III. NOTAS SOBRE EL ORIGEN DE LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD

EN UN pequeño libro, publicado originalmente en alemán en 1934 con el título Mein Weltbild —en español, tal vez, "El mundo como lo veo"—, el propio Einstein escribe una nota para arrojar un poco de luz sobre el camino que siguió su pensamiento hasta formular una nueva teoría de la gravitación. (En los párrafos que siguen, el lector poco experto habrá de tener paciencia pues encontrará muchos términos que no entiende. Sin embargo, vale la pena echarle una ojeada al relato de Einstein que se gozará más, si se regresa a él luego de completar la lectura del libro.) He aquí lo que Einstein nos dice:

Cuando, a través de la teoría especial de la relatividad, había llegado a la equivalencia de todos los así llamados sistemas de referencia inerciales para formular las leyes de la naturaleza (1905), surgió de manera natural la cuestión de si no habría una equivalencia ulterior entre todos los sistemas de referencia. Por decirlo de otra forma: si sólo se puede asociar al concepto de velocidad un significado relativo, ¿deberíamos perseverar en seguir tratando a la aceleración como un concepto absoluto? Desde un punto de vista puramente cinemático no había ya duda respecto a la relatividad de todos los movimientos; sin embargo, físicamente hablando, los sistemas inerciales parecían ocupar un lugar privilegiado, que hacía que el uso de sistemas de coordenadas con movimiento arbitrario pareciera artificial. Yo estaba, desde luego, consciente del punto de vista expresado por Mach, de acuerdo al cual parecería concebible suponer que la inercia se resiste no a la aceleración como tal sino a la aceleración respecto a las masas de otros cuerpos existentes en el mundo. Había algo de fascinante para mí en esta idea, aunque no me proveía de una buena base para elaborar una nueva teoría. Di primero un paso hacia la solución del problema cuando intenté describir la ley de la gravitación en el marco de la teoría especial de la relatividad. Al igual que la mayoría de los escritores de esa época, traté de formular una teoría del campo para la gravitación, ya que no era posible, al menos de manera natural, introducir directamente la acción a distancia, debido a que la noción de simultaneidad absoluta había sido abolida. El camino más simple era, por supuesto, retener el potencial escalar de Laplace y completar la ecuación de Poisson de una manera obvia, de tal forma que se satisficiera la teoría especial de la relatividad. La ley de movimiento de un puntomasa en un campo gravitacional tendría también que adaptarse a la teoría especial de la relatividad. El camino aquí no dejaba de ser errático, pues la masa inercial de un cuerpo podría depender del potencial gravitacional. De hecho, cabría esperar que así fuera debido al principio de la inercia de la energía. Estas investigaciones, sin embargo, llevaron a resultados que me generaron fuertes sospechas. De acuerdo a la mecánica clásica, la aceleración vertical de un cuerpo en el campo gravitacional vertical es independiente de la componente horizontal de la velocidad. De aquí se sigue que en tal campo gravitacional la aceleración vertical de un sistema mecánico, o de su centro de gravedad, opera en forma independiente a su energía cinética interna. Pero en la primera teoría que investigué, la aceleración del cuerpo que cae no era independiente de la velocidad horizontal ni de la energía interna del sistema.

En su artículo, Einstein procede a mencionar el principio de equivalencia, piedra angular de la nueva teoría:

Lo anterior no se ajusta al viejo hecho experimental según el cual todos los cuerpos tienen la misma aceleración en un campo gravitacional. Esta ley, que también puede formularse como la ley de la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitacional, se me aclaró luego en todo su significado. Estaba, en un alto grado, sorprendido por su persistencia, y adiviné que en ella debería hallarse la clave para entender más a fondo la inercia y la gravitación. No tenía serias dudas respecto a su estricta validez, aun sin conocer los resultados de los admirables experimentos de Eñtvñs, que —si mi memoria no falla— sólo conocí tiempo después. Entonces abandoné, pues era poco adecuado, tratar el problema de la gravitación tal como indiqué antes, en el marco de la teoría especial de la relatividad. Claramente esos intentos no hacían justicia a la propiedad más fundamental de la gravitación. El principio de la igualdad de las masas inercial y gravitacional se podría ahora formular claramente como sigue: En un campo gravitacional homogéneo los movimientos ocurren en la misma forma que en ausencia del campo gravitacional si aquéllos se refieren a un sistema de coordenadas acelerado. Si este principio —el principio de equivalencia— fuera válido para dos eventos cualesquiera, tendríamos una indicación de que el principio de relatividad debería ser extendido a sistemas de coordenadas en movimiento no-uniforme unos respecto a otros, si es que deseáramos llegar a una teoría, fácil y natural, de los campos gravitacionales. Reflexiones como éstas me mantuvieron ocupado entre 1908 y 1911; trataba de sacar de ellas conclusiones particulares, de las cuales no me propongo hablar aquí. Por el momento, lo único realmente importante fue el descubrimiento de que sólo se podría esperar una teoría razonable de la gravitación si se extendiera el principio de relatividad.

