DI�LOGO ENTRE PIER A. MELLO, OCTAVIO OBREG�N Y LEOPOLDO GARC�A-COL�N

OCTAVIO OBREG�N.—Respecto a este asunto de la complementariedad que se acaba de mencionar estaba leyendo en una biograf�a de Bohr cu�l fue su actitud, y la de Heisenberg, frente a estos primeros descubrimientos de la falta de causalidad en los procesos at�micos y la imposibilidad de medir simult�neamente observables f�sicas, cuyos correspondientes operadores matem�ticos no conmutan. Se describe la desesperaci�n de Heisenberg que aflig�a a Bohr. Para tratar de calmar un poco la desesperaci�n de su amigo, como acaba de mencionar Leopoldo, Niels Bohr parti� a esquiar a Noruega por unas semanas y en este ambiente se le ocurri� la idea de la complementariedad, que despu�s fue desarrollando y perfeccionando en el curso de los a�os.

De hecho, la idea fundamental de Bohr, con respecto a esta visi�n del problema, naci� precisamente de la dificultad de compaginar la medici�n simult�nea de dos variables que no conmutan. En vez de considerar esto realmente como una fuente de desesperaci�n y como una limitaci�n parece que le dio la vuelta diciendo que, de hecho, la naturaleza es as�, que nos muestra aspectos complementarios. Despu�s insisti� mucho, en el curso de los a�os, acerca de c�mo realmente se mide una de las variables y c�mo se mide la otra. Insisti� much�simo en el hecho de que para medir aqu� necesitas un aparato, para medir all�, necesitas otro aparato que, en realidad, es mutuamente excluyente con el primero. Entonces, no hay que persistir en medir uno junto con el otro precisamente porque las dos mediciones son mutuamente excluyentes.

Desde luego, este principio de complementariedad parece tener un papel muy importante en la f�sica y en especial en la mec�nica cu�ntica. Me gustar�a que habl�ramos un poco de la funci�n de onda que hab�amos mencionado; es decir, qu� relaci�n tiene esta no conmutatividad de dos variables f�sicas que tenemos que medir independientemente con lo que ya aqu� se ha mencionado. Qu� es esa ecuaci�n de ondas de Schröedinger y c�mo se puede interpretar; entonces aqu� te pedir�a, Pier, que nos dijeras algo sobre la relaci�n del principio de complementariedad y la funci�n de onda.

PIER A. MELLO.—Bohr regres� de sus vacaciones con la idea de la complementariedad y puso en efervescencia al Instituto de Copenhague a trav�s de acaloradas discusiones. Como dato anecd�tico, en una ocasi�n hab�a en la biblioteca del Instituto una gran discusi�n entre los estudiantes acerca de c�mo se pod�a entender la complementariedad. Con un cierto sentido del humor, Bohr les dijo que es imposible que alguien pueda hacer una reverencia a una persona sin al mismo tiempo darle la espalda a otra: esto es parecido a lo que le pasa al electr�n, cuando dos variables no conmutan y por tanto no son medibles al mismo tiempo.

Quisiera mencionar, adem�s, un punto que, para un estudiante que por primera vez se acerca a la mec�nica cu�ntica (MQ) (�y a veces mucho despu�s tambi�n!), es realmente dram�tico.

Posici�n y momento "no son medibles simult�neamente", en el sentido de que, para una funci�n de onda dada, las dispersiones de x y p no pueden ser arbitrariamente peque�as, sino deben satisfacer la desigualdad de Heisenberg. Pero la Escuela de Copenhague va mucho m�s all� y dice que posici�n y momento no est�n simult�neamente definidos para la part�cula: o sea, el electr�n no posee una posici�n y una velocidad al mismo tiempo.

A Einstein le molest� profundamente este punto de vista. Concretamente, tom� el ejemplo del decaimiento de un n�cleo radiactivo: un emisor de alfas, por ejemplo. Como Einstein no pod�a creer que el instante del decaimiento de ese n�cleo no estuviera definido, propuso que la funci�n de onda describiera no un sistema, sino un conjunto representativo o ensemble de ellos. Entonces el instante de decaimiento estar�a perfectamente definido para cada sistema, pero tendr�a una dispersi�n sobre los miembros del ensemble.

