XV. M�TRICA Y CURVATURA

EL OTRO gran brinco en nuestra concepci�n de la geometr�a se dio en 1868, al ser publicados p�stumamente las conferencias y los art�culos de Georg Riemann. En ellos, el gran matem�tico alem�n expone las ideas b�sicas de la que ahora conocemos como geometr�a riemanniana y que provee la base matem�tica de la teor�a general de la relatividad. Aunque la geometr�a de Riemann puede llegar a ser complicada en extremo, sus ideas b�sicas son simples y profundas, como todos los grandes conceptos de la ciencia. Vamos a tratar de explicarlos sin ser formales, es decir, sin utilizar el formalismo matem�tico.

Nos proponemos medir la distancia entre dos puntos P₁ y P₂ cualesquiera de un plano. Para expresar esa distancia en t�rminos de las coordenadas cartesianas (x₁, y₁) de P₁ y (x₂, y₂) de P₂, usamos el teorema de Pit�goras. La distancia d₁₂ est� dada entonces por d²₁₂= (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)², o bien , como puede f�cilmente comprobarse haciendo un dibujito. Las f�rmulas anteriores son v�lidas tambi�n cuando P₁ est� muy cerca de P₂, en su vecindad como dicen los matem�ticos. En particular, podr�amos dividir el segmento de recta P₁P₂ en un gran n�mero de peque�os, peque��simos segmentos y luego obtener la distancia d₁₂ sumando las distancias entre los extremos de esos segmentitos. Este es el enfoque que usar�amos en el c�lculo diferencial e integral para obtener la distancia entre dos puntos. En el plano, la f�rmula es la misma —obtenida del teorema de Pit�goras— para puntos distantes entre s� que para puntos infinitamente cercanos uno del otro.

Todo lo anterior suena muy razonable y, de hecho, forma parte del bagage matem�tico de cualquier estudiante de la geometr�a elemental. Empero, analicemos un poco m�s los conceptos escondidos que hay detr�s de nuestro simple c�lculo de d₁₂. Primero, de manera impl�cita supusimos que la distancia entre dos puntos existe. Por ello decimos que nuestro plano de marras es un espacio m�trico. La m�trica es una regla definida para calcular la distancia de dos puntos vecinos en el espacio. En segundo lugar, medimos la distancia en el plano a lo largo de la l�nea recta que une P₁ con P₂ Bien hubi�ramos podido usar otra l�nea curva que pasara por los dos puntos. Sin embargo, elegimos la l�nea recta, porque es la que conduce a la m�nima distancia que es d₁₂ . A este tipo de l�neas extremas se les llama geod�sicas. En una superficie esf�rica, por ejemplo, los meridianos son geod�sicas, pero los paralelos (con excepci�n del ecuador) no lo son. Vemos pues que calculamos la distancia en un espacio m�trico a lo largo de una curva geod�sica. Finalmente hemos visto, en el ejemplo del plano, que el teorema de Pit�goras se aplica para puntos distantes entre s� y tambi�n cuando los puntos se acercan mucho. La regla para medir distancias es la misma local que globalmente. Por esta �ltima propiedad, al plano que consideramos se le llama euclidiano. Hablamos, pues, del plano como de un espacio m�trico euclidiano.

Armados de tales conceptos matem�ticos, plante�monos ahora el problema de calcular la distancia entre dos puntos P₁ y P₂que no est�n en un plano, sino en una superficie, como una esfera o una seudoesfera. El problema debe atacarse, claro est�, sobre la superficie, sin salirse de ella, como si s�lo este espacio en dos dimensiones existiera. Un agrimensor cualquiera hace intuitivamente lo anterior: Mide sus distancias sobre la superficie terrestre (que recuerda a la de una esfera) y no sale nunca de ella. Al hablar de distancias a lo largo de una superficie analizamos, por tanto, la geometr�a intr�nseca de esta superficie. Suponemos, pues, que la seudoesfera o la esfera es un espacio m�trico de dos dimensiones, como el plano que antes tratamos. Ya sabemos que el teorema de Pit�goras s�lo es v�lido localmente en la seudoesfera y que globalmente falla. De hecho, la vecindad de un punto cualquiera de una superficie suave se parece mucho a su plano tangente. La diferencia entre ambas superficies es menor, mientras menor sea la vecindad considerada. Por eso el agrimensor usa las f�rmulas de la geometr�a euclidiana al medir un peque�o terreno sobre la superficie terrestre: las diferencias entre la esfera y su plano tangente no alcanzan a notarse en sus medidas. La seudoesfera —cuya geometr�a es un ejemplo de la de Lobachevski, geometr�a no-euclidiana— es el caso de un espacio m�trico no-euclidiano en lo global, pero euclidiano localmente. En otras palabras, la m�trica puede elegirse igual a la dada por el teorema de Pit�goras para calcular las distancias entre puntos muy cercanos entre s�, pero toma otra forma si se trata de obtener la distancia entre un punto P₁ y otro punto P₂ separados por una distancia finita. Un espacio m�trico no-euclidiano, como lo es la seudoesfera, donde vale localmente el teorema de Pit�goras, es lo que en matem�ticas se llama un espacio riemanniano. Desde luego, el espacio m�s simple de este tipo es un espacio euclidiano, pues es m�trico y, al ser euclidiano en lo global, tambi�n lo es localmente.

