XIX. LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD

LA CONCLUSIÓN más interesante que podemos sacar de esta discusión es que el campo gravitacional afecta los intervalos de tiempo. Pero, según ya vimos al enunciar la teoría especial de la relatividad, el tiempo y el espacio no pueden separarse. El verdadero escenario para los sucesos naturales es el espaciotiempo. Lo que se afirme para el espacio o lo que se diga para el tiempo es una expresión verdadera sólo en un marco de referencia particular. Las cuestiones relativistas se expresan en el espaciotiempo. Vistos desde esta perspectiva, nuestros experimentos, pensados o reales, nos llevan a concluir que el campo gravitacional, al cambiar los intervalos de tiempo, altera la geometría del espaciotiempo. La gravitación induce una curvatura; el espaciotiempo deja de ser plano y se convierte en un espacio no-euclidiano, donde prevalece la geometría de Riemann. Cuando la gravedad no es muy intensa, la curvatura es ligera y el espaciotiempo aparenta ser plano. Las conclusiones de Einstein tienden entonces, como un caso límite, a las de Newton.

El atraso en la marcha de los relojes causado por el campo gravitacional indica de inmediato que el espacio-tiempo es curvo. Veamos por qué, usando para ello la analogía con una esfera, espacio curvo de dos dimensiones, donde intentaremos dibujar un cuadrado. Partimos de un punto A y a lo largo de un círculo máximo, o sea, recorriendo una geodésica, marcamos un punto B a una distancia l; salimos luego de B por una geodésica perpendicular a la curva AB y llegamos al punto C, a una distancia también l de B. Sobre una geodésica perpendicular a BC y a una distancia l del punto C, llegamos a D. Finalmente, a lo largo de un círculo máximo perpendicular al arco DC recorremos la distancia l, con la esperanza de llegar al punto de partida, que es A. La sorpresa —y esto es fácil de comprobar dibujando la trayectoria ABCDA en una pelota— es que nunca llegamos al punto A; el cuadrado no se cierra, porque el espacio es curvo.

Ahora intentemos construir ese cuadrado en el espaciotiempo en presencia de un campo gravitacional. Tomemos dos puntos A y B a diferente altura sobre la Tierra. Tracemos la línea del mundo para el punto A dejando transcurrir, digamos 10 segundos, para llegar en el espaciotiempo al punto C. Hacemos lo mismo con B y al cabo de 10 segundos llegamos al punto D en el mismo espaciotiempo. Como los relojes marchan a ritmo diferente en B y A, el punto D no está exactamente arriba de C. En conclusión, no podemos construir el cuadrado en el espaciotiempo, igual que no podíamos trazarlo sobre la esfera. La razón es la misma en ambos casos: los dos son espacios riemannianos, que tienen curvatura no nula.

Ahora estamos listos para expresar los postulados de Einstein sobre la gravitación, la teoría general de la relatividad. Einstein nos dice cómo cambia la geometría del espaciotiempo cuando hay masa presente. Y nos dice también cómo se mueven los objetos si sólo hay fuerzas gravitacionales. En cuanto a la primera cuestión, afirma que la curvatura es proporcional a la masa. Respecto a la segunda cuestión, nos dice que los objetos se mueven a lo largo de las geodésicas en el espaciotiempo. Esta última es la forma einsteniana para las ecuaciones de movimiento y el primer postulado reemplaza la ley newtoniana de la gravitación universal, que llevaba implícita la idea de acción a distancia.

Para expresar sus leyes en forma matemática, Einstein luchó y trabajó fuertemente durante muchos años. En 1907 publicó el principio de equivalencia; en 1911 presentó otro artículo sobre el efecto de la gravedad en la propagación de la luz y llegó a un resultado igual al newtoniano: la luz al pasar rozando al Sol se desviaría 0.85" de arco. Este número es sólo la mitad de lo que él mismo obtendría luego, con la teoría general de la relatividad ya completa. La forma final de la teoría, que requirió de una nueva estructura matemática, el cálculo tensorial, llegó sólo siete años después. ¿Por qué ocurrió esta dilación? ¿Por qué siguieron tantas pistas falsas él y su antiguo condiscípulo, el matemático Marcel Grossman? La razón nos la cuenta el mismo Einstein en las tantas veces mencionadas Notas sobre el origen... No es fácil para un físico librarse de ideas tan acendradas como aquella de que las coordenadas tienen un claro significado métrico. Es difícil darse cuenta de que el espacio no es el mero escenario donde los cuerpos se mueven e interactúan, sino que la geometría misma de ese espacio depende de la presencia y de la distribución de la materia. Esta causa un cambio en la curvatura del espaciotiempo, curvatura que a su vez origina la gravedad.

Las ecuaciones de campo de Einstein son ecuaciones muy complejas, que determinan el tensor métrico g_mn. Son, como lo pide el hecho de que la masa-energía genera el campo gravitatorio y éste a su vez influye sobre la masa, ecuaciones no-lineales. En el límite no-relativista, cuando todo se mueve lentamente respecto a la luz, las de Einstein coinciden con las ecuaciones de Newton. En ese sentido, la teoría general de la relatividad es una teoría relativista de la gravitación. Las ecuaciones de Einstein se han podido resolver en algunos casos particulares y así comparar sus predicciones con las newtonianas y con las observaciones experimentales. Siempre que esto ha sido factible, la naturaleza ha dado la razón a Einstein y a su bella concepción geométrica de la fuerza de gravedad.