VIII. MICHAEL FARADAY, DIAMAGNETISMO Y EL EFECTO HALL CU�NTICO

LEOPOLDO GARC�A-COL�N SCHERER

INTRODUCCI�N

"POR mucho tiempo he sido de la opini�n, que casi llega al grado de una convicci�n, de creer, en acuerdo con muchos otros estudiosos de la naturaleza que las varias formas bajo las cuales se ponen de manifiesto las fuerzas de la materia tienen un origen com�n; en otras palabras, que est�n relacionadas entre s� de manera tal que son mutuamente dependientes y son convertibles unas en otras, como si fueran y poseyeran equivalencias de potencia en su acci�n." Con este p�rrafo Michael Faraday, el notable f�sico y qu�mico ingl�s, considerado por muchos como uno de los cient�ficos experimentales m�s vers�tiles del siglo pasado, comienza su art�culo titulado "Acci�n de los imanes sobre la luz", publicado en el Philosophical Transactions (Londres) en 1846 [1]. En este trabajo Faraday resume sus largas experiencias, iniciadas en 1831 que versan sobre la evoluci�n de la electricidad, el magnetismo y que, entre otros descubrimientos, lo condujeron a entender el fen�meno de la inducci�n. El objetivo que se persigue aqu� es explicar el �xito que se logr� al describir la "electrificaci�n y magnetizaci�n de un haz de luz y en iluminar una l�nea de fuerza magn�tica". Como pre�mbulo a la discusi�n subsecuente Faraday defini� con toda precisi�n los t�rminos que utilizar�a para ello. La primera definici�n era la de l�nea de fuerza magn�tica como el efecto de la acci�n de un campo magn�tico sobre las l�neas magn�ticas, generalmente curvas y que igualmente pasan hacia,o a partir, de dipolos magn�ticos o que forman c�rculos conc�ntricos alrededor de una corriente el�ctrica. En seguida, Faraday define una l�nea de fuerza el�ctrica como la fuerza ejercida a lo largo de las l�neas que unen dos cuerpos, interactuando entre s� de acuerdo con los principios de inducci�n el�ctrica (cita aqu� su trabajo de 1837), y finalmente define lo que aqu� nos concierne, un diamagn�tico, esto es, un cuerpo a trav�s del cual pasan las l�neas de fuerza magn�tica y bajo cuya acci�n no se adquiere el estado magn�tico usual del hierro ni de la calamita (piedra o roca imantada). Faraday fue el descubridor del fen�meno del diamagnetismo en cuanto a su diferenciaci�n clara con el ferromagnetismo, y no s�lo eso, sino que, como veremos en seguida, logr� establecer de manera clara y objetiva el comportamiento diferente de la materia bajo la influencia de campos magn�ticos.

M�s adelante, en el trabajo ya referido, Faraday lleg� a la conclusi�n un tanto inequ�voca de que existen materiales, metales y algunas sales en particular que, bajo la acci�n de un campo magn�tico, no se comportan como imanes, y concluy� que la "condici�n molecular" de dichos cuerpos deb�a ser espec�ficamente distinta a la del hierro magnetizado u otros similares y que por tanto "justifican una nueva condici�n magn�tica". Estos estudios lo llevaron a sospechar, y posteriormente a experimentar y probar que, con excepci�n de los materiales magn�ticos y de sus sales, muchas otras sustancias incluyendo un vasto n�mero de cuerpos opacos y met�licos, exhiben esta "nueva condici�n magn�tica" de la materia. Es curioso hacer notar aqu� que debido a estas experiencias, Faraday consider� la posibilidad de construir una teor�a general de la acci�n magn�tica basada en principios fundamentalmente simples. Este no es lugar para relatar los met�dicos, cuidadosos y sistem�ticos experimentos que Faraday llev� a cabo, pero en ese mismo trabajo reportaba ya que metales como el antimonio, bismuto, cadmio, cobre, oro, plomo, mercurio, plata, esta�o y cinc no eran materiales ferromagn�ticos, y al final anunciaba a la Royal Society de Londres que intentar�a ampliar este espectro y extender sus mediciones a gases y vapores.

