V. MISTERIOS CU�NTICOS
Cuando Alicia atraves� el espejo debi� encontrar un mundo regido por las mismas leyes de la f�sica. Las f�rmulas matem�ticas que describen el comportamiento de la naturaleza no cambian de forma si se invierte el espacio. Vistos en un espejo los planetas siguen �rbitas el�pticas, las piedras caen, los imanes se atraen, tal como en nuestro mundo, y ning�n experimento de f�sica le permitir�a a Alicia decidir de cu�l lado del espejo se encuentra.
Por lo menos �sa es la situaci�n seg�n la f�sica de Newton. Pero a mediados de los a�os cincuenta se descubri� que ciertas reacciones nucleares permiten distinguir entre el mundo real y su reflejo especular. Existe una curiosa part�cula, el neutrino, que siempre se mueve a la velocidad de la luz y, en t�rminos algo metaf�ricos, gira en cierto sentido con respecto a la direcci�n de su movimiento, pero nunca gira en el sentido contrario. Visto en un espejo, un neutrino tendr�a la apariencia de una part�cula inexistente en el mundo real, ya que parecer�a girar en el sentido equivocado. Salvo por los procesos at�micos que incluyen neutrinos —y tambi�n por los vampiros que, seg�n la leyenda, no se reflejan en los espejos— el mundo posee una, simetr�a de reflexi�n espacial.
Otra simetr�a fundamental de la naturaleza tiene que ver con el tiempo. Si filmamos el movimiento de un conjunto de part�culas (por ejemplo, un sistema planetario) y proyectamos la pel�cula al rev�s, veremos otro movimiento que puede ser tan real como el original; en efecto, las leyes de la f�sica newtoniana tampoco cambian al invertirse la direcci�n del tiempo. Esto �ltimo parece contradecir flagrantemente la experiencia diaria, ya que en el mundo real existe una clara diferencia entre el pasado y el futuro: cuando una taza cae al suelo y se rompe, sus pedazos nunca vuelven a juntarse espont�neamente para brincar a su posici�n original en la mesa. Pero visto el proceso a trav�s de un potente microscopio, las mol�culas de la taza se mueven al azar y no se puede distinguir una direcci�n particular del tiempo. La direcci�n del tiempo en f�sica es una propiedad estad�stica propia de un sistema de trillones de part�culas, pero carece de sentido para una part�cula at�mica aislada.
La tercera simetr�a fundamental tiene que ver con la antimateria. En 1930, el gran f�sico ingl�s Paul Dirac predijo te�ricamente la existencia de una part�cula elemental id�ntica en masa al electr�n pero con carga el�ctrica contraria: el antielectr�n o positr�n, descubierto experimentalmente al poco tiempo, Ahora sabemos que a cada part�cula del mundo subat�mico (electr�n, prot�n, neutr�n, etc.) corresponde una antipart�cula (positr�n, antiprot�n, antineutr�n, etc.), y que al entrar en contacto una part�cula con su correspondiente antipart�cula ambas se aniquilan, transformando toda su masa en energ�a. Adem�s, puede existir antimateria hecha de antipart�culas, y quiz�s hasta otros mundos con seres vivos; un hecho fundamental es que la antimateria se comporta (casi) exactamente como la materia.
Hasta mediados de este siglo se cre�a que la apariencia de los fen�menos at�micos deber�a ser exactamente la misma si se refleja el espacio en un espejo, se invierte la direcci�n del tiempo o se intercambian part�culas por antipart�culas. Luego se descubri� que esto no es del todo cierto y que, en algunos casos especiales, cada una de estas simetr�as por separado puede violarse.
Sin embargo, se ha demostrado, a partir de argumentos te�ricos muy generales, que el mundo es invariante frente a una transformaci�n combinada de las tres simetr�as. As�, por ejemplo, una antipart�cula se comporta exactamente como una part�cula vista en un espejo y en una pel�cula proyectada al rev�s. Y el mundo at�mico de Alicia detr�s del espejo ser�a como un mundo de antimateria en el que el tiempo fluye del futuro al pasado.
