II. NUEVAS REGLAS, NUEVAS GEOMETR�AS

NUESTRO mundo está constituido por monta�as, costas, mares, nubes, plantas, animales, etc.; sin duda alguna es el reino de la forma. Si quisi�ramos describirlo, un vistazo r�pido podr�a desalentar todo intento de realizar simplificaciones; m�s que el reflejo de la perfecta armon�a de un mundo sencillo y ordenado, parece ser el dominio de la irregularidad y el caos.

Cuerpos amorfos desde rocas hasta planetas, flujos turbulentos desde r�os a tornados, patrones asim�tricos que sobrepasan con mucho el n�mero de cuerpos regulares con los que el hombre se ha obsesionado desde el inicio de los tiempos. Azar y desorden en un Universo aparentemente estructurado.

Sin embargo, en este mar de caos, una observaci�n m�s cuidadosa de la naturaleza muestra que aun dentro de su enorme complejidad existen ciertos patrones que la caracterizan.

Una roca es similar a la monta�a de la que forma parte; una rama tiene la misma estructura que la del tronco del que nace; como si la decisi�n hubiera sido repetir la misma forma a diferentes escalas dentro de un mismo objeto, asegurando la preservaci�n de una copia del original a cualquier nivel de amplificaci�n; como si se pensara en generar el m�ximo nivel de detalle con el m�nimo costo en el dise�o.

Un helecho cuerno de ciervo (Figura 1), un br�coli o una coliflor (Figura 2) son muestras vivas de este juego de la naturaleza en el que el mismo patr�n de crecimiento se manifiesta a diferentes escalas, y aunque es verdad que la realidad pone l�mites a la imaginaci�n, nada nos impide especular sobre las propiedades de helechos "imaginarios" que aun a nivel microsc�pico exhiban caracter�sticas geom�tricas semejantes a las de la planta completa. Objetos que en sus detalles se repiten a s� mismos, siguiendo una idea semejante a la plasmada en las famosas mu�ecas de los artesanos rusos.

 

 

 

Figura 1. Fotograf�a de un helecho cuerno de ciervo. La repetici�n del mismo patr�n de crecimineto se presenta a varias escalas. (Fotos: Guillermo Sosa.)

 

 

Figura 2. Los diferentes pedazos de la coliflor tienen una estructura muy similar a la de la cabeza completa. Con el br�coli sucede lo mismo. (Fotos: Guillermo Sosa).

Estructuras como �stas se conocen desde hace mucho tiempo en el campo de las matem�ticas. Quiz� uno de los ejemplos m�s representativos sea la curva construida por la matem�tica sueca Helge von Koch en 1904 (Peterson, 1988). Para dibujarla basta tomar un tri�ngulo equil�tero como figura inicial (Figura 3(a)) y a�adir en el centro de cada uno de sus lados un nuevo tri�ngulo equil�tero tres veces m�s peque�o que el original (Figura 3(b)). Repitiendo indefinidamente este proceso (Figura 3(c) y 3(d)) se obtiene la curva o copo de nieve de Koch.

Figura 3. �stas son las primeras cuatro etapas del proceso de iteraci�n que da lugar a la curva de Koch.

Tri�ngulo sobre tri�ngulo hasta el l�mite de cualquier imaginaci�n, la curva as� construida resulta indibujable, pues la forma del contorno se repite a todos los niveles. Cada punto sobre ella, si lo explor�ramos con una lupa, nos revelar�a siempre los mismos secretos; tri�ngulo sobre tri�ngulo, indefinidamente.

A entidades como �sta se les denomina autosimilares, pues cada una de sus partes es igual al total (su apariencia es la misma a cualquier escala) y desde el punto de vista matem�tico poseen ciertas propiedades peculiares que las distinguen (Briggs, 1990).

LA PATOLOG�A DE LO QUE LLAMAREMOS FRACTALES

�Cu�l es la longitud de la curva de Koch? Es claro que la respuesta depende del tipo de regla que se utilice para medirla. Si nuestro instrumento de medida es poco flexible y sus divisiones no son muy finas, el valor obtenido ser� inexacto y s�lo un burdo reflejo de la extensi�n de la curva real. La regla no puede penetrar y considerar todos los detalles de la figura.