Georg Riemann generaliz� as� la geometr�a de los griegos, aquella que Euclides sintetiz� en sus Elementos. El gran matem�tico alem�n logr� establecer un criterio que nos permite saber qu� tanto se aleja un espacio de lo euclidiano. La medida de cu�n no-euclidiano es un espacio m�trico cualquiera es su curvatura. Ella se define como una propiedad intr�nseca del espacio que se estudie, y no se refiere a las propiedades de �ste al hallarse embebido en un espacio m�s grande. La idea de curvatura que introdujo Riemann es la generalizaci�n del concepto intuitivo que tenemos de la curvatura de una superficie, que mide la desviaci�n de la geometr�a intr�nseca de esa superficie respecto a la geometr�a del plano.

Para entender la curvatura a la Riemann, pensemos primero en dos casos donde aparece la curvatura de las superficies, como la usaba Gauss. Imaginemos un punto O sobre la superficie curva y tracemos un peque�o tri�ngulo de �rea A que contiene a O. Los lados del tri�ngulo son geod�sicas de la superficie y forman �ngulos a, b y g entre ellos.

Pues bien, la curvatura llamada gaussiana es igual en el punto O a la cantidad K = (a + b+ g - p)/A, cuando el �rea A se hace muy, muy chiquita. N�tese que en un plano la suma de los �ngulos internos de cualquier tri�ngulo es igual a p (es decir, 180º); por lo tanto, en un plano la expresi�n anterior vale siempre cero: decimos por ello que el plano no es curvo, que su curvatura es nula.

La curvatura gaussiana K tambi�n ocurre en este otro caso: Tracemos un circulito de radio r, circunferencia l y con centro en O. Para definir este c�rculo, pensamos en todos aquellos puntos sobre la superficie que equidistan de O a lo largo de l�neas geod�sicas. La curvatura de Gauss, K, da tambi�n el l�mite al que tiende la diferencia entre l y 2p r. La f�rmula precisa es 2p r - l = (p r³/3)K cuando r se acerca mucho a cero. En este segundo caso, la curvatura K mide la desviaci�n de la longitud de un peque��simo c�rculo respecto al valor 2p r que aprendimos en la escuela primaria y que es el valor de l en la geometr�a de Euclides. N�tese que K puede variar de un punto a otro de la superficie.

Estamos ya listos para definir la curvatura de Riemann. En un punto O del espacio riemanniano bajo estudio constr�yase una superficie suave S formada por curvas geod�sicas. La curvatura de Riemann en el punto O es igual a la curvatura gaussiana K de S. En general, podemos trazar varias superficies geod�sicas en el punto O y para cada una de ellas tendremos un valor de la curvatura gaussiana. En tal caso, la curvatura de Riemann no est� caracterizada por un solo n�mero sino por varios; cu�ntos de estos n�meros se requerir�n depender� de la dimensionalidad del espacio y de su geometr�a intr�nseca, es decir, de su m�trica. Al sistema de n�meros necesario Riemann le llam� el tensor de la curvatura. Este mide la desviaci�n de la m�trica de un espacio respecto a la m�trica euclidiana. Nos dice, por ejemplo, qu� tanto difiere de 180� la suma de los �ngulos internos de un tri�ngulo, o qu� tanto se aleja de 2p r la circunferencia l de un c�rculo de radio r. La curvatura de Riemann var�a, en general, de un punto a otro del espacio y no est� dada por un solo n�mero, sino por un cierto sistema de n�meros, que en matem�ticas se llama tensor.

Cuando el tensor de curvatura de Riemann no cambia al variar el punto O en que se calcula, decimos que el espacio es homog�neo. Si el espacio riemanniano es inhomog�neo, no se puede trasladar una figura geom�trica sin alterar las distancias entre los puntos que la forman. Movimientos r�gidos —como la traslaci�n y la rotaci�n—, a los que tan acostumbrados estamos en nuestro mundo euclidiano, no son ya posibles. Si, por otro lado, el espacio es homog�neo, recuperamos tales movimientos r�gidos de las figuras. El ejemplo m�s sencillo de un espacio riemanniano homog�neo es el espacio euclidiano, pues en �l todo el tensor de curvatura es nulo en cualquier punto: podemos decir que un espacio euclidiano es homog�neo y sin curvatura. Otro ejemplo de espacio con homogeneidad es el de Lobachevski: la curvatura de la seudoesfera es una constante negativa. Finalmente, una esfera de n dimensiones embebida en un espacio euclidiano con (n +1) dimensiones es un ejemplo de espacio riemanniano homog�neo con curvatura positiva. El plano —espacio no-curvo—, la seudoesfera —cuya geometr�a es casi equivalente a la de Lobachevski— y la esfera son todos casos particulares de la geometr�a de Riemann. En estos tres ejemplos, el tensor de curvatura se reduce a un solo n�mero y el valor de �ste no cambia al ir de un punto del espacio a otro. Los tres espacios son, pues, homog�neos y en ellos podemos trasladar r�gidamente las figuras geom�tricas.

Una vez que llegamos a este punto, no vendr�a mal releer las Notas sobre el origen de la teoria general de la relatividad que el mismo Einstein escribi� y cuya traducci�n presentamos en el cap�tulo III de este libro. All�, Einstein habla de las l�neas extremas, que no son otra cosa que las geod�sicas aqu� mencionadas; se refiere tambi�n a la m�trica de Riemann y a su tensor de curvatura. El significado geom�trico de estos t�rminos ha sido insinuado en el presente cap�tulo. Nos queda por aclarar, sin embargo, cu�l es la relaci�n de estas consideraciones geom�tricas con la fuerza gravitatoria. �Por qu�, en particular, la gravitaci�n cambia la estructura local euclidiana del espaciotiempo que nos rodea para inducir una m�trica riemanniana? Veremos en lo que sigue c�mo esta modificaci�n geom�trica surge del principio de equivalencia, que se pone de manifiesto en los resultados que E�tv�s obtuvo con ese simple y maravilloso aparatito, la balanza de torsi�n.