VI. DESCRIPCI�N EMP�RICA DEL MOVIMIENTO BROWNIANO. ESTAD�STICA
UNA de las primeras descripciones macrosc�picas del movimiento browniano fue hecha en 1908 por el f�sico franc�s Paul Langevin. �l hizo las siguientes consideraciones: si una part�cula grande (comparada con las dimensiones at�micas) se introduce en un fluido, entonces, de acuerdo con la hidrodin�mica, va a experimentar una fuerza opuesta que depende de su velocidad. Como ejemplo de este hecho podemos mencionar el caso de un auto o de un aeroplano que se mueven: el aire genera una fuerza que se opone al movimiento; o cuando nadamos en una alberca: el agua se opone a nuestro movimiento. Esta fuerza de oposici�n se debe a la viscosidad del fluido. Mientras mayor sea la velocidad con que se mueve el cuerpo dentro del fluido, mayor ser� la fuerza de oposici�n, o de fricci�n viscosa, que se genere.
Por otro lado, de lo descrito anteriormente se sabe que al introducir una part�cula grande dentro de un fluido, aqu�lla experimenta fuerzas debidas a las colisiones que sufre con las mol�culas del fluido. En vista de la gran cantidad de colisiones que ocurren en cada instante, esta segunda fuerza var�a de una forma muy azarosa y violenta. Ello significa que si, por ejemplo, hacemos observaciones de la part�cula browniana con una escala de tiempo del orden de los segundos la fuerza debida a las colisiones variar� mucho, pues en un segundo habr�n ocurrido much�simas colisiones. Por otro lado, en esta misma escala de tiempo, la primera fuerza de la que hemos hablado, la de fricci�n, var�a muy poco (Figura 10).
Figura 10. Las fuerzas estoc�stica y viscosa que experimenta la part�cula browniana var�an en diferentes escalas de tiempo.
De esta manera, se reconocen dos escalas de tiempo muy distintas: la escala en la que var�a la fuerza de fricci�n (que es, para casos t�picos, del orden de segundos) y la escala en la que var�a la fuerza debida a las colisiones (que es del orden de mil�simas de microsegundo). Esto significa que si observamos los fen�menos con escalas de tiempo de segundos, la fuerza de fricci�n apenas cambia, mientras que la otra fuerza ya habr� cambiado much�simas veces.
Ahora bien, si se conoce la velocidad de la part�cula, la fuerza de fricci�n tambi�n se puede determinar: es proporcional a ella. Es decir, si la velocidad aumenta al doble, la fuerza se duplica; si la velocidad se triplica la fuerza aumenta al triple, etc�tera. El coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza y la velocidad depende de la viscosidad del fluido as� como de la forma geom�trica de la part�cula. Estas dependencias son conocidas aunque no las daremos aqu�. Adem�s, el sentido que tiene la fuerza es opuesto al de la velocidad ya que aqu�lla se opone al movimiento (Figura 11). En otras palabras, es posible determinar completamente esta fuerza en cada instante. En la teor�a del movimiento browniano se suele llamar fuerza sistem�tica a esta fuerza de fricci�n.
Otra cosa ocurre con la fuerza debida a las colisiones. Dado que en un segundo el n�mero de colisiones que experimenta la part�cula browniana con las del fluido es enorme, resulta pr�cticamente imposible determinar el valor exacto de esta fuerza en cualquier instante. Por la misma causa, este valor var�a en peque�os intervalos, de manera impredecible. Estamos entonces ante una situaci�n en que una de las fuerzas que experimenta la part�cula browniana var�a de manera azarosa; es decir, se tiene una fuerza fluctuante. En matem�ticas este tipo de cantidad recibe el nombre de estoc�stica.
Figura 11. La fuerza viscosa tiene sentido opuesto a la velocidad de la part�cula.
Antes de continuar, haremos un breve par�ntesis para hablar acerca de algunas propiedades importantes de las cantidades estoc�sticas. La parte de las matem�ticas que trata de ellas es la estad�stica.
Consideremos el caso de una f�brica que produce clavos de 20 cm de largo. Resulta que si medimos con cuidado las longitudes de los clavos fabricados, nos daremos cuenta de que no todos los clavos son de 20 cm. Los hay de 20.01 cm, de 19.99 cm, de 20.02 cm, etc�tera. Por muy alto que sea el nivel del control de calidad, siempre se producir�n clavos de distintas longitudes. Esto, en general se debe a una multitud de causas que son muy dif�ciles, o a veces imposibles de controlar. Por ejemplo, una peque�a variaci�n en la temperatura del ambiente puede ser causa de que la longitud de los clavos fabricados cambie. Esto tiene como consecuencia que los clavos producidos no tengan todos la misma longitud. De un lote, habr� cierto n�mero de clavos con longitud de 20 cm, otros de 20.01 cm, otro n�mero de clavos con 19.99 cm, etc�tera. Por tanto, la longitud de los clavos es una cantidad estoc�stica. En consecuencia, se genera as� una distribuci�n de las longitudes de los clavos. En la figura 12 se muestra una gr�fica de esta distribuci�n. La gr�fica nos indica el n�mero de clavos que hay con determinada longitud. Vemos que la mayor�a de ellos se encuentra alrededor de 20 cm. Sin embargo los hay, aunque muy pocos, de longitudes que var�an bastante de 20 cm. Vemos que mientras mayor sea la variaci�n de la longitud con respecto a 20 cm, menor ser� el n�mero de clavos que haya con estas dimensiones.
