XXI. SOBRE ÁTOMOS, MONTAñAS Y ESTRELLAS
EL TÍTULO de este capítulo es el de un bello artículo de Victor Weisskopf, publicado en el número 4177 de la revista Science, donde aplica cualitativamente las ideas cuánticas para responder a una multitud de preguntas, desde por qué una roca tiene la dureza que la caracteriza, hasta por qué el Sol es tan grande. Como una muestra de cómo razonan los físicos cuánticos, vale la pena aquí inspirarse en ese articulo y resumirlo libremente. No obstante, la gracia del trabajo de Weisskopf sólo podrá apreciarse con su lectura completa. La historia del monopolo puede entenderse sin leer este párrafo y el siguiente. Quien no quiera hacerlo, puede pasar al capítulo "A manera de resumen" sin perder continuidad en la lectura.
Uno de los grandes logros de la física cuántica, sin duda la revolución científica más importante del siglo XX, es poder entender el comportamiento y las propiedades de la materia en las formas en que habitualmente la encontramos: Hoy sabemos que los fenómenos materiales que ocurren en las condiciones terrestres normales son consecuencias cuánticas de la interacción entre electrones y núcleos o de la atracción gravitacional entre objetos masivos. Si lo anterior es cierto, las propiedades de la materia deben poder expresarse —al menos en orden de magnitud— en términos de unas cuantas constantes fundamentales. En las relaciones que hallaremos pueden aparecer la masa del electrón m y la del protón M, así como la constante gravitacional G introducida por Newton; también es posible la presencia de e, la carga elemental, y de la velocidad de la luz c , pues ellas determinan las interacciones electromagnéticas. Finalmente, debe aparecer h, la constante de Planck, pues la teoría básica será la cuántica. (Desde luego, cuando tratemos con un elemento químico particular, podrán aparecer los valores del número atómico Z y el número de masa A; Z y A son números enteros que dan, respectivamente, la carga Ze y la masa MA del núcleo del átomo correspondiente.)
Además de las relaciones básicas p = h/l y E= hv, que conectan el ímpetu p y la energía E de la partícula con la longitud de onda l y la frecuencia v de la onda asociada, haremos uso en lo que sigue de tres hechos básicos derivados de la mecánica cuántica:
1) Cuando se confina una onda en una región finita del espacio, se genera un conjunto de ondas estacionarias, cuyas formas y frecuencias responden a la naturaleza del confinamiento. Las formas más simples corresponden a las frecuencias más bajas, y de ahí a las menores energías. Con la mecánica cuántica hace su entrada a la física "la forma de las cosas" conectada con la existencia de los estados estacionarios, herederos de las órbitas de Bohr. Las formas específicas no tenían cabida en la física clásica, y por ello la teoría cuántica se necesita para explicar lo que vemos en la naturaleza, tan llena de formas distintas y características, desde los cristales a las flores.
2) Otra propiedad ligada al confinamiento de ondas es la siguiente: una onda
confinada sólo puede tener longitudes de onda de tamaño comparable o menor que
la dimensión lineal R característica del confinamiento. A la longitud
de onda máxima, lmax ~R, corresponde el
ímpetu mínimo de una partícula de masa m. De ahí que la energía cinética
menor sea del orden de T0~ 
²/2m
R², que se hace mayor mientras más pequeño sea el confinamiento; por
eso un electrón no puede estar en reposo cuando se le confina. A las partículas
les gusta tener la mínima energía posible, por lo que ejercen una presión sobre
las paredes que las confinan, tratando de moverse en una cavidad de mayor volumen.
Esta presión Ps, que Weisskopf llama la presión de Schrñdinger
pues surge de su ecuación, varía como ps~ ²/m
R5, fórmula que resulta al ver cómo cambia T0
con el volumen V del confinador: R~V1/3.
(Nótese que en todas estas fórmulas factores como (4p/3)1/3,
que son del orden de la unidad, no se consideran: estamos haciendo un estudio
en física cualitativa.)
3) El tercero de los hechos básicos que se usarán aquí es el principio de exclusión
de Pauli. La forma de expresar este principio es no convencional;1
decimos que si en el volumen V confinamos N partículas
(y no una como antes) que obedezcan al principio de exclusión, la energía cinética
mínima será T0~ ²/2m
d², donde d =(V/N)1/3 es la dimensión
lineal de un volumen que es N veces menor que el de confinamiento. Es como si
cada partícula tuviera su propio volumen privado, su propio territorio que defiende
de las demás. Como consecuencia de este valor para T0
, la presión de Schrñdinger correspondiente a N partículas no es N veces la
que resulta de una de ellas, sino que el factor es N5/3:
Ps~(²/m).(N/V)5/3.
Si no fuera por el principio de Pauli, los electrones atómicos buscarían todos
—y lo conseguirían— el mismo estado dentro del átomo. Todos los átomos
tendrían entonces las mismas propiedades, y el mundo sería muy poco interesante.
En buena media, la diversidad de la naturaleza se debe al principio de exclusión.
Figura 20. Bohr, Heinserberg, Pauli, Gamow, Landau en el Instituto de Niels Bohr en Copenhague.
Si a estos tres hechos agregamos el principio de mínima energía, según el cual los sistemas cuánticos buscan estar en aquel estado cuya energía total adquiera el menor valor posible compatible con el postulado de De Broglie, el principio de incertidumbre de Heisenberg y de exclusión de Pauli, obtenemos de inmediato órdenes de magnitud para muchos fenómenos físicos.
NOTAS
1 Para explicar el tamaño de los átomos pesados, el joven prodigio Wolfgang Pauli, nacido en Viena en 1900, postuló en 1925 que sólo un electrón puede hallarse en cada estado cuántico. Es decir; si un electrón tiene una cierta energía y otras propiedades mecánicas que caractericen a una solución de la ecuación de Schrñdinger, otro electrón no cabe ahí. Puesto que obedecen a este principio de exclusión, los electrones pertenecen a un tipo de partículas llamadas fermiones, que son muy poco sociables y repelen a sus semejantes. Es importante hacer notar aquí que los electrones tienen una propiedad intrínseca, llamada espín, que es, una especie de rotación intrínseca y que puede orientarse de dos diferentes maneras. El estado cuántico del electrón contiene también la orientación del espín.