Es pertinente una advertencia: la antimateria no sirve para construir una m�quina del tiempo. Como mencionamos anteriormente, la direcci�n del tiempo es una propiedad estad�stica del mundo macrosc�pico. En principio, una galaxia podr�a estar hecha de antimateria, pero el tiempo para sus habitantes transcurrir�a en el mismo sentido que para nosotros. Los pedazos de una taza rota de antimateria no se vuelven a juntar.
Reforma, 14 de septiembre de 1995
Hace muchos a�os, Niels Bohr, el principal fundador de la mec�nica cu�ntica, advirti� sobre los peligros de aplicar conceptos de la experiencia diaria —como espacio, tiempo, part�cula, etc.— a los fen�menos que ocurren en el mundo microsc�pico de los �tomos. A lo m�s, estos conceptos deben tomarse como analog�as, pero inevitablemente surgir�n contradicciones muy reales.
Uno de los postulados fundamentales de la teor�a de la relatividad de Einstein es que nada puede viajar a mayor velocidad que la luz. Esto se ha confirmado plenamente en el mundo macrosc�pico, pero las cosas parecen ser m�s complicadas en el mundo de los �tomos, donde rigen las leyes de la mec�nica cu�ntica.
Viajar m�s r�pido que la luz puede ser enteramente equivalente a viajar hacia atr�s en el tiempo. La raz�n es que el tiempo es relativo, como descubri� Einstein: el tiempo medido por un reloj puede aumentar o disminuir seg�n su velocidad, pero lo que nunca cambiar� es la distinci�n entre pasado y futuro... a menos que el reloj se mueva m�s r�pido que la luz.
Sin embargo, el concepto del tiempo aparece s�lo como una variable m�s en la mec�nica cu�ntica, sin ninguna distinci�n entre pasado y futuro. La direcci�n del tiempo s�lo se manifiesta para cuerpos macrosc�picos compuestos de billones y billones de �tomos, por lo que el tiempo ser�a una ilusi�n provocada por la estad�stica (como se�alamos en una colaboraci�n pasada).
Lo anterior no es s�lo un concepto abstracto. Desde hace algunos a�os se han hecho experimentos en los que se manifiestan las contradicciones del mundo cu�ntico. As�, por ejemplo, en un ya cl�sico experimento realizado en 1982 por un equipo de f�sicos franceses, se encontr� que dos part�culas de luz emitidas en direcciones contrarias pueden "influir" en una extra�a forma entre s�, aun cuando est�n tan separadas que esa influencia, interpretada de acuerdo con nuestros conceptos tradicionales de distancia y tiempo, implicar�a una interacci�n a mayor velocidad que la luz.
Ahora hay nuevas sorpresas. De acuerdo con la mec�nica cu�ntica, una part�cula siempre puede atravesar una barrera por efectos cu�nticos, incluso violando las leyes del mundo macrosc�pico, como si pasara por un t�nel debajo de la barrera. Este llamado efecto t�nel es bien conocido desde los primeros a�os de la mec�nica cu�ntica. Lo que no es conocido es el comportamiento de la part�cula mientras "est�" en el t�nel y, en particular, cu�nto tiempo tarda en atravesarlo.
Hace poco, un equipo de investigadores de la Universidad de Berkeley, California, inform� de una nueva clase de experimentos en los que tambi�n se manifiestan efectos cu�nticos que contradicen nuestro sentido com�n. El experimento consisti� en enviar un rayo de luz contra un espejo especialmente dise�ado; casi todas las part�culas de luz fueron reflejadas por el espejo, pero un peque�o n�mero de ellas logr� atravesarlo por el efecto t�nel. Al medir el tiempo que le tom� a la luz atravesar el espejo, el grupo de Berkeley encontr� que �sta tard� menos que si se hubiera propagado libremente en el espacio (tal parece que la luz cruza el t�nel cu�ntico a, mayor velocidad que la luz en el vac�o).
Este extra�o comportamiento permitir�a que una part�cula cu�ntica viajara hacia atr�s en el tiempo si se dise�ara adecuadamente el experimento. Sin embargo, aun si se confirmara plenamente el resultado mencionado, hay que tener cuidado con las interpretaciones basadas en nuestro "sentido com�n", tal como lo advirti� Niels Bohr. Una "m�quina del tiempo" s�lo funcionar�a para part�culas at�micas aisladas y no para cuerpos macrosc�picos como nosotros.
Reforma, 21 de marzo de 1996
Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades, no existimos en la mayor�a de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos.
