II. LOS A�OS EN BERNA
| Realmente fueron hermosos aquellos a�os en Berna. A. EINSTEIN |
EINSTEIN permaneci� en Berna hasta finales de 1909: cuando sali�
de ah� para tomar su puesto de profesor asociado en la Universidad de Zurich,
hab�a ya escrito el trabajo en que propone que la luz tiene naturaleza cu�ntica
y que le valiera el premio Nobel; participado decisivamente en la demostraci�n
definitiva de la estructura at�mica de la materia y creado la mec�nica estad�stica
y la teor�a del movimiento browniano; inventado la teor�a especial de la relatividad
e iniciado la construcci�n de la teor�a general de la relatividad; adem�s, hab�a
descubierto la que probablemente es la m�s famosa f�rmula de la f�sica contempor�nea:
E= mc² como el corrimiento de la luz hacia el rojo y fundando
la teor�a cu�ntica de los s�lidos. Lleva entre sus papeles su primer doctorado
honoris causa y antes de un a�o ser�a propuesto por primera vez para
el premio Nobel. C�mo sucedi� todo esto trataremos de contarlo en este cap�tulo.
Berna es una peque�a ciudad de car�cter universitario, casi milenaria y hermosa. Einstein tuvo la fortuna de instalarse en el n�mero 49 de la Kramgasse, de la que Goethe en sus Viajes a Suiza dijera que es la m�s bella calle de esta pulcra ciudad. El peque�o departamento en el �ltimo piso que ocuparan los Einstein es hoy museo y est� abierto al p�blico. En este departamentito vivi� Einstein durante 1905, el annus mirabilis, no s�lo de Einstein, sino de la f�sica, el curso del cual le fue suficiente para ensanchar los horizontes de la f�sica, como nunca nadie, antes o despu�s de �l pudo hacerlo en tan corto tiempo y a tal profundidad, con la �nica excepci�n de Newton.
Einstein permaneci� en la Oficina de Patentes hasta finales de 1909, habiendo obtenido promoci�n a experto t�cnico de segunda clase en 1906. En febrero de 1908 prob� suerte como profesor privado (es decir, pagado por sus alumnos) en la Universidad de Berna, mermando con ello su limitado tiempo libre para investigar. Finalmente logr� el puesto antes mencionado en la Universidad de Zurich, en la que no permanecer�a por mucho tiempo. Es sumamente interesante conocer c�mo obtuvo Einstein su primer puesto de profesor.
En 1908 la Universidad de Zurich decidi� crear la c�tedra de f�sica te�rica; entre los posibles candidatos a ocupar el correspondiente puesto de profesor asociado se encontraban Einstein y su excompa�ero de estudios en la ETH Friedrich Adler (1879-1960), hijo de Viktor Adler, uno de los fundadores del Partido Socialdem�crata austriaco. Por simpat�as pol�ticas —y sin dem�rito de Adler— el puesto se le ofreci� a este �ltimo. Cuando el joven Adler se enter� que Einstein s� tendr�a inter�s en el puesto en un acto pleno de integridad y lealtad escribi� una carta al Comit� de Educaci�n, en la que dec�a que: "Si es posible obtener una persona como Einstein para nuestra Universidad, es absurdo darme a m� el puesto. Debo decir francamente que mis habilidades como investigador en f�sica no soportan la menor comparaci�n con las de Einstein. Una oportunidad como la presente de conseguir una persona que nos puede beneficiar tanto, elevando el nivel general de la Universidad no debe perderse debido a simpat�as pol�ticas." Adler tuvo a�n que insistir durante varios meses para lograr que Einstein fuera el seleccionado. La amistad dur� toda la vida, pero no estuvo libre de dificultades. En 1916, en plena Guerra Mundial e impulsado por su profundo pacifismo, Adler mat� en un atentado al Primer Ministro austriaco; Einstein se ofreci� como testigo de descargo. �sta fue una de las primeras intervenciones pacifistas p�blicas de Einstein, de las cuales habr�a muchas en su vida.
Retomemos el hilo inicial. Einstein se ha establecido en Berna, tiene una situaci�n personal modesta pero estable; ha publicado un par de trabajos cient�ficos y le bulle la cabeza con ideas e interrogantes sin respuesta. Y llega 1905, a�o en que sucede todo como un milagro: en marzo escribe el trabajo de la cuantizaci�n de la luz y el efecto fotoel�ctrico; en abril su tesis doctoral —que hoy en d�a, 80 a�os despu�s, sigue siendo uno de sus trabajos m�s citados por su inter�s industrial— en mayo escribe su primer ensayo sobre la teor�a del movimiento browniano; y, aunque parezca incre�ble, un mes despu�s, en junio, env�a a publicaci�n el trabajo que da nacimiento a la teor�a de la relatividad. Y en septiembre de este mismo a�o, Einstein expide el manuscrito que contiene la f�rmula que relaciona la masa con la energ�a. En el �nterin, usa las vacaciones de verano para ir a Yugoslavia y conocer a la familia de su esposa. Revisaremos los trabajos de 1905 en su orden cronol�gico, para asomarnos a las teor�as que propusiera Einstein en sus a�os en Berna.
El trabajo sobre la radiaci�n electromagn�tica, en el que Einstein propone que la luz est� constituida por corp�sculos, m�s conocido como el trabajo sobre el efecto fotoel�ctrico, tiene su origen en un viejo problema de la f�sica te�rica, al que el gran f�sico alem�n Max Planck (1858-1947) hab�a encontrado soluci�n parcial en 1900, el a�o de la graduaci�n de Einstein.
El problema en cuesti�n es el llamado de la radiaci�n de un cuerpo negro, es decir, de un cuerpo que absorbe toda la luz que cae sobre �l. Cuando un cuerpo negro es calentado emite radiaci�n electromagn�tica. Algo similar a lo que sucede cuando calentamos un horno y sentimos c�mo la radiaci�n emitida nos quema. M�s a�n, si lo calentamos a temperaturas muy altas, podemos ver la radiaci�n emitida, parte de la cual cae en la regi�n visible del espectro. El problema se present� cuando los f�sicos se preguntaron cu�nta luz emite un cuerpo negro en las altas frecuencias (cu�nta en la azul, cu�nta en la violeta, y cu�nta m�s all�, en el ultravioleta, rayos x, etc., hasta el infinito) y cu�nta en las bajas frecuencias. El problema tiene importancia te�rica —por razones que no viene al caso detallar— y grande fue el desconcierto cuando se encontr� que la f�sica cl�sica (en este caso, la teor�a de Maxwell combinada con la teor�a del calor o termodin�mica) predice que debe haber mayor radiaci�n conforme m�s alta es la frecuencia —debido a que hay muchas m�s frecuencias altas que bajas y todas tienen iguales posibilidades de aparecer—. Pero este resultado est� equivocado, pues si fuera cierto significar�a que pr�cticamente toda la radiaci�n ser�a a frecuencias muy, muy altas, y se observa que �ste no es el caso. Por ejemplo, conforme calentamos el horno, vemos que el color de la luz radiada va cambiando; pasa de rojizo, a rojo subido, a naranja, a azuloso finalmente, pero no es violeta ni menos aun ultravioleta a cualquier temperatura.