Figura 12. La distribuci�n de las longitudes de una muestra de clavos.
Sin embargo, lo que s� se quiere garantizar es, por lo menos, que de un lote de clavos producidos, el promedio de sus longitudes sea de 20 cm (Figura 12). Una vez que reconocemos lo anterior, ser�a deseable que la mayor�a de los clavos tuvieran longitudes alrededor de 20 cm, separ�ndose muy poco, de este valor. Es decir, desear�amos que casi no hubiera clavos con longitudes de, por ejemplo, 22 cm. Ello significa, si nos referimos a la figura 12, que el ancho D de la curva de la distribuci�n ser� muy peque�o. As�, consideremos las dos distribuciones mostradas en la figura l3. Vemos que ambas dan el mismo promedio. Sin embargo, en una de ellas, la m�s ancha, s� hay un n�mero apreciable de clavos que tienen longitudes que var�an mucho de 20 cm, mientras que en la otra, la angosta, casi no hay clavos cuya longitud se aleja mucho de 20 cm. Dir�amos que el control de calidad de los clavos asociado a la curva angosta es mejor que el asociado al otro lote. El ancho D de cualquiera de estas distribuciones se llama la desviaci�n est�ndar de la distribuci�n. Esta cantidad est� asociada al promedio de los cuadrados de la longitud, es decir, a su valor cuadr�tico medio.
Figura 13. Dos distribuciones distintas que tienen el mismo promedio (20 cm) pero desviaciones est�ndar distintas.
Si el n�mero de clavos producidos es muy grande, resulta que la distribuci�n tiene, en general, una forma de campana, como la mostrada en la figura 12. A este tipo de distribuci�n se le llama gaussiana o normal. Se puede demostrar en matem�ticas que una distribuci�n gaussiana queda completamente determinada si se conocen su promedio y su desviaci�n est�ndar.
En general, si uno est� tratando con cantidades estoc�sticas, su descripci�n se hace en t�rminos de su distribuci�n. Dos caracter�sticas que tiene la distribuci�n son las anteriormente mencionadas: su promedio y su desviaci�n est�ndar.
Regresemos ahora al caso del movimiento browniano. Una de las fuerzas que experimenta la part�cula es, como se explic� arriba, estoc�stica. Por tanto, se tiene que decir algo acerca de su distribuci�n. Adem�s hay que tener en mente que esta fuerza estoc�stica cambia al transcurrir el tiempo, lo que significa que no s�lo hay que decir algo acerca de su distribuci�n en un instante dado de tiempo, sino tambi�n algo acerca de c�mo est�n relacionados los valores de las fuerzas estoc�sticas en distintos instantes.
Langevin formul� la hip�tesis, que de hecho es la m�s sencilla, de que la distribuci�n de la fuerza estoc�stica es gaussiana. Por tanto, su determinaci�n se reduce a conocer su promedio y su desviaci�n est�ndar.
Promedio: En estas fuerzas fluctuantes, ser�a razonable pensar que si tomamos un intervalo de, por ejemplo, un segundo, se ejerciesen fuerzas en un sentido y en el sentido opuesto (Figura 14) de forma tal que, en promedio, la fuerza ejercida se cancelara. Se supone entonces que en cada instante el promedio de la fuerza estoc�stica es nulo.
Figura 14. Fuerzas estoc�sticas que experimenta la part�cula browniana es un intervalo de segundos. El promedio de estas fuerzas es nulo.
Desviaci�n est�ndar: Si hacemos observaciones en escalas del orden de segundos, como se acostumbra en el laboratorio, entonces el valor de la fuerza estoc�stica en un instante dado no tiene nada qu� ver con el valor que adquiere la fuerza en otro instante que est� separado por segundos del primero. Esto se debe a que en un segundo la fuerza vari� much�simo, de tal manera que al final del intervalo la fuerza no tiene una relaci�n estrecha con el valor que ten�a al principio del intervalo. Se dice que las fuerzas estoc�sticas o fluctuantes no est�n correlacionadas entre s� en distintos instantes de tiempo.