Llegado a este punto, el gran físico alemán nos relata cómo llegó a introducir ideas geométricas en su teoría de la gravitación.

Lo que se requería, por tanto, era una teoría cuyas ecuaciones mantuvieran su forma aun en el caso de transformaciones no-lineales de las coordenadas. Yo no hubiera sido capaz en ese entonces de afirmar si lo anterior era aplicable a absolutamente todas las transformaciones de coordenadas, o solamente a algunas de ellas. Pronto vi que el introducir transformaciones no-lineales, como exigía el principio de equivalencia, era inevitablemente fatal para la interpretación más simple de las coordenadas; es decir, ya no se podría pedir que las diferenciales de las coordenadas tuvieran un significado directo en términos de medidas realizadas con escalas para medir longitudes y relojes para medir tiempos. Mucho me molestó este hecho, ya que me tomó largo tiempo ver lo que realmente significaban las coordenadas en la física. No hallé la salida de este dilema sino en 1912, lo que se me ocurrió luego de la siguiente consideración: Se debería encontrar una nueva formulación de la ley de la inercia que, en ausencia de un campo gravitacional real, se convirtiera en la de Galileo. Esta última se reduce a lo siguiente: un punto material que no esté actuado por fuerza alguna se representará en el espacio de cuatro dimensiones por una línea recta, o sea, por una línea tan corta como sea posible, o más correctamente, por una línea extrema. Este concepto presupone el de longitud de un elemento de línea, es decir, la existencia de una métrica. En la teoría especial de la relatividad, como mostró Minkowski, la métrica es cuasi-euclidiana; en tal caso, el cuadrado de la longitud ds del elemento de línea es una función cuadrática bien definida de las diferenciales de las coordenadas. Si, por medio de una transformación no-lineal, se introducen otras coordenadas, (ds)2 continúa siendo una función homogénea de las diferenciales de las coordenadas, aunque los coeficientes en esta función (que llamaremos gm n) ya no sean constantes sino que se vuelvan ciertas funciones de las coordenadas. En términos matemáticos, ello significa que el espacio físico (tetradimensional) tiene una métrica de Riemann. Las líneas extremas temporaloides de esta métrica nos proveen con la ley de movimiento de un punto-masa que no se halle sujeto a fuerza alguna salvo la gravedad. Los coeficientes gmn de esta métrica describen el campo gravitacional con referencia al sistema de coordenadas seleccionado. Así, se había encontrado una formulación natural del principio de equivalencia y su extensión a un campo gravitacional cualquiera, constituiría una hipótesis perfectamente legítima. La solución del dilema que antes mencioné fue, por tanto, como sigue: Las diferenciales de las coordenadas no tienen significado físico, sólo lo tiene la métrica riemanniana asociada con ellas. Se habría entonces encontrado una base de la teoría general de la relatividad, que nos permitiría trabajar. Dos problemas quedaban por resolver, sin embargo: 1) Si se da una ley para el campo en la terminología de la teoría especial de la relatividad, ¿cómo puede transferirse esa ley al caso de una métrica riemanniana?   2) ¿Cuáles son las leyes diferenciales que determinan la métrica riemanniana g m n? Trabajé en estos problemas entre 1912 y 1914 junto con mi amigo Grossmann. Encontramos que los métodos matemáticos para resolver el problema (1) estaban al alcance de nuestras manos con el cálculo diferencial de Ricci y Levi-Civita. En cuanto al problema 2), su solución obviamente requería sistemas diferenciales invariantes del segundo orden, formados por las gmn. Pronto vimos que estas invariantes ya habían sido establecidas por Riemann —el tensor de curvatura—. Habíamos ya obtenido las ecuaciones correctas del campo gravitatorio dos años antes de la publicación de la teoría general de la relatividad, pero no éramos capaces de ver cómo se las podría usar en física. Por el contrario, me sentía seguro de que no haríamos justicia al experimento. Más aún, creía poder mostrar, en base a consideraciones generales, que una ley de gravitación invariante frente a cualquier transformación de coordenadas no sería consistente con el principio de causalidad. Estos yerros del pensamiento me costaron dos anos de trabajo, en exceso fuerte, hasta que al fin reconocí mis errores y, al terminar 1915, logré atar cabos y ligar mis resultados con lo observado astronómicamente, para entonces retornar gustosamente a la curvatura riemanniana. A la luz del conocimiento obtenido, el feliz logro parece casi una trivialidad y cualquier estudiante inteligente puede entenderlo sin mucha dificultad. Pero aquellos años de ansiosa búsqueda, con su intensa espera, sus vaivenes de confianza y de desgaste, y la emergencia final hacia la luz, eso sólo aquellos que lo hayan experimentado lo comprenderían.