XXI. SOBRE �TOMOS, MONTA�AS Y ESTRELLAS
EL T�TULO de este cap�tulo es el de un bello art�culo de Victor Weisskopf, publicado en el n�mero 4177 de la revista Science, donde aplica cualitativamente las ideas cu�nticas para responder a una multitud de preguntas, desde por qu� una roca tiene la dureza que la caracteriza, hasta por qu� el Sol es tan grande. Como una muestra de c�mo razonan los f�sicos cu�nticos, vale la pena aqu� inspirarse en ese articulo y resumirlo libremente. No obstante, la gracia del trabajo de Weisskopf s�lo podr� apreciarse con su lectura completa. La historia del monopolo puede entenderse sin leer este p�rrafo y el siguiente. Quien no quiera hacerlo, puede pasar al cap�tulo "A manera de resumen" sin perder continuidad en la lectura.
Uno de los grandes logros de la f�sica cu�ntica, sin duda la revoluci�n cient�fica m�s importante del siglo XX, es poder entender el comportamiento y las propiedades de la materia en las formas en que habitualmente la encontramos: Hoy sabemos que los fen�menos materiales que ocurren en las condiciones terrestres normales son consecuencias cu�nticas de la interacci�n entre electrones y n�cleos o de la atracci�n gravitacional entre objetos masivos. Si lo anterior es cierto, las propiedades de la materia deben poder expresarse —al menos en orden de magnitud— en t�rminos de unas cuantas constantes fundamentales. En las relaciones que hallaremos pueden aparecer la masa del electr�n m y la del prot�n M, as� como la constante gravitacional G introducida por Newton; tambi�n es posible la presencia de e, la carga elemental, y de la velocidad de la luz c , pues ellas determinan las interacciones electromagn�ticas. Finalmente, debe aparecer h, la constante de Planck, pues la teor�a b�sica ser� la cu�ntica. (Desde luego, cuando tratemos con un elemento qu�mico particular, podr�n aparecer los valores del n�mero at�mico Z y el n�mero de masa A; Z y A son n�meros enteros que dan, respectivamente, la carga Ze y la masa MA del n�cleo del �tomo correspondiente.)
Adem�s de las relaciones b�sicas p = h/l y E= hv, que conectan el �mpetu p y la energ�a E de la part�cula con la longitud de onda l y la frecuencia v de la onda asociada, haremos uso en lo que sigue de tres hechos b�sicos derivados de la mec�nica cu�ntica:
1) Cuando se confina una onda en una regi�n finita del espacio, se genera un conjunto de ondas estacionarias, cuyas formas y frecuencias responden a la naturaleza del confinamiento. Las formas m�s simples corresponden a las frecuencias m�s bajas, y de ah� a las menores energ�as. Con la mec�nica cu�ntica hace su entrada a la f�sica "la forma de las cosas" conectada con la existencia de los estados estacionarios, herederos de las �rbitas de Bohr. Las formas espec�ficas no ten�an cabida en la f�sica cl�sica, y por ello la teor�a cu�ntica se necesita para explicar lo que vemos en la naturaleza, tan llena de formas distintas y caracter�sticas, desde los cristales a las flores.
2) Otra propiedad ligada al confinamiento de ondas es la siguiente: una onda
confinada s�lo puede tener longitudes de onda de tama�o comparable o menor que
la dimensi�n lineal R caracter�stica del confinamiento. A la longitud
de onda m�xima, lmax ~R, corresponde el
�mpetu m�nimo de una part�cula de masa m. De ah� que la energ�a cin�tica
menor sea del orden de T0~ 
²/2m
R², que se hace mayor mientras m�s peque�o sea el confinamiento; por
eso un electr�n no puede estar en reposo cuando se le confina. A las part�culas
les gusta tener la m�nima energ�a posible, por lo que ejercen una presi�n sobre
las paredes que las confinan, tratando de moverse en una cavidad de mayor volumen.
Esta presi�n Ps, que Weisskopf llama la presi�n de Schr�dinger
pues surge de su ecuaci�n, var�a como ps~ ²/m
R5, f�rmula que resulta al ver c�mo cambia T0
con el volumen V del confinador: R~V1/3.
(N�tese que en todas estas f�rmulas factores como (4p/3)1/3,
que son del orden de la unidad, no se consideran: estamos haciendo un estudio
en f�sica cualitativa.)
3) El tercero de los hechos b�sicos que se usar�n aqu� es el principio de exclusi�n
de Pauli. La forma de expresar este principio es no convencional;1
decimos que si en el volumen V confinamos N part�culas
(y no una como antes) que obedezcan al principio de exclusi�n, la energ�a cin�tica
m�nima ser� T0~ ²/2m
d², donde d =(V/N)1/3 es la dimensi�n
lineal de un volumen que es N veces menor que el de confinamiento. Es como si
cada part�cula tuviera su propio volumen privado, su propio territorio que defiende
de las dem�s. Como consecuencia de este valor para T0
, la presi�n de Schr�dinger correspondiente a N part�culas no es N veces la
que resulta de una de ellas, sino que el factor es N5/3:
Ps~(²/m).(N/V)5/3.
Si no fuera por el principio de Pauli, los electrones at�micos buscar�an todos
—y lo conseguir�an— el mismo estado dentro del �tomo. Todos los �tomos
tendr�an entonces las mismas propiedades, y el mundo ser�a muy poco interesante.
En buena media, la diversidad de la naturaleza se debe al principio de exclusi�n.
Figura 20. Bohr, Heinserberg, Pauli, Gamow, Landau en el Instituto de Niels Bohr en Copenhague.
Si a estos tres hechos agregamos el principio de m�nima energ�a, seg�n el cual los sistemas cu�nticos buscan estar en aquel estado cuya energ�a total adquiera el menor valor posible compatible con el postulado de De Broglie, el principio de incertidumbre de Heisenberg y de exclusi�n de Pauli, obtenemos de inmediato �rdenes de magnitud para muchos fen�menos f�sicos.
NOTAS
1 Para explicar el tama�o de los �tomos pesados, el joven prodigio Wolfgang Pauli, nacido en Viena en 1900, postul� en 1925 que s�lo un electr�n puede hallarse en cada estado cu�ntico. Es decir; si un electr�n tiene una cierta energ�a y otras propiedades mec�nicas que caractericen a una soluci�n de la ecuaci�n de Schr�dinger, otro electr�n no cabe ah�. Puesto que obedecen a este principio de exclusi�n, los electrones pertenecen a un tipo de part�culas llamadas fermiones, que son muy poco sociables y repelen a sus semejantes. Es importante hacer notar aqu� que los electrones tienen una propiedad intr�nseca, llamada esp�n, que es, una especie de rotaci�n intr�nseca y que puede orientarse de dos diferentes maneras. El estado cu�ntico del electr�n contiene tambi�n la orientaci�n del esp�n.
