XII. ALGUNAS COSAS RARAS COMO LOS FRACTALES
EN LAS �ltimas dos d�cadas se ha desarrollado una nueva l�nea de investigaci�n, iniciada por Benoit Mandelbrot: los fractales.
Si regresamos al cap�tulo III, donde se explic� la forma en que se encuentra la trayectoria que sigue una part�cula browniana, mostrada en la figura 1, resulta que, en rigor, las l�neas rectas all� mostradas no tienen ninguna realidad f�sica. Las posiciones sucesivas en cada intervalo de tiempo, cada 30 seg digamos, se marcaron con un punto y luego estos puntos se unieron sucesivamente con l�neas rectas. Por tanto, lo �nico que tiene realidad son los puntos, las posiciones de la part�cula browniana al final de cada intervalo. Si ahora en vez de marcar las posiciones en cada intervalo de 30 seg se marcaran en cada intervalo de 3 seg, y se unieran los puntos con l�neas rectas, cada l�nea recta de la figura 1 quedar�a reemplazada por una sucesi�n de l�neas quebradas de menor tama�o, pero de igual complejidad (Figura 38). As�, por ejemplo, entre dos puntos sucesivos, como los A y B de la figura 1 (Figura 38, (a)), se obtendr�n los puntos mostrados en la figura 38(b)). Concluimos ahora que la figura que se forma tiene el mismo tipo de estructura que la de la figura 1. Se podr�a ahora tomar intervalos de 0.3 seg y seguir el mismo procedimiento y ocurrir�a lo mismo que antes. Nos damos cuenta de que la trayectoria que sigue una part�cula browniana es tal que contin�a teniendo una estructura similar al cambiar la escala de tiempo de la observaci�n. Este tipo de l�nea fue denominado fractal por Mandelbrot. Un objeto que presenta la misma estructura al cambiarle indefinidamente la escala de observaci�n es un fractal.
Figura 38. (a) Posiciones de la partícula browniana al inicio y al final de un intervalo de tiempo. (b) Posiciones de la misma partícula browniana al registrarlas en intervalos que son la décima parte del intervalo anterior.
Es interesante notar que ya en 1906 Jean Perrin se hab�a dado cuenta de este tipo de comportamiento. En particular hab�a llamado la atenci�n sobre el hecho de que si uno toma un punto de la trayectoria que sigue una part�cula browniana entonces, en rigor, no se puede trazar una l�nea tangente a ella. �l escribi� entonces: "... Usando lenguaje geom�trico, curvas que no tienen tangente son la regla, y curvas regulares, tales como el c�rculo, son interesante pero especiales.
"A primera vista la consideraci�n del caso general puede aparecer un mero ejercicio intelectual, ingenioso pero artificial. Los que oyen de curvas sin tangente tienden a pensar que la naturaleza no presenta tales complicaciones, ni siquiera la sugiere.
"Sin embargo, lo contrario es la verdad. Esta afirmaci�n se puede ilustrar considerando ciertos valores experimentales sin preconcepci�n.
"Consid�rese, por ejemplo, uno de los copos blancos que se obtienen al a�adir sal a una soluci�n jabonosa. A cierta distancia, su contorno puede dar la sensaci�n de estar n�tidamente definido, pero a medida que nos acercamos, esta nitidez desaparece. El ojo ya no puede dibujar una tangente en cualquier punto. Una l�nea que a primera vista parecer�a ser satisfactoria, bajo un escrutinio detallado resulta ser perpendicular u oblicua. El uso de una lupa o de un microscopio nos deja m�s inciertos, ya que aparecen nuevas irregularidades cada vez que aumentamos la magnificaci�n, y nunca logramos conseguir una impresi�n n�tida, lisa como la dada, por ejemplo, por una bola de acero..."
Y contin�a Perrin: .... la caracter�stica esencial de nuestro copo es que cualquier escala involucra detalles que prohiben absolutamente la fijaci�n de una tangente.
"Estaremos dentro del dominio de la realidad experimental cuando observamos bajo el microscopio el movimiento browniano con que se agita una part�cula (browniana) suspendida en un fluido. Se encuentra que la direcci�n de la l�nea recta que une las posiciones ocupadas en dos instantes muy cercanos en el tiempo var�a irregularmente en forma absoluta a medida que el intervalo entre los dos instantes se hace menor. Un observador sin prejuicios concluir�a, en consecuencia, que est� tratando con una curva a la que no se le puede dibujar una tangente."
