I. INTRODUCCI�N
HACE alrededor de 20 a�os se ha estado produciendo una revoluci�n
en el mundo de las ideas cient�ficas que no ha sido conocida por el p�blico
en general. Han surgido ideas nuevas muy �tiles para describir y entender la
multitud de fen�menos que se da en diversas ramas del conocimiento. Nos referimos
a los fractales y al caos. Como ver� el lector, las aplicaciones se han dado
en los campos de la f�sica, las matem�ticas, la biolog�a, la medicina, la econom�a,
la ling��stica, por mencionar s�lo algunos. Se podr� apreciar la gran amplitud
de temas que es posible tratar con estos novedosos conceptos.
En todos los campos del conocimiento que hemos mencionado se han dado situaciones que al ser tratadas con los procedimientos en uso no han podido ser explicadas satisfactoriamente. S�lo con el advenimiento de las ideas nuevas es que ha sido posible progresar en el conocimiento de fen�menos antes no comprendidos.
En vista de lo antes dicho, consideraremos una gran variedad de fen�menos y situaciones. El prop�sito del presente libro es dar una explicaci�n somera, accesible al p�blico no especialista, de los antecedentes de nuestro sujeto de estudio. Ser� necesario utilizar algunas operaciones matem�ticas que no van m�s all� de la aritm�tica; sin embargo, el lector no debe espantarse ya que se le llevar� de la mano en forma gradual.
El tratamiento formal de los fractales y del caos se ha convertido en una rama muy compleja de las matem�ticas. Por supuesto que no entraremos en estos espinosos temas. As�, en el caso del caos no trataremos de hablar en t�rminos del espacio fase. En este libro los conceptos detr�s de estos formalismos matem�ticos los trataremos de manera accesible.
En el cap�tulo II se repasan algunos conceptos elementales de la geometr�a que no son conocidos.
En los cap�tulos III y IV presentamos algunos hechos raros que, a pesar de que mucha gente los hab�a conocido, no fueron tratados adecuadamente. La posici�n que asumieron muchos cient�ficos fue no hacer caso a los hechos que no se ajustaban con la forma de pensar preponderante en su �poca. Una vez que en 1975 Benoit Mandelbrot los consider� a fondo, se inici� la era de los fractales. Estos casos ilustran una situaci�n que ha ocurrido en la historia de la ciencia muchas veces: se tiene la evidencia de alg�n fen�meno, pero �sta no se ve y se soslaya su tratamiento.
En los cap�tulos V y VI se presenta el concepto de fractal y de similitud. La idea de fractal nos puede parecer muy extra�a, m�xime si empezamos a ver algunas de sus caracter�sticas: hay l�neas con longitud y cosas semejantes. Sin embargo, esta extra�eza se debe a que nos hemos limitado mentalmente a considerar situaciones que son realmente ideales, como las figuras geom�tricas. En la naturaleza estas figuras son la excepci�n, mientras que la mayor�a de las figuras que hay a nuestro alrededor son fractales. Aunque parezca incre�ble, �este hecho tan contundente no hab�a sido considerado en serio durante muchos siglos por la humanidad!
En el cap�tulo VII se presenta el concepto de las condiciones iniciales, crucial en la descripci�n de fen�menos f�sicos. Este concepto lo descubri� Isaac Newton al resolver las ecuaciones que describen las leyes que llevan su nombre. �l ya se hab�a percatado de algunos puntos finos que mencionaremos en este cap�tulo.
En los cap�tulos VIII y IX presentamos en forma muy elemental, y utilizando principalmente operaciones aritm�ticas tales como sumas, restas y multiplicaciones, el concepto de caos. Aqu� descubriremos hechos cruciales, como las bifurcaciones que, con el tiempo, llevan al caos. Nos daremos cuenta de que el comportamiento de un fen�meno dado puede ser estable o ca�tico, dependiendo de los valores de los par�metros que lo describen.
Una creencia muy importante en la ciencia es que una teor�a que describe los fen�menos de la naturaleza debe poder hacer predicciones acerca del desarrollo futuro del sistema que se est� tratando. En el cap�tulo X se profundiza lo que significa la predictibilidad. A esto quedan asociados los conceptos de determinismo e indeterminismo. Estos conceptos se puntualizan en ese cap�tulo y la relaci�n entre el caos y los fractales se ilustra en el cap�tulo XI.
