XXII. UN ESTUDIO EN FÍSICA CUALITATIVA

APLIQUEMOS estas ideas para calcular en forma aproximada el tamaño de los átomos. Si pensamos en el átomo más simple, el de hidrógeno, vemos que la atracción eléctrica del protón que constituye el núcleo busca confinar al electrón que da vueltas a su alrededor. Dos efectos contrarios entran en acción: la fuerza electrostática que atrae al electrón al núcleo y la presión de Schrñdinger que impide el confinamiento de esa partícula. La presión de Schrñdinger debe contrarrestar la presión que ejerce la fuerza de Coulomb. Esta última es igual a la fuerza e²/R² entre protón y electrón dividida por el área de una esfera de radio R: 4pR². Si nos olvidamos de factores como 4p y otros de ese mismo orden, tenemos que R ~ ²/me², cantidad que se conoce como el radio de Bohr a₀ y vale medio Angstrom. Éste es, en efecto, el tamaño típico de un átomo, que puede medirse experimentalmente. Para átomos más pesados que el hidrógeno, que tienen varios electrones orbitando alrededor del núcleo, el radio atómico puede escribirse como ƒa₀, donde el factor f crece con el número de masa.

Con este solo dato, ya podemos responder a una pregunta interesante: ¿Cuál es la densidad típica de un sólido, como un metal o una roca? La densidad se obtiene como la masa por unidad de volumen. En la materia compacta los átomos o moléculas se acomodan uno al lado del otro. La densidad será entonces AM dividida por ƒ³ (4p a₀³)/3. Si se toman los valores de f, que varían ligeramente con A, se obtienen valores entre 1 y 10 g/cm³, que son los que medimos en la naturaleza.

De la misma manera se puede determinar la dureza de los sólidos, predecir su resistencia a la compresión cuando se les aprieta. Para la gran mayoría de los sólidos, se requiere una presión entre cien mil y un millón de atmósferas para reducir de manera apreciable el volumen de un pedazo de roca o de metal. Este número puede obtenerse de la presión de Schrñdinger que ejerce el gas de electrones que deambula entre los iones. Si se hace esto, obtenemos efectivamente los valores correctos, en orden de magnitud.

Veamos ahora dos problemas en que compiten las fuerzas eléctricas y las gravitacionales. El primero nos permite entender porqué en la Tierra las montañas son tan altas como son, y en el segundo veremos que la longitud de onda de las olitas que el aire forma en la superficie de un lago no toma cualquier valor sino, lo que es más, ñes del orden de la raíz cuadrada de la altura de una montaña, si ambas longitudes se expresan en función del radio de Bohr!

Cuando el peso del bloque del óxido de silicio —modelo que elegimos para la montaña en discusión— es tan grande que el material en su base empieza a fluir, la montaña empezará a sumirse; en este punto la montaña alcanza su altura máxima H. Cuando esto sucede, la energía gravitacional que gana el bloque al sumirse iguala la energía que se requiere para engendrar flujo plástico. Esta última energía es cercana (aunque tal vez menor) a la que se necesita para licuar la roca; si B es la energía de amarre de una molécula, la energía de licuefacción E₁ es del orden de B/20. Esto es así ya que al licuar no se rompen las ligaduras entre los átomos que forman la molécula, sino que sólo se elimina la rigidez direccional de los amarres. Como B es una cierta fracción de la energía de amarre E₀ del átomo de hidrógeno, digamos b = g E₀, obtenemos AMHg = xgE₀ como la condición energética que fija la altura máxima; cada una de las moléculas que forman el bloque, que tienen masa AM, se sumen una altura H, ganan energía AMHg y la gastan en licuarse. Los factores x =1/20 y g = 0.2 son apropiados para las rocas; con A ~ 50, que es un valor cercano al del hierro y al del óxido de silicio, las dos substancias que son típicas en la tierra sólida, obtenemos una altura H del orden de 26 kilómetros. En realidad, todo el mundo sabe que en nuestro planeta esta altura es cercana a los l0 km. Hemos obtenido un número mayor al usar B tal cual y no la energía para engendrar el flujo plástico, que debe ser menor a la de licuefacción.

Podemos ir más allá y escribir H en función de a₀, el radio de Bohr; también expresamos g, la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, en términos de la constante de la gravitación universal G y de la masa y radio de la Tierra. Vemos que entonces H varía con el inverso del cubo del número de protones y neutrones que tiene nuestro planeta. Predecimos que en Marte las montañas tendrían el doble de altura que en la Tierra, lo que sucede en la realidad. También podríamos predecir que un planeta en que las montañas son parecidas a su radio —es decir, un planeta cuya forma dista mucho de ser esférica, a pesar de la gravedad— no puede exceder los 300 km en sus dimensiones lineales. Esta predicción se cumple en una de las dos lunas de Marte.

El segundo problema que mencionamos no tiene, en apariencia, conexión alguna con calcular la altura de una montaña. No obstante, el tamaño de las ondas en un lago también representa un balance entre las fuerzas eléctricas a nivel atómico y la gravedad. El viento excita primero aquellas ondas que tienen una velocidad de propagación mínima. Según la hidrodinámica, estas ondas tienen una longitud de onda l cuyo cuadrado es proporcional a la tensión superficial d y varía inversamente con el peso específico g. La tensión superficial es la energía por unidad de área que se origina porque en la superficie del líquido una molécula está menos amarrada que en el bulto del material. Si llamamos E_s a esta energía, E_s ~ B/6, pues una de las seis ligaduras ha desaparecido. Si ahora se divide E_s por el área de la molécula obtenemos d ~ E_s/4p f²a₀², con lo cual podemos expresar l en términos de constantes atómicas y gravitacionales. Resulta algo impresionante: (l/a₀)² ~ H/a₀, así que el tamaño de las olitas es del orden de la raíz cuadrada de las montañas, si se expresa en unidades del radio de Bohr.

Con estos ejemplos dejamos el artículo de Weisskopf sobre física cualitativa y resumiremos lo que hemos aprendido sobre el electromagnetismo, la relatividad y la mecánica cuántica. Luego estaremos ya listos para entender qué es un monopolo magnético de Dirac.