VIII. OTRA VERTIENTE. PLANCK Y LA TEOR�A CU�NTICA

EN ESTE cap�tulo haremos una breve descripci�n de otros desarrollos que se estaban llevando a cabo de manera paralela a los sucesos que narramos anteriormente, y se refieren a la teor�a de radiaci�n t�rmica.

Nuestra historia se remonta al a�o de 1859 cuando el f�sico alem�n Gustav Kirchhoff present� un trabajo a la Academia de Ciencias de Berl�n que trataba de la emisi�n y absorci�n de calor y luz. Kirchhoff demostr�, como consecuencia de investigaciones sobre las propiedades de la luz que nos llega del Sol, que si rayos de luz de frecuencia fija inciden sobre un cuerpo, �ste absorbe parte del haz incidente. La fracci�n absorbida por el cuerpo se llama poder de absorci�n. Cada cuerpo, dependiendo de los materiales de que est� compuesto tendr� su valor particular del poder de absorci�n. Distintos cuerpos tienen, en general, distintos valores de esta cantidad. Adem�s, el poder de absorci�n de un cuerpo tiene distintos valores para distintas frecuencias de las ondas de luz que incidan sobre �l.

Por otro lado, un cuerpo dado que est� a cierta temperatura fija emite luz. La mayor parte de ella invisible al ojo humano, luz que tiene ondas de muchas frecuencias (figura 20). La fracci�n de la energ�a emitida a una frecuencia fija se llama poder de emisi�n. Al igual que con el poder de absorci�n, el poder de emisi�n de un cuerpo, a una frecuencia dada, depende de las caracter�sticas del cuerpo. Distintos cuerpos tienen distintos poderes de emisi�n, y para un mismo cuerpo, sus poderes de emisi�n son distintos para distintas frecuencias de la luz.

Figura 20. Un cuerpo a una temperatura fija emite radiaci�n electromagn�tica de diferentes frecuencias.

Sean a_f y e_f los poderes de absorci�n y emisi�n de un cuerpo a la frecuencia f, respectivamente. Kirchhoff demostr� en su trabajo de 1859 que el cociente de estas dos cantidades, o sea, e_f /a_f tiene el mismo valor para todos los cuerpos que est�n en equilibrio a la misma temperatura. Esto significa que si tenemos dos cuerpos a la misma temperatura, pero hechos de distintos materiales y de distintas formas, entonces el cociente arriba indicado (a la frecuencia f) para cada uno de ellos tiene un valor. Kirchhoff demostr� que estos valores num�ricos son iguales.

Adem�s, el valor del cociente mencionado solamente depende de la frecuencia y de la temperatura. A causa de que este cociente es el mismo para todas las sustancias, es una cantidad universal. A este resultado se le llama la ley de Kirchhoff.

En tiempos de Kirchhoff se conoc�a solamente la luz visible. Sin embargo, existen otras ondas que tienen frecuencias que no son visibles al ojo humano. Esta radiaci�n es la llamada invisible y consiste en ondas ultravioleta, infrarroja, etc�tera. Se ha podido demostrar que la ley de Kirchhoff es tambi�n v�lida para las ondas de la radiaci�n invisible.

Consideremos ahora un cuerpo muy particular que es el llamado cuerpo negro. �ste es un absorbedor perfecto de radiaci�n tanto visible como invisible, a cualquier temperatura. Se usa la palabra negro para denotar a una sustancia que absorbe toda la luz que le llega y no refleja nada de ella, como por ejemplo el carb�n. Del trabajo de Kirchhoff se concluye que si un cuerpo es un absorbedor perfecto de radiaci�n a cualquier temperatura, entonces tambi�n ser� un perfecto emisor de radiaci�n.

Apliquemos ahora la ley de Kirchhoff a un cuerpo negro. En este caso, como el cuerpo absorbe toda la radiaci�n que le llega, el poder de absorci�n es a_f = 1. En consecuencia, el cociente arriba mencionado es igual a e_f . Por lo tanto, el poder de emisi�n de un cuerpo negro es precisamente la cantidad universal arriba citada. Es justamente por este motivo que se usa el cuerpo negro. Si se tratara de obtener esta cantidad universal usando cualquier otro cuerpo, se tendr�an que obtener dos propiedades: los poderes de emisi�n y de absorci�n. Para un cuerpo negro esta �ltima es igual a 1.

