X. EINSTEIN DA LA LUZ AL ENIGMA DE LOS CALORES ESPEC�FICOS

INCLUSO despu�s de la publicaci�n del trabajo de Einstein sobre el efecto fotoel�ctrico, en 1905, la situaci�n de la teor�a de Planck se pod�a considerar, desde el punto de vista macrosc�pico, como el resultado de una interpolaci�n matem�tica y desde el punto de vista microsc�pico como el de una suposici�n matem�tica de que las energ�as que pod�a absorber o emitir una part�cula en interacci�n con la radiaci�n electromagn�tica ten�an que ser unidades discretas, llamados "cuantos" de energ�a. Para Planck �ste fue un simple artificio para poder llegar al mismo resultado que el obtenido por su interpolaci�n.

En el trabajo de 1905, Einstein argument� por primera vez sobre la realidad f�sica de la cuantizaci�n de la energ�a de la radiaci�n electromagn�tica. Como vimos en el cap�tulo anterior, con ello pudo explicar varios fen�menos que parec�an contradictorios con las ideas que entonces se ten�an. Sin embargo, esta aplicaci�n, por muy importante que fuese, segu�a estando dentro del dominio de la radiaci�n electromagn�tica.

Hasta este momento el resto de la comunidad cient�fica consideraba que los trabajos de Planck y de Einstein eran ad-hoc, es decir, construidos solamente para explicar la interacci�n de la radiaci�n electromagn�tica con la materia y que no eran relevantes ni importantes para otros fen�menos f�sicos.

Aqu� cabe ahora un comentario de mucha importancia. Una teor�a f�sica es significativa si, adem�s de explicar los fen�menos f�sicos para los que ha sido construida, puede tambi�n explicar otros fen�menos fuera de su dominio original. En 1907, Einstein public� un trabajo titulado "La teor�a de la radiaci�n de Planck y la teor�a de los calores espec�ficos", con el que dio a la teor�a de Planck relevancia f�sica en el sentido acabado de mencionar, y de hecho abri� las compuertas de la teor�a cu�ntica. En este trabajo, Einstein aplic� los conceptos cu�nticos, que �l mismo hab�a utilizado para la radiaci�n electromagn�tica, a fen�menos termodin�micos en sistemas materiales que no inclu�an radiaci�n electromagn�tica. Es as� como mostr� que las ideas de la cuantizaci�n, aplicadas fuera del �rea de la radiaci�n, pod�an resolver inconsistencias y paradojas que se presentaban en el �rea de la teor�a cin�tica, por ejemplo en el caso de los calores espec�ficos de diversas sustancias como los s�lidos a bajas temperaturas.

Como se vio en secciones anteriores, la teor�a cin�tica desarrollada por Maxwell, basada en la mec�nica de Newton, predec�a resultados que contradec�an las mediciones experimentales para el calor espec�fico. En efecto, la teor�a cin�tica predec�a el teorema de la equipartici�n de la energ�a, con el que se conclu�a que el calor espec�fico de una sustancia, por cada grado de libertad, deber�a ser una cantidad constante al variar la temperatura. A temperaturas suficientemente altas, esto era lo que efectivamente suced�a, y queda englobado en la ley de Dulong-Petit. Sin embargo, al disminuir la temperatura de las sustancias y medir sus calores espec�ficos se encontraron dos cosas: a) que el calor espec�fico variaba al cambiar la temperatura y b) al disminuir la temperatura el calor espec�fico disminu�a, de tal suerte que al acercarse al cero absoluto (es decir a 273�C bajo cero) el calor espec�fico tend�a a anularse.

La teor�a cin�tica entonces conocida no pod�a explicar estos resultados.

Refiri�ndose a la hip�tesis de Planck de que durante el proceso de absorci�n o emisi�n de energ�a en la radiaci�n, los valores de la energ�a solamente pod�an variar en m�ltiplos del producto de la constante de Planck h multiplicada por la frecuencia del oscilador, Einstein mencion� lo siguiente en su trabajo de 1907:

No deber�amos estar satisfechos, yo creo, con esta conclusi�n ya que la siguiente cuesti�n llega a nuestra mente: si es que efectivamente es cierto que las oscilaciones elementales que se usan en la teor�a de la transferencia de energ�a entre radiaci�n electromagn�tica y la materia no se pueden interpretar en t�rminos de la teor�a cin�tica molecular que actualmente conocemos, �no deber�amos tambi�n modificar nuestra teor�a para otras oscilaciones que se usan en la teor�a del calor? En mi opini�n no hay duda sobre la respuesta. Si la teor�a de Planck realmente llega a la esencia de este asunto, entonces uno deber�a esperar que las contradicciones que existen en otras �reas de la teor�a del calor entre la teor�a cin�tica molecular actual y la experiencia, pudieran ser resueltas por medio del m�todo acabado de proponer.