Tomemos ahora otro caso, por ejemplo el de una costa. Consideremos dos puntos cualesquiera, digamos A y B (Figura 39). Si primero la observamos en un mapa de escala 1/100 000 nos daremos cuenta de que tiene algunas bah�as y pen�nsulas, por ejemplo. Si en seguida volvemos a examinar la misma costa, pero ahora en un mapa que tenga la escala de 1/10 000 aparecer�n caracter�sticas que no se ve�an en el mapa anterior. As�, se ven ahora nuevas bah�as y nuevas pen�nsulas. Si ahora examinamos de nuevo la costa, pero en un mapa que est� a una escala todav�a m�s grande, digamos de 1/1 000, aparecer�n unas bah�as y pen�nsulas que no se ve�an en ninguno de los mapas anteriores. As� podemos continuar indefinidamente. Ahora bien, si comparamos cada uno de los mapas, de diferentes escalas, podemos darnos cuenta de que todos tienen la misma estructura. Es decir, la costa es tambi�n un fractal.
Figura 39. Dos puntos arbitrarios A y B a lo largo de una costa.
Analizaremos en seguida una propiedad inesperada de los fractales: sup�ngase que se quiere medir la longitud de la costa entre los dos puntos A y B (Figura 40, (a)). Una manera de hacerlo ser�a medir la longitud de la l�nea recta que une a A con B. Sin embargo, como se sabe, la costa es, en general, irregular, por lo que es claro que su longitud ser� mayor que la de la l�nea recta entre sus dos puntos extremos. Podr�amos ahora tomar una unidad arbitraria de longitud H, por ejemplo una barra. Para medir la longitud de la costa llevar�amos esta barra a lo largo de ella (Figura 40, (b)) y contar�amos las veces que la barra cabe en la costa. A este n�mero, denotado por L1, le llamamos la longitud de la costa. En seguida tomamos otra barra, de menor longitud, digamos H/l0 y repetimos el procedimiento obteniendo para la longitud el n�mero L2. Podemos continuar indefinidamente de esta manera, tomando unidades cada vez m�s peque�as. Intuitivamente esperar�amos que la sucesi�n de valores que se obtengan para las longitudes L1, L2, ... tender�a a alcanzar un valor bien definido que ser�a la longitud de la costa. Sin embargo, esto no ocurre. De hecho lo que pasa es que esta sucesi�n de longitudes aumenta cada vez m�s y m�s. Es decir, al seguir el procedimiento indefinidamente, �la longitud de la costa entre A y B tiende a un valor infinito! Este resultado sorpresivo se debe precisamente al hecho de que al ir cambiando de escala van apareciendo m�s y m�s bah�as y pen�nsulas peque�as, cada una de estas contribuye a la longitud medida. Por muy chica que sea la nueva bah�a o pen�nsula, al ir aumentando la escala, en alg�n momento deber� ser tomada en cuenta y contribuir� a la longitud. Si uno cambiara el m�todo de medici�n de la longitud, tambi�n llegar�a a la misma conclusi�n.
Figura 40. Procedimiento de medici�n de la longitud de la costa entre A y B.
Lo mismo suceder�a si uno quisiera medir la longitud de la trayectoria que sigue la part�cula browniana, mostrada en la figura 1. Su valor es infinito.
Otro ejemplo de fractal es la frontera entre dos pa�ses. Se puede dar un argumento an�logo a los que hemos presentado y se llega a la misma conclusi�n. Por tanto, �la frontera entre dos pa�ses tiene, en rigor, longitud infinita!
Concluimos que una caracter�stica de los fractales es que al ser examinados con detalle, la longitud entre dos puntos fijos aumenta sin cesar al irnos a escalas cada vez menores.
En 1961 L. F. Richardson present� una serie de mediciones experimentales que �l hizo de varias costas, fronteras y cuerpos geom�tricos regulares. En cada caso fue cambiando la unidad de longitud H y obtuvo el correspondiente valor de la longitud L(H). En la figura 41 se muestran algunos de sus resultados. Se puede apreciar que al ir disminuyendo el valor de H la longitud L va aumentando. Sin embargo, se puede ver que la variaci�n de L en ciertos intervalos de H no es muy pronunciada.