En una comunicaci�n recibida el 24 de diciembre de 1845, le�da el 8 de enero de 1846 y que se incluye en el trabajo ya citado, Faraday introdujo sus intenciones de ampliar sus investigaciones con las siguientes palabras:

Las caracter�sticas magn�ticas del hierro, el n�quel y el cobalto son bien conocidas, as� como el hecho de que a ciertas temperaturas pierden su propiedad habitual y se transforman, ante examen y observaci�n, en metales no magn�ticos; ingresan as� a la lista de materiales diamagn�ticos y act�an a la par que ellos.

�Faraday, sin saber termodin�mica y mucho menos transiciones de fase, hab�a descubierto que existe lo que hoy conocemos como una temperatura cr�tica y una transici�n de fase! Es m�s, contin�a diciendo:

Una investigaci�n m�s minuciosa me ha indicado que, aun como materiales diamagn�ticos, son muy diferentes a otros cuerpos, ya que todav�a calientes, siendo inactivos sobre imanes comunes o ante otras pruebas, no lo son absolutamente, ya que retienen una fracci�n de su potencia magn�tica independientemente de su temperatura...

Faraday hizo notar as�, con gran claridad, que incluso entre los materiales diamagn�ticos hab�a diferencias; y continu� sus experimentos con un m�todo y una l�gica inexorables. Incluy� tambi�n vapores (gases) y el aire para finalmente anunciar, el 7 de marzo de 1850, ante la Royal Society que su trabajo sobre sustancias diamagn�ticas hab�a llegado casi a su fin y que adem�s hab�a sido recibido muy favorablemente en otros lugares, principalmente en Alemania[2]. Particularmente, W. Weber hab�a manifestado su mejor deseo de confirmar tales descubrimientos. Para el 28 de noviembre de ese mismo a�o, el resultado era ya transparente: la palabra magn�tico deber�a emplearse para designar todos los efectos producidos por un campo de esa naturaleza, no obstante que en la subdivisi�n de materiales diamagn�ticos fuera necesaria una diferencia entre aquellos materiales diamagn�ticos per se y otros como los "imanes calientes" que reten�an algunas propiedades de la magnetizaci�n —como imanes— y a los cuales, por consejo de un amigo cercano, hab�a acordado llamar paramagn�ticos. M�s a�n utiliz� al O₂ como un caso caracter�stico de material paramagn�tico. Faraday sugiri� el esquema:

y recurri� al an�lisis de todo el arsenal experimental acumulado en esos a�os para establecer una diferenciaci�n clara entre ellos [3].

Si se introduce un conductor paramagn�tico, por ejemplo una esfera de O₂ en un campo magn�tico originalmente en el vac�o, el material provocar� que las l�neas de fuerza del campo se concentren sobre �l y su interior, de manera que el espacio ocupado por el material transmita m�s energ�a magn�tica que antes (figura VIII. 1(a)). Si, por otra parte, se introduce una esfera de un material diamagn�tico en un campo similar, esto provocar� una divergencia o separaci�n entre las l�neas en la direcci�n ecuatorial; por consiguiente, se transmitir� menos energ�a magn�tica en el espacio ocupado por el material que en el vac�o (�recu�rdese el efecto Meissner en superconductividad!) (figuraVIII. 1.(b)).

Figura VIII.1 (a) y (b).