Los f�sicos del siglo pasado lograron encontrar dos f�rmulas para describir parcialmente este fen�meno; una es la f�rmula de Rayleigh, derivada con los m�todos de la f�sica, que describe correctamente lo que se observa a bajas frecuencias pero no a las altas. La otra es la f�rmula de Wien, que no ten�a justificaci�n te�rica alguna pero ajustaba excelentemente los datos experimentales a altas frecuencias, pero no a las bajas. Planck se dio a la tarea de entender este problema y en 1900 pudo ofrecer una f�rmula —famos�sima, y que lleva su nombre— que describe correctamente los datos observacionales a todas las frecuencias y a todas las temperaturas. El punto crucial est� en que para obtener su f�rmula, Planck tuvo que introducir una hip�tesis por dem�s extra�a: la energ�a electromagn�tica que absorbe o que emite un cuerpo negro viene en "paquetes" y s�lo se pueden intercambiar paquetes enteros de energ�a. Como en los supermercados: se puede comprar uno, dos..., cien kilos de az�car, pero no kilo y cuarto, por ejemplo. A estos paquetes de energ�a electromagn�tica Planck los llam� cuantos (o quantos; palabra latina que significa precisamente cuanto). Se considera a este trabajo como la primera piedra de la f�sica moderna y a Planck, en consecuencia, como el fundador de las teor�as cu�nticas. Sin embargo, un largo camino ten�an a�n los f�sicos por delante.
El problema se qued� aqu�, donde Planck lo dej�, por varios a�os. Aunque estaba claro que la f�rmula de Planck era correcta, la idea de introducir un elemento tan ex�tico como el cuanto de energ�a no convenc�a a nadie —de hecho, ni al propio Planck, quien durante varios a�os hizo un tan in�til como honesto esfuerzo por rederivar su f�rmula sin romper tan bruscamente con los principios cl�sicos—. Como veremos m�s adelante, a finales del siglo pasado todav�a no era universalmente aceptada la idea de que la materia tiene estructura molecular —grandes figuras como Ostwald y Mach consideraban a las mol�culas como meras ficciones—. La raz�n atr�s de esta actitud se puede encontrar en la convicci�n de que la naturaleza es continua, pues todas las ecuaciones de la f�sica te�rica de la �poca eran perfectamente consistentes con esta hip�tesis. Luego para la f�sica cl�sica la noci�n de una estructura discreta, granular, es superflua. Y es principio general de la ciencia desechar lo superfluo. 1 Pero si los f�sicos de 1900 no estaban a�n en condiciones de aceptar como establecida la naturaleza granular de la materia, �menos a�n estaban dispuestos a o�r hablar de granos de energ�a luminosa! 2
En 1905 Einstein retom� este problema, pero desde un �ngulo enteramente nuevo. Como veremos m�s adelante en este mismo cap�tulo, para esas fechas Einstein hab�a ya elaborado una teor�a que le permit�a calcular el comportamiento estad�stico de sistemas constituidos por muchos cuerpos, como los gases compuestos por mol�culas y cosas similares. Los detalles los dejamos para m�s adelante, aceptando por el momento que Einstein dispon�a de herramientas te�ricas, que �l mismo hab�a creado, para hacer estudios estad�sticos. Bien, pues a Einstein se le ocurri� hacerse una pregunta: �Qu� pasa si aplico mis m�todos estad�sticos al problema del cuerpo negro? De hecho Einstein ten�a dos posibilidades: una era aplicar sus m�todos estad�sticos y usar la f�rmula de Rayleigh, es decir, estudiar un problema puramente cl�sico (y el resultado seguramente estar�a mal); la otra era hacer lo mismo, pero con la f�rmula de Planck (y el resultado ser�a seguramente novedoso, pero correcto). Einstein calcul� entonces lo que se llaman las fluctuaciones de la energ�a de la luz. 3 El c�lculo le mostr� que la f�rmula de Planck predec�a lo mismo que la de Rayleigh, pero agregando un t�rmino adicional a las fluctuaciones: la energ�a de un cuerpo negro fluct�a m�s que lo que dice la f�sica cl�sica. Pero Einstein dio otro paso adelante. Compar� sus resultados con los que hab�a obtenido pocos a�os antes para las fluctuaciones de la energ�a de un gas diluido y encontr� algo sorprendente: �eran iguales a las del nuevo t�rmino reci�n descubierto por �l! �Luego aqu� estaba la explicaci�n a la hip�tesis de Planck! Todo queda claro si aceptamos que en el campo electromagn�tico existen componentes similares a las mol�culas de un gas, es decir, peque�os corp�sculos o "paquetes" luminosos que porta cada uno una energ�a definida y se pueden ver como "mol�culas" de luz. Estas "mol�culas" producen el t�rmino similar al de los gases, y el que se trate de luz, es decir, de ondas, explica el t�rmino que da la teor�a de Maxwell. Con el curso de los a�os a estas "mol�culas" electromagn�ticas se les llam� fotones.
Einstein puso a prueba su hip�tesis. Si la luz tiene una estructura granular, esto debe observarse no s�lo en alg�n caso aislado como el estudiado por Planck, sino en multitud de situaciones diferentes. Pronto encontr� un problema no resuelto e inintelegible para la f�sica de su �poca, al menos tanto como el problema del cuerpo negro, y que se resolv�a m�gicamente con su hip�tesis: el efecto fotoel�ctrico consiste en que ciertos materiales, al ser expuestos a la luz, emiten electrones: el fen�meno fue observado y reportado por Hertz durante sus experimentos para producir ondas electromagn�ticas. Cuando se le someti� a estudio experimental, se observ� que ten�a propiedades sorprendentes e inaccesibles para la f�sica de la �poca, por lo que permaneci� inexplicado. Entre estas propiedades ininteligibles mencionaremos las siguientes. Se observ� que aumentando la iluminaci�n —lo que significa dar mayor energ�a al material— no aumentaba la energ�a de los electrones emitidos, sino s�lo su n�mero; asimismo, se encontr� que luz de diferentes colores pod�a producir efecto fotoel�ctrico, pero que para cada material hab�a un color —o mejor, una frecuencia— de la luz abajo de la cual simplemente desaparec�a el fen�meno. Experimentalmente qued� claro que esta frecuencia de corte es caracter�stica de cada material.
