I. PARA EMPEZAR

CUANDO enfrentamos un problema por primera vez, cuando queremos comprender c�mo funciona una cosa, normalmente hacemos simplificaciones. Es tan sencillo como considerar que, si estudiamos el movimiento de un cuerpo, conviene despreciar la fricci�n; que si la Tierra se desplaza alrededor del Sol, ojal� que su trayectoria forme un c�rculo. Recordemos por un instante el primer dibujo que hicimos de un atardecer en la playa: el Sol, redondo como plato; las monta�as, tri�ngulos; las gaviotas, dos arcos circulares.

Esta forma de comenzar a entenderse con el mundo que nos rodea es muy �til tanto si se hace ciencia como en la vida cotidiana; para qu� complicarse m�s las cosas. Sin embargo, no siempre queda claro cu�l sea el mejor camino para lograrlo. Por ejemplo, empe�arse en reproducir con todo detalle un paisaje boscoso utilizando tan s�lo elementos de la geometr�a cl�sica (c�rculos, tri�ngulos, esferas, etc.) es una tarea ardua y muchas veces improductiva. Cuando se est� interesado en descubrir c�mo surgieron las formas y estructuras tan diversas y complejas que encontramos en la naturaleza, uno se pregunta si no habr� otras maneras de representarlas.

Las figuras comunes de la geometr�a cl�sica o euclidiana no son las m�s adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de una monta�a. Su limitaci�n se debe a que tienden a perder su estructura cuando son ampliadas; un arco de c�rculo se transforma poco a poco en una recta; la superficie de una esfera se hace cada vez m�s plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales; por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene pr�cticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificaci�n con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra m�s peque�a, y as� sucesivamente, no por ello nos parecer� cada vez m�s lisa.

De la misma manera que con la roca, podr�amos fijar la atenci�n en el ramaje de un arbusto: de una rama salen muchas ramas y en cada una de ellas se repite el mismo esquema. La ampliaci�n de una parte del original es muy similar al original mismo.

Si as� son las cosas, �por qu� no imaginar objetos geom�tricos que posean la misma propiedad pero llevada al extremo? Cuerpos que mantengan pr�cticamente la misma estructura en cada parte, as� como en las partes de todas sus partes. En estas condiciones, al ampliarlos quiz� no se conserven exactamente iguales, a lo mejor su ampliaci�n resulta ser una versi�n distorsionada del original pero el esquema b�sico permanecer�, independientemente de cu�ntas veces se ampl�en.

Es claro que tales objetos son m�s complicados que un c�rculo, un cono o una esfera; sin embargo, podemos servirnos de ellos para simplificar nuestros intentos de reproducir la realidad. Basta hacer a un lado la dificultad de la figura y buscar la facilidad en el m�todo de trabajo; quiz� as� descubramos que detr�s del nacimiento o la formaci�n de un cuerpo complejo no necesariamente se esconde un mecanismo muy elaborado.

A este tipo de formas geom�tricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de s� mismas en cada una de sus partes, se le llama ahora fractales, y hace ya m�s de una d�cada que inundaron el mundo cient�fico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza. Su lenguaje se perme� a campos incre�blemente diversos de las ciencias naturales y sociales, y ha hecho de las matem�ticas un instrumento novedoso para las artes.

Las herramientas de la geometr�a fractal son, hoy d�a, elementos insustituibles en el trabajo de muchos f�sicos, qu�micos, bi�logos, fisi�logos, economistas, etc., pues les han permitido reformular viejos problemas en t�rminos novedosos, y tratar problemas complejos de forma muy simplificada. Las formas fractales, que durante mucho tiempo se consideraron meras "monstruosidades" geom�tricas e inaplicables divertimentos matem�ticos, subyacen en fen�menos y estructuras tan variadas como la distribuci�n de las estrellas del Universo, la ramificaci�n alveolar en los pulmones, la frontera difusa de una nube, las fluctuaciones de precios en un mercado, y aun en la frecuencia de repetici�n de las palabras de este texto.

Hay fractales en los dep�sitos y agregados electroqu�micos, y en la trayectoria de las part�culas de polvo suspendidas en el aire. Fractales escondidos en la din�mica de crecimiento poblacional de colonias de bacterias, y detr�s de todo flujo turbulento. Fractales en todas partes; fractales en una lista interminable de objetos reales que son testigos mudos de una enfermiza obsesi�n de la naturaleza.

Como entidades geom�tricas, los fractales tienen caracter�sticas peculiares. Imaginar curvas de longitud infinita que no se extienden en todo el espacio, o concebir un objeto con dimensi�n fraccional es el tipo de cosas que debemos estar dispuestos a enfrentar. Si la realidad es as�, lo que deber�a asustarnos es lo que durante tanto tiempo concebimos como normal.

La geometr�a fractal ha generado su propio lenguaje con representaciones mudas de enorme contenido visual. En realidad, se trata de operaciones geom�tricas para rotar, trasladar, escalar y deformar cualquier figura a nuestro antojo. �C�mo funcionan? �Qu� nos permiten hacer? �Qu� se necesita para lograrlo?, son algunas de las preguntas que debemos responder: despu�s ya ser� m�s f�cil servirse de ellas con fines pr�cticos.

Los fractales han revolucionado la tecnolog�a de la generaci�n y reproducci�n de im�genes. Hoy d�a no s�lo se les utiliza para almacenar o trasmitir se�ales visuales, sino tambi�n para simular paisajes. Hojas fractales para un �rbol fractal en un bosque, un planeta, una galaxia digna de la m�s refinada pel�cula de ciencia ficci�n.

La transcripci�n del dialecto de los fractales, el tr�nsito de las f�rmulas a las im�genes, requieren muchas veces de ayuda computacional. Los procedimientos que hay que seguir son muy sencillos y los resultados obtenidos pagan con creces el esfuerzo que conllevan. Quien se interese en ello podr� encontrar en el �ltimo cap�tulo de este libro, "Para la computadora", las instrucciones necesarias para viajar con mas libertad a trav�s del universo fractal; los ejemplos que se presentan se manejan en lenguaje de programaci�n BASIC y se requiere de conocimientos m�nimos del mismo para comprenderlos y manejarlos. Si se vale pedir, solicitar�amos que no se renuncie a la posibilidad de tener con ellos una experiencia inolvidable.

Los fractales parecen encontrarse en esa frontera difusa que existe en este mundo entre el caos y el orden; est�n ah� donde la imaginaci�n apenas llega. Ojal� que el libro pueda contagiar el pasmo a�n perdurable en que se sumergi� el autor al descubrirlos. Era como aprender a concebir la realidad de otra forma; se multiplicaban los espejos, se generaban infinitos laberintos. Era como la imaginaci�n de Borges y Lewis Carroll; el Aleph y sus espejos. Bien dicen, como so�ar so��ndose.