J. L. BORGES, El jard�n de los senderos que se bifurcan
En el mundo de los �tomos, donde rigen las leyes de la mec�nica cu�ntica, la "existencia" no tiene el sentido que le damos en nuestra vida cotidiana. La mec�nica cu�ntica no niega un mundo independiente del sujeto, pero pone especial �nfasis en que "aquello" que existe antes de observarse no guarda una relaci�n �nica con el resultado de esa observaci�n.
A lo m�s, es factible predecir con precisi�n los posibles estados de un �tomo, pero s�lo podemos calcular la probabilidad de cu�l de ellos se manifestar� en un experimento. Mientras no ocurra esa intervenci�n humana que es la observaci�n, es perfectamente congruente concebir al �tomo en todos sus posibles estados simult�neamente.
No todos los cient�ficos, empero, aceptaron una interpretaci�n tan contraria a nuestra experiencia diaria. Albert Einstein se opuso durante toda su vida a esa interpretaci�n, pero nunca logr� demostrar su inconsistencia. El f�sico austriaco Erwin Schr�dinger, uno de los principales fundadores de la mec�nica cu�ntica, tambi�n era de la opini�n de Einstein, e invent� una famosa paradoja que resalta las contradicciones de la mec�nica cu�ntica.
Imaginemos un experimento que consiste en colocar un gato en una caja cerrada. Dentro de la caja se pone un �tomo radiactivo que en alg�n momento emite radiaci�n, la cual se detecta por medio de alg�n dispositivo (por ejemplo, un contador Geiger); tan pronto se detecta la emisi�n radiactiva, un mecanismo especial destapa una botella llena de un gas venenoso que mata al gato. Ahora bien, de acuerdo con la interpretaci�n m�s aceptada de la mec�nica cu�ntica, el �tomo, mientras no se observa, se encuentra simult�neamente en dos estados —�tomo sin emitir, �tomo y radiaci�n—, y el gato est� a la vez vivo y muerto s�lo en el momento de observar si la emisi�n radiactiva tuvo lugar o no en la caja se decide la suerte del felino.
De todas las ideas propuestas para resolver las paradojas del mundo cu�ntico, como la del gato de Schr�dinger, seguramente la m�s curiosa y atrevida es la llamada "interpretaci�n de los muchos mundos", del f�sico estadunidense H. Everett. De acuerdo con esta concepci�n, todas las posibilidades pasadas y futuras del universo "existen". As� como un �tomo puede estar en muchos estados simult�neamente antes de observarse, el Universo existe en una multiplicidad de estados. Nosotros, a cada instante, con nuestra observaci�n (�o nuestra conciencia?), forzamos una de esas innumerables posibilidades a volverse real y descartamos todas las dem�s como partes de nuestra historia. En unos universos el gato de Schr�dinger vive; en otros est� muerto.
�Y d�nde est�n todos los dem�s universos? Aqu� debemos insistir en que conceptos como "existencia" o "lugar" pertenecen a nuestra experiencia com�n, pero no se aplican tal cual a los fen�menos del extra�o mundo cu�ntico. De todos modos, el asunto pertenece m�s a la metaf�sica y no creo que ning�n f�sico crea en la realidad tangible de tales universos paralelos. M�s bien hay que ver esa teor�a como una curiosidad, cuyo valor principal radica en que es absolutamente consistente con la f�sica cu�ntica. Si parece absurda, es por las limitaciones de nuestro lenguaje, que s�lo puede describir fen�menos del mundo macrosc�pico.
La coexistencia de dos propiedades contradictorias en un mismo ente es un concepto recurrente en muchas doctrinas filos�ficas, pero es en el nivel at�mico donde adquiere una caracter�stica tan fundamental como peculiar. Una part�cula at�mica, como un electr�n, se comporta a veces como part�cula y a veces como onda. Se puede argumentar que los conceptos "part�cula" y "onda" pertenecen a nuestra experiencia diaria y no se aplican a los objetos at�micos; sin embargo, el verdadero misterio consiste en que un electr�n se comporta de una u otra forma seg�n si se observa.
