XXII. UN ESTUDIO EN F�SICA CUALITATIVA

APLIQUEMOS estas ideas para calcular en forma aproximada el tama�o de los �tomos. Si pensamos en el �tomo m�s simple, el de hidr�geno, vemos que la atracci�n el�ctrica del prot�n que constituye el n�cleo busca confinar al electr�n que da vueltas a su alrededor. Dos efectos contrarios entran en acci�n: la fuerza electrost�tica que atrae al electr�n al n�cleo y la presi�n de Schr�dinger que impide el confinamiento de esa part�cula. La presi�n de Schr�dinger debe contrarrestar la presi�n que ejerce la fuerza de Coulomb. Esta �ltima es igual a la fuerza e²/R² entre prot�n y electr�n dividida por el �rea de una esfera de radio R: 4pR². Si nos olvidamos de factores como 4p y otros de ese mismo orden, tenemos que R ~ ²/me², cantidad que se conoce como el radio de Bohr a₀ y vale medio Angstrom. �ste es, en efecto, el tama�o t�pico de un �tomo, que puede medirse experimentalmente. Para �tomos m�s pesados que el hidr�geno, que tienen varios electrones orbitando alrededor del n�cleo, el radio at�mico puede escribirse como ƒa₀, donde el factor f crece con el n�mero de masa.

Con este solo dato, ya podemos responder a una pregunta interesante: �Cu�l es la densidad t�pica de un s�lido, como un metal o una roca? La densidad se obtiene como la masa por unidad de volumen. En la materia compacta los �tomos o mol�culas se acomodan uno al lado del otro. La densidad ser� entonces AM dividida por ƒ³ (4p a₀³)/3. Si se toman los valores de f, que var�an ligeramente con A, se obtienen valores entre 1 y 10 g/cm³, que son los que medimos en la naturaleza.

De la misma manera se puede determinar la dureza de los s�lidos, predecir su resistencia a la compresi�n cuando se les aprieta. Para la gran mayor�a de los s�lidos, se requiere una presi�n entre cien mil y un mill�n de atm�sferas para reducir de manera apreciable el volumen de un pedazo de roca o de metal. Este n�mero puede obtenerse de la presi�n de Schr�dinger que ejerce el gas de electrones que deambula entre los iones. Si se hace esto, obtenemos efectivamente los valores correctos, en orden de magnitud.

Veamos ahora dos problemas en que compiten las fuerzas el�ctricas y las gravitacionales. El primero nos permite entender porqu� en la Tierra las monta�as son tan altas como son, y en el segundo veremos que la longitud de onda de las olitas que el aire forma en la superficie de un lago no toma cualquier valor sino, lo que es m�s, �es del orden de la ra�z cuadrada de la altura de una monta�a, si ambas longitudes se expresan en funci�n del radio de Bohr!

Cuando el peso del bloque del �xido de silicio —modelo que elegimos para la monta�a en discusi�n— es tan grande que el material en su base empieza a fluir, la monta�a empezar� a sumirse; en este punto la monta�a alcanza su altura m�xima H. Cuando esto sucede, la energ�a gravitacional que gana el bloque al sumirse iguala la energ�a que se requiere para engendrar flujo pl�stico. Esta �ltima energ�a es cercana (aunque tal vez menor) a la que se necesita para licuar la roca; si B es la energ�a de amarre de una mol�cula, la energ�a de licuefacci�n E₁ es del orden de B/20. Esto es as� ya que al licuar no se rompen las ligaduras entre los �tomos que forman la mol�cula, sino que s�lo se elimina la rigidez direccional de los amarres. Como B es una cierta fracci�n de la energ�a de amarre E₀ del �tomo de hidr�geno, digamos b = g E₀, obtenemos AMHg = xgE₀ como la condici�n energ�tica que fija la altura m�xima; cada una de las mol�culas que forman el bloque, que tienen masa AM, se sumen una altura H, ganan energ�a AMHg y la gastan en licuarse. Los factores x =1/20 y g = 0.2 son apropiados para las rocas; con A ~ 50, que es un valor cercano al del hierro y al del �xido de silicio, las dos substancias que son t�picas en la tierra s�lida, obtenemos una altura H del orden de 26 kil�metros. En realidad, todo el mundo sabe que en nuestro planeta esta altura es cercana a los l0 km. Hemos obtenido un n�mero mayor al usar B tal cual y no la energ�a para engendrar el flujo pl�stico, que debe ser menor a la de licuefacci�n.

Podemos ir m�s all� y escribir H en funci�n de a₀, el radio de Bohr; tambi�n expresamos g, la aceleraci�n de la gravedad en la superficie terrestre, en t�rminos de la constante de la gravitaci�n universal G y de la masa y radio de la Tierra. Vemos que entonces H var�a con el inverso del cubo del n�mero de protones y neutrones que tiene nuestro planeta. Predecimos que en Marte las monta�as tendr�an el doble de altura que en la Tierra, lo que sucede en la realidad. Tambi�n podr�amos predecir que un planeta en que las monta�as son parecidas a su radio —es decir, un planeta cuya forma dista mucho de ser esf�rica, a pesar de la gravedad— no puede exceder los 300 km en sus dimensiones lineales. Esta predicci�n se cumple en una de las dos lunas de Marte.

El segundo problema que mencionamos no tiene, en apariencia, conexi�n alguna con calcular la altura de una monta�a. No obstante, el tama�o de las ondas en un lago tambi�n representa un balance entre las fuerzas el�ctricas a nivel at�mico y la gravedad. El viento excita primero aquellas ondas que tienen una velocidad de propagaci�n m�nima. Seg�n la hidrodin�mica, estas ondas tienen una longitud de onda l cuyo cuadrado es proporcional a la tensi�n superficial d y var�a inversamente con el peso espec�fico g. La tensi�n superficial es la energ�a por unidad de �rea que se origina porque en la superficie del l�quido una mol�cula est� menos amarrada que en el bulto del material. Si llamamos E_s a esta energ�a, E_s ~ B/6, pues una de las seis ligaduras ha desaparecido. Si ahora se divide E_s por el �rea de la mol�cula obtenemos d ~ E_s/4p f²a₀², con lo cual podemos expresar l en t�rminos de constantes at�micas y gravitacionales. Resulta algo impresionante: (l/a₀)² ~ H/a₀, as� que el tama�o de las olitas es del orden de la ra�z cuadrada de las monta�as, si se expresa en unidades del radio de Bohr.

Con estos ejemplos dejamos el art�culo de Weisskopf sobre f�sica cualitativa y resumiremos lo que hemos aprendido sobre el electromagnetismo, la relatividad y la mec�nica cu�ntica. Luego estaremos ya listos para entender qu� es un monopolo magn�tico de Dirac.