AP�NDICE 1

En este ap�ndice vamos a dar una demostraci�n muy sencilla de la relaci�n que existe entre la presi�n y la energ�a cin�tica promedio de las mol�culas que componen un gas descrito por el modelo cin�tico del cap�tulo IV. Para ello vamos a emplear esencialmente la hip�tesis 4, a saber, la que establece que todas las velocidades son igualmente posibles.

Figura 22. En un sistema de coordenadas rectangulares la velocidad de una mol�cula v se descompone en sus tres componentes vx, v_y y vz.

Pensemos, como podemos pensar, que est�n distribuidas las velocidades entre la N part�culas. Como s�lo hay tres componentes independientes v_x, v_y, v_z, (Figura 22) podemos imaginar que part�culas tienen velocidad v_x, velocidad v_y y v_z. Definamos una superficie en la cara del paralelep�pedo que contiene al gas en el plano XZ. Las part�culas que lo van a golpear son necesariamente aquellas cuya velocidad esta en la direcci�n vy y de ellas, seg�n la figura 23 las que viajan de derecha a izquierda. Supongamos que �sas son la mitad de las que tienen velocidad v_y. Si la celeridad media de estas mol�culas es chocar�n contra A aquellas contenidas en el cilindro de base A y altura t. Si n es el n�mero de part�culas por unidad de volumen, el n�mero de part�culas que chocan con la superficie A en el tiempo t es:

Por cada mol�cula que choca con la superficie el cambio en el �mpetu de la mol�cula es 2m.

Figura 23. En esta versi�n supersimplificada se puede imaginar que las moleculas s�lo se mueven en las diferentes vx, v_y y vz en terceras partes, de las con velocidad v_y s�lo las que se mueven de derecha a izquierda chocan con la superficie A.

Por consiguiente, como la fuerza que se imprimi� a la pared es el cambio de �mpetu por unidad de tiempo que se produce por todos los choques, dicha fuerza es:

y la presi�n, que es igual a la fuerza por unidad de �rea, ser�

y como , obtenemos resultado deseado

(A-1)

El lector debe ser muy cr�tico con esta demostraci�n, ya que no es rigurosa. El resultado que se obtiene, aunque es correcto, proviene de una serie de cancelaci�n de errores. Entre ellos est� el contenido en la suposici�n de que, lo cual en general, no es cierto. Sin embargo, ilustra de manera cualitativa la bondad del modelo tan simple que hemos empleado.