En resumen, de estos razonamientos concluimos que la fuerza total que experimenta la part�cula browniana es la suma de dos fuerzas: la sistem�tica y la estoc�stica. La fuerza estoc�stica var�a mucho en la escala de tiempos en que cambia la fuerza sistem�tica. Ahora bien, si se suman dos cantidades, una de ellas conocida, pero la otra de naturaleza estoc�stica, la suma tambi�n va a ser estoc�stica. En consecuencia, la fuerza total que experimenta la part�cula es estoc�stica.
Por otro lado, de acuerdo con los principios de la mec�nica desarrollados por Newton, la fuerza que experimenta una part�cula determina la trayectoria y la velocidad que tiene. Ello significa que, en nuestro caso, si la fuerza aplicada es estoc�stica, tanto la posici�n como la velocidad de la part�cula son tambi�n cantidades estoc�sticas. En consecuencia, la soluci�n del problema radica en poder determinar las distribuciones tanto de la posici�n como de la velocidad de la part�cula, ya que en estas circunstancias no hay manera de determinar los valores precisos de la posici�n y de la velocidad en cada instante. En el mejor de los casos solamente se podr�n determinar sus distribuciones.
Este problema se resuelve introduciendo en el fluido la part�cula con una velocidad bien determinada de magnitud, digamos, v0 . El resultado que se encuentra es que en cada instante tanto la velocidad como la posici�n de la part�cula se definen en t�rminos de distribuciones que tambi�n son gaussianas.
Consideremos primero los resultados para la velocidad y luego para la posici�n: se encuentra que el promedio de la velocidad se comporta como se muestra en la figura 15. Aqu� v0 es el valor que tiene inicialmente la part�cula. Vemos que al transcurrir el tiempo el promedio del valor de la velocidad va disminuyendo hasta que finalmente adquiere el valor de cero. Esto significa que la part�cula llega a "olvidar" el valor inicial de su velocidad. El tiempo t que la velocidad tarda en llegar a un valor peque�o, comparado con el inicial, se llama otra vez tiempo de relajaci�n. Este tiempo t depende de la viscosidad del fluido. Mientras m�s viscoso sea el fluido m�s peque�o ser� el tiempo t. Es decir, mientras m�s viscoso sea el fluido, m�s r�pidamente "olvidar�" la part�cula su velocidad inicial. El hecho de que el promedio sea nulo significa que la part�cula puede tener velocidades tanto en un sentido como en el opuesto.
Figura 15. Promedio de la velocidad de la part�cula browniana al transcurrir el tiempo, si inicialmente ten�a el valor v0.
La desviaci�n est�ndar de la velocidad esta relacionada con su valor cuadr�tico medio. Esta �ltima cantidad se comporta seg�n se muestra en la figura 16. Inicialmente este valor es nulo. Esto se debe a que inicialmente se tiene la certeza de que la velocidad es justamente v0 . Otra manera de decirlo es que inicialmente la distribuci�n de la velocidad tiene un ancho nulo. Al transcurrir el tiempo, el ancho de la distribuci�n de velocidades va aumentando, hasta que despu�s de un tiempo t adquiere un valor constante. Este valor constante no depende de las condiciones iniciales. Nuevamente, esto significa que despu�s de un tiempo t la particula "olvida" su condicion inicial.
Figura 16. El valor cuadr�tico medio de las velocidades de la part�cula browniana como funci�n del tiempo.
En la figura 17 se muestran las distribuciones que va adquiriendo la velocidad al transcurrir el tiempo. Inicialmente (Figura 17, (a)) la distribuci�n no tiene t ancho y est� situada en el valor u0, que es valor inicial. En este instante se tiene la certeza de que la part�cula tiene la velocidad u0. Al transcurrir el tiempo, la part�cula empieza a sentir la presencia del fluido y, en consecuencia, el promedio de la distribuci�n se separa de su valor inicial, y el ancho de la distribuci�n aumenta (Figura 17, (b)). Despu�s de un tiempo t la distribuci�n adquiere una forma que ya no depende de las condiciones iniciales que ten�a la part�cula, es decir, se "olvid�" de ellas. Una vez que se adquiere esta distribuci�n (Figura 17, (c)), ya no cambia al seguir transcurriendo el tiempo. Por tanto, el sistema part�cula-fluido llega, en lo que a la velocidad respecta, a una situaci�n de equilibrio. El tiempo t es, entonces, el tiempo que tarda la part�cula en llegar a un estado de equilibrio con el fluido.
Figura 17. Evoluci�n de la distribuci�n de velocidades de una part�cula browniana que inicialmente ten�a una velocidad v0.
