Secuencia�18Matem�ticas I

Ecuaciones de primer grado

En esta secuencia resolver�s problemas que impliquen el planteamiento y la resoluci�n de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b;
ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son n�meros naturales o decimales.

SESI�N 1

A REPARTIR NARANJAS

>>>Para empezar

En la primaria resolviste problemas en los que ten�as que encontrar la soluci�n haciendo operaciones aritm�ticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprender�s una nueva manera de resolver problemas: usar�s expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

>>>Consideremos lo siguiente

Un comerciante de naranjas quiere saber cu�ntos kilogramos de naranjas ten�a al principio del d�a si vendi� 24 kilogramos y al final se qued� con 8 kilogramos.

a) �Cu�l es el valor desconocido en este problema? Subr�yenlo:

Los kilogramos de naranjas que vendi�.
Los kilogramos de naranjas que ten�a al principio.
Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.

b)	En el problema hay dos valores que s� se conocen, �cu�les son? _____________________ �_____________________

En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un n�mero que debe estar en el recuadro azul:

− 24 = 8

c) �Cu�l es el n�mero que debe estar en el recuadro azul? ______________

Comparen sus respuestas y comenten:

a) �Qu� operaci�n hicieron para encontrar el n�mero que va en el recuadro azul?
b) �Cu�ntos kilogramos ten�a el comerciante al principio del d�a?

>>>Manos a la obra

I.	Escriban el n�mero que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

− 24 = 8

II.	Hay que encontrar un n�mero que, al sumarle 57, d� como resultado 124.

a)	En este problema hay dos n�meros que s� se conocen, �cu�les son? ____________________ ____________________

En la siguiente igualdad, el n�mero desconocido del problema es un n�mero que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los n�meros conocidos:

+ _____ = _____

b) �Cu�l es el n�mero que va en el recuadro? _____________
c) Comprueben la soluci�n que encontraron:

En lugar del recuadro morado escriban el n�mero que encontraron y hagan las operaciones:

+ _____ = _____

Comparen sus respuestas y comenten:

�Cu�l es el n�mero que al sumarle 57 da como resultado 124?

III.	Representen con una igualdad el siguiente problema: �Cu�l es el n�mero que al sumarle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el n�mero desconocido.

+ ______ =______

a) �Cu�l es el n�mero que debe ir en el recuadro rojo? ___________
b) �Qu� operaci�n hicieron para encontrarlo? ______

IV.	Generalmente, en las matem�ticas se utilizan letras para representar los valores desconocidos. Si en el problema anterior:

�Cu�l es el n�mero que al sumarle 110 da como resultado 221?

se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad:

x	+ 110 = 221

Esta igualdad es la misma que:

+ 110 = 221

s�lo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo

a) �Qu� operaci�n hay que hacer para encontrar el valor de x? ___________

Compl�tenla:

�	221 −_______

�Cu�nto vale x?

x=_____

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

+ 110 = 221

Comparen sus respuestas.

>>>A lo que llegamos

Las igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas en las que
hay un valor desconocido o inc�gnita que generalmente se representa con
una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

V.	En la ecuaci�n m − 1 = 7, �cu�l es el valor desconocido o inc�gnita? Subr�yenlo:

a) �Qu� operaci�n hay que hacer para encontrar el valor de m?
b) �Cu�nto vale m? m =_______
c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:

− 1 = 7

>>>A lo que llegamos

Para resolver la ecuaci�n x + 110 = 221, en la que se est� sumando, se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La soluci�n de esta ecuaci�n es x = 111.
Para resolver la ecuaci�n m – 1 = 7, en la que se est� restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La soluci�n de esta ecuaci�n es m = 8.
Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.

VI.	El comerciante quiere saber ahora cu�ntos kilogramos de naranja ten�a al principio, si en esta ocasi�n vendi� primero 13 kilogramos de naranja, despu�s vendi� 11 kilogramos y finalmente se qued� con 5 kilogramos.

a) �Cu�les de las siguientes ecuaciones representan el problema?

x – 13 – 11 + 5
x – 13 + 11 = 5
x – 24 = 5
x – 13 – 11 = 5

b) Resuelvan la ecuaci�n, �cu�nto vale x? x = ______________

Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:

a) �Cu�ntos kilogramos de naranja ten�a el comerciante al principio?

b)	Hay dos ecuaciones que representan el problema, �por qu� creen que la soluci�n de estas dos ecuaciones es la misma?

Comprueben su soluci�n sustituy�ndola en las dos ecuaciones:

– 13 – 11 = 5

– 24 = 5

>>>Lo que aprendimos

1.	Un cami�n que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Recoge 21 litros m�s en otro pueblo, deja 56 litros en una tienda, despu�s deja 34 litros en otra tienda. Al acabar su recorrido se qued� con 15 litros de leche.

a) En este problema hay 4 valores conocidos, �cu�les son?

___________ ___________ ___________ ___________

b) La ecuaci�n x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resu�lvanla en sus cuadernos.
c) �Cu�ntos litros ten�a el cami�n al salir del establo? ___________
d) Comprueben si la soluci�n que encontraron es correcta.

2.	Para los siguientes problemas plantea una ecuaci�n y resu�lvela. Hazlo en tu cuaderno.

a) �Cu�l es el n�mero que al sumarle 27 da como resultado 138?
b) �Cu�l es el n�mero que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?

Comprueba tus soluciones.