De esta forma, dichos cuerpos afectan primero la direcci�n de las l�neas de fuerza —no s�lo en el espacio ocupado por ellas, sino tambi�n en el espacio cercano hacia el cual se prolongan las l�neas que pasan a trav�s de ellos—, y este cambio en el curso mismo de las l�neas que los atraviesan ocurrir�, en ambos casos, en direcci�n opuesta. En segundo lugar, afectar�n tambi�n la intensidad de la fuerza en cualquier parte del espacio dentro o cerca de ellos. El argumento subsecuente de Faraday es bien conocido pues utiliza el hecho de que la intensidad de campo en un punto depende esencialmente de la densidad de l�neas de fuerza que pasa cerca de dicho punto.

Estos argumentos condujeron a Faraday a un estudio exhaustivo y profundo sobre la naturaleza de los cuerpos paramagn�ticos y diamagn�ticos y sus interacciones mutuas, para esclarecer el concepto de conducci�n magnetocristalina, de fen�menos magneto-�pticos, y de ah� Faraday lleg� a la conclusi�n de que la atm�sfera, estando formada en dos novenas partes por un compuesto altamente magn�tico, no estaba sujeta a grandes cambios en su car�cter magn�tico por variaciones en la temperatura y condensaci�n o enrarecimiento de la misma, cambios producidos por variaciones anuales y diurnas en su relaci�n con respecto al Sol y a las fuerzas magn�ticas en la superficie terrestre. Los resultados que obtuvo de este estudio met�dico y exhaustivo —caracter�sticas indiscutibles de su trabajo— se realizaron entre 1850 y 1851. El lector interesado puede consultar el trabajo original para mayores detalles [1].

DIAMAGNETISMO

Despu�s de los trabajos de Faraday sobre el diamagnetismo, este asunto pas� a ser un tema de rigor en el estudio de las propiedades electromagn�ticas de la materia. En su bien conocido texto A Treatise on Electricity and Magnetism [4], escrito s�lo unos pocos a�os despu�s de la muerte de Faraday, el gran f�sico escoc�s J. C. Maxwell habla ya en t�rminos matem�ticos de este gran descubrimiento. En el cap�tulo sobre magnetizaci�n inducida [5] dice textualmente:

Ahora estamos preparados para considerar a la teor�a del magnetismo inducido de lo que yo pude captar como el punto de vista de Faraday. Cuando una fuerza magn�tica act�a sobre un medio, sea magn�tico, diamagn�tico o neutral, produce en �l un fen�meno de inducci�n magn�tica, una "cantidad dirigida" de la naturaleza de un flujo y, este flujo satisface las mismas condiciones de continuidad que obedecen las corrientes el�ctricas y otros flujos similares.

Como es bien sabido, si es el flujo magn�tico, la intensidad del campo magn�tico, la magnetizaci�n y k la susceptibilidad magn�tica, las ecuaciones

= = 4p............................................(1)

= k........................................................(2)

conducen a la relaci�n

= m,.......................................................(3)

donde m =1 + 4 pk. Para sustancias diamagn�ticas k<O, como hace ver Maxwell, y m<1. Estos resultados son, hoy d�a, bien conocidos para cualquier estudiante de la teor�a electromagn�tica.

M�s a�n, la vieja idea de Faraday de poder explicar los fen�menos el�ctricos y magn�ticos a partir de hechos fundamentales simples empieza a tomar cierta forma. En 1850 el f�sico alem�n W. Weber, gran admirador del trabajo de Faraday, hab�a lanzado la teor�a de que, contrario a lo que se supon�a la teor�a fenomenol�gica de Poisson [6], las mol�culas de una sustancia ferromagn�tica como el Fe eran peque�os imanes, aun antes de estar sujetas a la aplicaci�n de la fuerza magnetizante y que en estos materiales el eje magn�tico de las mol�culas gira sin diferencia en cualquier direcci�n, de modo que el material en su conjunto no exhibe propiedades magn�ticas. Cuando una fuerza magn�tica act�a sobre el material, tiene el efecto de orientar los ejes de todas las mol�culas en una sola direcci�n y provocar que el material, como un todo, se convierta en un im�n.

