, Maupertuis cada vez más impaciente, decidió organizar la segunda expedición a Laponia, a donde viajó rodeando de un grupo de "científicos jóvenes". Aunque les tomó tres meses llegar, en seis semanas ya tenían terminada la triangulación. Debieron esperar el buen tiempo para medir con precisión la posición del extremo norte; casi no lo logran antes del congelamiento del río Tornea. Los resultados confirmaron la predicción de Newton y Maupertuis fue calurosamente felicitado por Voltaire ya que había "aplastado a los polos y a los Cassini". Los de la expedición a Perú quedaron en cambio muy deprimidos.

La Condamine terminó su misión años más tarde (ocho después de haber llegado a América del Sur) confirmando el ensanchamiento terrestre en el ecuador. Jaques Cassini (1677-1756), el segundo de la dinastía, renunció deprimido al puesto de director del Observatorio de París (lo sucedió su hijo y luego su nieto). De los franceses de la expedición a Perú, no todos regresaron a Europa, dos o tres se establecieron en Sudamérica. La Condamine tenía un espíritu siempre curioso e insatisfecho, fue promotor de la variolización (precursora de las vacunas) y experimentó en carne propia (a propósito) los bastonazos por robo. Terminada su misión en Quito, se fue a explorar el Amazonas y finalmente murió al dejarse operar mediante un procedimiento novedoso.

A Maupertuis no le fue mucho mejor. Voltaire, quien había sido su gran amigo, se enemistó con él y lo atacó ferozmente: "Usted ha confirmado en lugares aburridos lo que Newton sabía sin salir de casa." La sorna de Voltaire no tuvo límites, burlándose despiadadamente de Maupertuis en varios escritos; en Micromegas satiriza la expedición a Laponia y que Maupertuis se haya enamorado de una joven lapona (que llevó a París). La reputación científica de Maupertuis no volvió a recuperarse y murió olvidado el que fuera un gran científico, que demostró el principio ("universal") de la acción mínima y que, razonando sobre la teoría de la herencia, llegó a intuir la idea de la genética y la posibilidad de la evolución natural, ñantes de que se conociera la célula!

En los dos últimos capítulos vimos de qué manera las oscilaciones inerciales de la cubeta giratoria constituyen un efecto real debido a la forma de su superficie. Para un observador inercial —que no rota con la cubeta— la forma cóncava de la superficie hace que todos los cuerpos experimenten la acción de una fuerza hacia el centro de la cubeta, fuerza que los mantiene en rotación. En cambio, para un físico como el doctor Ordóñez, que hace sus cálculos en el sistema en rotación —fijo a la cubeta— se deben agregar dos fuerzas "ficticias" la de Coriolis y la centrífuga, pero la segunda es equilibrada por la fuerza real recién mencionada y por lo tanto sólo queda la de Coriolis, que es la que produce esos cambios continuos de dirección.

Otro tanto ocurre sobre la Tierra. Es la deformación de su superficie, respecto de una esfera perfecta, la responsable de una fuerza horizontal dirigida en cada hemisferio hacia el polo correspondiente. Si dibujáramos el caso de la Tierra con fidelidad no se podría apreciar esto, porque la deformación es muy pequeña (el achatamiento es de tan sólo una parte en 300). Sin embargo, podemos mostrar la solución correspondiente a un planeta hipotético que girara mucho más rápido, gracias a la solución encontrada en 1742 por Colin Maclaurin (1698-1746), matemático y filósofo natural escocés.

Maclaurin fue uno de los especialistas en el "cálculo de fluxiones" de Newton; de hecho, es conocido por los estudiantes de cálculo por su serie. También resolvió el problema de la atracción gravitatoria en un punto interior a un elipsoide obloide de revolución, con lo que pudo generalizar el razonamiento de Newton a valores arbitrarios de la excentricidad. Lo asombroso es que lo logró ñantes de que se inventara la hidrostática! Por lo tanto pudo demostrar que su solución satisfacía las condiciones suficientes de equilibrio, pero no tenía forma de saber que eran también necesarias, es decir, que había encontrado la solución. Por todo esto fue nombrado profesor de matemáticas en Edimburgo ipso Newtono suadente (por recomendación de Newton).

Las figuras siguientes muestran la solución de Maclaurin al problema de un planeta líquido que rote lo más rápido posible (correspondiente a un "día" de 2 1/2 horas en el caso de la Tierra). La primera figura muestra la descripción hecha por Inercina: la acción conjunta de la atracción gravitatoria G y de la fuerza normal a la superficie (o sea, en la dirección de la vertical local) R_N producen la aceleración a, dirigida hacia el eje de rotación (y proporcional a la distancia a éste).

Desde el punto de vista de un terrícola —figura siguiente— la resultante de G y R_N es equilibrada por la fuerza centrífuga F_CF; claramente ambas descripciones son equivalente ya que a=-F_CF.

Nótese que G tiene, en cada hemisferio, una componente horizontal dirigida hacia el polo correspondiente. Según Inercina, algunos cuerpos giran exactamente con la misma rapidez que la Tierra y por lo tanto no se mueven con respecto a ella. Tal es el caso de un cuerpo apoyado sobre una mesa bien pulida, que no se va hacia el ecuador sino que gira a la misma rapidez que lo hace la mesa y todo el edificio, es por eso que nosotros los vemos quietos. Regresando a Inercina, ella ve a otros cuerpos girar con rapidez variable, distinta a la de la Tierra; más lentamente al acercarse al ecuador y más rápidamente al alejarse, consecuencia de la conservación de momento angular. Estas diferencias de rapidez de rotación hacen que un observador de la Tierra vea al cuerpo hacer oscilaciones en el sentido opuesto de giro, como se ilustró en el capítulo IV (o en el capítulo anterior, en el caso de la cubeta).

Un terrrícola no incluye la fuerza centrífuga al calcular el movimiento de los cuerpos y por lo tanto se queda con una sola de las fuerzas ficticias: la de Coriolis. El efecto de la fuerza centrífuga se refleja en el hecho de que el peso varía (aunque muy poco) con la latitud y en que la vertical local, la dirección de la plomada, no está dirigida hacia el centro de la Tierra, sino que es, exactamente, perpendicular a su superficie. Aunque la fuerza centrífuga es muy pequeña, incluirla o no en las ecuaciones da por resultado una diferencia muy grande. De no hacerlo los cuerpos libres "se irían" hacia el ecuador, lo que no ocurre.