Un ejemplo de cuerpo negro es el formado por una cavidad (figura 21) cuyas paredes se encuentran a una temperatura fija. Las paredes interiores de la cavidad son negras. Este cuerpo tiene un peque��sima abertura. Cualquier radiaci�n que pueda entrar por la abertura es dispersada en el interior y absorbida por reflexiones repetidas, con la consecuencia de que pr�cticamente nada de ella puede volver a salir. Es decir, esta cavidad absorbi� toda la radiaci�n incidente, con lo cual es un perfecto absorbedor, y por tanto, un cuerpo negro. En consecuencia uno intentar�a encontrar el poder de emisi�n de esta cavidad. Esta cantidad solamente depende de la frecuencia y de la temperatura.

Figura 21 una cavidad puede ser un cuerpo negro.

Si ahora sumamos todas las energ�as que corresponden a cada una de las frecuencias de la radiaci�n que est� dentro de la cavidad se obtendr� la energ�a total. De acuerdo con la ley de Kirchhoff, la energ�a total contenida dentro de la cavidad que se encuentra a una temperatura fija solamente depender� de la temperatura y ser� independiente de la naturaleza de la pared.

En 1865, John Tyndall, en Inglaterra, llev� a cabo una serie de mediciones sobre la emisi�n total de energ�a de un alambre de platino a distintas temperaturas, al hacerle pasar una corriente el�ctrica. Al calentarse el alambre emite radiaci�n. Se puede considerar esta radiaci�n como de cuerpo negro. Tyndall encontr� que a 1 200�C (=1 473�K) el platino emit�a 11.7 veces m�s energ�a que cuando estaba a la temperatura de 525�C (= 798� K).1 En Viena, Josef Stefan conoci� estos resultados y se dio cuenta que el cociente de 1,473 entre 798 elevado a la cuarta potencia es aproximadamente 11.7, es decir,

En 1879 concluy� que la energ�a total de la radiaci�n es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T. Una verificaci�n independiente de esta conclusi�n la hizo L. Graetz en Estrasburgo, Francia, en 1880. Experimentos posteriores hechos entre 1897 y 1899 por F. Paschen, O. Lummer y E. Pringsheim, C. E. Mendenhall y F. A. Saunders para diversas temperaturas confirmaron esta dependencia en la temperatura.

Fue Ludwig Boltzmann quien present� en 1884 una justificaci�n te�rica del resultado de Stefan. Boltzmann hizo la demostraci�n con ayuda solamente de razonamientos termodin�micos. A este resultado se le llama la ley de Stefan-Boltzmann.

N�tese que la energ�a a la que se refiere la ley de Stefan-Boltzmann es la total que emite el cuerpo. En particular, hay que darse cuenta de que la ley de Stefan-Boltzmann no dice nada acerca de las propiedades de la radiaci�n para distintas frecuencias.

Por otro lado, en la �ltima parte del siglo pasado se desarroll� una intensa actividad de investigaci�n experimental de las propiedades de la radiaci�n del cuerpo negro, como se le llam�. En 1880, S. P. Langley, en Estados Unidos, en el curso de investigaciones sobre la radiaci�n solar, invent� el bol�metro, aparato con el que se lograron muy altas sensibilidades en las mediciones de la radiaci�n. Por otro lado, en 1895 Otto Lummer y Willy Wien construyeron por primera vez una cavidad que sirvi� de fuente de radiaci�n de cuerpo negro. Desde 1884 se hab�a formado un grupo experimental de investigaci�n en el Instituto F�sico-T�cnico de Berl�n donde adem�s de Lummer tambi�n trabajaron E. Pringsheim, H. Rubens, F.Kurlbaum y otros m�s.

En el a�o de 1896 W. Wien public� un trabajo en el que obtuvo la distribuci�n de la energ�a en la radiaci�n de cuerpo negro, es decir, la energ�a seg�n la frecuencia de la radiaci�n y de su temperatura. Para ello us� una sugerencia propuesta en 1887 por el f�sico norteamericano V. A. Michelson que utiliz� la distribuci�n de velocidades que hab�a obtenido Maxwell. As�, Wien obtuvo los resultados mostrados en la figura 22. Aqu� se muestran varias distribuciones para distintas temperaturas. N�tese que estas curvas tienen la forma general de una campana. Posteriormente, entre 1879 y 1899, Max Planck present� una derivaci�n m�s rigurosa de los resultados de Wien.

