III. EL MODELO CIN�TICO DE UN GAS

CREO que a estas alturas estamos convencidos, gracias a los experimentos de Gay-Lussac y a las ideas de Avogadro, que los fil�sofos griegos, Lucrecio en particular, hab�an acertado al pensar que la materia, y en especial los gases, est�n compuestos de peque�as part�culas que ahora identificamos como �tomos o mol�culas. Aceptemos tambi�n que estas mol�culas est�n en movimiento constante. El conocido fen�meno del movimiento browniano fue descubierto por el bot�nico ingl�s Robert Brown en 1827 al observar que en suspensiones acuosas de esporas finas inanimadas, dichas esporas exhiben un continuo movimiento err�tico y caprichoso sin haber raz�n aparente alguna que lo produzca. Este fen�meno proporciona una evidencia experimental que soporta dicha hip�tesis. El problema que se presenta ahora es, primero, c�mo concebir f�sicamente a estas mol�culas, y segundo, sobre qu� bases podemos intentar analizar y describir su movimiento. Respecto a la primera cuesti�n, Bernoulli en su trabajo Hydrodinamica, al que nos referimos en el cap�tulo 1, emple� exitosamente el modelo de una esfera r�gida (bola de billar) para representar a cada mol�cula.

Por su simplicidad, conserv�moslo por el momento. Un gas es un conglomerado enorme de peque�as bolas de billar en movimiento constante. El verdadero problema radica en encontrar la forma de describir este movimiento. Veamos por qu�.

Imag�nese el lector una bola de billar metida en un recinto tridimensional de forma arbitraria, en que dicha bola, digamos pintada de un color diferente que las dem�s, se mueve entre otras tantas bolas que en n�mero supera los billones de billones. Imag�nese tambi�n que �stas chocan entre s� y contra las paredes del recipiente, y que a pesar de ello apenas si ocupan un volumen apreciable del volumen que disponen para moverse. �Impracticable entonces intentar seguir el movimiento de la bola roja! Y de hecho de ninguna bola individual de este enjambre. �Qu� hacer entonces? Lo m�s sensato es olvidarnos de cualquier intento por caracterizar la din�mica individual de cada part�cula y pensar, como lo hacen aquellos que toman censos de una poblaci�n grande de individuos, en extraer alg�n tipo de comportamiento promedio de las bolas de billar que representan a las mol�culas que componen el gas.

Comencemos por decir algo m�s sobre las posiciones que ocupan �stas en el transcurso del tiempo o, mejor dicho, la densidad de ellas medida en part�culas por unidad de volumen. Para precisar m�s esta cuesti�n, consideremos un volumen de un litro de gas (1 000 cm^³) a presi�n de una atm�sfera y temperatura ambiente. En dicho recipiente habr� aproximadamente 10²² mol�culas. En cada cm³ del volumen podemos pensar que, de no existir un agente externo que promueva la existencia de regiones privilegiadas dentro del recipiente, siempre encontraremos del orden de 10¹⁹ mol�culas. De este hecho no podemos estar completamente seguros, pero, sin embargo, parece l�gico. Vamos a adoptarlo como la primera hip�tesis sobre nuestro modelo cin�tico del gas: las part�culas se distribuyen uniformemente dentro del volumen que las contiene, de manera que el n�mero de ellas por unidad de volumen es constante. �Y las velocidades? Ya dijimos que las part�culas est�n en constante movimiento chocando entre s� y con las paredes del recipiente. Vamos a suponer, como una primera aproximaci�n, que fuera de estos choques no hay m�s fuerzas actuando sobre ellas: tal y como ocurre en una mesa de billar si s�lo pensamos en los choques de las bolas entre s� y los de ellas contra los bordes de la mesa. Es claro que esta hip�tesis es muy burda. Todos hemos o�do hablar de las fuerzas interat�micas o intermoleculares que act�an entre �tomos o mol�culas y que obviamente existen en cualquier sustancia real. Cierto, esto es completamente correcto, pero en una primera aproximaci�n vamos a olvidarnos de ellas. Prosigamos ahora con un an�lisis de los choques. En el anillo perif�rico de la ciudad de M�xico, que en ocasiones parece asemejarse al modelo que estamos construyendo para el gas por lo err�tico y desordenado del tr�fico, si chocan dos veh�culos, aunque pueden salir rebotados, los da�os que resienten son suficientes para detenerlos. En la colisi�n hay parte de absorci�n de energ�a por las carrocer�as de ambos veh�culos y parte que se consume por la fricci�n de los neum�ticos con el pavimento. La energ�a (cin�tica) de los veh�culos es claramente diferente antes y despu�s de la colisi�n. Decimos por tanto que la colisi�n es inel�stica. Los choques de las bolas de billar entre s� y contra las paredes presentan otra situaci�n, pues, excepto por el cambio en la direcci�n de su movimiento, parecen conservar su �mpetu y su energ�a. Cuando concebimos una colisi�n, ideal desde luego, entre dos objetos de manera tal que su �mpetu (masa por velocidad), como su energ�a cin�tica (un medio de su masa por el cuadrado de su velocidad), son iguales antes y despu�s de una colisi�n, decimos que �sta es el�stica. Vamos a agregar esta hip�tesis a nuestro modelo: a saber, las colisiones entre part�culas y de �stas contra las paredes son el�sticas (Figura 4).