LEOPOLDO GARC�A-COL�N.—Un comentario muy breve con respecto al principio de complementariedad. Yo confieso que cuando estudi� mec�nica cu�ntica me pas� un tanto inadvertido. Usualmente en los cursos tradicionales se ense�a mucho la herramienta matem�tica pero todos estos aspectos conceptuales se dan por un hecho; es decir, se da por sentado que son correctos o simplemente no se mencionan. Con respecto al concepto de la complementariedad hay un punto que vale la pena sacar a colaci�n relativo a la funci�n de ondas. De hecho voy a lanzar una duda, que es la siguiente: en conexi�n con la funci�n de onda, para Bohr era muy claro que dicha funci�n debe describir un campo de probabilidad; sin embargo, muy detr�s en su mente por lo que he podido ver, ahora que he tenido que repasar estos conceptos, �l ten�a tambi�n bien arraigado en la mente que la frecuencia que aparece en la f�rmula e = hv, la frecuencia de los cuantos de luz es un concepto �ptico; s�lo se puede definir usando las leyes de la electrodin�mica cl�sica, que est�n basadas en el principio de superposici�n; es decir, si no aceptamos el principio de superposici�n en la teor�a de Maxwell, tenemos que hacer una electrodin�mica nueva, por lo menos distinta a la que conocemos. De aqu� que debe existir una relaci�n un tanto profunda entre el principio de complementariedad y lo que quiz� podr�amos llamar el principio de superposici�n que despu�s se usa, claro, en la mec�nica cu�ntica. Octavio comentar� algo al respecto.

OBREG�N.—Si, yo quisiera tomar el punto del principio de superposici�n y la funci�n de onda y advertir que voy a intentar aqu� representar el papel de abogado del diablo con respecto a algunos aspectos de la escuela de Copenhague. Primero, deseo recordar que en una serie de problemas f�sicos como por ejemplo la descripci�n de algunos sistemas que se utilizan en estado s�lido, los sistemas cu�nticos grandes, como los superconductores utilizamos m�s bien teor�as de tipo hidrodin�mico para su descripci�n. A pesar de que entendemos b�sicamente lo que es una funci�n de Bardeen, Cooper y Schrieffer para la descripci�n microsc�pica cu�ntica del sistema, no trabajamos normalmente con esta �ltima para describir el comportamiento de este tipo de sistemas f�sicos. Lo anterior no es un problema de principio pero muestra que la funci�n de onda no es el camino m�s �til para describir al sistema. As�, en esta clase de problemas particulares, al describir al sistema con otros principios f�sicos y ecuaciones en general no lineales, la pregunta del principio de superposici�n en la mec�nica cu�ntica fundamental no es relevante.

Por otra parte, y a nivel m�s fundamental, la funci�n de onda normalmente se escribe como una suma de ciertos coeficientes por otras funciones de onda, es decir, como una superposici�n de funciones de onda. Poni�ndolo de manera m�s ilustrativa s� u: es nuestra tundan de onda, �sta se puede escribir como

y= C₁ y₁ + C₂ y₂+ C₃ y₃ + ...

donde C₁, C₂, C₃,... son constantes y y₁, y₂, y₃,... representan las funciones de onda que al superponerse linealmente nos dan y. Los puntos suspensivos nos dicen que las C_i y y_i son en general mucho m�s que s�lo tres. Ahora, la interpretaci�n de Copenhague de la mec�nica cu�ntica nos dice que siempre tenemos un observador macrosc�pico que se comporta cl�sicamente adem�s del sistema cu�ntico que queremos estudiar. La funci�n de onda ya no va a consistir en varias funciones de onda sino se va a colapsar a una sola. A cu�l de los elementos de la superposici�n se va a reducir eso no lo sabemos. Uno entonces asigna una distribuci�n de probabilidades a los posibles resultados del experimento

P_i = �C_i �²

es decir, la probabilidad de que nuestra funci�n de onda se colapse solo a, digamos y₃ es �C₃�². Por este motivo el aparato macrosc�pico de medici�n no puede decidir qu� valor va a encontrar para el sistema observado y se dice que �ste entra entonces en un estado de esquizofrenia.

