VIII. LA FORMA DE LA TIERRA

Lo felicito: ha aplastado a los polos y a los Cassini. ...VOLTAIRE (a Maupertuis)

AL IGUAL que en el caso de la cubeta, la explicaci�n del efecto de Coriolis en la Tierra se halla ligada a su forma, tema que ha apasionado a la humanidad desde tiempos inmemoriales. "Sabemos" que la Tierra es, en muy buena aproximaci�n, una esfera; si �sta fuera exactamente su forma y la atracci�n gravitatoria estuviera dirigida hacia el centro de la Tierra, entonces un cuerpo apoyado sobre una mesa bien pulida se ir�a hacia el ecuador, ya que desde el punto de vista de un observador inercial, tiene una velocidad diferente de cero. (De hecho, como comentaba m�s arriba, �ste era uno de los argumentos esgrimidos en contra de la existencia de la rotaci�n terrestre.) Lo que es importante en la forma de la Tierra es su desviaci�n de una esfericidad perfecta; �ste es otro tema que tambi�n apasion� —y lo sigue haciendo— si bien no a toda la humanidad, al menos a los cient�ficos.

La medida m�s antigua de la esfericidad terrestre data del siglo III antes de nuestra era y fue hecha por Erat�stenes, entonces director de la Biblioteca de Alejandr�a. Erat�stenes tuvo conocimiento de que cuando el Sol estaba perfectamente vertical al mediod�a sobre Siene (hoy Asu�n, Egipto), en Alejandr�a la sombra ten�a un �ngulo m�nimo de 7.2� con la direcci�n de la plomada. Como el Sol est� tan lejos que sus rayos nos llegan pr�cticamente paralelos, la diferencia del �ngulo de la sombra respecto a la vertical local s�lo se puede deber a la curvatura de la superficie terrestre. Este �ngulo puede ser usado para medir indirectamente al radio terrestre. Al respecto, Erat�stenes necesitaba saber la distancia entre Alejandr�a y Siene; se dice que la midi� multiplicando la velocidad promedio de un camello por el tiempo que le llevaba hacer ese viaje. Si as� lo hizo, es un ejemplo bell�simo del ingenio cient�fico para hacer una medida dif�cil. La distancia es de unos 800 km. Como 7.2� es igual a 1/50 de 360�, entonces un c�rculo m�ximo terrestre (una vuelta completa a la Tierra) debe tener 50 x 800 km = 40 000km; es decir, el radio terrestre es de unos 6 400 kil�metros.

Mapa de Laponia, obra de Maupertuis

En t�rminos modernos, lo que hizo Erat�stenes fue utilizar al Sol para tener una medida de la diferencia entre las latitudes de Siene y Alejandr�a ²⁰ y mediciones sobre la Tierra para saber la distancia entre ambas ciudades. De geometr�a elemental sabemos que un arco de circunferencia es proporcional al �ngulo y al radio, con lo que la diferencia de latitudes y la distancia son suficientes para determinar este �ltimo siempre y cuando, ambas ciudades est�n sobre el mismo meridiano (una al norte de la otra) lo cual es pr�cticamente cierto para Alejandr�a y Siene. (Se dice tambi�n que el resultado de Erat�stenes difer�a en tan s�lo 1% del valor moderno lo cual, de ser cierto, debe tan s�lo ser una casualidad, ya que al no estar Siene exactamente al sur de Alejandr�a —hay una diferencia de unos tres grados de longitud— la distancia entre ciudades es m�s bien de unos 850 km.)

Diecinueve siglos m�s tarde, el abad Jean Picard (1620-1682), uno de los fundadores de la Academia de Ciencias de Par�s, midi� un grado del meridiano que pasa por Par�s, obteniendo una medida del radio terrestre con tan s�lo 0.1% de error. Este resultado fue fundamental para los c�lculos de Newton.

Para explicar el efecto de Coriolis no basta saber que la forma de la Tierra es, aproximadamente, la de una esfera, sino que es necesario conocer las peque�as desviaciones de ella. Hace tres siglos hab�a dos escuelas que rivalizaban acerca del tema: la de quienes pensaban que nuestro planeta est� achatado en los polos y los que argumentaba que est� alargado. La primera idea era de Newton, quien lleg� a esta conclusi�n (y a una primera predicci�n del valor del achatamiento) a partir de la observaci�n de que el agua de los mares no se va hacia el ecuador (como tampoco se va un objeto apoyado sobre una mesa pulida, observaci�n a la que he hecho menci�n varias veces). La idea contraria se deb�a a Descartes y la manten�an ardientemente los Cassini, una dinast�a de astr�nomos y top�grafos franceses que provey� a los cuatro primeros directores del Observatorio de Par�s.