Si para delinear mejor las sinuosidades de la ruta decidi�ramos recorrer la curva ajustando un hilo sobre su per�metro, un momento de reflexi�n nos permitir�a ver que la presencia de detalle a toda escala hace imposible nuestra tarea si no contamos con un filamento inmensamente largo; s�lo as� podr�amos visitar todos los recovecos del contorno. La curva es generada en un proceso de repetici�n que a�ade m�s y m�s detalle a cada paso, extendiendo su longitud sin l�mite alguno. Si la cortamos en un punto y la estiramos, podemos generar con ella una recta de longitud infinita, pensemos que siempre habr� un pico que desdoblar, y dentro de �ste otro, y luego otro, y otro, y as� hasta el cansancio.

El resultado es sorprendente; nos encontramos con un objeto que a pesar de estar definido sobre una regi�n finita del espacio posee una frontera de extensi�n ilimitada. La curva de Koch envuelve un �rea que no es mucho mayor que la que tiene el primer tri�ngulo del que se parte, de hecho, se puede demostrar que es s�lo 1.6 veces m�s grande.

El contorno del copo de nieve de Koch es tan irregular que entre dos puntos cualquiera sobre �l existe una distancia infinita y un n�mero incontable de quiebres y zigzags. Esto �ltimo hace que sea imposible dibujar una tangente (recta que toque, sin cortar, a la curva en un solo punto) en alg�n lugar a lo largo de su per�metro. En esta curva, todo punto es un punto de quiebre al que no se puede ajustar una recta tangente con inclinaci�n �nica (Figura 4(a)); esto la distingue de las curvas suaves con las que estamos m�s acostumbrados a tratar, en las que en cada punto se puede hacer pasar una tangente (Figura 4(b)); s�lo para caracterizar este hecho diremos que la curva no es diferenciable.

Figura 4. (a) En una curva como �sta no es posible asociar una tangente �nica a los puntos de quiebre y el copo de nieve de Koch los tiene en todas partes. (b) En una curva suave, a cada punto le corresponde una tangente con inclinaci�n bien definida.

Las propiedades particulares de "monstruos" matem�ticos como �ste hacen que sea dif�cil establecer un mecanismo sistem�tico para compararlos y clasificarlos (Gardner, 1976); si tienen una longitud infinita, �c�mo distinguirlos? El primer intento para lograrlo se basa en las ideas del matem�tico alem�n F�lix Hausdorff, quien en 1919 introdujo el concepto de dimensi�n que hoy permite caracterizarlos (Gould, 1988).

Establecer la dimensi�n de un objeto regular "a ojo" parece ser cosa f�cil y requiere tan s�lo de un poco de sentido com�n. As� decimos que un trozo de hilo es aproximadamente unidimensional y que una hoja de papel es un buen ejemplo de una forma en dos dimensiones. Sin embargo, si se nos pide definir un mecanismo pr�ctico para verificarlo nos encontraremos en aprietos. Adem�s, �es lo mismo una hoja lisa que una arrugada?; si el hilo es de longitud infinita, �no podr�amos cubrir con �l todo el plano? En fin, es mejor intentar generar un m�todo que nos permita obtener respuestas sin dejar lugar a las dudas.

Tomemos primero el hilo, el cual representaremos como una recta de longitud L= 1 m , por ejemplo, y divid�moslo en tres pedazos iguales de l = 1/3 m de extensi�n. En este caso, el n�mero de particiones que se generan (N) se obtiene determinando cu�ntas veces cabe una parte l en el total L: N = L/l = (L/l)¹=3:

Si repetimos este proceso sobre la hoja de papel a la que consideraremos como un cuadrado de lado L= 1 m, al que seccionamos en cuadrados m�s peque�os de lado l = l/2m y �rea l²=1/4 m², el n�mero de particiones resulta ahora N=L²/l² = (L/l)²=4:

La extensi�n directa de los resultados anteriores al caso tridimensional nos llevar�a a suponer que aqu� debe cumplirse que N= (L/l)³ (parece que basta elevar L/l a una potencia igual a la dimensi�n de la figura), lo que se verifica con el cubo que dibujamos a continuaci�n:

Al dividir cada lado a la mitad, l= L/2, se generan N=L³/l³=8 peque�os cubos de volumen l³.

