XV. MÉTRICA Y CURVATURA

EL OTRO gran brinco en nuestra concepción de la geometría se dio en 1868, al ser publicados póstumamente las conferencias y los artículos de Georg Riemann. En ellos, el gran matemático alemán expone las ideas básicas de la que ahora conocemos como geometría riemanniana y que provee la base matemática de la teoría general de la relatividad. Aunque la geometría de Riemann puede llegar a ser complicada en extremo, sus ideas básicas son simples y profundas, como todos los grandes conceptos de la ciencia. Vamos a tratar de explicarlos sin ser formales, es decir, sin utilizar el formalismo matemático.

Nos proponemos medir la distancia entre dos puntos P₁ y P₂ cualesquiera de un plano. Para expresar esa distancia en términos de las coordenadas cartesianas (x₁, y₁) de P₁ y (x₂, y₂) de P₂, usamos el teorema de Pitágoras. La distancia d₁₂ está dada entonces por d²₁₂= (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)², o bien , como puede fácilmente comprobarse haciendo un dibujito. Las fórmulas anteriores son válidas también cuando P₁ está muy cerca de P₂, en su vecindad como dicen los matemáticos. En particular, podríamos dividir el segmento de recta P₁P₂ en un gran número de pequeños, pequeñísimos segmentos y luego obtener la distancia d₁₂ sumando las distancias entre los extremos de esos segmentitos. Este es el enfoque que usaríamos en el cálculo diferencial e integral para obtener la distancia entre dos puntos. En el plano, la fórmula es la misma —obtenida del teorema de Pitágoras— para puntos distantes entre sí que para puntos infinitamente cercanos uno del otro.

Todo lo anterior suena muy razonable y, de hecho, forma parte del bagage matemático de cualquier estudiante de la geometría elemental. Empero, analicemos un poco más los conceptos escondidos que hay detrás de nuestro simple cálculo de d₁₂. Primero, de manera implícita supusimos que la distancia entre dos puntos existe. Por ello decimos que nuestro plano de marras es un espacio métrico. La métrica es una regla definida para calcular la distancia de dos puntos vecinos en el espacio. En segundo lugar, medimos la distancia en el plano a lo largo de la línea recta que une P₁ con P₂ Bien hubiéramos podido usar otra línea curva que pasara por los dos puntos. Sin embargo, elegimos la línea recta, porque es la que conduce a la mínima distancia que es d₁₂ . A este tipo de líneas extremas se les llama geodésicas. En una superficie esférica, por ejemplo, los meridianos son geodésicas, pero los paralelos (con excepción del ecuador) no lo son. Vemos pues que calculamos la distancia en un espacio métrico a lo largo de una curva geodésica. Finalmente hemos visto, en el ejemplo del plano, que el teorema de Pitágoras se aplica para puntos distantes entre sí y también cuando los puntos se acercan mucho. La regla para medir distancias es la misma local que globalmente. Por esta última propiedad, al plano que consideramos se le llama euclidiano. Hablamos, pues, del plano como de un espacio métrico euclidiano.

Armados de tales conceptos matemáticos, planteémonos ahora el problema de calcular la distancia entre dos puntos P₁ y P₂que no estén en un plano, sino en una superficie, como una esfera o una seudoesfera. El problema debe atacarse, claro está, sobre la superficie, sin salirse de ella, como si sólo este espacio en dos dimensiones existiera. Un agrimensor cualquiera hace intuitivamente lo anterior: Mide sus distancias sobre la superficie terrestre (que recuerda a la de una esfera) y no sale nunca de ella. Al hablar de distancias a lo largo de una superficie analizamos, por tanto, la geometría intrínseca de esta superficie. Suponemos, pues, que la seudoesfera o la esfera es un espacio métrico de dos dimensiones, como el plano que antes tratamos. Ya sabemos que el teorema de Pitágoras sólo es válido localmente en la seudoesfera y que globalmente falla. De hecho, la vecindad de un punto cualquiera de una superficie suave se parece mucho a su plano tangente. La diferencia entre ambas superficies es menor, mientras menor sea la vecindad considerada. Por eso el agrimensor usa las fórmulas de la geometría euclidiana al medir un pequeño terreno sobre la superficie terrestre: las diferencias entre la esfera y su plano tangente no alcanzan a notarse en sus medidas. La seudoesfera —cuya geometría es un ejemplo de la de Lobachevski, geometría no-euclidiana— es el caso de un espacio métrico no-euclidiano en lo global, pero euclidiano localmente. En otras palabras, la métrica puede elegirse igual a la dada por el teorema de Pitágoras para calcular las distancias entre puntos muy cercanos entre sí, pero toma otra forma si se trata de obtener la distancia entre un punto P₁ y otro punto P₂ separados por una distancia finita. Un espacio métrico no-euclidiano, como lo es la seudoesfera, donde vale localmente el teorema de Pitágoras, es lo que en matemáticas se llama un espacio riemanniano. Desde luego, el espacio más simple de este tipo es un espacio euclidiano, pues es métrico y, al ser euclidiano en lo global, también lo es localmente.