El hecho de que una de las hip�tesis proviniera de Inglaterra y la otra de Francia no facilitaba precisamente las cosas. Sin embargo, un hecho fortuito abri� paso para que los franceses confirmaran la idea del cient�fico ingl�s. Francois Marie Voltaire luego de una segunda temporada en La Bastilla (por haber ofendido a un noble) tuvo que exiliarse a Inglaterra en 1726. All� conoci� a Newton, al que desde entonces admir� tanto como a Descartes. De regreso a Francia, Voltaire se constituy� en uno de los defensores de las ideas de Newton en "el Continente" —como llaman los ingleses al resto de Europa— (Su amante, de Voltaire se entiende, la marquesa de Chat�let escribi� el primer libro de divulgaci�n sobre los Principia). A�os m�s tarde, Voltaire y su —entonces— amigo Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) fueron los principales impulsores de las expediciones francesas a la actual Rep�blica de Ecuador y a Laponia (en Finlandia) para medir la longitud de un grado de meridiano y confirmar la predicci�n de Newton. Probablemente a Voltaire le importaba menos si la Tierra est� o no achatada en los polos que el triunfo de las ideas nuevas sobre las actitudes antiguas (�que le hab�an, en particular, significado la c�rcel!), pero su entusiasmo era, de todos modos, sin par.

Pierre-Louis de Maupertuis

La misi�n de ambas expediciones fue en cierta forma similar al trabajo de Erat�stenes, s�lo que con m�todos mucho m�s refinados, pues lo que interesaba era las peque�as diferencias entre las medidas hechas en distintas latitudes (al norte o sur de Par�s, donde ya se conoc�a la relaci�n entre cambio de latitud y distancia). "Un grado de meridiano" se refiere a un cambio de latitud o, si se quiere, de la orientaci�n de la vertical local (a una hora fija del d�a) respecto de las estrellas. La distancia requerida para este cambio debe ser mayor hacia los polos (donde est� m�s curvada). Pero las diferencias son min�sculas, inferiores a un kil�metro. Concretamente, un grado meridiano cerca del ecuador representa 110.6 km, en Par�s 111.2 km y en Laponia 111.5 kil�metros.

La primera expedici�n parti� hacia la ciudad de Quito en 1735, bajo la direcci�n de Charles Marie de La Condamine (1701-1774). La compon�an diez franceses, dos espa�oles (que, en parte, eran esp�as de su rey) y un criollo. La expedici�n sufri� una serie de inconvenientes desde el comienzo, en parte por la gran rivalidad entre La Condamine (que era arist�crata y protegido de Voltaire) y Bouguer (que no pose�a ninguna de esas dos "virtudes"). De los franceses, uno muri� de fiebres tropicales, otro apu�alado en una corrida de toros y un tercero al caer de la torre de una iglesia (que hab�a ayudado a dise�ar); dos se casaron con ecuatorianas y otro perdi� moment�neamente la raz�n cuando su colecci�n bot�nica fue arrojada a la basura.

Mientras tanto en Par�s, Maupertuis cada vez m�s impaciente, decidi� organizar la segunda expedici�n a Laponia, a donde viaj� rodeando de un grupo de "cient�ficos j�venes". Aunque les tom� tres meses llegar, en seis semanas ya ten�an terminada la triangulaci�n. Debieron esperar el buen tiempo para medir con precisi�n la posici�n del extremo norte; casi no lo logran antes del congelamiento del r�o Tornea. Los resultados confirmaron la predicci�n de Newton y Maupertuis fue calurosamente felicitado por Voltaire ya que hab�a "aplastado a los polos y a los Cassini". Los de la expedici�n a Per� quedaron en cambio muy deprimidos.

La Condamine termin� su misi�n a�os m�s tarde (ocho despu�s de haber llegado a Am�rica del Sur) confirmando el ensanchamiento terrestre en el ecuador. Jaques Cassini (1677-1756), el segundo de la dinast�a, renunci� deprimido al puesto de director del Observatorio de Par�s (lo sucedi� su hijo y luego su nieto). De los franceses de la expedici�n a Per�, no todos regresaron a Europa, dos o tres se establecieron en Sudam�rica. La Condamine ten�a un esp�ritu siempre curioso e insatisfecho, fue promotor de la variolizaci�n (precursora de las vacunas) y experiment� en carne propia (a prop�sito) los bastonazos por robo. Terminada su misi�n en Quito, se fue a explorar el Amazonas y finalmente muri� al dejarse operar mediante un procedimiento novedoso.

A Maupertuis no le fue mucho mejor. Voltaire, quien hab�a sido su gran amigo, se enemist� con �l y lo atac� ferozmente: "Usted ha confirmado en lugares aburridos lo que Newton sab�a sin salir de casa." La sorna de Voltaire no tuvo l�mites, burl�ndose despiadadamente de Maupertuis en varios escritos; en Micromegas satiriza la expedici�n a Laponia y que Maupertuis se haya enamorado de una joven lapona (que llev� a Par�s). La reputaci�n cient�fica de Maupertuis no volvi� a recuperarse y muri� olvidado el que fuera un gran cient�fico, que demostr� el principio ("universal") de la acci�n m�nima y que, razonando sobre la teor�a de la herencia, lleg� a intuir la idea de la gen�tica y la posibilidad de la evoluci�n natural, �antes de que se conociera la c�lula!