Sin embargo, pensando en t�rminos de corrientes moleculares, alguna diferencia debe haber entre aquellas que constituyen los materiales no diamagn�ticos y los diamagn�ticos. En el pen�ltimo cap�tulo de su texto [7] Maxwell analiza la forma en que Weber los diferenciaba y cómo establec�a un criterio matem�tico para distinguirlos. Pero toc� a los f�sicos de este siglo elaborar una teor�a satisfactoria de este fen�meno. Usando el bien conocido teorema de Larmor [8] que describe la influencia de un campo magn�tico sobre el movimiento de una part�cula cargada, se puede demostrar [9, 10] que la magnetizaci�n inducida en un material diamagn�tico arroja para la susceptibilidad magn�tica el valor

..................... (4)

donde Z es el n�mero de electrones por �tomo, e la carga del electr�n, N los �tomos por cm³, m la masa del electr�n y c la velocidad de la luz. El problema central en la ecuaci�n 4 es el factor r², que representa el promedio del cuadrado de la distancia perpendicular del electr�n al eje del campo externo. De acuerdo con la mec�nica cl�sica, r² = 0 es el resultado del famoso teorema de Bohr-Van Leeuwen en una versi�n menos popular que la accesible a cualquier estudiante de mec�nica estad�stica cl�sica: el fen�meno del diamagnetismo no existe, de acuerdo con las leyes de la f�sica cl�sica [11].

De estos resultados se concluye que la idea de Faraday, totalmente intuitiva, de que todos los fen�menos electromagn�ticos pueden obtenerse de hechos fundamentales simples no era incorrecta, pero su formulaci�n precisa tuvo que esperar el advenimiento de la mec�nica cu�ntica y de sus aplicaciones a sistemas formados por muchos �tomos, para obtener resultados que pudiesen compararse con el experimento.

Este no es el lugar apropiado para abordar un estudio a fondo sobre la formulaci�n del problema del diamagnetismo en el contexto de la mec�nica cu�ntica. Hoy en d�a, esto es un tema obligado en los cursos avanzados de la materia y est� tratado con todo detalle en los libros de texto convencionales [11-13]. El aspecto del diamagnetismo que concierne aqu� es el que se conoce como diamagnetismo de Landau, en honor al f�sico sovi�tico Lev Landau, quien calcul�, por primera vez en 1930, c�mo el diamagnetismo proviene de la cuantizaci�n de las �rbitas de part�culas cargadas en presencia de un campo magn�tico externo. Si se imagina un gas de electrones libres, despreciando al esp�n de los electrones contenidos en un recipiente (que por facilidad es un cubo cuyas aristas tengan longitud L) y se aplica un campo externo constante H en la direcci�n del eje z, resulta que los valores discretos de la energ�a que pueden asumir los electrones est�n dados por

.............................(5)

donde wo = eh/mc es la llamada frecuencia de ciclotr�n, Pz es el valor del �mpetu del electr�n en la direcci�n z, h=h/2p, donde h es la constante de Planck y el resto de los s�mbolos ya se definieron antes. Los niveles son degenerados; su grado de degeneraci�n es igual a

.................................................................................(6)

donde gaL² refleja el hecho de que la proyecci�n de una �rbita electr�nica al plano puede estar centrada en cualquier punto del mismo sin que por ello se altere su energ�a. Los resultados 5 y 6 permanecieron cincuenta a�os como una mera ilustraci�n de que hay ciertos efectos en sistemas formados por muchas part�culas que exhiben propiedades que s�lo pueden ser descritas por las leyes de la mec�nica cu�ntica y no por las de la f�sica cl�sica. No obstante, esa mera ilustraci�n dio un giro notable en 1980 y �ste es el tema de la �ltima secci�n del trabajo.