Si generalizamos las relaciones obtenidas podemos decir que en un proceso de divisi�n como el descrito, el n�mero de secciones generadas est� dado por N=(L/l)d_f, donde d_f es lo que denominaremos la dimensi�n de Hausdorff del objeto; hay que notar que la misma relaci�n debe cumplirse tanto si decidimos seccionar el objeto total como cualquiera de sus partes.

Encontramos as� una estrategia para cuantificar la dimensi�n de cualquier forma geom�trica, pues si N= (L/l)d_f, despejando:

d_f = log(N)/log(L/l)

Por ejemplo, al tomar un tri�ngulo equil�tero de lado L=1 y dividirlo en secciones de la mitad de extensi�n (l=1/2; L/l=2):

se obtienen cuatro particiones id�nticas (N=4); de donde se deduce que como d_f =log(4)/log(2)=2, tratamos con un objeto bidimensional.

Apliquemos entonces nuestro resultado a la curva de Koch. En este caso, y a toda escala sobre la figura, una recta de longitud L es dividida en secciones de un tercio de extensi�n, l =L/3, y en el proceso se generan cuatro particiones de tama�o similar (N=4, pues generamos un pico):

As� tenemos d_f = log(4)/log(3)= 1.2619, �un objeto con dimensi�n fraccional! El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evidencia m�s de la singularidad de la forma geom�trica que estudiamos. La dimensi�n de Hausdorff definida de esta manera es una medida de la complejidad y rugosidad del cuerpo, y nos da una idea de su extensi�n real en el espacio. El copo de nieve de Koch cubre m�s espacio que una recta (d_f=1), pero mucho menos que un plano (d_f=2).

Otros "monstruos" como la curva de Koch exhiben dimensiones fraccionales distintas y cada uno de ellos tiene una dimensi�n de Hausdorff que lo caracteriza. Tal es el caso, por ejemplo, de las figuras de Sierpinski (Figura 5).

Figura 5. (a) Tri�ngulo y (b) carpeta de Sierpinski.

El tri�ngulo de Sierpinski es el resultado de seccionar a toda escala un tri�ngulo equil�tero en cuatro particiones similares cuyos lados son tan s�lo la mitad de los de la figura original (L/l=2). Una vez hecho esto se extrae la secci�n central, de forma que queden las tres partes de los v�rtices (N=3), y sobre �stas se act�a de la misma manera:

Este proceso se repite en cada una de las partes restantes y as� se procede ad infinitum; el resultado es similar al que aparece en la figura 5(a), aunque no hay pluma que permita dibujar la estructura con todo detalle. La dimensi�n de Hausdorff de la figura se obtiene considerando que cada vez que la longitud del tri�ngulo se reduce a la mitad, aparecen tres tri�ngulos m�s, por tanto, �d_f =log(3) /log(2) =1.584!

De forma an�loga puede construirse la carpeta de la figura 5(b) si la iteraci�n (repetici�n de la misma operaci�n o transformaci�n a toda escala) consiste en dividir a todos los niveles un cuadrado en secciones de un noveno de �rea (L/l=3), eliminando la participaci�n del centro:

Finalmente se tiene una forma geom�trica cuya dimensi�n tambi�n es fraccional: d_f =log(8) /log (3) =1.893.

Comparando los resultados obtenidos para las tres figuras estudiadas se hace evidente que la dimensi�n de Hausdorff cuantifica hasta qu� punto el objeto cubre el espacio en el que se encuentra inscrito: mientras la curva de Koch malcubre el plano d_f =1.263, la carpeta de Sierpinski, d_f =1.893, lo logra casi completamente. Tambi�n hay formas de quedarse a la mitad del camino, �podr�amos imaginar la estructura final que se obtendr�a de seguir reproduciendo a toda escala la greca de la figura siguiente? �Cu�l ser�a la dimensi�n del objeto generado?

