V. LA DISTRIBUCI�N DE VELOCIDADES EN UN GAS
UNA de las caracter�sticas m�s sobresalientes de nuestro modelo
cin�tico es la concerniente a la forma en que hemos concebido con qu� velocidad,
en magnitud y direcci�n, se mueven las mol�culas que forman el gas. As� como
a priori no hay n�meros privilegiados en los billetes de loter�a, de la misma
manera no hay direcciones privilegiadas para las velocidades; adem�s, la magnitud
de la velocidad puede variar desde cero hasta una velocidad m�xima. Esto nos
lleva a pensar en caracterizar a las mol�culas por su velocidad promedio, dada
la imposibilidad de observar en lapsos sucesivos c�mo var�a individualmente
la velocidad en magnitud. Y hasta el momento nos hemos encontrado ya con dos
promedios: el de la velocidad misma y el del cuadrado de la velocidad, el cual
apareci� cuando discutimos el concepto de energ�a cin�tica promedio por mol�cula.
�C�mo distinguimos entre esos dos promedios? Veamos un ejemplo muy simple. Imaginemos
que el gas consiste de 10 part�culas que en un momento dado tienen velocidades
de 1 m/seg, 2 m/seg, 3 m/seg, 4 m/seg, 5 m/seg hasta 10 m/seg, respectivamente.
La velocidad "promedio" de cada part�cula la calculamos en la misma forma que
sacamos nuestro "promedio" de calificaciones en un periodo escolar: sumamos
todos los valores y dividimos entre el n�mero total de ellas.
Por lo tanto, la velocidad promedio de cada mol�cula es de 5.5 m/seg en ese instante. Por un razonamiento an�logo podemos calcular el promedio del cuadrado de la velocidad, que estar� dado por
y por lo tanto la ra�z cuadrada de 
ser�
de
=
6.21 m/seg
que es casi igual a 
Sin
embargo, observemos que es
mayor que 
. Y
recordemos tambi�n que
es la velocidad que en forma natural aparece asociada con la temperatura del
gas.
�C�mo se comparan la velocidad promedio
y la ra�z cuadrada del valor promedio del cuadrado de la velocidad,
, en nu�stro gas formado por 1023 part�culas? �Son m�s o menos iguales?
�Essiempre
mayor que ?
�Existe otra velocidad caracter�stica como, por ejemplo, una velocidad m�xima?
Y finalmente, �cu�ntas mol�culas por unidad de volumen tienen una velocidad
,
en un intervalo dado, digamos entre l00 y 110 m/seg, en un instante dado? Si
pudi�semos responder estas preguntas aprender�amos mucho. En efecto, si suponemos,
como lo hemos hecho hasta ahora, que el gas est� en equilibrio, la forma en
que todos los posibles valores de la velocidad est�n "repartidos" en las mol�culas
no va a cambiar con el tiempo; s�lo son diferentes mol�culas las que a tiempos
diferentes tienen tambi�n velocidades distintas. Y si conocemos esta repartici�n
podemos calcular, como en el ejemplo anterior; tanto
como .
Si recordamos, en ese ejemplo la distribuci�n o repartici�n de velocidades fue
muy sencilla: a cada mol�cula le asignamos arbitrariamente un valor; pero, dado
a que la distribuci�n de valores de 1 m/seg a 10 m/seg no cambiaba, no dijimos
a qu� mol�cula le correspond�a un valor determinado en cada instante.
Sin hacer ning�n tipo de ejercicio matem�tico, el lector puede adivinar por
s� mismo c�mo puede ser, cualitativamente, la forma de esta distribuci�n o reparto
de velocidades. Grafiquemos en un sistema de coordenadas cartesianas el n�mero
de part�culas por unidad de volumen, digamos por cm3, que tienen
velocidades comprendidas en un cierto intervalo de velocidades; llam�mosle Du,
contra la velocidad u. A este n�mero le llamamos
N(u)Du.
�C�mo var�a este n�mero con respecto a la velocidad u?