Si pensamos en el efecto fotoel�ctrico en t�rminos de una onda electromagn�tica que incide sobre un �tomo, el que absorbe su energ�a y libera un electr�n, simplemente no podremos explicarnos este comportamiento, al menos si nos negamos a construir una teor�a ad hoc que, por su car�cter hechizo poco o nada explicar�a y menos convencer�a. Pero Einstein vio el problema desde su nueva perspectiva, y not� que todo cambia de golpe desde ella. Pensamos en la luz como constituida por paquetes de energ�a de valor hf; un �tomo absorbe un paquete y se queda con esta energ�a; parte de ella —o toda, en el mejor de los casos— se transfiere en alguna forma por los mecanismos internos at�micos a uno de los electrones del �tomo. El electr�n se acelera debido a esta energ�a y se escapa del �tomo; pero como tiene que vencer la atracci�n del �tomo ionizado que abandona, pierde una parte de esta energ�a, la que llamaremos W; luego la m�xima energ�a con que el electr�n puede escaparse es
| Emax = hf - W |
(1)
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�sta es la famos�sima f�rmula del efecto fotoel�ctrico de Einstein. Veamos algunas de sus predicciones. Sup�ngase que hacemos una serie de experimentos fotoel�ctricos cambiando en cada ocasi�n la intensidad de la luz, pero sin cambiar el color. Como f es fija, nada cambia en la f�rmula (1) en cada experimento, por lo que observamos cada vez la misma Emax, s�lo que cuando la luz sea m�s intensa habr� m�s paquetes de energ�a hf disponibles y veremos m�s electrones liberados. Repitamos ahora los experimentos, pero manteniendo fija la intensidad y variando el color de la luz; cuando lleguemos a una frecuencia de luz tan baja que hf adquiere el valor W o un valor menor, la energ�a E de que pueden disponer los electrones se reduce a cero y no puede haber m�s efecto fotoel�ctrico. Luego existe una frecuencia de corte del fen�meno que est� dada por la f�rmula
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(2)
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Las propiedades que acabamos de deducir son precisamente las observadas para el efecto fotoel�ctrico; luego la teor�a es cualitativamente correcta. Para comprobar la validez de las predicciones cuantitativas de la teor�a, todo lo que tiene que hacerse es probar la f�rmula (2). �sta es una f�rmula muy interesante, que dice que la energ�a W y la frecuencia de corte de un fotoc�todo dado deben tener un cociente cuyo valor no depende del material que se use para construir el dispositivo y que esta constante es precisamente la de Planck. Luego aqu� hay un m�todo novedoso para hacer una determinaci�n no termodin�mica de la constante de Planck.
La teor�a de los cuantos de luz propuesta por Einstein encontr� mucha resistencia. En particular, el notable f�sico experimental norteamericano Robert Millikan (1868-1953) no crey� en ella y se propuso mostrar su invalidez probando experimentalmente que la f�rmula (2) conduc�a a resultados err�neos. Despu�s de un meticuloso y largo trabajo, concluy� que el valor de la constante de Planck determinado con los m�todos fotoel�ctricos coincide con el valor previamente establecido con ayuda del cuerpo negro y reconoci� la validez de la teor�a. En la actualidad, el m�todo fotoel�ctrico es usado en los laboratorios de ense�anza para medir el valor de h. Aun as�, tuvo que pasar mucho tiempo para que la teor�a de los fotones de Einstein alcanzara aceptaci�n general, lo que sucedi� alrededor de 1923, gracias en mucho a los trabajos experimentales del f�sico norteamericano Arthur Compton (1892-1962).
Pese al escepticismo general con que fue recibida la hip�tesis de la cuantizaci�n de la luz, Einstein la desarroll� tanto como le fue posible y trabaj� sobre el tema desde muy diversos �ngulos por casi dos d�cadas. Pero Einstein pronto comprendi� que era posible y necesario generalizar su hip�tesis de cuantizaci�n. En particular entendi� que no hay raz�n alguna para pensar que s�lo los osciladores del campo electromagn�tico tienen propiedades cu�nticas: precisamente, la hip�tesis opuesta, es decir, que todos los osciladores deben poseer propiedades cu�nticas, parece m�s natural. Para poner a prueba esta nueva hip�tesis, Einstein la aplic� en 1906 a los �tomos que forman un cuerpo s�lido calculando lo que en el lenguaje de los f�sicos se llama el calor espec�fico de un s�lido, que es una propiedad que depende del material del que est� hecho y mide cu�nto aumenta su temperatura cuando le suministramos una cantidad fija de calor al cuerpo.
Desde principios del siglo XIX se sab�a por v�a experimental que el calor espec�fico de los s�lidos simples es una constante, la misma para todos, cuando se mide en unidades apropiadas. En 1876 Boltzmann pudo explicar te�ricamente este hecho, basado en un resultado muy general de la teor�a cin�tica: el teorema de equipartici�n de la energ�a, el cual establece que una vez alcanzado el equilibrio, los osciladores tridimensionales que forman la malla de un s�lido simple tienen cada uno la misma energ�a de oscilaci�n, cualquiera que sea su frecuencia de oscilaci�n. Esto determina que el calor espec�fico del cuerpo sea constante.
Ahora bien, la situaci�n real era un tanto m�s compleja que lo descrito, pues se sab�a que aunque en la gran mayor�a de los casos el calor espec�fico observado correspond�a al esperado, tambi�n se conoc�an desviaciones de esta simple ley. Por ejemplo, que el diamante tiene un calor espec�fico varias veces menor que el valor usual. Y, para complicar las cosas, trabajos de Heinrich Weber, James Dewar y otros f�sicos hab�an mostrado que para algunas sustancias, entre ellas el diamante, el calor espec�fico decrece al reducirse la temperatura del cuerpo. Sin embargo, la tendencia general era considerar estas excepciones como tales, intentando explicarlas con ideas particulares, corno que algunos de los osciladores del cuerpo se van "apelmazando" al bajar la temperatura. En otras palabras, aunque se estaba frente a observaciones no entendidas del todo, no se sent�a la existencia de ning�n problema de fondo en conexi�n con los calores espec�ficos de los s�lidos en la �poca en que Einstein abord� el tema.