�Y qu� decir de la figura 6? �Podr�amos identificar la operaci�n que fue repetida varias veces sobre el cuadrado que sirvi� de base?

Figura 6. �Qu� dimensi�n tiene este fractal? �C�mo la obtenemos?

Si este esquema, de repetir el mismo patr�n en todas partes dentro de una figura, se extiende a objetos definidos en el espacio de tres dimensiones, es claro que el n�mero de "monstruos" que se pueden construir resulta ilimitado. Ahora bien, �tiene todo esto algo que ver con la realidad del mundo que nos rodea?

FRACTALES EN TODAS PARTES

En 1975 Benoit Mandelbrot denomin� fractates (del lat�n fractus, irregular) al conjunto de formas que, generadas normalmente por un proceso de repetici�n, se caracterizan por poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita, por no ser diferenciables y por exhibir dimensi�n fraccional. Adicionalmente, construy� con ellas un conjunto de nuevas reglas para explorar la geometr�a de la naturaleza, y las reconoci� como herramientas potencialmente �tiles para analizar un gran n�mero de fen�menos f�sicos (Peitgen, 1986).

El inter�s de Mandelbrot en los fractales naci� de su certeza de que "las nubes no son esferas, las monta�as no son conos, las costas no son c�rculos, como la corteza de un �rbol no es plana ni un rayo viaja en l�nea recta... La naturaleza no solamente exhibe un grado mayor sino tambi�n un nivel diferente de complejidad" (Mandelbrot, 1984).

Hoy d�a se han identificado innumerables manifestaciones naturales de estructuras fractales. Se sabe que su geometr�a est� presente en dep�sitos y agregados coloidales (como los generados por el polvo y el esmog), polim�ricos y electroqu�micos (Sander, 1987); en aparatos y sistemas de los seres vivos, como los vasos capilares, tubos intestinales, biliares y bronquiales, y en las redes neuronales (Goldberger, 1990). De manera similar, hay evidencia de que la localizaci�n geogr�fica de epicentros en temblores exhibe un patr�n fractal (Bak, 1991), y en la actualidad la dimensi�n fraccional (dimensi�n fractal) de la superficie irregular de una falla en un material ya se utiliza como medida indirecta de su resistencia y dureza (Peterson, 1988).

Los fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se generó con ellos un modelo simple para la aprición de ruido en ciertas l�neas de transmisi�n en sistemas de comunicaci�n digital (Peterson, 1988); esto es, la presencia de breves interrupciones el�ctricas que confunden y dificultan la comunicaci�n (del tipo de las que estamos acostumbrados a o�r cuando hablamos por tel�fono o escuchamos el radio). El an�lisis de las se�ales demostr� que las interrupciones aparec�an como por paquetes, pero dentro de estos paquetes se distingu�a una estructura intermitente, y dentro de �sta... ya podemos imaginar la historia. Un registro gr�fico de las interrupciones dio lugar a un patr�n fractal similar al que se obtiene a trav�s del siguiente procedimiento. Tomamos una recta de longitud L y la seccionamos en tres partes id�nticas (l=L/3), extrayendo despu�s la secci�n central (nos queda N=2):

Cuando el procedimiento se repite a toda escala;

se obtiene el fractal conocido como conjunto de Cantor (Peitgen, 1992) en honor a su creador, el matem�tico alem�n Georg Cantor; famoso por su desarrollo de la teor�a de conjuntos. Este "monstruo" fue presentado al p�blico por primera vez en 1883, y cien a�os despu�s decidi� aparecer por todas partes.