Las otras oscilaciones a las que Einstein se refiere son las siguientes. En los modelos de s�lidos se supone que las mol�culas que los componen se encuentran localizadas en ciertos puntos del espacio distribuidos en forma regular, formando un cristal (figura 4). Estos puntos se llaman los puntos de la red o malla cristalina. Las part�culas que componen el cristal pueden oscilar alrededor de estos puntos de la red, con amplitudes muy peque�as. Es claro que si las amplitudes son grandes, entonces ya no tiene mucho sentido hablar de part�culas localizadas y, por lo tanto, de un cristal.

Einstein demostr� en su trabajo que la disminuci�n del valor del calor espec�fico de los s�lidos al disminuir la temperatura pod�a explicarse tomando como base las ideas cu�nticas de Planck. Para simplificar su tratamiento matem�tico, supuso que todos los �tomos del s�lido oscilaban con la misma frecuencia y encontr� entonces una expresi�n para su calor espec�fico cuya gr�fica como funci�n de la temperatura se muestra en figura 30. Las caracter�sticas de este resultado son:

Figura 30. Comportamiento del calor espec�fico de un s�lido, obtenido por Einstein basado en la hip�tesis cu�ntica.

a) Para altas temperaturas (v�ase punto b), el calor espec�fico adquiere el valor dado por la ley de Dulong -Petit.

b) Einstein encontr� que existe una temperatura caracter�stica T_E del s�lido, relacionada con la frecuencia con que oscilan las part�culas. Es con respecto a este valor que se puede hablar de altas o bajas temperaturas. As�, altas temperaturas significan valores de la temperatura mucho mayores que la temperatura caracter�stica T_E.

c) Al disminuir el valor de la temperatura y acercarse al de la temperatura caracter�stica T_E el calor espec�fico del s�lido cambia con la temperatura. De hecho disminuye, como puede verse experimentalmente.

d )Al acercarse al cero absoluto de la temperatura, el valor del calor espec�fico se hace cada vez m�s y m�s peque�o. Einstein encontr� que en el cero absoluto, el calor espec�fico se anula.

De esta manera Einstein explic� que el hecho de que el calor espec�fico de una sustancia var�e el cambiar su temperatura �es una manifestaci�n macrosc�pica de efectos cu�nticos!

Comparando las figuras 5 y 30 vemos que hay concordancia cualitativa entre la predicci�n de Einstein y los valores experimentales para el calor espec�fico. Sin embargo, al hacer una comparaci�n cuantitativa detallada, se encuentra que a bajas temperaturas no hay concordancia. Einstein predijo que el valor del calor espec�fico debe disminuir mucho m�s r�pidamente de lo que en realidad lo hace. De hecho, hablando en lenguaje matem�tico, Einstein predijo una disminuci�n exponencial, mientras que experimentalmente la disminuci�n va como la temperatura absoluta T elevada a la tercera potencia, la llamada ley T³.

Es claro que uno no deber�a esperar de un modelo tan simplificado como el de Einstein una concordancia cuantitativa. En los s�lidos reales no todas sus part�culas oscilan con la misma frecuencia. En realidad hay un n�mero muy grande de frecuencias distintas, es decir, hay una distribuci�n de frecuencias. Sin embargo, esto no es lo importante en este momento, sino el hecho de poder extraer la conclusi�n de que los efectos cu�nticos son los responsables de la disminuci�n del valor del calor espec�fico. Aqu� tambi�n Einstein demostr� su genio especial, al poder dise�ar modelos lo suficientemente sencillos para poder hacer conclusiones fundamentales. M�s adelante, en 1912, Peter Debye refin� este modelo de Einstein tomando en cuenta justamente el hecho de que las frecuencias con las que vibran las part�culas de un cristal son much�simas y pudo predecir que a bajas temperaturas el comportamiento es como T³, todo basado en las ideas cu�nticas de Einstein.