Figura 4. (a): Dos esferas duras una de masa m₁ y con velocidad v₁ y la otra con masa m₂ y velociada v₂ se aproximan antes de chocar frontalmente como en (b). (c): Las dos esferas salen rebotadas de la colisi�n con velocidades v₁' v₂' respectivamente. Si la colisi�n es el�stica y escogemos positivas las velocidades de izquierda a derecha,

Nos falta ahora decir algo sobre las velocidades mismas. Partiendo de la hip�tesis anterior podemos decir que, como sobre cada part�cula no act�a fuerza alguna entre dos colisiones sucesivas, su velocidad en magnitud y direcci�n debe ser constante. Esta afirmaci�n es una consecuencia directa de la segunda ley de Newton, pues si la fuerza neta actuando sobre un cuerpo arbitrario es cero, su aceleraci�n es tambi�n nula, y por consiguiente su velocidad es constante. Esto quiere decir que en tanto una mol�cula no choque, se mover� siguiendo una trayectoria rectil�nea, pero que debido a los choques, la direcci�n del movimiento cambiar� incesantemente. Ahora bien, si recordamos que tenemos �10²² mol�culas en nuestro frasco de un litro!, intentar llevar un registro de sus cambios de direcci�n debido a las colisiones, es un hecho, si no imposible, ciertamente impracticable. �C�mo resolver este problema? (Ver Figura 5.)

Figura 5. En un recipiente de volumen V hay N mol�culas cuyas velocidades en direcci�n son completamente ca�ticas. Recordemos que N-~-10²².

A no ser que tomemos una decisi�n dr�stica para resolverlo, �ste parece complicarse enormemente. Puede resultar curioso, pero esta decisi�n la podemos extraer de nuestra propia actitud ante situaciones mucho menos complicadas en apariencia, pero en las cuales carecemos de informaci�n suficiente para resolverlas l�gica y racionalmente. Éstas se presentan en todos los juegos de azar. �Podemos predecir con certeza si al lanzar una moneda al aire caer� �guila o sol? �O qu� par de n�meros se dar�n al tirar un par de dados de un cubilete? �O bien si un n�mero dado de un billete de loter�a ser� premiado, por ejemplo, con el premio mayor? �Ciertamente no! En nuestra participaci�n en estos juegos interviene impl�cita la hip�tesis de que todos los posibles eventos del juego tienen la misma posibilidad de ocurrir. Aunque no lo meditemos, en el momento de jugar estamos aceptando esta igual posibilidad de ocurrencia de todos los eventos posibles. Por ejemplo, existe un 50% de posibilidades que la moneda caiga �guila y otro tanto que caiga sol, �y sin embargo jugamos! Imagine ahora el lector que podemos hacer con 10 ²² mol�culas cuyas direcciones en la velocidad cambian constantemente con el tiempo. La respuesta, si no obvia, es un tanto sugestiva: suponer que en todo momento cualquier direcci�n en la velocidad tiene iguales posibidades de ocurrir, esto es, todas son igualmente posibles. Esta hip�tesis, cuyo contenido est� estrechamente asociado con las caracter�sticas de los juegos de azar, desempe�a un papel important�simo en todas las �reas de la ciencia, y en particular en la f�sica, donde nos enfrentamos al problema de resolver la din�mica de una gran poblaci�n de part�culas (~l0 ²²),* cuya soluci�n si se busca por medio de la aplicaci�n de las leyes de la mec�nica cl�sica, es decir; de las leyes de Newton, si no resulta imposible, s� es altamente impracticable. Suplimos pues nuestra impotencia para abordar esta compleja situaci�n con un modelo sumamente simple, muy semejante al de la hip�tesis de la loter�a. En un lenguaje m�s t�cnico, �sta se conoce como la hip�tesis de probabilidades iguales a priori. De aqu�, de la estad�stica matem�tica, surge entonces el inevitable probabil�stico que usamos para describir y explicar el comportamiento de sistemas de N cuerpos. Es por ello que a este campo se le conoce globalmente como f�sica estad�stica.

Para que el lector conserve una imagen clara y concisa del modelo que hemos construido con el objeto de representar el comportamiento de un gas, vamos a resumir las hip�tesis fundamentales que lo constituyen. Ellas son:

1) El gas est� formado por un conjunto de N(~10²²) m l�culas concebidas por peque�as esferas r�gidas de di�metro (aproximadamente 10-⁸ cm), despreciable comparado con longitudes macrosc�picas. N�tese que el volumen ocupado por una mol�cula es aproximadamente igual a 10-²⁴ cm³. De aqu� que ocupado por 10²² mol�culas sea apenas de l0^-² cm³ : �la cent�sima parte de un cm³ ! Por tanto, en nuestro recipiente de 1 000 cm³ pr�cticamente todo el espacio est� vac�o.

2) En ausencia de fuerzas externas y despreciando los efectos del campo gravitacional, las mol�culas est�n distribuidas uniformemente en el recipiente. Esto es, en todo momento n�mero de mol�culas por unidad de volumen es constante.

3) Las mol�culas no ejercen fuerzas entre s�, excepto cuando sufren una colisi�n con otra mol�cula o contra las paredes del recipiente. Adem�s, estas colisiones son el�sticas.

4) Todas las direcciones de las velocidades moleculares son igualmente probables.

5) Las magnitudes de las velocidades moleculares cambian constantemente como consecuencia de los choques y, num�ricamente, pueden tomar valores entre cero y una velocidad m�xima que no puede exceder la velocidad de la luz.

Como el lector puede apreciar, este modelo puede aparecer como muy simple y, desde luego, poco realista. Surge de manera natural la duda acerca de las posibilidades efectivas de que podamos extraer de �l algunas consecuencias que sean factibles de comparar con la evidencia experimental de que disponemos. Si la concordancia entre las predicciones del modelo y dicha evidencia son satisfactorias, juzgaremos al modelo como adecuado. Y lo ser� m�s a�n en la medida que encontremos tambi�n sus limitaciones para poder mejorarlo y extenderlo a casos m�s generales. Por el contrario, si las predicciones no concuerdan con el experimento, entonces habr� que desecharlo. En el siguiente cap�tulo estudiaremos estas alternativas.