El conjunto o polvo de Cantor tiene una dimensi�n de Hausdorff menor que la unidad, pues cada vez que la longitud de un segmento se reduce a su tercera parte, s�lo aparecen dos trozos m�s, d_f =log(N)/log(L/l)= log(2)/log(3)= 0.6309. En otras palabras, �es m�s que una colecci�n de puntos, pero menos que una l�nea! Es uno de los fractales m�s famosos, a pesar de no ser tan atractivo visualmente. Su estructura est� detr�s de varias cosas en el mundo real y as� se ha utilizado como modelo para representar desde la distribuci�n nada homog�nea de los anillos de Saturno (Davies, 1987) y las fluctuaciones en el precio del algod�n a partir del siglo pasado, hasta las variaciones que el nivel de las aguas del r�o Nilo ha experimentado desde hace 2 000 a�os. M�s a�n, cuando la idea que subyace en la construcci�n de este conjunto se extiende a tres dimensiones, el patr�n que se genera coincide sorprendentemente con la distribuci�n de estrellas y galaxias en el universo. Esto es m�s que suficiente como para quedarse anonadado.

En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y ca�tico ha dado forma al ambiente (erosi�n acuosa y atmosf�rica, vientos, fallas geol�gicas) se han generado geometr�as fractales (costas, r�os, monta�as, nubes, rocas) que por su redundancia y falta de regularidad poseen propiedades estructurales particulares.

As�, para los ge�grafos modernos, preguntas como "�qu� tan larga es la costa de Inglaterra?" Comienzan a carecer de sentido; pues �qu� tan larga? depende de la escala y el detalle con el que se mida. Si se le cuantifica a partir de la informaci�n contenida en un globo terr�queo, un mapa de Europa, o una carta de navegaci�n de la Gran Breta�a, la respuesta ser� distinta. �Cu�l ser� la longitud para un viajero que decida recorrer todos los cabos y bah�as? Para efectos pr�cticos, ilimitada. El problema es muy similar al que encontramos al intentar determinar la longitud de la curva de Koch; de hecho, fractales como �ste resultan modelos m�s adecuados para representar el perfil de la costa que el trazo de una l�nea zigzagueante. En particular se ha calculado que la dimensi�n de Hausdorff de las costas terrestres se encuentra entre �1.15 y 1.35!; de nuevo entre la l�nea y el plano, pero ni una ni otro.

Es importante se�alar que los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son autosimilares s�lo en sentido estad�stico; esto es, si tomamos un conjunto suficientemente grande de objetos de la misma clase y amplificamos una porci�n de alguno de ellos, es posible que no sea id�ntico al original, pero seguramente s� ser� similar a alg�n otro miembro de la colecci�n. Su dimensi�n es fraccional pero se obtiene realizando promedios sobre sus valores en muchas regiones y para muchos cuerpos del mismo tipo. Cuando se amplifica una de las partes de un fractal natural, la propiedad de generar la misma figura, o alguna similar, tiene l�mites inferiores y superiores. Por ejemplo, al observar el perfil de una monta�a, el tama�o de los objetos m�s grandes est� determinado por la fuerza de gravedad, mientras que la menor escala de observaci�n a la cual todav�a se detectan los mismos detalles depende de la acci�n de la erosi�n y, por supuesto, del tama�o de los �tomos. Los fractales son, en ese sentido, s�lo una buena aproximaci�n de la estructura de las formas naturales.

El mundo de los fractales est� en pleno desarrollo en la actualidad. As� como la naturaleza parece haberlos elegido para generar formas complejas y �nicas a trav�s de un mecanismo de repetici�n muy simple, los seres humanos se sirven de ellos para almacenar y reproducir im�genes (Dewdney, 1990; J�rgens, 1990), hacer modelos te�ricos y experimentales de cuerpos irregulares (Peterson, 1988), analizar las caracter�sticas de pulsos cardiacos y nerviosos (Goldberger; 1990), desenmara�ar la estructura de procesos din�micos ca�ticos (Ford, 1989; Rietman, 1989), etc�tera.

Para construir un fractal pueden seguirse procedimientos matem�ticos, geom�tricos, f�sicos y qu�micos, y vale la pena dedicar un poco de tiempo a analizar los principios en que se basa cada uno de ellos. El inter�s de generar objetos fractales, como ya hemos visto, es muy diverso: representar im�genes, hacer modelos, analizar patrones, identificar estructuras. Pero este trabajo no es s�lo un asunto de curiosidad cient�fica o utilidad pr�ctica inmediata; en �l se esconde mucho de placer y de sorpresa, dos elementos que, como se ver�, son inevitables.