EL EFECTO HALL CUÁNTICO

El efecto Hall fue descubierto por el f�sico estadounidense E. T. Hall en 1879 [14]. Si se coloca un conductor en un campo magn�tico perpendicular a la direcci�n del flujo de la corriente el�ctrica dentro del conductor, se genera en su interior un campo el�ctrico a consecuencia de la desviaci�n de las trayectorias de las part�culas cargadas que produce el campo magn�tico. Cuando la carga el�ctrica acumulada en la direcci�n mutuamente perpendicular a la corriente y al campo magn�tico llegan a un cierto valor, el campo el�ctrico inducido —llamado voltaje de Hall— cancela el efecto del campo magn�tico, las portadoras de carga se sujetan a una fuerza neta nula y el flujo cesa. En la figura VIII.2, donde H, E_y, y V_x representan el campo magn�tico, el el�ctrico y la velocidad de los portadores, esto tiene lugar cuando

. ......................................................... (7)

donde j_x = Nv_xq es la densidad de la corriente si N es el n�mero de portadores de carga q por unidad de volumen. La cantidad

................................ (8)

se conoce como la resistencia de Hall, y es negativa si los portadores son electrones. En la f�sica de semiconductores esta cantidad tuvo un papel muy importante en la identificaci�n de portadores de carga positivos.

Figura VIII.2

Sup�ngase ahora la idea un tanto estrafalaria de que se tuviera, en lugar de un metal o un semiconductor s�lido, una rebanada formada por un gas de electrones libres bidimensional —esto es, cuyo espesor fuera muy peque�o comparado con sus otras dos dimensiones— y que se le aplicara un campo magn�tico en direcci�n perpendicular al flujo de electrones. La idea suena rara por la dificultad de construir f�sicamente en el laboratorio un sistema con dichas caracter�sticas. Pero si se pudiera realizar, las ecuaciones de Landau 5 y 6 podr�an estar sujetas a una comprobaci�n experimental que adem�s corroborar�a otros aspectos del viejo fen�meno del diamagnetismo. En 1980 esta alocada idea pudo ponerse en pr�ctica, gracias a los grandes avances de la tecnolog�a de transistores: se fabric� un sistema bidimensional de electrones libres inyectando electrones dentro de la interfase de una aleaci�n y se pudieron confinar los electrones a una peque�a pel�cula de 500 A de espesor. El experimento que realizaron el f�sico alem�n Klaus von Klitzing y sus colaboradores [15] arroj� un resultado verdaderamente notable, como se muestra en la figura VIII.3, y cuya explicaci�n todav�a hoy constituye un reto para los f�sicos te�ricos.

Figura VIII.3 Resistividad de Hall y convencional.

Lo notable del resultado fue que los niveles de Landau dados en la ecuaci�n 5, no se llenaron de electrones en la forma en que lo sugerir�a el principio de exclusi�n de Pauli. A medida que el campo magn�tico aumentaba, la degeneraci�n de los niveles tambi�n aumentaba. La m�xima densidad (bidimensional) de electrones permitida por nivel para un valor dado del campo es 2 He/hc de acuerdo con la ecuaci�n 6, tomando en cuenta el esp�n. Si n es esa densidad, se puede definir un "factor de llenado" como

................................................................ (9)

En el experimento original de von Klitzing, como se muestra en la figura VIII. 3, la resistividad de Hall muestra valores constantes para v = 1, 1/3, 2/3, etc., y con valores iguales a v^-1 en unidades de h/e². Por otra parte, la resistividad convencional (zxx en la figura) desciende a valores muy peque�os, lo que indica que en esos intervalos de valores v y H, el fluido formado por los electrones fluye como en un superconductor, casi sin resistencia. Un resultado particular se obtiene si v =1, pues de las ecuaciones 8 y 9 se sigue de inmediato que la resistividad de Hall es

R_H = h/e², ................................................................ (10)