Este colapso y la asignaci�n de pesos estad�sticos no son una consecuencia de la ecuaci�n de Schrödinger. Provienen de una metaf�sica externa a priori a la que se permite actuar en ese momento y suspender la ecuaci�n de Schrödinger (o reemplazar condiciones a la frontera en su soluci�n por aquellas del vector de estado colapsado). El punto de vista de Copenhague da la impresi�n de que el colapso de la funci�n de onda y �sta misma est�n s�lo en la mente. Si esto es as�, �qu� sucede con la realidad?; �c�mo puede uno entender y describir el mundo objetivo que claramente nos rodea? Einstein se opuso hasta su muerte a esta soluci�n metaf�sica de la escuela de Copenhague. �Querr�as t� comentar algo al respecto Pier?

MELLO.—Algunas de estas ideas se pueden ilustrar muy bien con el famoso ejemplo del "gato de Schrödinger". En un cuarto est�n un gato y una substancia radiactiva; junto a �sta hay un contador Geiger conectado a un martillo que, bajo una descarga del contador, rompe un frasco de veneno y el gato muere. Si al cabo de una hora hay 50% de probabilidad de que uno de los n�cleos radiactivos decaiga, �la funci�n de onda ser� una combinaci�n lineal del gato vivo y del gato muerto en iguales proporciones! Esta situaci�n es incomprensible si aplicamos la funci�n de onda a un sistema. Si la aplicamos a un ensemble, nos encontraremos vivos al 50% de los gatos y muertos al otro 50% y la situaci�n, cabe decir, tiene perfecto sentido.

OBREG�N.—Bueno Pier, si uno acepta que la funci�n de onda describe a un ensemble y no a un sistema, como t� has mencionado que Einstein lo propone, las cosas mejoran y las P_i = �Ci�²que yo he mencionado ser�an en tu ejemplo del "gato de Schrödinger" solo dos cada una con un valor de 0.5. Sin embargo, en la interpretaci�n tradicional de la Escuela de Copenhague el colapso de la funci�n de onda existe aun para un solo sistema y es una proposici�n no contenida en la ecuaci�n fundamental de la teor�a, la ecuaci�n de Schrödinger. Esta proposici�n me parece a m� especialmente fuerte y quiz� no necesariamente la �nica alternativa para interpretar la mec�nica cu�ntica. M�s adelante mencionar� en especial una propuesta de interpretaci�n alterna, aunque existen a�n otras m�s.

Bryce de Witt dice lo siguiente respecto a la creencia que la mayor�a de los f�sicos tenemos de ser fieles seguidores de la Escuela de Copenhague: "Al hablar de los seguidores de esta interpretaci�n es importante distinguir los seguidores activos del resto, y darse cuenta que aun la mayor�a de los autores de libros de texto no est�n incluidos en el primer grupo. Si se hiciera una encuesta entre los f�sicos, la mayor�a profesar�a ser miembro del grupo convencionalista, as� como la mayor�a de los norteamericanos proclamar�an su creencia en la declaraci�n de los derechos del hombre, independientemente de que la hayan le�do. El gran problema en tratar con los activistas es que ellos tambi�n cambian las reglas del juego pero, contrariamente a Wigner o Bohr por ejemplo, pretenden no haberlo hecho."

MELLO.—�Qu� es lo que te molesta particularmente del colapso? �Cu�l es el punto fundamental que crees que es inconveniente, o inadecuado?

OBREG�N.—En el contexto de la mec�nica cu�ntica convencional, especialmente acompa�ando esta idea del ensemble que t� mencionaste, las cosas no parecen funcionar mal. Sin embargo, siendo la idea del colapso una proposici�n m�s all� de la ecuaci�n b�sica de la teor�a, la ecuaci�n de Schrödinger, podemos preguntarnos qu� otras propuestas o interpretaciones podr�an ser v�lidas y adecuadas y acompa�ar a la ecuaci�n de Schrödinger en una diferente interpretaci�n de la mec�nica cu�ntica. M�s tarde me referir� a un sistema, el Universo, para el cual es especialmente conveniente modificar la interpretaci�n usual de la mec�nica cu�ntica.

MELLO.—Un punto que a m� s� me molesta es el siguiente: en la mec�nica cu�ntica convencional se supone que despu�s de una medici�n el sistema se encuentra en un estado mixto. Este postulado fundamental aparece, por ejemplo, en el libro de Von Neumann, en el cap�tulo sobre "Procesos de medici�n". Por otro lado, Wigner demuestra que no es compatible con las ecuaciones de movimiento de la mec�nica cu�ntica suponer que el estado del objeto m�s aparato es, despu�s de una medici�n, una mezcla de estados, cada uno con una posici�n definida de la "aguja" del aparato.