Pero las cosas se presentan en otra forma desde la perspectiva de Einstein. Si consideramos a los �tomos que constituyen la malla del s�lido como peque�os osciladores cu�nticos de frecuencia f, entonces cada uno tendr� una energ�a hf si la hip�tesis cu�ntica es correcta. Esto quiere decir que no es cierto que cada oscilador tiene una energ�a independiente de su frecuencia, como afirmar�a la ley cl�sica de equipartici�n. Calcula Einstein entonces el calor espec�fico del s�lido usando la f�rmula de Planck (que es la que describe osciladores cu�nticos) en vez de la de Rayleigh (que es la que describir�a osciladores cl�sicos) y encuentra que el resultado depende de la temperatura, aunque a temperaturas suficientemente altas (la temperatura ambiente para la mayor�a de los materiales) se recupera el resultado cl�sico. Unos c�lculos num�ricos sencillos muestran que la curva que da la nueva teor�a se ajusta bastante bien a las desviaciones para el diamante y otros elementos. Luego, contrariamente a los que se cre�a, las desviaciones conocidas de los calores espec�ficos de su valor cl�sico si apuntaban hacia un problema fundamental: en esos casos no se obedecen las leyes de la f�sica cl�sica, sino de la f�sica cu�ntica (la que tendr�a que construirse).
Este trabajo de Einstein es importante por dos razones al menos. Por un lado, permiti� ver que el fen�meno de la cuantizaci�n —es decir, de la existencia de valores discretos, discontinuos, de la energ�a y otras cantidades f�sicas— no se circuscribe a un reducido grupo de casos m�s o menos singulares, sino que es una propiedad general de la naturaleza. De hecho, en el trabajo que prepar� en 1909 como ponencia para un congreso en Salzburgo —que fue el primer congreso en que particip�— fue a�n m�s lejos, al se�alar expl�citamente, el primero entre todos, que la descripci�n cu�ntica tanto de la luz como de las mol�culas deber� contener simult�neamente aspectos corpusculares y ondulatorios. Esto constituye el germen de lo que quince a�os m�s tarde ser�a la mec�nica cu�ntica. En segundo lugar, es el primer trabajo en que se estudia un fen�meno cu�ntico en un s�lido; puede decirse que con este trabajo Einstein fund� la f�sica cu�ntica del estado s�lido, que hoy constituye una de las ramas m�s estudiadas de la f�sica, por sus enormes e importantes aplicaciones pr�cticas.
Nos regresamos a abril de 1905. Einstein acaba de escribir su trabajo sobre la cuantizaci�n de la luz y el efecto fotoel�ctrico e inicia la escritura de su tesis doctoral. Tanto la tesis —publicada un a�o despu�s— como el trabajo escrito a continuaci�n, se refieren a un problema enteramente diferente: el movimiento browniano. �Qu� es el movimiento browniano y por qu� ocupa Einstein su atenci�n en �l? Para responder a estas preguntas debemos retroceder unos pocos a�os.
Como dijimos antes, a la entrada de nuestro siglo los f�sicos a�n no hab�an adoptado un�nimemente el modelo molecular de la materia. Pese a los enormes �xitos que los qu�micos hab�an alcanzado en la comprensi�n de varios problemas importantes a partir de la hip�tesis de que la materia est� constituida por mol�culas —hip�tesis enunciada en esta forma ya por el qu�mico ingl�s John Dalton (1766-1844) en 1803—, y de que �stas a su vez est�n formadas por �tomos; pese asimismo a que la propia f�sica hab�a avanzado considerablemente en la construcci�n de la teor�a cin�tica de los gases, la profunda convicci�n reinante de que la naturaleza es esencialmente continua —y que podr�amos en principio subdividir un trozo de materia en granos tan peque�os como queramos, sin l�mite alguno— conduc�a a muchos f�sicos, incluyendo grandes personalidades, a considerar al modelo molecular como algo �til, pero carente de mayor significado real.
Einstein —como muchos otros f�sicos de la tradici�n de Maxwell y Boltzmann— desde muy temprano acept� el modelo molecular como una imagen relativamente fiel de la naturaleza y se impuso como tarea encontrar m�todos capaces de poner en evidencia su validez en forma concluyente. Podemos considerar que el trabajo de investigaci�n realizado por Einstein hasta 1905 es una etapa preparatoria para esta tarea —aunque tambi�n fue decisivo para sus estudios sobre la cuantizaci�n de la luz, como vimos en las secciones anteriores—. El problema que Einstein se plante� durante el periodo 1902-1904 fue el de derivar las leyes de la termodin�mica como resultado del hecho de que la materia a escala macrosc�pica est� constituida por un gran n�mero de mol�culas en agitaci�n t�rmica. Debido al inmenso n�mero de part�culas involucradas, es imposible hacer una descripci�n detallada de lo que sucede, por ejemplo, en un gas; pero s� podemos pretender hacer una descripci�n estad�stica y crear con ello lo que se llama la mec�nica estad�stica. En alguna forma, el embri�n de esta idea se encuentra ya en los trabajos de Maxwell y Boltzmann sobre la teor�a cin�tica de los gases. Una idea cercana a la de Einstein la hab�a tenido pocos a�os antes el f�sico norteamericano Josiah Gibbs (1839-1903) para desarrollar la termodin�mica qu�mica, pero sus trabajos eran pr�cticamente desconocidos en la Europa de principios de siglo; hoy se considera tanto a Gibbs como a Einstein los fundadores de la mec�nica estad�stica. Fue precisamente el contar con los m�todos de la mec�nica estad�stica lo que le permiti� a Einstein recorrer un camino tan complejo, diverso y novedoso en tan corto tiempo como lo hizo en 1905.
A Einstein se le ocurri� una idea innovadora para elaborar un m�todo que permitiera "ver" directamente los efectos de la permanente agitaci�n t�rmica de las mol�culas de un cuerpo. Supongamos que un l�quido contiene peque��simas part�culas en suspensi�n, como podr�an ser granos de colorante o de polen en agua, etc. Como debemos suponer que las mol�culas del l�quido se mueven al azar, estar�n golpeando a la part�cula en suspensi�n por todos lados y en todas direcciones permanentemente; el efecto de la gran mayor�a de los impactos tender� a cancelarse mutuamente pero ser� normal que quede un peque�o efecto residual que pondr� al grano en movimiento, ora para arriba, ora a la izquierda, y as� sucesivamente. De este modo, debido al impacto de las mol�culas, si el grano en suspensi�n es suficientemente peque�o, deber� tener un movimiento incesante altamente irregular y muy complicado: Einstein de inmediato percibi� que aqu� tenemos un mecanismo para ver el movimiento (err�tico) que constituye el calor y, mucho m�s importante, para ver un efecto directo del movimiento de las mol�culas. Einstein no lo sab�a, pero este fen�meno hab�a sido observado —pero no explicado— varias d�cadas antes por el bot�nico escoc�s Robert Brown (1773-1858) —el mismo que observ� que los tejidos vegetales es un elemento estructural regular y propuso el t�rmino n�cleo para identificarlo— y por esta raz�n se le conoce como movimiento browniano.