Nos damos cuenta de que hemos descrito un proceso irreversible en el que la velocidad de la part�cula pasa de una distribución inicial a la de equilibrio con el fluido. Ahora bien, resulta que la distribuci�n de velocidades en equilibrio mostrada en la figura 17(c) es justamente la misma que obtuvo Maxwell para la distribuci�n de velocidades en un gas en equilibrio (v�ase el cap�tulo 11). Es decir, la distribuci�n de velocidades que adquiere la part�cula browniana al llegar a equilibrio con el fluido es marxwelliana.
Figura 18. Promedio de desplazamiento de la part�cula browniana al transcurrir el tiempo.
El promedio del desplazamiento en el transcurso del tiempo se muestra en la figura 18. El valor inicial es cero, ya que en un principio no ha habido ning�n desplazamiento. Al transcurrir el tiempo, este promedio deja de ser nulo, y para tiempos del orden de t adquiere un valor constante.
El desplazamiento cuadr�tico medio d² (relacionado con la desviaci�n est�ndar) que se obtiene, es el mostrado en la figura 6, justamente el predicho por Einstein. Para tiempos peque�os, la part�cula se comporta como si fuera libre. En este r�gimen, a�n no ha "sentido" al fluido. Al seguir transcurriendo el tiempo, el desplazamiento cuadr�tico medio queda descrito por la l�nea recta NM de la figura 6.
Ahora bien, resulta que en hidrodin�mica se demuestra que este r�gimen corresponde al llamado r�gimen difusivo, que consiste en lo siguiente: si al inicio de la escala de tiempos se tienen en un lugar del recipiente muchas part�culas (Figura 7), �stas comenzar�n a difundirse por todo el fluido) como sucede si se deja caer una gota de tinta negra en un vaso de agua. Despu�s de un tiempo q las part�culas estar�n repartidas homog�neamente en todo el l�quido. Es decir, se habr� logrado una mezcla uniforme. Este tiempo q depende de la longitud del recipiente que ocupa el fluido.
En general, para casos f�sicos reales, el tiempo hidrodin�mico q, es mucho mayor que el tiempo t de relajaci�n asociado a la velocidad, que antes introdujimos. As�, un valor t�pico de q es de varios segundos (o m�s) mientras que t es del orden de mil�simas de microsegundo.
Por lo tanto, vemos claramente que en este caso la part�cula browniana pasa de un r�gimen de part�cula libre (que es reversible) a otro r�gimen, el difusivo, que es irreversible.
En resumen, de los resultados anteriores podemos llegar a la conclusi�n de que se pueden distinguir varias escalas de tiempo en el comportamiento de la part�cula browniana.
1) Tiempos peque�os, mucho menores que t. En este r�gimen la part�cula se comporta como part�cula libre. Todav�a no "siente" que est� inmersa en el fluido.
2) Tiempos grandes, mucho mayores que t pero menores que q. La interacci�n con el fluido hace que el comportamiento de la part�cula se modifique completamente. En este r�gimen ocurren dos cosas: en primer lugar, las velocidades que va adquiriendo la part�cula se modifican de forma tal que llega a un estado de equilibrio con el fluido; en segundo, la part�cula empieza a desplazarse siguiendo un comportamiento difusivo. Es en este r�gimen de tiempos en que la velocidad y el desplazamiento de la part�cula cambian su comportamiento a irreversible.
3) Tiempos hidrodin�micos. La part�cula entra en un comportamiento determinado por la hidrodin�mica. Despu�s de un tiempo q la distribuci�n de las part�culas en el espacio ser� uniforme, obteni�ndose as� el equilibrio total, tanto en las velocidades, que ya se hab�a alcanzado en el r�gimen anterior, como en las posiciones.
La descripci�n detallada que se acaba de dar indica la forma en que idealmente se deber�a tratar el comportamiento irreversible de cualquier sistema macrosc�pico. En particular, de manera natural deber�an obtenerse de la descripci�n los diversos reg�menes por los que pasa el sistema en su evoluci�n al equilibrio. Naturalmente, tambi�n la evoluci�n al equilibrio debe concluirse autom�ticamente de la descripci�n que se haga. Desafortunadamente, este programa no se ha podido realizar en general para otros sistemas m�s complicados. Sin embargo, bas�ndose en lo aprendido en el caso del movimiento browniano, el f�sico sovi�tico N. N. Bogoliubov hizo en 1946 suposiciones sobre la existencia de diversos reg�menes en la descripci�n de fluidos. En particular, la suposici�n de la existencia de las diversas escalas de tiempo tiene papel muy importante en la descripci�n del comportamiento irreversible de un gas moderadamente denso.
Por otro lado, el tratamiento matem�tico requerido para especificar los comportamientos rese�ados implica la utilizaci�n de cantidades estoc�sticas en las ecuaciones. Fue Norbert Wiener el primero que desarroll� esta cuesti�n, que corresponde a lo que en matem�ticas se llama la teor�a de funciones no-diferenciables.