De los dos cambios que puede sufrir la funci�n de onda, el continuo, descrito por la ecuaci�n de Schrödinger, y el discontinuo, producido por un proceso de medici�n, el segundo no parece estar entendido.

Tal vez el car�cter macrosc�pico del aparato sea esencial para describir este cambio irreversible a un estado mixto, y la situaci�n sea semejante a la que ocurre en la mec�nica estad�stica, cuando se quiere hacer compatible la irreversibilidad macrosc�pica con la reversibilidad de las leyes de movimiento microsc�picas.

GARC�A- COL�N.—Pero �qu� se insin�a entonces, o que se sugiere de esto?; que si yo mido e interpreto la medici�n en t�rminos de un ensamble el resultado de la medici�n va a ser uno distinto a si uso simplemente el principio de superposici�n en t�rminos del colapso de onda de que estaba hablando Octavio.

MELLO.—La manera como se aplican estas ideas se puede ilustrar, por ejemplo, en el experimento de las dos rendijas. Originalmente la funci�n de onda es la superposici�n lineal y= a₁y¹ + a₂y₂ (donde los �ndices refieren a los dos agujeros) y se observa interferencia en la pantalla. Si se quiere medir porque agujero paso el electr�n, el estado se vuelve una mezcla de y₁ y y₂ con probabilidades �a₁�², � a₂ �², y se pierde la interferencia. Este cambio no es descriptible con una din�mica lineal como la mec�nica cu�ntica.

El problema es todav�a m�s desconcertante. Aun si suponemos que la interacci�n sistema-aparato cambia la funci�n de onda �y apar> � y sist> en �yapar> �ysist>, la probabilidad de encontrar un hamiltoniano (en el sentido de matrices estoc�sticas) que haga este cambio es cero.

GARC�A- COL�N.—Quiz�s, Octavio, podr�as explicarnos porque consideras que la interpretaci�n usual de la mec�nica cu�ntica no es adecuada en la cosmolog�a cu�ntica.

OBREG�N.- S�, con gusto. La electrodin�mica cu�ntica, como sabemos, es una teor�a important�sima que nos ense�a a pensar que la interacci�n entre dos part�culas cargadas no la debemos interpretar s�lo como acci�n a distancia como es el caso de la ley de Coulomb (y de la gravitaci�n universal) sino que la interacci�n entre dos electrones, que producen el campo, sucede porque intercambian fotones (que transportan el campo) entre ellos. De este tipo de descripci�n podemos nuevamente en un l�mite cl�sico" recuperar, por ejemplo, la ley de Coulomb. Nos gustar�a seguir los mismos pasos que hemos aprendido en la electrodin�mica para lograr construir una gravitaci�n cu�ntica. Las masas generar�an el campo y los "gravitones" lo transportar�an. No hemos logrado, por motivos de principio y t�cnicos, construir una gravitaci�n cu�ntica y probablemente la respuesta est� por una parte en una teor�a que contenga otros campos (una teor�a unificada) y quiz� en un entendimiento m�s profundo, a nivel elemental microsc�pico, del origen y papel de la gravitaci�n.

Un primer paso para tratar de entender lo que debe ser una gravitaci�n cu�ntica consiste en estudiar los objetos que la gravitaci�n describe como agujeros negros, o bien el mismo Universo (la teor�a de la gravitaci�n describe bien su expansi�n) y entender qu� es y qu� significa la funci�n de onda asociada a cada uno de estos objetos.

Si el Universo va a ser nuestro sistema cu�ntico �cu�l es el aparato macrosc�pico cl�sico que vamos a usar para hacer mediciones, de acuerdo con la mec�nica cu�ntica tradicional? Todos estamos dentro del Universo, nadie est� fuera. Tenemos que buscar alternativas a la mec�nica cu�ntica tradicional.

Estas alternativas existen; una de las m�s sorprendentes se debe a Hugh Everett. �l afirma que se puede construir un esquema en el que:

i) Toma el formalismo matem�tico de la mec�nica cu�ntica como est� sin agregarle nada.

ii) Niega la existencia de un mundo cl�sico separado.

iii) La funci�n de onda nunca colapsa.

Everett necesita definir lo que llama el estado relativo, es decir, tiene que definir la funci�n de onda como producto de una cierta funci�n del sistema por la correspondiente del aparato y alega que la mec�nica cu�ntica provee su propia interpretaci�n.