Einstein fue capaz de elaborar una teor�a estad�stica del movimiento browniano y de mostrar que a partir del seguimiento del movimiento de una de estas part�culas bajo el microscopio era posible medir el tama�o de las mol�culas del solvente. De hecho, durante el a�o de 1905 Einstein present� varios m�todos diferentes para determinar las dimensiones moleculares (en particular, �ste es el tema de su tesis doctoral), y el mismo a�o de 1905 public� diversas extensiones a su teor�a original. Los resultados de Einstein 4 fueron r�pidamente puestos a prueba en varios laboratorios, particularmente en el del f�sico franc�s Jean Perrin (1870-1942) y su grupo a partir de 1908, quienes pudieron determinar con los m�todos de Einstein las dimensiones moleculares y el n�mero de Avogadro (es decir, el n�mero de mol�culas que contiene un mol de un gas en condiciones normales de presi�n y temperatura). Los resultados finales fueron tan convincentes, que el mismo Oswald reconoci� en las mol�culas objetos reales y no meras ficciones de uso conveniente, dando por resuelto el asunto. Quien nunca pudo aceptar la realidad de las mol�culas fue Mach.
A principios de mayo de 1905 Einstein envi� su art�culo sobre el movimiento browniano a los Annalen der Physik y pas� a ocuparse de otros asuntos. En junio envi� a publicaci�n el trabajo en que crea la teor�a de la relatividad. Aparentemente, unas cuantas semanas le bastaron para construir est� teor�a; m�s, como hemos visto, atr�s hab�a una historia de b�squeda y meditaci�n de casi una d�cada. Einstein termina su art�culo sobre la teor�a de la relatividad agradeciendo a su amigo M. Besso la ayuda brindada para la construcci�n de la teor�a a trav�s de discusiones. En aquellos a�os, Besso trabajaba en la Oficina de Patentes junto con Einstein; de hecho, este �ltimo le hab�a conseguido el puesto, en parte por ayudar al amigo, en parte para tenerlo cerca y poder discutir con �l los problemas de principio que le inquietaban; Einstein escribi� alguna vez que en Besso encontraba su mejor caja de resonancia en toda Europa. En una conferencia que dict� en Jap�n en 1922, Einstein record� c�mo, al d�a siguiente de una prolongada discusi�n con Besso, busc� al amigo simplemente para agradecerle la deliberaci�n, coment�ndole que gracias a ella hab�a logrado que todas las piezas del rompecabezas embonaran: cinco semanas despu�s estaba listo el art�culo m�s famoso de Einstein: "Sobre la electrodin�mica de los cuerpos en movimiento", con el que nace la teor�a de la relatividad.
Como vimos en el primer cap�tulo, Einstein ve�a muy claramente que las leyes de la vieja mec�nica cl�sica y las de la teor�a electromagn�tica de Maxwell —de creaci�n reciente, pero muy bien fundada y comprobada— eran incompatibles; esto implicaba la necesidad de cambiar al menos una de estas teor�as. Lo importante era entender qu� es lo que deb�a cambiarse. Para Einstein hab�a un dato cierto, que podemos inferir como sigue. En el experimento pensado del corredor alcanzando un rayo de luz, el corredor ver� luz, cualquiera que sea la velocidad con que corra; pero la luz viaja a su velocidad c, pues de no ser as� no ser�a la luz descrita por las ecuaciones de Maxwell. Luego debemos concluir que cualquiera que sea la velocidad del corredor, la luz que pasa a su lado viaja con la misma velocidad c. Esto quiere decir que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de la velocidad con que se muevan e independientemente de la velocidad de la fuente emisora. Despu�s de verificar que esta conclusi�n es consistente con una serie de observaciones y fen�menos conocidos, Einstein la elev� a la categor�a de principio: �ste es uno de los dos principios en que se funda la nueva teor�a. 5
Ahora podemos entender por qu� fracas� el experimento de Michelson y Morley, y por qu� dijimos que en su fracaso resid�a su importancia. En la concepci�n de este experimento se supon�a que la velocidad de la Tierra se agregar�a a la de la luz que llega frontalmente. Pero precisamente el postulado de Einstein dice lo contrario, es decir, que cualquiera que sea la direcci�n de la luz respecto al movimiento de la Tierra, mediremos la misma velocidad c. Luego si la hip�tesis es cierta, el experimento debe fallar; y fall�. Usualmente se considera a los experimentos de Michelson y Morley como un s�lido soporte experimental para la teor�a de la relatividad, aunque Einstein utiliz� inicialmente otros efectos para llegar a esta conclusi�n.
Alcanzado este punto, el problema era construir una mec�nica nueva que permitiera que la luz tenga la misma velocidad para todos los observadores, sea como sea que se muevan y sin introducir inconsistencias. Einstein encontr� la salida llevando a sus �ltimas consecuencias una l�nea de pensamiento que hab�a encontrado en Poincar� y Mach: las nociones de espacio y tiempo absolutos de la mec�nica no son l�gicamente necesarias ni est�n garantizadas por la experiencia. Un an�lisis profundo de este problema —estimulado por sus discusiones con Besso— le permiti� a Einstein confirmar la idea —ya avanzada por Poincar�— de que el concepto de simultaneidad no tiene un car�cter absoluto, sino que depende del estado de movimiento relativo. Esto quiere decir, por ejemplo, que si un observador parado en un and�n considera dos eventos A y B como simult�neos, un viajero que los ve desde un tren en movimiento no los considerar�a como simult�neos. Esto parece contradecir nuestra experiencia cotidiana, pero todo se resuelve cuando se observa que la diferencia de tiempo que el observador en el tren asignar�a a los eventos es tan peque�a, que pasa totalmente desapercibida (�precisamente por esto podemos usar la mec�nica cl�sica!). Pero entonces, si es despreciable, �por qu� hemos de preocuparnos por ello? El punto es de principio: �cu�les son las nociones correctas que debemos manejar al eliminar el espacio y el tiempo absolutos? Adem�s, la diferencia es despreciable s�lo debido a que el tren corre despacio; si su velocidad fuera muy alta, comparable con la de la luz, las diferencias podr�an ser muy considerables. Basta que pensemos que si el portador de la l�mpara corre a la velocidad de la luz, aun as� la luz que pasa a su lado sigue viajando con la misma velocidad c, para que notemos qu� diferente ser� esta nueva mec�nica de la cl�sica.