El inicio de la historia puede situarse en la elucidaci�n de la naturaleza de la luz. A mediados del siglo pasado, todo parec�a indicar que la luz era una onda electromagn�tica, al igual que el sonido era una onda del aire. Pero luego surgieron evidencias de que, algunas veces, la luz tambi�n se comporta, como part�cula. Esta extra�a dualidad no es exclusiva de la luz, como demostr� Louis de Broglie: todas las part�culas del mundo at�mico tienen un comportamiento tanto de onda como de part�cula.
Una onda es un objeto extendido en el espacio y, por lo tanto, puede pasar simult�neamente por varios lugares; una part�cula, en cambio, es un cuerpo compacto que s�lo puede estar en un sitio a la vez. A diferencia de las part�culas que se amontonan en un mismo lugar, las ondas tienen la importante propiedad de interferir unas con otras. Cuando dos ondas se cruzan, se cancelan mutuamente donde coinciden una cresta y un valle en consecuencia, dos ondas luminosas que llegan a una pantalla desde fuentes distintas producen lo que se conoce como un patr�n de interferencia: una sucesi�n alternada, de zonas brillantes y oscuras (el tama�o de cada zona es de s�lo unas micras para la luz visible, por lo que el efecto no es detectable a simple vista).
El hecho de que las part�culas at�micas se comportan como ondas se manifiesta justamente en que dos haces de electrones producen un efecto de interferencia entre s�. Ahora bien, el misterio del mundo at�mico se puede resumir en un experimento "mental'' imaginado por el gran f�sico Richard Feynman. Supongamos que lanzamos electrones contra una pared con dos agujeros y detr�s de ella se coloca una pantalla para detectarlos. Parte de los electrones pasan por uno de los agujeros y parte por el otro y llegan uno por uno a la pantalla, como si fueran part�culas; pero seg�n las leyes de la f�sica at�mica se juntan sobre ella formando un patr�n de interferencia, tal como las ondas.
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Niels Bohr.
Supongamos ahora que colocamos un detector en cada agujero para ver por cual de los dos pasa cada electr�n antes de llegar a la pantalla. Esto es perfectamente factible, pero el resultado es que, si observamos por donde pasan los electrones. .. �desaparece el patr�n de interferencia! Los electrones se amontonan enfrente de cada agujero como simples part�culas, no como ondas. En resumen tenemos el extra�o caso de que un ente se manifiesta de una u otra forma seg�n lo que decidamos observar.
La necesidad de una descripci�n dual de la naturaleza fue reconocida por Niels Bohr, uno de los fundadores de la f�sica at�mica, quien la llam� complementariedad. Dos descripciones contradictorias entre s� se complementan para aprehender la realidad. Al observar, influimos en cierta forma en c�mo se va a manifestar el fen�meno.
Alguna vez el mismo Bohr sugiri� que, para los organismos vivos, la vida y la materia son aspectos complementarios. Despu�s de todo, estudiar un ser vivo implica interferir con su vida, incluso matarlo, lo cual pone de manifiesto s�lo uno de sus aspectos.
M�s a�n, Bohr hizo notar que los procesos mentales requieren cantidades tan peque�as de energ�a que los efectos cu�nticos deben ocupar un papel importante en el funcionamiento de la mente. Siguiendo su razonamiento, se puede especular que la complementariedad podr�a resolver la vieja controversia entre vitalismo y mecanicismo. �Es la mente algo del todo distinto de la materia, como postul� Descartes, o se puede reducir a procesos materiales? No hay duda de que procesos fisicoqu�micos —generados por drogas, por ejemplo— producen estados mentales bien definidos. Pero la observaci�n de tales procesos en el cerebro, por muy impresionante que sea, bien podr�a ser semejante a determinar las trayectorias de los electrones.
Es bien sabido que la nave espacial Enterprise (de la serie Viaje a las estrellas) cuenta con una cabina de teleportaci�n que permite a sus pasajeros desintegrarse y materializarse en alg�n lugar distante. Indudablemente es un medio de transporte muy c�modo, pero �qu� tan factible es de realizarse alguna vez?
Por desgracia, la teleportaci�n se topa con una ley fundamental de la naturaleza: la conservaci�n del n�mero de las part�culas que componen la materia. El cuerpo de un ser humano (o vulcano) contiene del orden de unos 10 000 cuatrillones de electrones, protones y neutrones, los que a su vez forman sus �tomos. Estas part�culas se pueden transformar unas en otras, pero su n�mero total es inmutable.