De acuerdo con esta interpretaci�n, el Universo est� definido por una funci�n de onda similar a la que introdujimos anteriormente pero de mucho mayor complejidad. El Universo est� dividi�ndose constantemente en un n�mero enorme de ramas, resultando todas de las interacciones de mediciones entre sus miriadas de componentes. M�s a�n, toda transici�n cu�ntica que ocurre en cada estrella, en cada galaxia, en cada esquina remota del Universo est� dividiendo nuestro mundo local en la Tierra en millones de miriadas de copias de �l.

Por fabuloso que lo anterior parezca, el formalismo de esta teor�a ha sido tomado en serio por un grupo considerable de f�sicos prestigiados. Esta propuesta no s�lo vale para el Universo sino para cualquier sistema cu�ntico incluyendo el aparato de medici�n.

Antes de pasar el micr�fono a Pier quisiera insistir en que existen otras alternativas que no describ� aqu�. Sin dar ning�n detalle por falta de tiempo, puedo mencionar que el profesor Bell, autor de la famosa desigualdad de Bell, ha inventado un esquema alterno a la mec�nica cu�ntica llamado la onda piloto.

MELLO.—S�lo quiero mencionar una an�cdota. Hace diez o doce a�os apareci� en Physics Today un art�culo de DeWitt sobre el rompimiento en varios universos que mencionas. Al mes siguiente un lector, en carta al director, invita a los defensores de esa teor�a a no preocuparse si alg�n d�a tuvieran un accidente de avi�n al regresar a su casa, �ya que en alg�n otro universo estar�an perfectamente a salvo!

A parte la broma anterior, �t� crees que tenga sentido la afirmaci�n de que la mec�nica cu�ntica contiene su propia interpretaci�n? Yo no entiendo c�mo una teor�a pueda interpretarse a s� misma.

OBREG�N.—Se asegura s�lo que la interpretaci�n probabil�stica convencional de la mec�nica cu�ntica emerge del formalismo mismo. No tiene implicaciones filos�ficas m�s all� de esta �ltima afirmaci�n.

MELLO.—Otra alternativa para tratar este problema, y que entiendo a�n menos, es la propuesta de Wigner de que la interacci�n entre la mente de un ser viviente y la naturaleza inanimada podr�a ser la responsable del colapso de la funci�n de onda.

GARC�A-COL�N.—Quisiera hacer un comentario, volviendo a lo que dijo Octavio, no en cuesti�n de la gravitaci�n, sino desde el punto de vista de las variables ocultas. Es bien sabido que el primero quiz�s, y si no el primero el opositor m�s consistente de Bohr fue Einstein. �l nunca crey� en esta interpretaci�n, esta incurabilidad de la amibiasis a que nos hemos referido antes. Con base en la llamada paradoja de Einstein, Podolsky y Rosen, se ven claramente los argumentos que daba Einstein intentando buscar una violaci�n del principio de superposici�n. Con base en dichos argumentos se cuestiona seriamente no s�lo si la mec�nica cu�ntica constituye una teor�a completa, sino tambi�n la postura de la interpretaci�n probabil�stica de Bohr y Heisenberg. Esta paradoja, de la cual creo debemos hablar m�s, desat� una serie de posturas diferentes con respecto a la interpretaci�n de la mec�nica cu�ntica, al grado que a�n en la actualidad �ste es un problema vivo. En efecto, han pasado ya cincuenta a�os desde que se public� el trabajo de Einstein, Podolsky y Rosen y todav�a seguimos discutiendo cu�l es la forma de interpretar la mec�nica cu�ntica. Veamos entonces qu� opiniones existen al respecto.

OBREG�N.—Me gustar�a decir, en breves palabras, c�mo entiendo las ideas de Einstein, Podolsky y Rosen (EPR). EPR proponen tres postulados que suponen que toda teor�a f�sica razonable debe cumplir:

i) La regularidad en las observaciones de los fen�menos es producida por realidades f�sicas cuya existencia es independiente del observador humano. A este postulado se le llama realismo.

ii) El procedimiento inductivo es v�lido y puede ser aplicado sin limitaciones. De un n�mero grande y finito de observaciones puede uno concluir reglas (o leyes) que valgan en general.

iii)Se conoce como la separabilidad o localidad de Einstein y se refiere a eventos que han acontecido en diferentes lugares, y dice que cada interacci�n entre estos eventos a lo m�s ser� transmitida con la velocidad de la luz.