Para estar en condiciones de construir la nueva mec�nica, Einstein propuso un principio adicional: las leyes de la f�sica deben ser las mismas para todos los observadores, independientemente de que unos se muevan uniformemente respecto a los otros. �ste, que no es sino una manera muy general de decir que no hay observadores privilegiados, "en reposo" respecto a algo (como podr�a ser un pretendido espacio absoluto o el �ter), es el llamado principio de relatividad, del cual la teor�a deriva su nombre. Este principio, en combinaci�n con el de la constancia de la velocidad de la luz, le permitieron a Einstein construir la teor�a especial de la relatividad. Puesto que el espacio y el movimiento absoluto desaparecen en esta teor�a, Einstein propuso hacer a un lado por superflua la noci�n de �ter. N�tese que en el principio de relatividad se toman en cuenta s�lo observadores que se mueven uniformemente unos respecto a otros; debido a esta limitaci�n se habla de teor�a especial. Desde el principio Einstein mostr� inter�s en extender la teor�a a observadores en movimiento arbitrario y construir con ello una teor�a general de la relatividad; la tarea result� inmensa, y requiri� de una d�cada de esfuerzos, pero de ello hablaremos m�s adelante.
Vemos que la teor�a de la relatividad es una nueva mec�nica, consistente con la teor�a de Maxwell y que rebasa a la vieja mec�nica de Newton al eliminar sus elementos absolutistas. Estas dos mec�nicas son pr�cticamente equivalentes (desde el punto de vista num�rico) a las velocidades usuales, las que son muy peque�as en relaci�n con la velocidad de la luz, pero pueden diferir considerablemente para el caso de cuerpos que se mueven a grandes velocidades. Para estudiar el movimiento de un autom�vil o un avi�n, incluso de un cohete interplanetario, seguimos usando la mec�nica de Newton. Pero para una descripci�n correcta de los electrones o los protones en un acelerador de part�culas, es indispensable hacer un tratamiento relativista.
Un primer resultado importante de la teor�a de la relatividad es que ning�n cuerpo puede alcanzar la velocidad de la luz: la velocidad c de la luz es un l�mite que la naturaleza impone al movimiento de cualquier cuerpo. Esto se debe a que la masa de un cuerpo resulta depender de su velocidad, siendo mayor conforme mayor es la velocidad, 1 y haci�ndose infinitamente grande cuando el cuerpo alcanza la velocidad de la luz. Como ning�n cuerpo puede tener una masa infinita (que ser�a mayor que la del Universo) tampoco puede alcanzar la velocidad c.
Otro resultado muy importante es que existe una equivalencia fundamental entre masa y energ�a. A esta conclusi�n lleg� Einstein el mismo a�o de 1905, en su segunda nota sobre la teor�a de la relatividad, enviada a publicaci�n el mes de septiembre y se expresa mediante la famosa f�rmula
| E = mc² |
(3)
|
En palabras, esta ley dice que un pedazo cualquiera de materia de masa m contiene una energ�a dada por el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad de la luz; como la velocidad de la luz es una cantidad enormemente grande, la energ�a as� calculada tambi�n resulta enorme.6 Quiz� sea �ste el resultado de la teor�a de la relatividad que m�s consecuencias ha tenido para la humanidad. Es bien sabido que los reactores nucleares y las bombas at�micas trabajan convirtiendo parte de la masa de los n�cleos at�micos en energ�a (que es liberada b�sicamente como energ�a t�rmica). La naturaleza usa en nuestro beneficio la misma soluci�n, pues es una reacci�n nuclear que transforma masa en energ�a, la que mantiene ardiendo al Sol y a todas las estrellas y soporta la vida en la Tierra.
Otro resultado interesante de la teor�a de la relatividad es que la longitud que le asignamos a una barra depende de si la medimos desde un sistema en reposo o en movimiento respecto de ella; 7 an�logamente, el intervalo de tiempo que un observador asigna entre dos eventos, depende de la velocidad del observador. Un ejemplo de esta dilataci�n del tiempo es el siguiente. En la naturaleza existen muchas part�culas que espont�neamente se transforman en otras y esto lo hacen en un tiempo fijo que les es caracter�stico. Por ejemplo, un pion decae espont�neamente en un muon y un neutrino 8 en aproximadamente un cienmillon�simo de segundo despu�s de formado Sin embargo, si al generar el pion le damos suficiente energ�a para que se mueva a gran velocidad por ejemplo 0.99999 veces la velocidad de la luz, veremos que vive un tiempo 100 o m�s veces lo normal. Esto se debe a que el pion cuenta su tiempo desde su propio sistema y es respecto de �l como vive su vida completa; pero ese cienmillon�simo de segundo visto desde el laboratorio, que se mueve respecto al pion a una velocidad muy cercana a la de la luz, se transforma por la dilataci�n relativista del tiempo en un intervalo centenares de veces mayor. De esta manera, la relatividad ense�a que el tama�o y la forma de los objetos, as� como la marcha de los relojes, depende del movimiento: el mundo relativista es notablemente m�s complejo y rico que el mundo de la f�sica cl�sica. Ya veremos m�s adelante c�mo estos resultados se enriquecen a�n m�s en la teor�a general de la relatividad.
En 1907 Einstein inici� la preparaci�n de un art�culo de revisi�n sobre la
teor�a de la relatividad que le fue solicitado. Poco hab�a sido contribuido
por otros autores al desarrollo de esta teor�a; las primeras contribuciones
importantes a la relatividad no producidas por Einstein se deben a Planck y
a Von Laue; de hecho, Planck fue el primer f�sico que apreci� el valor de esta
teor�a e hizo mucho por difundirla, entrando incluso en contacto epistolar con
Einstein, lo que propici� el surgimiento de una amistad y relaci�n de mutuo
aprecio que dur� el resto de sus vidas. En 1907 apareci� el trabajo de Hermann
Minkowski (matem�tico ruso- alem�n [1864-1909] que hab�a sido profesor de Einstein
en el ETH) en que le dio a la teor�a de la relatividad la forma
matem�tica que hoy es usual 9 y que le abri� camino a
Einstein para el desarrollo ulterior de la teor�a general.