Los antecedentes que se han presentado hasta este momento nos servir�n para aplicarlos en el resto del libro a una serie de situaciones de gran diversidad y as�, en el cap�tulo XII presentamos un ejemplo de aritm�tica, la secuencia de Fibonacci, que se podr�a creer que es s�lo un tema divertido. Sin embargo, como se ilustra en el cap�tulo XIII, su aplicaci�n a la ciencia de los materiales, para entender un descubrimiento hecho en 1984, es crucial; nos referimos a un nuevo tipo de arreglo de la materia que se llama cuasicristal.
En el cap�tulo XIV se introduce el concepto matem�tico de la ley de potencias, y hacemos ver que tiene propiedades fractales. Las aplicaciones de las leyes de potencias se producen en varios campos, aun en la m�sica, hecho que se explica en el cap�tulo XV al estudiar la estructura de famosas obras de grandes compositores.
Las caracter�sticas de los fen�menos ca�ticos que se trataron en el cap�tulo VIII se aplican a varias situaciones. La primera de ellas es la turbulencia, tratada en el cap�tulo XV. Desde mediados del siglo pasado se hab�a intentado sin �xito comprender este fen�meno. S�lo a partir de la d�cada de 1990, con ayuda de los novedosos conceptos del caos, se ha podido empezar a vislumbrar la manera en que se puede entender este fen�meno, cuya comprensi�n es determinante en muchas aplicaciones pr�cticas como, por ejemplo, la aviaci�n.
Otro empleo de las ideas del caos se hace en la biolog�a y en particular en la medicina, como se puede apreciar en el cap�tulo XVII. Fen�menos cardiol�gicos se han empezado a ver desde otras perspectivas que han podido dar un entendimiento m�s profundo del comportamiento din�mico del coraz�n y que posiblemente puedan tener aplicaciones pr�cticas en el tratamiento de varias enfermedades.
En la naturaleza biol�gica se han encontrado muchas estructuras fractales. A pesar de que estas estructuras, como por ejemplo la de los bronquios, las ha conocido el hombre desde tiempos inmemoriales, su comprensi�n como fractal es muy reciente. Este tema lo tratamos en el cap�tulo XVIII.
La aplicaci�n de los fractales y el caos al campo de la ingenier�a se presenta en los cap�tulos XIX y XX. Un problema importante en la ingenier�a civil es la determinaci�n de estructuras que por un lado sean ligeras y que por el otro puedan soportar cargas pesadas. Por medio de estructuras fractales es posible alcanzar tales requerimientos que, en apariencia, son contradictorios. Por otro lado, el an�lisis del comportamiento de sistemas complejos, como los de una red el�ctrica, por ejemplo, ha empezado a llevarse a cabo en los �ltimos a�os, desde la perspectiva amplia tratada en el cap�tulo VIII. De este modo se ha podido entender que una peque�a variaci�n en los valores de los par�metros que rigen al sistema puede cambiar dr�maticamente su comportamiento. �ste puede pasar de un comportamiento estable a uno ca�tico.
En el cap�tulo XXI se presenta una aplicaci�n de los temas tratados al campo dela ling��stica, mientras que en el XXII se rese�an algunos elementos de la econom�a. Aqu� hablaremos del interesante caso de la compa��a que se ha formado en los Estados Unidos, The Prediction Company, que se dedica a predecir el comportamiento de la Bolsa de Valores. El �xito financiero de esta empresa, formada por cient�ficos que han desarrollado el tema del caos, es algo sorprendente.
En el cap�tulo XXIII presentamos una manera novedosa de dibujar mapas geogr�ficos, basada en las operaciones para construir fractales.
El resto del libro se dedica a estudiar la estabilidad del Sistema Solar (cap�tulo XXIV.) y de algunos de sus elementos, como los asteroides (cap�tulo XXV); de Hiperi�n, que es un sat�lite de Saturno (cap�tulo XXVI) y finalmente de los planetas (cap�tulo XXVII). Se ha descubierto en a�os recientes que, desde un punto de vista que comprende intervalos de millones de a�os, dentro del Sistema Solar s� hay comportamientos ca�ticos. �Qu� le ocurrir�? �sta es una cuesti�n todav�a no resuelta.
Como podr� apreciar el lector, la gama de temas es en realidad muy vasta. Uno de los puntos interesantes es que todos estos temas, y muchos otros que por falta de espacio no hemos tratado, se rigen por el mismo tipo de leyes. �ste es un gran descubrimiento, hecho en �poca muy reciente, que en el momento actual sigue siendo un cap�tulo abierto a trabajos de investigaci�n muy activa, realizados por much�simos cient�ficos en todo el mundo, incluyendo mexicanos. La �ltima palabra sobre estos temas no ha sido dicha todav�a; de hecho a�n falta mucho terreno por recorrer.
Iniciemos, pues, nuestro viaje por el camino de los fractales y del caos.