Estos tres postulados parecen tan evidentes y naturales que todo cient�fico los aceptar�a sin necesidad, casi, de reflexionar. Sin embargo, basados en ellos empezaremos suponiendo que podemos medir dos componentes de spin de un prot�n de manera independiente. Esta suposici�n es contraria a la evidencia, pero simplifica la presentaci�n de la prueba (que puede ser hecha en forma rigurosa). Supongamos que un aparato de medici�n registra para un prot�n las componentes de spin X⁺ y Y^-. La tercera componente, Z, puede tener s�lo el valor m�s o menos, esto quiere decir que, la descripci�n completa del spin del prot�n seria X⁺Y ^-Z⁺ o X⁺Y^-Z^-. Si encuentra uno varios protones con los componentes de spin X⁺Y^- podemos escribir para el total

N(X⁺Y^-) = N(X⁺Y^-Z⁺) + N(X⁺Y^-Z^-)

El s�mbolo N(X⁺Y^-) designa el n�mero de protones con la componente de spin X⁺ y Y^-.

Como el orden aqu� no tiene importancia podemos por el mismo argumento anterior escribir

N(X⁺Z^-) = N(X⁺Y⁺Z^-) + N(X⁺Y^-Z^-)

Por lo tanto

N(X⁺Z^-) ³ N(X⁺Y⁺Z^-)

el s�mbolo³ significa mayor o igual.

De la misma manera

N(Y^-Z⁺) = N(X⁺Y^-Z⁺) + N(X^-Y^-Z⁺)

y por consecuencia

N(Y^-Z⁺) ³ N(X⁺Y^-Z⁺)

Nuevamente

N(X⁺Y^-) = N(X⁺Y^-Z⁺) + N(X⁺Y^-Z^-)

Hemos mostrado que N(Y^-Z⁺) es mayor o cuando menos igual a N(X⁺Y^-Z⁺) y que N(X⁺Z^-) es mayor o igual a N(X⁺Y^-Z^-).

La suma

N(X⁺Y^-Z⁺) + N(X⁺Y^-Z^-)

es por lo tanto menor o igual a la suma

N(Y^-Z⁺) + N(X⁺Z^-)

y por lo tanto vale la desigualdad

N(X⁺Y^-) £ N(X⁺Z^-) + N(Y^-Z⁺)

�sta es la llamada desigualdad de Bell que se deduce de los postulados de EPR. De las reglas de la mec�nica cu�ntica se sigue que uno puede elegir los ejes X, Y y Z de tal forma que la desigualdad de Bell no sea v�lida.

Con base en lo anterior, se han dise�ado varios experimentos para investigar si la desigualdad de Bell se cumple o no. Hasta ahora parece que de los primeros siete experimentos, cinco est�n de acuerdo con la mec�nica cu�ntica y dos con la desigualdad de Bell aunque todav�a en particular en estos �ltimos las barras de error son muy grandes y no se puede decir nada concluyente. Pido a Pier que ampl�e este importante punto de las variables ocultas y de la propuesta de Einstein, Podolsky y Rosen.

MELLO.—EI t�tulo del art�culo de Einstein, Podolsky y Rosen (EPR) es "�Se puede considerar completa la descripci�n mec�nico-cu�ntica de la realidad f�sica?". Pocos meses despu�s, Niels Bohr contest� a las objeciones de este trabajo con otra publicaci�n que lleva precisamente el mismo t�tulo.

Quisiera resumir el problema EPR en dos ideas fundamentales. La primera, la de completez de la mec�nica cu�ntica (MC), es la conclusi�n directa del art�culo. La segunda la de los aspectos no locales de la MC, no es, para m�, tan directamente transparente del art�culo mismo, sino m�s bien fruto de estudios posteriores.