Relativamente f�cil. Comencemos por el origen. �Cu�l es el n�mero de part�culas
por unidad de volumen que tiene velocidad igual a 0 m/seg? Debemos sospechar
que es cero. En nuestra caja es muy dif�cil imaginar que entre todas las colisiones
violentas que ocurren y el incesante bombardeo a que est� sometida cada mol�cula
alguna de ellas pueda estar en reposo. Aceptemos esta sospecha como un juicio
v�lido. La curva comienza pues en el origen de coordenadas en la figura 8. Y
como obviamente la velocidad u no puede ser
mayor que la velocidad de la luz, el n�mero de part�culas por unidad de volumen
con velocidades mayores que dicha velocidad es cero. Podemos inferir entonces
que la curva debe ser cero cuando la velocidad es muy grande. As� pues, la curva
empieza en cero y termina en cero. Si aceptamos adem�s la existencia de una
velocidad m�xima y pensamos en que es una curva que var�a lisa y suavemente,
la opci�n m�s simple consecuente con estas hip�tesis es que la curva tenga la
forma de una campana. Pero recordemos que este resultado es una mera conjetura
extra�da de algunas consideraciones de l�gica elemental y de un par de datos
objetivos acerca del comportamiento de las mol�culas. �Podemos comprobar de
manera contundente si nuestra imaginaci�n concuerda con el mundo real?
Figura 8. La forma cualitativa de la curva de la distribuci�n de velocidades
en el modelo cin�tico.
Recurramos al experimento. �C�mo podemos medir la distribuci�n de velocidades
en un gas a una temperatura y presi�n dadas? Si pensamos en un gas cualquiera
que éste sea, encerrado en un recipiente, no se ve en que forma más
o menos simple podemos introducir un selector de velocidades que nos vaya separando
las mol�culas por grupos de acuerdo a la velocidad que tengan. Sin contar que
ese selector interferir�a con el movimiento de las mol�culas y seguramente modificar�a
sus velocidades, lo cual no queremos que ocurra. Pero la naturaleza es generosa
y nos ha proporcionado de todos los elementos necesarios para llevar a cabo
esta medici�n. Veamos: lo primero que necesitamos es un conjunto de mol�culas
(o �tomos) muy grande que tengan velocidades cuya magnitud y direcci�n est�n
distribuidos al azar. Es bien sabido que algunos metales, como el talio, la
plata, el litio y otros, al ser calentados a cierta temperatura emiten �tomos
que tienen precisamente esa caracter�stica: sus velocidades son arbitrarias.
La emisi�n de estos �tomos puede visualizarse como disparos de una superametralladora
de enorme r�faga de balas por segundo, cada bala poseyendo una velocidad en
magnitud y direcci�n totalmente arbitraria; esto es, la N-�sima bala
tiene una velocidad que para nada depende de la que fue disparada antes que
ella, ni influye en la que le sigue. Ahora bien, el problema es c�mo seleccionamos
balas distingui�ndolas por las velocidades que poseen. Esto es relativamente
f�cil de resolver, imagine el lector que, de todas las mol�culas o �tomos emitidas
nos fijamos en aquellas que puedan salir por una rendija colocada a cierta distancia
del metal emisor y que sirve de colimador. Este colimador permite el paso solamente
a un grupo selecto de mol�culas cuya velocidad en magnitud es arbitraria, pero
cuya direcci�n est� determinada por la orientaci�n que le demos a la rendija
respecto del emisor. Para distinguir entre las part�culas que pasan por el colimador;
dado que las velocidades est�n distribuidas en magnitud, usamos un dispositivo
muy ingenioso. Imaginemos una rueda dentada cuyas ranuras est�n uniformemente
espaciadas a lo largo de su circunferencia. Si esta rueda est� montada sobre
un eje giratorio conectado a un motor podemos hacerla girar con una velocidad
angular determinada. Cada ranura pasar� por un punto fijo en el espacio a tiempos
bien determinados. Si conocemos la distancia entre la rueda giratoria y la rendija
podemos conocer el tiempo que le toma a un �tomo de velocidad v
en viajar esa distancia (t = d/v); por lo tanto, para una velocidad
dada podemos contar las part�culas que pasan por los dientes de la rueda por
medio de un detector. De esta manera podemos determinar el n�mero de part�culas
con velocidad v que pasan por ella y graficar ese n�mero contra
v . Variando la velocidad angular de la rueda, seleccionamos
mol�culas de diferente velocidad y as� tenemos un selector de velocidades. Si
todas las mol�culas (o �tomos) emitidas por el filamento tuvieran la misma velocidad,
s�lo detectar�amos por medio del detector los impactos causados para una sola
velocidad angular w. Pero no ocurre
as� (Figura 9). Los datos experimentales obtenidos por el f�sico alem�n Otto
Stern en 1920 y subsecuentemente mejorados hasta alcanzar una gran precisi�n
por Miller y Kusch en 1955 se muestran en la figura 10.
