XIV. LAS GEOMETR�AS NO-EUCLIDIANAS

AL HABLAR de los sabios griegos, mencionamos que la geometr�a y las teor�as f�sicas sobre la gravitaci�n han evolucionado de la mano. El desarrollo de una de estas ramas de la ciencia influy� siempre sobre la otra. Esta afirmaci�n es muy clara si nos referimos a la teor�a general de la relatividad: las ideas de Einstein sobre la gravitaci�n son profundamente geom�tricas. Como ya vimos en la nota hist�rica escrita por el propio Einstein, la presencia de una masa gravitacional altera la estructura del espaciotiempo, curv�ndolo. Por ello, para establecer sus ecuaciones del campo gravitatorio, Einstein emple� los conceptos de la geometr�a de espacios curvos, propuesta el siglo pasado por Riemann. La geometr�a riemanniana forma parte de lo que hoy se llama la geometr�a no-euclidiana, pedazo de las matem�ticas cuya historia fascinante ahora relataremos.

Euclides resumi� en sus Elementos lo que en su tiempo sab�an los griegos sobre la geometr�a. Su tratado es, como los Principia, o los libros de Maxwell sobre la teor�a electromagn�tica, o El origen de las especies de Darwin, un libro de s�ntesis, donde se recolectan los conocimientos de una ciencia y se relacionan hechos en apariencia disconexos. En su libro, Euclides formula las premisas fundamentales de la geometr�a, con el uso de postulados y axiomas. De �stos, el que habr�a de alcanzar una mayor notoriedad es el quinto postulado, que se refiere a la existencia de una l�nea paralela a otra, es decir, de dos l�neas rectas que no se cortan. Seg�n el postulado quinto, por un punto fuera de una recta s�lo se puede trazar una paralela a esta �ltima.

En el quinto postulado, que Euclides formul� de manera complicada, est� impl�cito el concepto de infinito, y por ello desde tiempos muy remotos se trat� de expresarlo de manera diferente para, de plano, eliminar el postulado y deducirlo de otros axiomas. En sus intentos, muchos matem�ticos reemplazaron el postulado quinto por otras aseveraciones que luego buscaban demostrar. Un ejemplo de esas afirmaciones es: la suma de los �ngulos internos de un tri�ngulo es igual a 180�. Otro ejemplo lo dio el mismo Gauss, uno de los mayores matem�ticos de la historia, quien sustituy� el quinto postulado de Euclides por otro supuesto: existen tri�ngulos con �reas tan grandes como se quiera. Parece ser que el gran Gauss lleg� a plantear correctamente la cuesti�n y, finalmente, decidi� abandonar el postulado quinto. No se atrevi� a publicar sus deducciones, tal vez por temor a las cr�ticas que resultar�an si alguien como �l se desviaba de una verdad absoluta tan evidente.

Fue el joven matem�tico ruso Nikolai Lobachevski quien en 1826 finalmente se percat� de que el quinto postulado no puede deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometr�a y se atrevi� a negar la "verdad evidente" de ese postulado de Euclides. Tom� como cierta la proposici�n contraria: por un punto fuera de una l�nea recta, se puede trazar no una, sino al menos dos l�neas paralelas a ella. De ah� dedujo una larga serie de teoremas, sin llegar a contradicci�n alguna. Con su trabajo, Lobachevski ense�� no s�lo que el postulado quinto es indemostrable sino algo a�n m�s importante: desde un punto de vista estrictamente l�gico, se pueden concebir varias geometr�as: la de Euclides cede su lugar como verdad absoluta.

Como otros grandes avances en el conocimiento, las ideas de Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato; ideas tan radicales, que chocaban con los prejuicios de casi todos los matem�ticos, no habr�an de anclarse f�cilmente como parte de la ciencia. Sin embargo, Lobachevski defendi� sus ideas, que ah� quedaron como la esencia de una gran revoluci�n en la geometr�a. Igual que sucedi� con otros grandes hitos en la ciencia —como ocurri�, por ejemplo, con el c�lculo diferencial que inventaron casi al mismo tiempo Newton y Leibniz—, la idea de una geometr�a no-euclidiana surgi� de muchos autores. Ya hemos mencionado al gran Gauss; tambi�n el matem�tico h�ngaro Janos Bolyai descubri� la imposibilidad de probar el quinto postulado y public� sus resultados en un ap�ndice al tratado sobre geometr�a que escribi� su padre en 1832, tres a�os depu�s que Lobachevski. Adem�s de Bolyai, los matem�ticos alemanes Schweikart y Taurinus segu�an tambi�n sendas parecidas. No obstante, el joven ruso lleg� m�s lejos y por ello la nueva geometr�a lleva su nombre.