Figura 41. Valores de la longitud L de varias curvas al cambiar la longitud de la unidad de medida H, seg�n L. F. Richardson. (a) Frontera entre Portugal y Espa�a. (b) Costa occidental de Gran Breta�a. (c) Frontera terrestre alemana (1900). (d) Per�metro de un c�rculo.
Podemos ahora preguntarnos lo siguiente: si aplicamos estas ideas a la medici�n del per�metro de una figura como un cuadrado o un c�rculo, �pasar� lo mismo? En la figura 41 se ve que para un c�rculo el valor de L es constante (e igual al valor del per�metro del c�rculo, tal como se ense�a en los cursos de geometr�a) en todo el intervalo de valores de H con el que se hicieron las mediciones. Lo que ocurre es que en las figuras geom�tricas, al aumentar la escala de observaci�n, no aparecen nuevas estructuras que eran invisibles en la escala anterior ya que la l�nea que delimita a la figura no tiene estas estructuras. Por ejemplo, el c�rculo es, por definici�n, el conjunto de puntos que distan una longitud constante del centro. Por lo tanto, no puede haber algo an�logo a la pen�nsula en el caso de la costa.
En este punto esperamos que el lector se sienta inc�modo. �C�mo es posible que, por ejemplo, la frontera entre dos pa�ses no est� perfectamente determinada? Pues, efectivamente, en lo que respecta a su longitud no lo est�. Richardson menciona que cada uno de los pa�ses considera su valor dentro de la longitud de su frontera com�n. Por ejemplo, Espa�a dice que su frontera con Portugal mide 987 km, mientras que Portugal dice que son 1 214 km; Holanda dice que su frontera con B�lgica mide 380 km; mientras que B�lgica reclama que son 449 km. Lo que est� sucediendo es que al hacer las mediciones, cada pa�s utiliz�, de hecho, diferente valor de la unidad de longitud H, y por tanto, obtuvo otro valor.
La discusi�n anterior nos lleva a la conclusi�n inesperada de que la longitud de objetos que son fractales no tiene un valor bien determinado. Esta longitud depende de la unidad H que se escoja. Si dos observadores eligen dos unidades distintas obtendr�n dos resultados distintos. �Y ambos observadores tendr�n raz�n! Es decir, este tipo de mediciones no es completamente "objetivo". Es claro que, en las relaciones entre pa�ses, se debe reconocer el car�cter fractal de las cantidades que se van a medir y llegar a un convenio mutuo sobre cu�l deber� ser la unidad de longitud que se debe seleccionar.
En t�rminos matem�ticos los resultados anteriores implican que a diferencia de las curvas unidimensionales, que supuestamente nos son familiares, los fractales son objetos que tienen dimensi�n mayor que uno; de hecho pueden tener dimensi�n cuyo valor est� entre 1 y 2.
Se puede construir un tipo de figuras fractales siguiendo el ejemplo que a continuaci�n se da. Tomemos un tri�ngulo equil�tero cualquiera (Figura 42, (a)), que se llama el iniciador. Div�dase cada lado del tri�ngulo en tres partes iguales. En la parte intermedia de cada lado a��dase un tri�ngulo equil�tero que tenga su lado igual a una tercera parte del original. Se obtiene as� la figura 42(b). En seguida, div�dase otra vez cada uno de los lados de la figura as� formada, en tres partes iguales, y en cada parte intermedia a��dase un tri�ngulo equil�tero que tenga cada lado igual a la longitud resultante. Se encuentra as� la forma mostrada en la figura 42(c). Si se contin�a indefinidamente este procedimiento, se encuentra la forma de la figura 42(d). �sta es un fractal y su per�metro tiene una longitud infinita.
Analicemos con un poco de detalle el per�metro de estas figuras. Supongamos que el lado del tri�ngulo iniciador de la figura 42 (a) sea 1; el per�metro del tri�ngulo es entonces igual a 3. Por construcci�n, cada l�nea recta de la figura 42(b) tiene longitud (1/3). Por tanto, dado que hay 12 l�neas rectas, el per�metro es 12 x (1/3) = 4. Cada l�nea recta de la figura 42c tiene longitud (1/9). En vista de que hay 48 de �stas l�neas, este per�metro es 48)x(1/9) = 5.333.