Figura 22. Distribuci�n de Wien para distintas temperaturas. A medida que la temperatura aumenta, el m�ximo se desplaza hacia mayores valores. N�tense los cambios de escala para la frecuencia.

F. Paschen y H. Wanner hicieron una serie de experimentos muy met�dicos que confirmaron los resultados obtenidos por Wien para las frecuencias que corresponden a la luz visible y para temperaturas de hasta 4 000�C.

El valor de la frecuencia f_m para el cual la distribuci�n adquiere un m�ximo es distinto para distintas temperaturas. Vemos que al aumentar la temperatura aumenta este valor m�ximo de f_m. Esto constituye lo que se llama la ley de desplazamiento de Wien. En 1879 Lummer y Pringsheim confirmaron experimentalmente este desplazamiento para temperaturas del cuerpo negro entre 100�C y 1 300�C.

Hacia fines de siglo, se realizaron experimentos para valores de las frecuencias mucho menores que las visibles y se concluy� que la ley de radiaci�n de Wien dejaba de ser v�lida en esos rangos. De hecho, para frecuencias muy bajas hab�a discrepancias muy fuertes con los resultados experimentales.

En junio de 1900 apareci� publicado un trabajo del notable f�sico ingl�s lord Rayleigh en el que aplicaba el teorema de equipartici�n de la energ�a de la teor�a cin�tica a la radiaci�n electromagn�tica. Su argumento fue muy sencillo: calcul� el n�mero de ondas que hab�a en un intervalo muy peque�o de frecuencias y, de acuerdo con el teorema de equipartici�n de la energ�a, a cada una de ellas le asign� la misma energ�a. As� obtuvo una distribuci�n de frecuencias. En la figura 23 se muestran algunas de estas distribuciones para diferentes temperaturas. A esta ley se le ha llamado la ley de radiaci�n de Rayleigh-Jeans. Al comparar con resultados experimentales resulta que la ley de Rayleigh concuerda en la regi�n de muy bajas frecuencias, justamente donde la ley de Wien falla. En las altas frecuencias, es la ley de Rayleigh la que entra en falta ya que la distribuci�n crece sin cesar, hecho que no es aceptable. Pero es en la regi�n de altas frecuencias en donde la ley de Wien concuerda con la realidad.

Como resumen de lo anterior podemos decir que hacia la �ltima mitad de 1900 se sab�a que las leyes de Wien y de Rayleigh no pod�an describir los resultados experimentales obtenidos para la distribuci�n de la radiaci�n de cuerpo negro. Se ve que, en cierto modo, son complementarias. Lo que hac�a falta era una ley que para frecuencias grandes concordara con la de Wien, mientras que a bajas frecuencias concordara con la de Rayleigh.

Figura 23. Distribuci�n de Rayleigh para distintas temperaturas. Estas distribuciones no tienen m�ximo. N�tense los cambios de escala para la frecuencia.

Max Planck (1858-1947) fue alumno de Kirchhoff y trabaj� durante mucho tiempo en la teor�a de la termodin�mica. Los trabajos de R. Clausius, uno de los cient�ficos que desarrollaron esta disciplina, tuvieron una influencia muy grande sobre su trabajo posterior. En particular, Planck elabor� con mucha precisi�n la segunda ley de la termodin�mica que hab�a formulado Clausius. Durante gran parte de la primera mitad de su vida cient�fica, Planck se mostr� hostil hacia la teor�a at�mica. Desarroll� trabajos, por ejemplo sobre transiciones de fase, como la evaporaci�n, en los que enfatiz� que no hab�a hecho ninguna suposici�n sobre la constituci�n at�mica de la materia. Sosten�a que al desarrollar una teor�a se deber�a ir tan lejos como fuera posible con la termodin�mica antes de introducir suposiciones sobre la estructura interna de las sustancias. Se interes� en particular en los problemas de la radiaci�n de cuerpo negro porque crey� que aplicando las leyes tanto de la termodin�mica como del electromagnetismo 2 a este sistema se podr�a llegar a entender cuestiones fundamentales de la f�sica.