Completez. EPR dan un criterio de realidad f�sica: "Si se puede predecir con certeza, sin perturbar al sistema, el valor de una cierta variable f�sica, �sta es un elemento de la realidad f�sica." Presentan despu�s un argumento asociado con la medici�n de posici�n y momento. Es un poco m�s simple repetir el argumento en t�rminos de variables de spin. Pensemos en una pareja de part�culas con s⁽ⁱ⁾=1/2 (i =1, 2), preparada con spin total cero. La pareja se desintegra, sus dos componentes se separan y, cuando est�n muy lejos una de otra (para evitar cualquier interacci�n entre ellas), se mide s⁽ⁱ⁾_z ; el resultado de la medici�n permite predecir con certeza, y sin interactuar con la part�cula 2, que s⁽²⁾_z = s⁽¹⁾_z . Por tanto, s_z es un elemento de la realidad f�sica. Se puede presentar un argumento semejante para s_x, de lo que se concluye que s_z y s_x son elementos de la realidad. Pero la MC especifica, a trav�s de sus funciones de onda, una o la otra de esas dos cantidades; por lo tanto, la MC s�lo nos da una descripci�n incompleta de la naturaleza.

Bohr replic� diciendo que lo se puede separar, en el argumento, al sistema del aparato de medici�n, y se necesitan aparatos mutuamente excluyentes para medir s_z o s_x.

No localidad. Supongamos, como en la interpretaci�n copenhaguense, que los observables asociados a dos operadores que no conmuten no est�n simult�neamente definidos: es s�lo en el momento de la medici�n que el sistema toma la decisi�n de exhibirnos s_x, o s_y, o s_z. Entonces encontramos una situaci�n curiosa como la siguiente. Las part�culas 1 y 2 ya est�n muy lejos. Si mido s⁽¹⁾_z y encuentro + 1/2, al medir s⁽²⁾_z encontrar� necesariamente - 1/2. Pero si mido s⁽²⁾_z y encuentro + 1/2, al medir s⁽²⁾_z encontrar� a veces + 1/2, a veces - 1/2. Esto es precisamente lo que pasar�a en las part�culas cl�sicas cuyo momento angular tuviera valores definidos en las tres direcciones. La correlaci�n observada ser�a una consecuencia de la conservaci�n del momento angular. Pero si un valor espec�fico de una cierta proyecci�n del spin ocurre s�lo en el momento de medir, �c�mo sabe la part�cula 2 a qu� ensemble debe pertenecer? �De qu� manera pudo 1 comunicarle a 2 qu� decisi�n tomar?

Un tipo de variables ocultas que se han inventado cumple precisamente con la tarea de evitar esa no-localidad, produciendo la correlaci�n adecuada entre las variables a nivel cu�ntico.

GARC�A-COL�N.—�Qu� nos podr�as decir sobre alg�n experimento reciente realizado para aclarar algunas de estas cuestiones?

MELLO.—En un n�mero reciente de Physics Today, Mermim comenta los resultados de un experimento realizado en Orsay. Quisiera resumir algunas de las ideas presentadas en ese art�culo.

Figura 4.

Un aparato EPR se puede esquematizar de la siguiente manera. A y B representan dos detectores: cada uno tiene un switch que se puede colocar en tres posiciones diferentes (que van a corresponder a las tres proyecciones del spin, aunque A y B se pueden seguir considerando como cajas negras) y dos focos, uno rojo y uno verde (que van a corresponder a si se observa + 1/20 - 1/2 para un detector, y al rev�s para el otro). En medio est� una fuente C, que se dispara apretando el bot�n que est� sobre ella. Se var�an al azar las posiciones de los switches cada vez que se dispara la fuente y se observa cu�l foco (R o V) se prende en cada detector. Un fragmento t�pico de una corrida muy larga se ilustra a continuaci�n:

31 RR	22 VV	33 VV
33 VV	11 RR	21 VR
33 RR	33 VV	13 VR
12 VR	31 VR	23 VR

Se observa que R y V ocurren enteramente al azar. Por ejemplo, la mitad de las veces los dos focos son del mismo color.

Sin embargo, si aislamos en el listado anterior aquellas mediciones en que el switch est� en la misma posici�n en los dos detectores, se observa que en cada caso se prendi� un foco del mismo color (en la aplicaci�n, esto va a corresponder a que los dos spines son necesariamente opuestos). Si seguimos considerando al sistema como un conjunto de cajas negras, nos preguntamos qu� mecanismo podr�a causar la correlaci�n de colores que se menciona. Si los dos detectores no se comunicaron entre s�, las dos part�culas tuvieron que haber tra�do desde la fuente un "manual de instrucciones". Supongamos que la "instrucci�n" haya sido RVR, lo que significa que si el switch est� en la posici�n 1, se prende el foco rojo, en la 2 el verde y en la 3 el rojo (en la aplicaci�n, las dos part�culas tienen las 3 proyecciones del spin bien definidas y , respectivamente). Esto explica la correlaci�n mencionada arriba, En total, 5 veces de 9(11, 22, 33, 13, 31) se observa el mismo color. Haciendo el mismo razonamiento para otras instrucciones, se llega a la conclusi�n de que la fracci�n de veces que deber�a observarse el mismo color es mayor que 1/2, �mientras que experimentalmente es 1/2! Este es un ejemplo elemental de la desigualdad de Bell que Octavio mencion� antes.