Lo que se puede transmitir sobre grandes distancias es la radiaci�n electromagn�tica: luz visible, ondas de radio, microondas, etc. Pero un prot�n s�lo puede transformarse en otro tipo de part�cula, de materia, no en radiaci�n. Para, teleportar un cuerpo s�lido ser�a necesario "desarmar" quintillones de �tomos, dispararlos a alg�n lugar y volverlos a juntar. Los �tomos tendr�an que cruzar las paredes del Enterprise y todo lo dem�s que encuentren en su camino, por lo que se dispersar�an irremediablemente por el espacio, sin posibilidad de reconstruir ni siquiera una oreja del se�or Spock.
Otra posibilidad podr�a ser transportar la materia sin separar los �tomos, por alg�n "atajo" en el espacio. En este caso se puede recurrir a la teor�a de la relatividad general de Einstein, seg�n la cual la gravitaci�n se debe a una curvatura del espacio-tiempo: un cuerpo masivo, como el Sol, deforma ese espaciotiempo a su alrededor. Curiosamente, la teor�a no excluye la posibilidad de que, en una situaci�n extrema, el espacio-tiempo se curve a tal grado que se forme un t�nel que desemboque en punto muy lejano del Universo. En ese caso, ser�a posible entrar al t�nel y salir casi inmediatamente en otra parte, sin tener que desintegrarse. Quiz�s �se el m�todo que utilizan en el Enterprise, pero la generaci�n de un t�nel as� implica otros problemas que no parecen solubles.
Queda una �ltima posibilidad para la teleportaci�n, en una versi�n m�s modesta pero, eso s�, m�s factible. Se tratar�a de teleportar no materia sino informaci�n, utilizando ciertas peculiaridades de la mec�nica cu�ntica, la f�sica que rige los fen�menos del mundo at�mico.
En los a�os treinta Albert Einstein y dos de sus colaboradores, Boris Podolsky y Nathan Rosen, propusieron una paradoja que pone en evidencia las aparentes contradicciones de la mec�nica cu�ntica. La paradoja EPR (Einstein, Podolsky y Rosen) considera dos sistemas que interaccionan entre s� por un breve tiempo y luego se separan (por ejemplo, dos part�culas at�micas emitidas por una misma fuente). La mec�nica cu�ntica predice que debe existir cierta correlaci�n estad�stica entre las propiedades de las dos part�culas aun despu�s de la separaci�n, en el sentido de que la medici�n de una afecta a la otra. Pero esto es cierto independientemente de la distancia que separa a las part�culas, como hicieron notar los tres cient�ficos, por lo que la medici�n de las propiedades de una part�cula afecta a la otra, incluso si �sta ya se transport� al planeta Marte. Esto parece absurdo, m�xime si se toma en cuenta que la interacci�n instant�nea no existe, pues una ley fundamental de la f�sica moderna es que nada puede viajar m�s r�pido que la luz.
Sin embargo, experimentos recientes parecen indicar que s� existen interacciones del tipo EPR en el mundo cu�ntico, aunque no sirven para transportar informaci�n a mayor velocidad que la luz. Es s�lo despu�s de hacer las mediciones sobre dos sistemas separados que se encuentra una correlaci�n estad�stica, y no antes.
Algunos f�sicos han sugerido utilizar las correlaciones cu�nticas para un sistema de comunicaci�n m�s eficiente. El m�todo consistir�a en transportar por medios convencionales una parte de la informaci�n (por ejemplo, la mitad de los bytes necesarios para reconstruir una imagen o un texto) y el resto por interacci�n EPR. De esta forma se podr�a recuperar toda la informaci�n ahorrando canales de comunicaci�n. El proceso no contradice el principio de la velocidad de la luz como l�mite, porque parte de la informaci�n tiene que viajar por alg�n medio convencional (ondas de radio, impulsos el�ctricos, etc.) y es s�lo despu�s de recibirla que se puede reconstruir el material original. Quiz�s se pueda aplicar esa t�cnica en un futuro que no sea tan lejano como el de Viaje a las estrellas.