En el a�o de 1889 Planck fue nombrado sucesor de Kirchhoff en la c�tedra de f�sica de la Universidad de Berl�n. All� tuvo oportunidad de entrar en contacto cotidiano con los f�sicos experimentales Rubens y Kurlbaum, que entonces estaban dedicados a medir propiedades de la radiaci�n del cuerpo negro. Planck se dedic� estos a�os a estudiar procesos irreversibles relacionados con la radiaci�n de cuerpo negro.

La Academia de Ciencias de Berl�n hab�a programado una reuni�n para octubre de 1900 en la que Rubens y Kurlbaum iban a presentar un informe de sus resultados experimentales en el que establec�an, sin lugar a dudas, que la distribuci�n de Wien no se ajustaba a la realidad para las frecuencias bajas. Mostraron el informe a Planck unos d�as antes de la reuni�n. Planck se convenci� de que se ten�a que revisar la deducci�n hecha de la f�rmula de Wien.

Planck se meti� de lleno a este arduo trabajo. Dados los antecedentes de su trabajo en termodin�mica, decidi� ver hasta d�nde se pod�a llegar sin hacer suposiciones microsc�picas. Para ello utiliz� magistralmente la segunda ley de la termodin�mica y con ella busc� la forma que deb�a tener una propiedad termodin�mica particular, la entrop�a. Esta cantidad queda determinada por la distribuci�n de frecuencias. Lo que hizo Planck fue calcular primero la entrop�a, suponiendo la distribuci�n de Wien y luego volvi� a calcular la entrop�a tomando la distribuci�n de Rayleigh. Naturalmente que las dos formas que encontr� eran diferentes. En seguida lo que hizo fue lo que en matem�ticas se llama una interpolaci�n; es decir, busc� un puente, por decirlo as�, entre estas dos expresiones. As� propuso una expresi�n que en un extremo se reduce a la correspondiente de Wien, mientras que la misma expresi�n se reduce, en el otro extremo a la correspondiente de Rayleigh. En la figura 24 se muestra la distribuci�n, a distintas temperaturas, que as� obtuvo Planck. En la figura 25 se comparan, a una temperatura fija, las distribuciones de Planck con las de Wien y Rayleigh. Se notar� que a bajas frecuencias la distribuci�n de Rayleigh coincide con la de Planck, mientras que a altas frecuencias la de Wien se confunde con la de Planck. A frecuencias intermedias las distribuciones de Rayleigh y de Wien no coinciden con la de Planck.

Planck expuso su resultado en la reuni�n mencionada de la Academia, como comentario despu�s de la presentaci�n del trabajo de Rubens y Kurlbaum. En la misma noche, Rubens hizo algunos experimentos y confirm� que el acuerdo entre la distribuci�n de Planck y las mediciones que acababa de obtener eran excelentes. Posteriormente Lummer y Prigsheim tambi�n verificaron experimentalmente la f�rmula de Planck.

Figura 24. Distribuci�n de Planck para distintas temperaturas. El m�ximo tambi�n se desplaza al aumentar la temperatura. N�tense los cambios de escala para la frecuencia.

Esta interpolaci�n fue una de las contribuciones m�s significativas e importantes jam�s hechas en la historia de la f�sica. Sin embargo, el mismo Planck fue el primero en estar consciente de que la interpolaci�n que hab�a hecho era completamente emp�rica. No ten�a ninguna justificaci�n te�rica para su proceder. Lo que s� parec�a, que era correcta. En la misma sesi�n Planck la llam� una feliz adivinanza.

Figura 25. Comparaci�n de las distribuciones de Wien, Rayleigh y Planck a la misma temperatura.