Un d�a, sentado en su escritorio en la oficina de patentes, pensando un poco sobre su art�culo de revisi�n, Einstein tuvo lo que a�os m�s tarde llam� la idea m�s feliz de su vida y que le condujo a una primera versi�n, a�n provisional e incompleta, de lo que con el tiempo constituir�a la teor�a general de la relatividad. Este pensamienfo feliz constituye la base del principio de equivalencia. Supongamos dos observadores iguales encerrados en sendos elevadores y haciendo cada uno el mismo experimento f�sico; uno de los elevadores est� quieto, pero sumergido en un campo gravitatorio que act�a hacia abajo; sobre el otro elevador no act�a ning�n campo externo, pero es jalado con aceleraci�n constante hacia arriba (Figura 1). Pensando un poco advertimos que no hay diferencia observable entre los dos casos: ambos experimentadores obtendr�n exactamente los mismos resultados de sus experimentos, cualesquiera que ellos sean. En otras palabras, los efectos (locales) de un campo gravitatorio son exactamente equivalentes a los que produce una aceleraci�n uniforme apropiada. En breves palabras, tomadas del propio Einstein: "Si una persona cae libremente, no siente su propio peso." Esta equivalencia se cumple debido s�lo a que la masa inercial de los cuerpos (es decir, la masa que se opone a los cambios de movimiento) es exactamente igual a su masa gravitatoria (es decir, a la masa que es atra�da por la gravitaci�n), pues debido a ello todos los cuerpos se aceleran igual en un mismo campo gravitatorio y, por lo tanto, podemos sustituir a este �ltimo por la aceleraci�n com�n que produce. Por esta raz�n Einstein elev� a la categor�a de principio el hecho emp�rico —y no explicado por la f�sica cl�sica— de la igualdad entre los dos tipos de masas.10
Con el principio de equivalencia en la mano. Einstein pod�a tratar de extender el principio de relatividad a movimientos acelerados: no hay raz�n a priori para que el principio de relatividad no valga para cualquier forma de movimiento, y el poder eliminar el campo gravitatorio introduciendo una aceleraci�n en su lugar permit�a incluir en la teor�a no s�lo la �ptica, sino la gravedad. La conclusi�n m�s inmediata a la que lleg� fue que una teor�a general de la relatividad le deber�a permitir construir una teor�a de la gravitaci�n.
Veamos otra consecuencia simple del principio de equivalencia, aplicado al caso de la luz. Supongamos que al elevador que se mueve aceleradamente hacia arriba entra un haz de luz que viaja sobre la horizontal; durante el tiempo que el haz tarda en cruzar al elevador, �ste se mueve hacia arriba. El observador dentro del elevador (que siente que se encuentra dentro de un campo gravitatorio) observa la desviaci�n del haz y concluye que la luz se desv�a al pasar por un campo gravitatorio (Figura 1). En 1907 Einstein pens� que este efecto de desviaci�n de la luz por la gravedad era demasiado peque�o para ser observado y no le dio mayor importancia. Sin embargo, algunos a�os m�s tarde, ser�a precisamente este efecto el que lo llevar�a al pin�culo de la fama.
Figura 1. El principio de equivalencia y la desviaci�n de la luz. En la parte superior se muestra c�mo al componer un movimiento horizontal de velocidad constante con uno vertival de aceleraci�n constante (y velocidad creciente) se produce una trayectoria parab�lica. Un ejemplo simple de este movimiento es el de un proyectil lanzado horizontalmente que cae por la acci�n de su peso.
En la parte inferior se muestra el principio de equivalencia y su efecto sobre un rayo de luz. El elevador A sube con aceleraci�n constante a, por lo que el rayo de luz sigue una trayectoria parab�lica y cae en el punto B�, y no en A�, que es donde caer�a si el elevador no se moviera. El elevador G est� fijo sobre la tierra, pero sujeto a su campo gravitatorio, el que produce una aceleraci�n a hacia abajo. Por el principio de equivalencia, el rayo luminoso que entra por A se desv�a y cae en B�.
Una consecuencia adicional que aparece ya en el trabajo de 1907 se refiere al corrimiento de la luz hacia el rojo. As� como hay una dilataci�n del tiempo debida a la velocidad, tambi�n la hay debida a la aceleraci�n —al menos por la velocidad producida por la aceleraci�n— del principio de equivalencia sigue que debe haber una dilataci�n del tiempo debida a la presencia de un campo gravitatorio. Supongamos ahora que observamos luz que nos llega del Sol; puesto que los �tomos que la produjeron est�n sujetos a un intenso campo gravitatorio, la luz que recibimos debe ser m�s roja (es decir, de menor frecuencia o de paso m�s lento) que la generada con los mismos m�todos en la Tierra. Retornaremos a este tema en el pr�ximo cap�tulo.
El siguiente comentario al tema de la deflexi�n de la luz parece oportuno. Basado en su hip�tesis de que la luz est� formada por corp�sculos, Newton lleg� a sugerir en su Optica la posibilidad de que la gravitaci�n afectara a distancia la trayectoria rectil�nea de un rayo luminoso. La predicci�n de Einstein en sus trabajos iniciales sobre la desviaci�n de la luz corresponde a esta "deflexi�n newtoniana", de origen puramente gravitatorio. Sin embargo, cuando en 1915 Einstein dio forma final a su obra maestra Fundamentos de la teor�a general de la relatividad, trabajo en que la teor�a alcanza su forma definitiva, mostr� que adem�s del efecto newtoniano hay otro, puramente relativista, de magnitud igual al anterior, de tal manera que la teor�a final predice el doble de lo que las variantes iniciales suger�an. Fue precisamente este punto el que pusieron a prueba las famosas mediciones del eclipse solar de 1919. Pero sobre de estos temas hablaremos m�s tarde.
Es lugar com�n hablar del a�o 1905 como el a�o milagroso de Einstein. Y el asombro es justo; hemos visto c�mo en el curso de tan s�lo cuatro meses de ese a�o funda las teor�a cu�nticas de la luz, del movimiento browniano y de la relatividad. Cualquiera de estos resultados es suficiente para llenar de satisfacci�n a un f�sico respetable y al menos dos de ellos pueden leg�timamente ser considerados una revoluci�n en la f�sica. Lo que normalmente no se comenta es c�mo poco tiempo despu�s Einstein se acerca mucho a una repetici�n del milagro: en el curso de menos de un a�o —de fines de 1906 a septiembre de l907— Einstein da dos nuevos pasos adelante de singular importancia y novedad: nos referimos a la teor�a cu�ntica de los calores espec�ficos (es necesario cuantizar la materia, y no tan s�lo el campo de radiaci�n) y al principio de equivalencia y sus primeras consecuencias. Otros dos resultados suficientes para llenar la vida de nuestro hipot�tico respetable investigador. Uno no puede menos que hacer suya la pregunta de Pais: 11 "�Pero es que este hombre nunca va a parar?"