En el preciso instante en que se reemplaza el postulado quinto de Euclides por el de Lobachevski, las figuras geom�tricas que tanto ayudan para entender mejor la geometr�a elemental dejan de ser �tiles. La hoja del cuaderno que usamos en la escuela secundaria es un plano euclidiano. En esa hoja plana es imposible construir esquemas a la Lobachevski. Para ello requerir�amos de una superficie en forma de corneta, que t�cnicamente se llama seudoesfera. Si en lugar de l�neas rectas usamos las l�neas m�s cortas en la seudoesfera —l�neas que llamaremos geod�sicas—, la geometr�a intr�nseca de esa corneta coincide con la del plano a la Lobachevski, plano en que por un punto fuera de una recta puede trazarse m�s de una l�nea paralela a ella. En 1868, el ge�metra italiano Beltrami descubri� lo que acabamos de mencionar y la actitud de los matem�ticos cambi� de pronto: de algo ficticio, la geometr�a no-euclidiana de Lobachevski se torn� en algo real.

En la geometr�a de Lobachevski se pueden probar muchos teoremas, que parecen extra�os pues no son v�lidos en el plano euclidiano que nos es familiar. Basten algunos ejemplos para ser conscientes de cu�n rara es la geometr�a no-euclidiana: Dos l�neas paralelas se cortan en el punto del infinito, pero su distancia crece indefinidamente en la direcci�n contraria; si dos l�neas tienen una perpendicular com�n, la distancia entre ellas se vuelve infinita al alejarnos de esa perpendicular en cualquier direcci�n; la suma de los �ngulos internos de un tri�ngulo es siempre menor que 180� y no puede haber tri�ngulos con un �rea tan grande como se quiera; la circunferencia ya no vale 2p veces el radio, y el teorema de Pit�goras para tri�ngulos rect�ngulos ha de ser modificado. Por otro lado, para regiones muy peque�as del espacio, la geometr�a de Lobachevski se parece mucho a la de Euclides. Decimos que �sta es un caso l�mite de aqu�lla. La nueva teor�a incluye a la antigua, representa un caso m�s general; nuestro conocimiento ha, pues, avanzado.

La d�cada de los setentas del siglo pasado fue crucial para las nuevas ideas geom�tricas. Ya mencionamos que en 1868 Beltrami dio un ejemplo real de la geometr�a de Lobachevski al demostrar que la seudoesfera, intr�nsecamente, cumple las condiciones no-euclidianas de esa nueva geometr�a. Sin embargo, el ejemplo del matem�tico italiano no es completo, pues superficies como la seudoesfera no pueden extenderse infinitamente en todas las direcciones sin que hallemos puntos singulares. Lo �ltimo no es cierto para el plano de Lobachevski y, por ello, la geometr�a intr�nseca de la seudoesfera no es equivalente a la de todo el plano a la Lobachevski. En 1870, sin embargo, el matem�tico alem�n Klein encontr� otra forma de cumplir los postulados de esa geometr�a no-euclidiana. M�s a�n, Klein mismo propuso en 1872, durante una conferencia en la Universidad de Erlangen, lo que habr�a de llamarse el "Programa de Erlangen", en el que se resum�an los avances geom�tricos recientes —la geometr�a proyectiva, la af�n, por mencionar s�lo dos de ellos— y se requer�a la investigaci�n de las propiedades de las figuras geom�tricas bajo una transformaci�n que podr�a ser arbitraria salvo que siempre llevara de un solo punto a otro solo punto del espacio. Surgen as� muchas otras geometr�as —la conforme, por ejemplo— y se abre el camino al estudio de los espacios geom�tricos abstractos. Ya no se limitar�a nuestro an�lisis a las figuras en el plano, o en el espacio de tres dimensiones en que nos movemos; ahora podr�amos pensar en muchas dimensiones y en variables no forzosamente espaciales. As�, por ejemplo, hablamos del espacio de las variables termodin�micas de un gas, que bien pueden ser m�s de tres, como la presi�n, el volumen, la temperatura y las diversas concentraciones de las substancias que forman ese gas. En este espacio multidimensional tambi�n estudiamos propiedades geom�tricas, ahora desde un punto de vista m�s abstracto. Por otro lado, en la historia que relatamos, la de las ondas gravitacionales, ser� indispensable usar el espaciotiempo, que tiene cuatro dimensiones, como ya hemos visto.