Este resultado me parece muy molesto, porque el haber abierto la posibilidad de que s_x, s_y, s_z existan al mismo tiempo nos lleva a un resultado que contradice el experimento (cuyas barras de error, por ejemplo, habr�a que analizar con cuidado) y �ste, a su vez, coincide con las predicciones de la mec�nica cu�ntica.

Se podr�a objetar que querer que s_x, s_y, s_z existan al mismo tiempo es una extensi�n inadecuada de los conceptos cl�sicos, ya que el spin, con su propiedad de que cada proyecci�n solo valga + 1/2 o -1/2 y su magnitud valga 1/2, �no es un momento angular cl�sico! Ser�a interesante ver si con las variables x, p, por ejemplo, el experimento otra vez viola la desigualdad de Bell y sigue la MC.

Feynman, en su librito The Character of the Physical Law, expresa su creencia de que no es posible la existencia simult�nea de dos variables cuyos operadores no conmuten. Ilustra esto con el experimento de las dos rendijas y parece llegar a la conclusi�n de que el simple hecho de que el electr�n trajera instrucciones desde la fuente acerca de que rendija escoger, �destruir�a la interferencia en la pantalla!

GARC�A-COL�N.—Ha habido cr�ticas a la desigualdad de Bell. �Podr�as mencionar alguna?

MELLO.—Se ha mencionado que en la demostraci�n de la desigualdad de Bell impl�citamente se supone la localidad de las variables ocultas, y que queda abierta la posibilidad de la no localidad. Tambi�n se ha alegado que la densidad de probabilidad que se usa para las variables ocultas se toma de estado inicial del sistema y el proceso de medici�n no parece entrar en juego en la prueba.

GARC�A-COL�N.—Respecto a este problema de las variables ocultas, �tienes alg�n comentario?

MELLO.—Quisiera comentar sobre una opini�n que a veces se escucha, en el sentido de que con la introducci�n de las variables ocultas no se ha eliminado el azar, sino que �ste se ha pasado a otro nivel.

A m� me parece que ese no es el punto. Si se logra introducir variables ocultas l, se habr� logrado que x, p est�n definidas simult�neamente a un nivel subcu�ntico; un promedio sobre l reproducir�a la MC o alguna generalizaci�n de ella, tal como en mec�nica estad�stica se obtiene la termodin�mica promediando sobre las variables microsc�picas, que estar�an "ocultas" a nivel macrosc�pico. Desde luego habr�a que ver si las predicciones resultantes concuerdan con el experimento, como mencion� m�s arriba en conexi�n con el experimento de Orsay.

La idea de trabajar en el espacio fase, como se hace en f�sica cl�sica, es muy atractiva. Ha habido m�s de un intento en el pasado. Sin embargo, un teorema debido a Wigner, que indica que no se puede construir dentro de la MC una densidad de probabilidad positiva definida sobre el espacio fase (por ejemplo, la "distribuci�n de Wigner"), parece limitar esta posibilidad. Pero Wigner supone, en su prueba, que tal densidad es una funci�n cuadr�tica de la funci�n de onda; esta suposici�n se puede relajar y as� se abre la puerta a una serie de posibilidades muy interesantes.

Finalmente quisiera mencionar el siguiente punto. Aun en mec�nica cl�sica, los sistemas no integrales son deterministas, mas no calculables: parece que s�lo se puede dar una descripci�n probabil�stica en el espacio fase (sistemas ca�ticos). Si ahora pensamos en el punto de vista de la electrodin�mica estoc�stica para describir a los sistemas microsc�picos, un electr�n estar�a sujeto a un potencial estoc�stico proveniente, quiz�, del resto de materia en el Universo: seguramente un problema tan complejo como �ste cae dentro de la categor�a de los no integrables mencionados m�s arriba, donde s�lo es factible dar una descripci�n probabil�stica del problema. �Tal vez no logremos librarnos del azar!