En 1909 seproduce la eclosi�n social de Einstein. A mediados de a�o se le notifica que con motivo del 350 aniversario de la fundaci�n por Calvino de la Universidad de Ginebra, se ha acordado concederle un doctorado honoris causa; el honor lo recibe junto con Mar�a Curie y Wilhelm Ostwald, entre un centenar de personas. Poco tiempo despu�s recibe la invitaci�n de la Sociedad Alemana de Ciencias Naturales para presentar una ponencia en su pr�xima reuni�n de Salzburgo, que mencionamos un poco m�s arriba. �sta fue la primera oportunidad que tuvo Einstein de entrar en contacto con f�sicos en activo: ah� se encontr� por vez primera con Planck, Wien, Sommerfeld, Born, e incluso con Ludwig Hopf, quien pronto ser�a su asistente. Finalmente, deja su puesto de la Oficina de Patentes, en el tercer piso de la Oficina de Correos y Tel�grafos y parte para Zurich.
Einstein tiene treinta a�os; ha vivido fuera de los c�rculos acad�micos y ha escrito dos trabajos que revolucionan la f�sica cl�sica; tiene en maduraci�n el germen de lo que devendr� en pocos a�os m�s en una nueva teor�a de la gravitaci�n y una nueva visi�n del mundo f�sico. Se dirige a Zurich a ocupar su primera plaza como profesor universitario.����
NOTAS 1En su versi�n general, filos�fica, este principio se conoce con el nombre de navaja de Occam, William de Occam (c, 13280-1349) fue un importante pensador y reformador ingl�s, que se opuso al poder del papado. Su famoso dictum pluralites non est ponenda sine necessitate —no debe proponerse lo complejo sin necesidad— es citado muy frecuentemente 2 Valgan algunas aclaraciones adicionales para el lector interesado. Planck encontr� que los paquetes de energ�a que el cuerpo puede absorber o emitir tienen un tama�o que crece con la frecuencia f de la luz, de tal manera que pod�a escribir un cuanto de energ�a electromagn�tica E en la forma E = h f, en donde h es una constante, la misma para todos los cuantos, y que Planck pudo determinar comparando sus resultados con los del experimento. A la cantidad h se le llama constante de Planck y es una de las constantes fundamentales de la naturaleza, junto con la masa y la carga del electr�n y la velocidad de la luz. Esta f�rmula nos explica por qu� en efecto el horno no es azul. Luz de baja frecuencia se emite por paquetes de baja energ�a; pero para emitir un paquete de muy alta frecuencia es necesario reunir muy alta energ�a en un s�lo paquete, cosa que es poco probable que suceda. Para explicaciones m�s detalladas, consultar la bibliograf�a al final del libro.
3 Las fluctuaciones son una medida estad�stica de los cambios irregulares que ocurren en una cantidad determinada por un proceso muy complejo. Por ejemplo, la poblaci�n de la Rep�blica Mexicana crece con los a�os, pero no lo hace regularmente, sino fluctuando alrededor de una curva estad�stica. An�logamente, la presi�n de un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene se debe al golpeteo de las mol�culas sobre ellas; esta presi�n es relativamente fija en condiciones constantes, pero fluct�a, creciendo y decreciendo constantemente. Su valor promedio es el que permanece constante.
4 En forma simult�nea a Einstein el f�sico polaco Marian Ritter von Smolan-Smoluchowski (1872-1917) realiz� investigaciones sobre el movimiento browniano tanto te�ricas como experimentales. El trabajo de estos dos pioneros se superpone considerablemente y a ambos se les considera fundadores de la teor�a del movimiento browniano, que fue la primera teor�a f�sica de los procesos estoc�sticos, es decir, azarosos.
5 De hecho en la formulaci�n dada arriba estamos combinando los dos principios de la relatividad. Estrictamente, el primer principio de Einstein afirma s�lo que c es independiente de la velocidad de la fuente emisora.
6 Por ejemplo, cuando un n�cleo de uranio se rompe en fragmentos menores, la masa total de todos ellos es ligeramente menor que la del n�cleo inicial; la diferencia de masas es liberada como energ�a. Esta energ�a es aproximadamente un mill�n de veces la que se obtendr�a de quemar una masa igual de le�a; por eso se dice que la energ�a �til nuclear es como un mill�n de veces la energ�a qu�mica o molecular correspondiente.
7 A este fen�meno se le conoce como contracci�n de Lorentz (o de FitzGerald Lorentz) y lo reencontraremos en el pr�ximo cap�tulo. Antes que Einstein derivara este efecto como un resultado de la cinem�tica relativista, fue propuesto independientemente por el f�sico holand�s Hendrik Lorentz (18531928) para explicar los resultados negativos del experimento de Michelson y Morley. Con su teor�a, Lorentz pudo tambi�n predecir la variaci�n de la masa con la velocidad. Lorentz fue el primero que propuso que los �tomos conten�an part�culas cargadas (en 1890) y que ellas, al oscilar dentro del �tomo, produc�an la luz radiada.
8 Pion, muon y neutrino no son sino tres tipos diferentes de las llamadas part�culas elementales, de las cuales se conocen varios cientos. Otras part�culas elementales son, por ejemplo, el electr�n, el prot�n y el neutr�n. Tambi�n se considera al fot�n como una part�cula elemental. En el presente contexto, como en general en la f�sica, espont�neo significa sin causa aparente o conocida; no significa sin causa.
9 Nos referimos a la noci�n del espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Minkowski hizo ver que en la rlelatividad lo que tiene sentido profundo es un elemento matem�tico, el espacio- tiempo que combina las nociones de espacio y de tiempo; cada una de ellas por separado es insuficiente. En alguna forma esto es an�logo a lo que pasa con las dos leyes no relativistas independientes de conservaci�n de la masa y de la energ�a, que quedan sustituidas por una sola, la conservaci�n de la energ�a relativista.
10 En el Ap�ndice 2 se describe un experimento simple para mostrar el principio de equivalencia.
11 En el libro citido en la bibliograf�a al final.