Figura 9. Esquema del aparato usado por Miller y Kush para determinar la distribuci�n
de velocidades de Maxwell [Tomado del art�culo de R. C.Miller y P. Kusch Physical
Review, vol. 99 p. 1314 (1955).]
Figura 10. La l�nea s�lida muestra la distribuci�n te�rica de velocidades calculada
con la f�rmula de Maxwell. Los c�rculos y/o tri�ngulos D son los puntos experimentales
para �tomos de talio que salen del horno a 870�K y a 944�K, respectivamente.
La abscisa se eligi� en unidades adimensionales para que distribuciones de velocidades
a diferentes temperaturas incidieran sobre la misma curva. [Datos extra�dos
del art�culo de R. C. Miller y P. Kush, Physical Review, vol. 99, p.1314
(1955).] La ecuaci�n de Maxwell-Boltzmann es:N(v)dv = 4
Pn(m/2Pht) e-mv�2/2 htv2dv
En ella se ve claramente que la distribuci�n es una curva en forma de campana
tal y como lo hab�amos sospechado. En efecto, la curva exhibe las caracter�sticas
previstas: indica que el n�mero de part�culas con velocidad cero es cero y que
al crecer v la curva tambi�n tiende a cero. Nuestra intuici�n ha sido
gratamente corroborada. Y fue el gran f�sico escoc�s James Clerk Maxwell (*)
quien en 1860 dedujo la forma matem�tica de esta curva usando exdusivamente
la hip�tesis n�mero cinco del modelo cin�tico que hemos introducido. Si recuerdan,
esta hip�tesis s�lo establece el car�cter estrictamente probabil�stico de la
distribuci�n de las velocidades de las part�culas que forman el gas. M�s tarde,
esa misma ecuaci�n fue obtenida por otro gran cient�fico, el austriaco Ludwig
Boltzmann (*), usando m�todos m�s sofisticados. Boltzmann, conjuntamente con
Maxwell, pueden considerarse como los dos grandes precursores de la teor�a cin�tica
moderna. Esta ecuaci�n se conoce ahora como distribuci�n de Maxwell-Boltzmann.
James Clerk Maxwell
Luis Boltzmann
As� llegamos a una feliz conclusi�n: nuestro modelo cin�tico no s�lo conduce a resultados que son comprobables a posteriori con el experimento, sino que el postulado m�s importante en que est� basado puede comprobarse directamente por los m�todos arriba descritos. Como comentario final debemos insistir en que la validez de este modelo est� circunscrita a describir correctamente las propiedades termost�ticas de lo que llamamos un gas ideal. En la pr�ctica estos gases, que en realidad no existen, se encuentran representados en los gases monat�micos a densidades bajas, o bien por los mismos gases a temperaturas altas, temperaturas mayores que la temperatura del punto cr�tico del gas. A densidades altas, el modelo falla; en estas condiciones la ley de distribuci�n de velocidades de Maxwell-Boltzmann no es correcta y la teor�a cin�tica de los gases debe corregirse esencialmente debido a que entre los �tomos o mol�culas que componen el gas existen fuerzas atractivas y repulsivas que no hemos tomado en cuenta aqu�. Volveremos a este punto m�s adelante.