Planck decidi� intentar transformar este estado de cosas y poder justificar su interpolaci�n de manera que fuera "una afirmaci�n de significado f�sico real" como �l mismo lo expres�. Para ello no tuvo m�s remedio que abandonar el manejo termodin�mico macrosc�pico y usar una descripci�n microsc�pica de la entrop�a. Boltzmann ya hab�a trabajado a�os antes en este tema en el contexto de la teor�a cin�tica, habiendo expresado la entrop�a en t�rminos de las posibles distribuciones de configuraci�n y de velocidad del sistema compatibles con su energ�a. Esto �ltimo significa lo siguiente. Consideremos un gas de part�culas (figura 26 a): sup�ngase que la part�cula 1 tiene una velocidad, digamos v₁; que la part�cula 2 tiene una velocidad v₂, etc. Una vez conocidos estos valores de las velocidades, se puede calcular la energ�a total del gas. Se puede uno imaginar ahora otro gas (figura 26 b) compuesto de las mismas part�culas, pero ahora con la part�cula 1 teniendo la velocidad v₁, distinta a v₁que ten�a la part�cula 1 en el primer gas. De la misma forma, ahora la part�cula 2 tiene velocidad v'₂, etc. Calculando ahora la energ�a total de este segundo gas, puede ocurrir que esta energ�a total sea igual a la energ�a total del primer gas. Esto quiere decir que cada part�cula de un gas tiene una energ�a distinta a la correspondiente en otro gas, pero la suma de todas las energ�as da el mismo valor. Decimos que se tienen dos distribuciones microsc�picas de las velocidades de las part�culas compatibles con el mismo valor de la energ�a total. Habida cuenta de que el n�mero de part�culas en un gas es muy grande (10²⁰ [un uno seguido de veinte ceros] part�culas en un cent�metro c�bico de gas) es claro que hay un n�mero muy grande de distribuciones distintas todas compatibles con el mismo valor de la energ�a.

Figura 26. Dos gases pueden tener distintas distribuciones de velocidad, pero la misma energ�a total.

En general, Boltzmann encontr� que la entrop�a de un sistema est� relacionada con el n�mero total de distribuciones microsc�picas que puede tener el sistema que sean compatibles con el mismo valor de la energ�a total. Este es el resultado que Planck se vio forzado a usar.

Planck us� el siguiente modelo para tratar la radiaci�n de cuerpo negro producida por una cavidad. Como consecuencia de la ley de Kirchhoff, la naturaleza de la pared no tiene ninguna relevancia, lo �nico que se requiere es que est� en equilibrio a una temperatura fija. Por tanto, podr�a usar como modelo para las paredes de la cavidad el que fuera m�s conveniente. Planck tom� un caso que ya se hab�a estudiado. Supuso que los radiadores de la pared que producen la radiaci�n de cuerpo negro eran lo que se denomina osciladores arm�nicos, cuyas propiedades ya se conoc�an. Supuso que por cada frecuencia que estuviese presente en la radiaci�n hab�a en la pared por lo menos un oscilador de la misma frecuencia. El siguiente paso fue determinar el n�mero de distribuciones posibles de los osciladores de cierta frecuencia compatibles con la energ�a de la radiaci�n a esa misma frecuencia. Aqu� se vio en la necesidad de hacer una suposici�n. Seg�n la mec�nica un oscilador puede tener cualquier valor de su energ�a, es decir, puede tener una magnitud continua. Pero si se usa esta concepci�n tradicional no se podr�a seguir un procedimiento combinatorio para determinar el n�mero de distribuciones totales. Como �l mismo lo manifest�:

Ahora tenemos que considerar la distribuci�n de la energ�a, digamos U, correspondiente a cierta frecuencia entre todos los osciladores que tienen la misma frecuencia. Si U se pudiera considerar como una cantidad divisible infinitamente, la distribuci�n se podr�a hacer en un n�mero infinito de maneras. Nosotros consideraremos, sin embargo —y este es el punto cardinal de todo el c�lculo— a U como si estuviese compuesto de un n�mero finito de partes discretas iguales[...] la energ�a de cada uno de estos elementos es igual al producto de una constante h por la frecuencia del oscilador.

En consecuencia, Planck se vio forzado a suponer que la energ�a total era la suma de un n�mero entero de lo que llam� "elementos de energ�a" o "cuantos de energ�a" para poder utilizar distintas distribuciones de la energ�a.