En varias colaboraciones anteriores rese�amos algunas peculiaridades del mundo at�mico y, en particular, los experimentos que se han realizado en los �ltimos a�os para confirmar las extra�as predicciones de la mec�nica cu�ntica. Los resultados se acumulan con gran velocidad y nos fuerzan a regresar al tema, a ra�z de un informe reciente que lleg� a merecer una nota en un importante diario de EUA. Se trata de un experimento en el que se logr� aislar un �tomo y comprobar que puede localizarse simult�neamente en dos lugares distintos, como lo predice la mec�nica cu�ntica, muy en contra de nuestro sentido com�n. Ser�a la primera confirmaci�n del don de la ubicuidad en el mundo at�mico.
A riesgo de ser repetitivo, volveremos a describir, brevemente, la paradoja del gato de Schr�dinger. De acuerdo con la mec�nica cu�ntica, un �tomo (o una part�cula, como el electr�n) puede estar en varios estados simult�neamente; es s�lo en el momento de observarlo cuando se manifiesta en un estado �nico. Erwin Schr�dinger, uno de los padres de la mec�nica cu�ntica, imagin� un famoso experimento mental para cuestionar las interpretaciones de la nueva teor�a, propuestas por sus colegas. Supongamos que se encierra un gato en una caja, junto con un detector de radiaci�n que puede accionar un mecanismo para destapar una botella con gas venenoso; se pone en la caja un �tomo de alguna sustancia radiactiva para que, en el momento en que se produzca la emisi�n radiactiva, se desencadene el mecanismo que mata al gato. El meollo del asunto es que, de acuerdo con la interpretaci�n ortodoxa de la mec�nica cu�ntica, mientras nadie observe lo que sucede dentro de la caja, el �tomo est� simult�neamente en dos estados —emiti� y no emiti� radiaci�n— y, por lo tanto, el gato est� vivo y muerto a la vez; s�lo cuando se observa lo que sucedi� en la caja se define el destino del felino.
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En un experimento que realiz� recientemente un equipo de la Universidad de Boulder, Colorado, se utiliz� un �tomo ionizado de berilio en lugar de un gato. El experimento consisti� en aislar ese �tomo, colocarlo en una trampa electromagn�tica y por medio de l�seres acoplados a las frecuencias del �tomo, influir sobre sus electrones para ponerlo en dos estados distintos simult�neamente, en analog�a con el gato vivo y muerto a la vez. El siguiente paso fue separar esos dos estados y comprobar que se ubican en dos lugares distintos. Los detalles t�cnicos rebasan los l�mites de esta nota, pero la conclusi�n a la que llegaron los f�sicos de Boulder es que el mismo �tomo en dos estados distintos se hab�a separado una distancia de 80 millon�simas de mil�metro.
Esta separaci�n es demasiado peque�a en nuestra escala com�n para invocar el milagro de la ubicuidad, pero es una distancia considerable en el nivel at�mico porque corresponde a unas 1 000 veces el tama�o com�n del �tomo de berilio. Lo importante, sin embargo, es que el experimento parece confirmar una de las predicciones de la mec�nica cu�ntica que m�s frontalmente choca con nuestro sentido com�n.
Las paradojas de la mec�nica cu�ntica, como la del gato de Schr�dinger o la interacci�n instant�nea a distancia (que hemos mencionado en notas anteriores) fueron planteadas en los a�os treinta, cuando apenas se estaba consolidando la nueva visi�n del mundo. �Por qu� s�lo ahora se han puesto de moda? La respuesta hay que buscarla en los avances tecnol�gicos. Durante d�cadas la mec�nica cu�ntica fue una teor�a cuya efectividad nadie negaba, pero cuyos fundamentos estaban envueltos en el misterio. Las paradojas que idearon sus fundadores fueron, en aquellos tiempos, del dominio de los experimentos mentales, pues no se pod�a estudiar directamente un �tomo aislado.
Con la invenci�n del l�ser en la d�cada de los sesenta y, m�s recientemente, el perfeccionamiento de las trampas de part�culas, los experimentos mentales de los a�os treinta se volvieron reales. Ahora los f�sicos tienen los medios para estudiar directamente la extra�a realidad del mundo at�mico.
Un comentario final para aquellos que planean la investigaci�n cient�fica.
Las t�cnicas experimentales a las que nos referimos, que tanto prometen y tantas
sorpresas nos deparan, requieren una inversi�n relativamente modesta.
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