Vemos entonces que la sucesi�n de valores de los per�metros es: 3, 4, 5.333, ... Esta sucesi�n va creciendo. La causa de que crezca es clara, ya que de un paso al otro el n�mero de l�neas rectas aumenta m�s r�pidamente de lo que disminuye la longitud de cada l�nea recta. De hecho, en cada paso el n�mero de l�neas se multiplica por el factor 4, mientras que la longitud de cada l�nea disminuye 3 veces. Por lo tanto, el per�metro se multiplica, de un paso al otro, por el factor 4 x (1/3) = 1.333, que es un n�mero mayor que 1. Si el n�mero de pasos es infinito, el per�metro de la figura as� formada tambi�n resulta ser infinito.
Mandelbrot ha arg�ido que en la naturaleza existen muchos fen�menos de car�cter fractal, de hecho muchos m�s de los que nos imaginar�amos. Mencionaremos en forma breve algunos de ellos.
Adem�s de las l�neas costeras, los paisajes naturales tambi�n tienen caracter�sticas fractales. As�, la forma de cadenas monta�osas da lugar a que al intentar medir su superficie, uno encuentre valores infinitos.
En la geometr�a usual se nos ense�a que hay una relaci�n determinada entre, por ejemplo, el �rea que ocupa una figura y la longitud del per�metro que encierra a dicha �rea. Esta relaci�n es que la longitud del per�metro al cuadrado es proporcional al �rea encerrada. El coeficiente de proporcionalidad depende de la forma de la figura que se est� tratando. As�, por ejemplo, para un cuadrado, la longitud de su per�metro elevada al cuadrado es igual a seis veces el �rea encerrada. Para un c�rculo, la longitud del per�metro elevada al cuadrado es igual a cuatro veces p por el �rea encerrada.
Una relaci�n an�loga se encuentra entre el volumen de un cuerpo y el �rea de la superficie que lo encierra. En efecto, se demuestra que el cubo del �rea es proporcional al cuadrado del volumen encerrado, dependiendo el coeficiente de proporcionalidad de la figura de que se trate.
Si ahora se considera, por ejemplo, el caso de los cerebros de los mam�feros, se sabe que su corteza tiene muchas circumvoluciones. Resulta de mediciones hechas con mucha precisi�n que la relaci�n entre el volumen del cerebro y el �rea de la superficie que lo encierra no sigue el patr�n arriba dado para figuras geom�tricas. Se encuentra que el cubo del �rea es proporcional no al volumen elevado al cuadrado, sino al volumen elevado a una potencia que var�a entre 2.73 y 2.79. Se puede demostrar que este resultado implica que la superficie que encierra al cerebro es fractal. Esto se ha explicado en t�rminos de las necesidades de la evoluci�n de los mam�feros.
Otro ejemplo biol�gico ocurre en la estructura nasal de algunos animales. La membrana que cubre el hueso de la nariz es tal que la relaci�n entre �rea y volumen encerrado no sigue un patr�n geom�trico, sino fractal. Ciertos animales tienen un �rea muy grande para el volumen que encierran. Esta membrana podr�a estar relacionada con el sentido del olfato, y por ejemplo en el caso de los camellos, su gran �rea les ayudar�a para localizar, husmeando, el agua que es muy escasa en los desiertos.
La descarga y el nivel de las crecidas de los r�os son otro ejemplo de fractales. Resulta que estas cantidades, tomadas anualmente, tienen valores muy persistentes. Se han intentado dar, infructuosamente, diversas explicaciones de este hecho. Aparentemente, la �nica que tiene visos de conformarse con los resultados experimentales es que estas cantidades se comportan como fractales.
Tambi�n se han aplicado las ideas de los fractales en econom�a. Un an�lisis detallado del comportamiento de los cambios de precios de los productos muestra que tienen una estructura an�loga a la de un fractal. Esto se debe que al cambiar de escalas temporales en la determinaci�n de estos cambios, se encuentran estructuras an�logas.
En ling��stica tambi�n aparecen estructuras fractales. Se han estudiado las relaciones que, en un idioma determinado, sigue la frecuencia de uso de palabras. Pues resulta que este comportamiento es fractal. Uno de los par�metros de este fractal da la medida de qu� tan rico es el uso del vocabulario a trav�s de la frecuencia relativa del uso de palabras raras.
Se ha podido determinar que los fractales tambi�n aparecen en la teor�a de circuitos el�ctricos y en la teor�a de la informaci�n, por mencionar s�lo algunos campos. Se han abierto de esta manera vastos horizontes de estudio y aplicaci�n que apenas han empezado a explotarse.
