XIX. LA TEOR�A GENERAL DE LA RELATIVIDAD

LA CONCLUSI�N m�s interesante que podemos sacar de esta discusi�n es que el campo gravitacional afecta los intervalos de tiempo. Pero, seg�n ya vimos al enunciar la teor�a especial de la relatividad, el tiempo y el espacio no pueden separarse. El verdadero escenario para los sucesos naturales es el espaciotiempo. Lo que se afirme para el espacio o lo que se diga para el tiempo es una expresi�n verdadera s�lo en un marco de referencia particular. Las cuestiones relativistas se expresan en el espaciotiempo. Vistos desde esta perspectiva, nuestros experimentos, pensados o reales, nos llevan a concluir que el campo gravitacional, al cambiar los intervalos de tiempo, altera la geometr�a del espaciotiempo. La gravitaci�n induce una curvatura; el espaciotiempo deja de ser plano y se convierte en un espacio no-euclidiano, donde prevalece la geometr�a de Riemann. Cuando la gravedad no es muy intensa, la curvatura es ligera y el espaciotiempo aparenta ser plano. Las conclusiones de Einstein tienden entonces, como un caso l�mite, a las de Newton.

El atraso en la marcha de los relojes causado por el campo gravitacional indica de inmediato que el espacio-tiempo es curvo. Veamos por qu�, usando para ello la analog�a con una esfera, espacio curvo de dos dimensiones, donde intentaremos dibujar un cuadrado. Partimos de un punto A y a lo largo de un c�rculo m�ximo, o sea, recorriendo una geod�sica, marcamos un punto B a una distancia l; salimos luego de B por una geod�sica perpendicular a la curva AB y llegamos al punto C, a una distancia tambi�n l de B. Sobre una geod�sica perpendicular a BC y a una distancia l del punto C, llegamos a D. Finalmente, a lo largo de un c�rculo m�ximo perpendicular al arco DC recorremos la distancia l, con la esperanza de llegar al punto de partida, que es A. La sorpresa —y esto es f�cil de comprobar dibujando la trayectoria ABCDA en una pelota— es que nunca llegamos al punto A; el cuadrado no se cierra, porque el espacio es curvo.

Ahora intentemos construir ese cuadrado en el espaciotiempo en presencia de un campo gravitacional. Tomemos dos puntos A y B a diferente altura sobre la Tierra. Tracemos la l�nea del mundo para el punto A dejando transcurrir, digamos 10 segundos, para llegar en el espaciotiempo al punto C. Hacemos lo mismo con B y al cabo de 10 segundos llegamos al punto D en el mismo espaciotiempo. Como los relojes marchan a ritmo diferente en B y A, el punto D no est� exactamente arriba de C. En conclusi�n, no podemos construir el cuadrado en el espaciotiempo, igual que no pod�amos trazarlo sobre la esfera. La raz�n es la misma en ambos casos: los dos son espacios riemannianos, que tienen curvatura no nula.

Ahora estamos listos para expresar los postulados de Einstein sobre la gravitaci�n, la teor�a general de la relatividad. Einstein nos dice c�mo cambia la geometr�a del espaciotiempo cuando hay masa presente. Y nos dice tambi�n c�mo se mueven los objetos si s�lo hay fuerzas gravitacionales. En cuanto a la primera cuesti�n, afirma que la curvatura es proporcional a la masa. Respecto a la segunda cuesti�n, nos dice que los objetos se mueven a lo largo de las geod�sicas en el espaciotiempo. Esta �ltima es la forma einsteniana para las ecuaciones de movimiento y el primer postulado reemplaza la ley newtoniana de la gravitaci�n universal, que llevaba impl�cita la idea de acci�n a distancia.

Para expresar sus leyes en forma matem�tica, Einstein luch� y trabaj� fuertemente durante muchos a�os. En 1907 public� el principio de equivalencia; en 1911 present� otro art�culo sobre el efecto de la gravedad en la propagaci�n de la luz y lleg� a un resultado igual al newtoniano: la luz al pasar rozando al Sol se desviar�a 0.85" de arco. Este n�mero es s�lo la mitad de lo que �l mismo obtendr�a luego, con la teor�a general de la relatividad ya completa. La forma final de la teor�a, que requiri� de una nueva estructura matem�tica, el c�lculo tensorial, lleg� s�lo siete a�os despu�s. �Por qu� ocurri� esta dilaci�n? �Por qu� siguieron tantas pistas falsas �l y su antiguo condisc�pulo, el matem�tico Marcel Grossman? La raz�n nos la cuenta el mismo Einstein en las tantas veces mencionadas Notas sobre el origen... No es f�cil para un f�sico librarse de ideas tan acendradas como aquella de que las coordenadas tienen un claro significado m�trico. Es dif�cil darse cuenta de que el espacio no es el mero escenario donde los cuerpos se mueven e interact�an, sino que la geometr�a misma de ese espacio depende de la presencia y de la distribuci�n de la materia. Esta causa un cambio en la curvatura del espaciotiempo, curvatura que a su vez origina la gravedad.

Las ecuaciones de campo de Einstein son ecuaciones muy complejas, que determinan el tensor m�trico g_mn. Son, como lo pide el hecho de que la masa-energ�a genera el campo gravitatorio y �ste a su vez influye sobre la masa, ecuaciones no-lineales. En el l�mite no-relativista, cuando todo se mueve lentamente respecto a la luz, las de Einstein coinciden con las ecuaciones de Newton. En ese sentido, la teor�a general de la relatividad es una teor�a relativista de la gravitaci�n. Las ecuaciones de Einstein se han podido resolver en algunos casos particulares y as� comparar sus predicciones con las newtonianas y con las observaciones experimentales. Siempre que esto ha sido factible, la naturaleza ha dado la raz�n a Einstein y a su bella concepci�n geom�trica de la fuerza de gravedad.