En los dos �ltimos cap�tulos vimos de qu� manera las oscilaciones inerciales de la cubeta giratoria constituyen un efecto real debido a la forma de su superficie. Para un observador inercial —que no rota con la cubeta— la forma c�ncava de la superficie hace que todos los cuerpos experimenten la acci�n de una fuerza hacia el centro de la cubeta, fuerza que los mantiene en rotaci�n. En cambio, para un f�sico como el doctor Ord��ez, que hace sus c�lculos en el sistema en rotaci�n —fijo a la cubeta— se deben agregar dos fuerzas "ficticias" la de Coriolis y la centr�fuga, pero la segunda es equilibrada por la fuerza real reci�n mencionada y por lo tanto s�lo queda la de Coriolis, que es la que produce esos cambios continuos de direcci�n.

Otro tanto ocurre sobre la Tierra. Es la deformaci�n de su superficie, respecto de una esfera perfecta, la responsable de una fuerza horizontal dirigida en cada hemisferio hacia el polo correspondiente. Si dibuj�ramos el caso de la Tierra con fidelidad no se podr�a apreciar esto, porque la deformaci�n es muy peque�a (el achatamiento es de tan s�lo una parte en 300). Sin embargo, podemos mostrar la soluci�n correspondiente a un planeta hipot�tico que girara mucho m�s r�pido, gracias a la soluci�n encontrada en 1742 por Colin Maclaurin (1698-1746), matem�tico y fil�sofo natural escoc�s.

Maclaurin fue uno de los especialistas en el "c�lculo de fluxiones" de Newton; de hecho, es conocido por los estudiantes de c�lculo por su serie. Tambi�n resolvi� el problema de la atracci�n gravitatoria en un punto interior a un elipsoide obloide de revoluci�n, con lo que pudo generalizar el razonamiento de Newton a valores arbitrarios de la excentricidad. Lo asombroso es que lo logr� �antes de que se inventara la hidrost�tica! Por lo tanto pudo demostrar que su soluci�n satisfac�a las condiciones suficientes de equilibrio, pero no ten�a forma de saber que eran tambi�n necesarias, es decir, que hab�a encontrado la soluci�n. Por todo esto fue nombrado profesor de matem�ticas en Edimburgo ipso Newtono suadente (por recomendaci�n de Newton).

Las figuras siguientes muestran la soluci�n de Maclaurin al problema de un planeta l�quido que rote lo m�s r�pido posible (correspondiente a un "d�a" de 2 1/2 horas en el caso de la Tierra). La primera figura muestra la descripci�n hecha por Inercina: la acci�n conjunta de la atracci�n gravitatoria G y de la fuerza normal a la superficie (o sea, en la direcci�n de la vertical local) R_N producen la aceleraci�n a, dirigida hacia el eje de rotaci�n (y proporcional a la distancia a �ste).

Desde el punto de vista de un terr�cola —figura siguiente— la resultante de G y R_N es equilibrada por la fuerza centr�fuga F_CF; claramente ambas descripciones son equivalente ya que a=-F_CF.

N�tese que G tiene, en cada hemisferio, una componente horizontal dirigida hacia el polo correspondiente. Seg�n Inercina, algunos cuerpos giran exactamente con la misma rapidez que la Tierra y por lo tanto no se mueven con respecto a ella. Tal es el caso de un cuerpo apoyado sobre una mesa bien pulida, que no se va hacia el ecuador sino que gira a la misma rapidez que lo hace la mesa y todo el edificio, es por eso que nosotros los vemos quietos. Regresando a Inercina, ella ve a otros cuerpos girar con rapidez variable, distinta a la de la Tierra; m�s lentamente al acercarse al ecuador y m�s r�pidamente al alejarse, consecuencia de la conservaci�n de momento angular. Estas diferencias de rapidez de rotaci�n hacen que un observador de la Tierra vea al cuerpo hacer oscilaciones en el sentido opuesto de giro, como se ilustr� en el cap�tulo IV (o en el cap�tulo anterior, en el caso de la cubeta).

Un terrr�cola no incluye la fuerza centr�fuga al calcular el movimiento de los cuerpos y por lo tanto se queda con una sola de las fuerzas ficticias: la de Coriolis. El efecto de la fuerza centr�fuga se refleja en el hecho de que el peso var�a (aunque muy poco) con la latitud y en que la vertical local, la direcci�n de la plomada, no est� dirigida hacia el centro de la Tierra, sino que es, exactamente, perpendicular a su superficie. Aunque la fuerza centr�fuga es muy peque�a, incluirla o no en las ecuaciones da por resultado una diferencia muy grande. De no hacerlo los cuerpos libres "se ir�an" hacia el ecuador, lo que no ocurre.