Con las suposiciones anteriores, Planck encontr� que la distribuci�n de la radiaci�n de cuerpo negro era efectivamente la que hab�a encontrado emp�ricamente y que se muestra en la figura 24. Asimismo, comparando sus c�lculos con los resultados experimentales de Rubens y colaboradores obtuvo el valor num�rico de la constante h.3 A esta constante se le ha llamado la constante de Planck.

Como Planck describi� su trabajo al recibir el premio Nobel de F�sica en 1920: "Despu�s de varias semanas 4 del trabajo m�s arduo de mi vida, la oscuridad se levant� y un paisaje inesperado empez� a aparecer." En la reuni�n de la Sociedad Alemana de F�sica, el 14 de diciembre de 1900, Planck present� estos resultados bajo el t�tulo "Sobre la teor�a de la ley de distribuci�n de energ�a del espectro normal". Es as� como naci� la mec�nica cu�ntica.

En este momento queremos subrayar algunos puntos. En primer lugar, en ning�n lugar de su trabajo Planck destac� la hip�tesis que hab�a hecho de que la energ�a de cada oscilador (o sea de cada part�cula que compone a la pared) fuera un m�ltiplo entero de una energ�a caracter�stica, relacionada con su frecuencia, o sea que la energ�a solamente se puede dar en "paquetes". As� como se relat� arriba, Planck consider� que la "discretizaci�n" de la energ�a era solamente un artificio matem�tico que se hab�a visto forzado a usar para poder aplicar las ideas de Boltzmann. Recordamos que solamente se puede tener un n�mero finito de distribuciones cuando se tiene un n�mero finito de elementos, en este caso, de "paquetes" de energ�a. Planck no le adscribi� ninguna realidad f�sica a esta cuantizaci�n de la energ�a. M�s adelante, en l931, Planck describi� en una carta el estado en que se encontraba al hacer la hip�tesis de la cuantizaci�n: "Fue un acto de desesperaci�n que hice porque se ten�a que dar una explicaci�n te�rica a toda costa, cualquiera que fuera el precio." Sin embargo, �l mismo no estuvo satisfecho, ya que esta suposici�n era contraria a los principios de la mec�nica de Newton en la cual la energ�a era una cantidad continua; no hab�a forma de que, sin m�s, fuera discreta.

El f�sico holand�s H. A. Lorentz aclar� que la �nica consecuencia de la mec�nica de Newton era la ley de distribuci�n de Rayleigh, que utilizaba el teorema de equipartici�n de la energ�a. Por tanto, la distribuci�n de Planck era contraria a los principios de la mec�nica de Newton.

En los a�os siguientes al trabajo de Planck, pr�cticamente nadie le puso atenci�n. Se pens� que su hip�tesis no ten�a mayores consecuencias f�sicas. De hecho, de manera inconsciente se esperaba que alguien justificara de manera satisfactoria la distribuci�n obtenida, pero en forma congruente con los principios de la mec�nica de Newton.

Lo que s� se hizo fue un intenso trabajo experimental para verificar la distribuci�n de Planck en un amplio rango de frecuencias. As�, la distribuci�n de Planck fue confirmada en experimentos realizados por L. Holborn y S. Valentiner hasta temperaturas de 1 600�C, por W. W. Coblentz para frecuencias altas, por E. Warburg y un grupo de colaboradores en distintas condiciones, etc�tera. Todos ellos llegaron a la conclusi�n de que la distribuci�n obtenida por Planck describ�a perfectamente bien la realidad.

En vista de la confirmaci�n experimental de las conclusiones del trabajo de Planck, se intent� justificarlo te�ricamente sin abandonar la mec�nica de Newton. Lorentz admitió: "No podemos decir que al mecanismo de estos fen�menos Planck le ha quitado el velo y debemos admitir que es dif�cil ver la raz�n de esta partici�n de la energ�a en porciones finitas, que ni siquiera son iguales una a otra, sino que var�an de un oscilador a otro, ya que sus frecuencias var�an".

NOTAS

1 A la temperatura de 525�C el platino adquiere una coloraci�n rojiza mientras que a 1 200�C es completamente blanco.

2 Para la �poca en que Planck trabajaba ya se hab�a establecido que la luz era una parte de las ondas electromagn�ticas.

3 El valor de la constante de Plank es 6.63 x 10^-34 joule seg.

4 Fueron 8 semanas.