�una constante universal! y que adem�s es igual a una densidad de llenado proporcional a f_o= hc/e, un flux�n o flujo magn�tico cu�ntico elemental. Los fluxones son consecuencia directa de un efecto netamente cu�ntico mediante el cual un electr�n extendido en el espacio puede sentir la presencia de un campo magn�tico confinado a una regi�n del espacio muy lejana a la que �l ocupa. Este efecto, conocido como el efecto Bohm-Aharanov fue predicho te�ricamente por estos físicos en 1959 y hoy est� plenamente confirmado, ha tenido fuertes y profundas repercusiones en el entendimiento del mundo cu�ntico [17]. El efecto von Klitzing, hoy conocido como efecto Hall cu�ntico, le vali� el premio Nobel de física en 1985, y ha sido tan importante que la ecuaci�n 10 se toma, hoy en d�a, como un patr�n internacional para determinar la unidad de resistencia el�ctrica. En efecto,

R_H= 25 812.8056 ohmios,

con una incertidumbre de 0.045 ppm [18].

Pero la historia no ha terminado [19]. Originalmente se pens� que en la secuencia de valores posibles para v s�lo aparec�an fracciones m�ltiplos de e²/h con denominadores impares; y hasta 1985 se hab�an detectado valores 1/3, 2/3, 1/5, 2/5, 2/7, 3/7, 4/9. Sin embargo, en 1987, R. Willett y sus colaboradores [19] reportaron un valor cuantizado para v= 5/2, el primero que se detect� para un denominador par [19]. Con la teor�a para los casos de denominadores impares, todav�a a medio camino, este nuevo efecto ha tra�do grandes problemas a los te�ricos y hoy en d�a, constituye uno de los campos de investigaci�n de mayor inter�s y actualidad en toda la f�sica del estado s�lido. El diamagnetismo descubierto por Faraday, claramente ejemplificado por el gas de electrones libres, plantea problemas fascinantes en un tema de la f�sica que para muchos estaba ya agotado hace medio siglo.

REFERENCIAS

[1] M. Faraday. Experimental Researches in Electricity. Encyclopaedia Britannica, Chicago, 1978, Serie 19, p. 595.

[2] M. Faraday, op. cit., Serie 21, pp. 623 y ss.

[3] M. Faraday, op. cit., Serie 26, pp. 688-727.

[4] J.C., Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover, Nueva York, 1945, vol. II, cap. IV.

[5] J.C. Maxwell, op. cit., cap. IV, p. 55.

[6] J.C. Maxwell, op. cit., cap. IV, p. 57.

[7] J.C. Maxwell. pp. cit. cap. XXII, p. 475.

[8] H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1953, pp.176-178.

[9] C. Kittel. Introduction to Solid State Physics. 3a. ed. John Willey & Sons, 1967.

[10] R. Becker y F. Sauter. Electromagnetic Fields and Interactions. Blaisdell, Nueva York, 1964, cap. C-III.

[11] R. Kubo, H. Ichimura, T. Usui y N. Hashizumi. Statistical chanics. North Holland, Amsterdam, 1965, p. 138.

[12] R. K. Pathria. Statistical mechanics. Pergamon Press, Oxford, 1972.

[13] K. Huang. Statistical Mechanics. 2a. ed. John Willey & Sons, Nueva York, 1987.

[14] R. Resnick y D. Halliday. Physics. Part. II 3a. ed. John Willey & Sons, Nueva York, 1978, secs. 33-35.

[15] K. von Klitzing. Rev. Mod. Phys., vol. 53, n�m. 3, 1986, pp. 519-532.

[16] D. Bohm y Y. Aharanov. Physical Review, vol. 115, 1959, p. 485; v�ase tambi�n K Huang. op. cit.

[17] Y. Imry y R. A. Webb. Scientific American, vol. 260, n�m. 4, 1989, p.36.

[18] E. Richard Cohen y B. N. Taylor. Physics Today. vol. 44, n�m. 8, parte 2, 1991, p. BG9.

[19] V�ase Physics Today, vol. 44, n�m. 1, 1988, pp. 17-20 y las referencias ah� citadas.