Georg Riemann generalizó así la geometría de los griegos, aquella que Euclides sintetizó en sus Elementos. El gran matemático alemán logró establecer un criterio que nos permite saber qué tanto se aleja un espacio de lo euclidiano. La medida de cuán no-euclidiano es un espacio métrico cualquiera es su curvatura. Ella se define como una propiedad intrínseca del espacio que se estudie, y no se refiere a las propiedades de éste al hallarse embebido en un espacio más grande. La idea de curvatura que introdujo Riemann es la generalización del concepto intuitivo que tenemos de la curvatura de una superficie, que mide la desviación de la geometría intrínseca de esa superficie respecto a la geometría del plano.

Para entender la curvatura a la Riemann, pensemos primero en dos casos donde aparece la curvatura de las superficies, como la usaba Gauss. Imaginemos un punto O sobre la superficie curva y tracemos un pequeño triángulo de área A que contiene a O. Los lados del triángulo son geodésicas de la superficie y forman ángulos a, b y g entre ellos.

Pues bien, la curvatura llamada gaussiana es igual en el punto O a la cantidad K = (a + b+ g - p)/A, cuando el área A se hace muy, muy chiquita. Nótese que en un plano la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a p (es decir, 180º); por lo tanto, en un plano la expresión anterior vale siempre cero: decimos por ello que el plano no es curvo, que su curvatura es nula.

La curvatura gaussiana K también ocurre en este otro caso: Tracemos un circulito de radio r, circunferencia l y con centro en O. Para definir este círculo, pensamos en todos aquellos puntos sobre la superficie que equidistan de O a lo largo de líneas geodésicas. La curvatura de Gauss, K, da también el límite al que tiende la diferencia entre l y 2p r. La fórmula precisa es 2p r - l = (p r³/3)K cuando r se acerca mucho a cero. En este segundo caso, la curvatura K mide la desviación de la longitud de un pequeñísimo círculo respecto al valor 2p r que aprendimos en la escuela primaria y que es el valor de l en la geometría de Euclides. Nótese que K puede variar de un punto a otro de la superficie.

Estamos ya listos para definir la curvatura de Riemann. En un punto O del espacio riemanniano bajo estudio constrúyase una superficie suave S formada por curvas geodésicas. La curvatura de Riemann en el punto O es igual a la curvatura gaussiana K de S. En general, podemos trazar varias superficies geodésicas en el punto O y para cada una de ellas tendremos un valor de la curvatura gaussiana. En tal caso, la curvatura de Riemann no está caracterizada por un solo número sino por varios; cuántos de estos números se requerirán dependerá de la dimensionalidad del espacio y de su geometría intrínseca, es decir, de su métrica. Al sistema de números necesario Riemann le llamó el tensor de la curvatura. Este mide la desviación de la métrica de un espacio respecto a la métrica euclidiana. Nos dice, por ejemplo, qué tanto difiere de 180ñ la suma de los ángulos internos de un triángulo, o qué tanto se aleja de 2p r la circunferencia l de un círculo de radio r. La curvatura de Riemann varía, en general, de un punto a otro del espacio y no está dada por un solo número, sino por un cierto sistema de números, que en matemáticas se llama tensor.

Cuando el tensor de curvatura de Riemann no cambia al variar el punto O en que se calcula, decimos que el espacio es homogéneo. Si el espacio riemanniano es inhomogéneo, no se puede trasladar una figura geométrica sin alterar las distancias entre los puntos que la forman. Movimientos rígidos —como la traslación y la rotación—, a los que tan acostumbrados estamos en nuestro mundo euclidiano, no son ya posibles. Si, por otro lado, el espacio es homogéneo, recuperamos tales movimientos rígidos de las figuras. El ejemplo más sencillo de un espacio riemanniano homogéneo es el espacio euclidiano, pues en él todo el tensor de curvatura es nulo en cualquier punto: podemos decir que un espacio euclidiano es homogéneo y sin curvatura. Otro ejemplo de espacio con homogeneidad es el de Lobachevski: la curvatura de la seudoesfera es una constante negativa. Finalmente, una esfera de n dimensiones embebida en un espacio euclidiano con (n +1) dimensiones es un ejemplo de espacio riemanniano homogéneo con curvatura positiva. El plano —espacio no-curvo—, la seudoesfera —cuya geometría es casi equivalente a la de Lobachevski— y la esfera son todos casos particulares de la geometría de Riemann. En estos tres ejemplos, el tensor de curvatura se reduce a un solo número y el valor de éste no cambia al ir de un punto del espacio a otro. Los tres espacios son, pues, homogéneos y en ellos podemos trasladar rígidamente las figuras geométricas.

Una vez que llegamos a este punto, no vendría mal releer las Notas sobre el origen de la teoria general de la relatividad que el mismo Einstein escribió y cuya traducción presentamos en el capítulo III de este libro. Allí, Einstein habla de las líneas extremas, que no son otra cosa que las geodésicas aquí mencionadas; se refiere también a la métrica de Riemann y a su tensor de curvatura. El significado geométrico de estos términos ha sido insinuado en el presente capítulo. Nos queda por aclarar, sin embargo, cuál es la relación de estas consideraciones geométricas con la fuerza gravitatoria. ¿Por qué, en particular, la gravitación cambia la estructura local euclidiana del espaciotiempo que nos rodea para inducir una métrica riemanniana? Veremos en lo que sigue cómo esta modificación geométrica surge del principio de equivalencia, que se pone de manifiesto en los resultados que Eñtvñs obtuvo con ese simple y maravilloso aparatito, la balanza de torsión.