III. NOTAS SOBRE EL ORIGEN DE LA TEOR�A GENERAL DE LA RELATIVIDAD

EN UN peque�o libro, publicado originalmente en alem�n en 1934 con el t�tulo Mein Weltbild —en espa�ol, tal vez, "El mundo como lo veo"—, el propio Einstein escribe una nota para arrojar un poco de luz sobre el camino que sigui� su pensamiento hasta formular una nueva teor�a de la gravitaci�n. (En los p�rrafos que siguen, el lector poco experto habr� de tener paciencia pues encontrar� muchos t�rminos que no entiende. Sin embargo, vale la pena echarle una ojeada al relato de Einstein que se gozar� m�s, si se regresa a �l luego de completar la lectura del libro.) He aqu� lo que Einstein nos dice:

Cuando, a trav�s de la teor�a especial de la relatividad, hab�a llegado a la equivalencia de todos los as� llamados sistemas de referencia inerciales para formular las leyes de la naturaleza (1905), surgi� de manera natural la cuesti�n de si no habr�a una equivalencia ulterior entre todos los sistemas de referencia. Por decirlo de otra forma: si s�lo se puede asociar al concepto de velocidad un significado relativo, �deber�amos perseverar en seguir tratando a la aceleraci�n como un concepto absoluto? Desde un punto de vista puramente cinem�tico no hab�a ya duda respecto a la relatividad de todos los movimientos; sin embargo, f�sicamente hablando, los sistemas inerciales parec�an ocupar un lugar privilegiado, que hac�a que el uso de sistemas de coordenadas con movimiento arbitrario pareciera artificial. Yo estaba, desde luego, consciente del punto de vista expresado por Mach, de acuerdo al cual parecer�a concebible suponer que la inercia se resiste no a la aceleraci�n como tal sino a la aceleraci�n respecto a las masas de otros cuerpos existentes en el mundo. Hab�a algo de fascinante para m� en esta idea, aunque no me prove�a de una buena base para elaborar una nueva teor�a. Di primero un paso hacia la soluci�n del problema cuando intent� describir la ley de la gravitaci�n en el marco de la teor�a especial de la relatividad. Al igual que la mayor�a de los escritores de esa �poca, trat� de formular una teor�a del campo para la gravitaci�n, ya que no era posible, al menos de manera natural, introducir directamente la acci�n a distancia, debido a que la noci�n de simultaneidad absoluta hab�a sido abolida. El camino m�s simple era, por supuesto, retener el potencial escalar de Laplace y completar la ecuaci�n de Poisson de una manera obvia, de tal forma que se satisficiera la teor�a especial de la relatividad. La ley de movimiento de un puntomasa en un campo gravitacional tendr�a tambi�n que adaptarse a la teor�a especial de la relatividad. El camino aqu� no dejaba de ser err�tico, pues la masa inercial de un cuerpo podr�a depender del potencial gravitacional. De hecho, cabr�a esperar que as� fuera debido al principio de la inercia de la energ�a. Estas investigaciones, sin embargo, llevaron a resultados que me generaron fuertes sospechas. De acuerdo a la mec�nica cl�sica, la aceleraci�n vertical de un cuerpo en el campo gravitacional vertical es independiente de la componente horizontal de la velocidad. De aqu� se sigue que en tal campo gravitacional la aceleraci�n vertical de un sistema mec�nico, o de su centro de gravedad, opera en forma independiente a su energ�a cin�tica interna. Pero en la primera teor�a que investigu�, la aceleraci�n del cuerpo que cae no era independiente de la velocidad horizontal ni de la energ�a interna del sistema.

En su art�culo, Einstein procede a mencionar el principio de equivalencia, piedra angular de la nueva teor�a:

Lo anterior no se ajusta al viejo hecho experimental seg�n el cual todos los cuerpos tienen la misma aceleraci�n en un campo gravitacional. Esta ley, que tambi�n puede formularse como la ley de la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitacional, se me aclar� luego en todo su significado. Estaba, en un alto grado, sorprendido por su persistencia, y adivin� que en ella deber�a hallarse la clave para entender m�s a fondo la inercia y la gravitaci�n. No ten�a serias dudas respecto a su estricta validez, aun sin conocer los resultados de los admirables experimentos de E�tv�s, que —si mi memoria no falla— s�lo conoc� tiempo despu�s. Entonces abandon�, pues era poco adecuado, tratar el problema de la gravitaci�n tal como indiqu� antes, en el marco de la teor�a especial de la relatividad. Claramente esos intentos no hac�an justicia a la propiedad m�s fundamental de la gravitaci�n. El principio de la igualdad de las masas inercial y gravitacional se podr�a ahora formular claramente como sigue: En un campo gravitacional homog�neo los movimientos ocurren en la misma forma que en ausencia del campo gravitacional si aqu�llos se refieren a un sistema de coordenadas acelerado. Si este principio —el principio de equivalencia— fuera v�lido para dos eventos cualesquiera, tendr�amos una indicaci�n de que el principio de relatividad deber�a ser extendido a sistemas de coordenadas en movimiento no-uniforme unos respecto a otros, si es que dese�ramos llegar a una teor�a, f�cil y natural, de los campos gravitacionales. Reflexiones como �stas me mantuvieron ocupado entre 1908 y 1911; trataba de sacar de ellas conclusiones particulares, de las cuales no me propongo hablar aqu�. Por el momento, lo �nico realmente importante fue el descubrimiento de que s�lo se podr�a esperar una teor�a razonable de la gravitaci�n si se extendiera el principio de relatividad.

Llegado a este punto, el gran f�sico alem�n nos relata c�mo lleg� a introducir ideas geom�tricas en su teor�a de la gravitaci�n.

Lo que se requer�a, por tanto, era una teor�a cuyas ecuaciones mantuvieran su forma aun en el caso de transformaciones no-lineales de las coordenadas. Yo no hubiera sido capaz en ese entonces de afirmar si lo anterior era aplicable a absolutamente todas las transformaciones de coordenadas, o solamente a algunas de ellas. Pronto vi que el introducir transformaciones no-lineales, como exig�a el principio de equivalencia, era inevitablemente fatal para la interpretaci�n m�s simple de las coordenadas; es decir, ya no se podr�a pedir que las diferenciales de las coordenadas tuvieran un significado directo en t�rminos de medidas realizadas con escalas para medir longitudes y relojes para medir tiempos. Mucho me molest� este hecho, ya que me tom� largo tiempo ver lo que realmente significaban las coordenadas en la f�sica. No hall� la salida de este dilema sino en 1912, lo que se me ocurri� luego de la siguiente consideraci�n: Se deber�a encontrar una nueva formulaci�n de la ley de la inercia que, en ausencia de un campo gravitacional real, se convirtiera en la de Galileo. Esta �ltima se reduce a lo siguiente: un punto material que no est� actuado por fuerza alguna se representar� en el espacio de cuatro dimensiones por una l�nea recta, o sea, por una l�nea tan corta como sea posible, o m�s correctamente, por una l�nea extrema. Este concepto presupone el de longitud de un elemento de l�nea, es decir, la existencia de una m�trica. En la teor�a especial de la relatividad, como mostr� Minkowski, la m�trica es cuasi-euclidiana; en tal caso, el cuadrado de la longitud ds del elemento de l�nea es una funci�n cuadr�tica bien definida de las diferenciales de las coordenadas. Si, por medio de una transformaci�n no-lineal, se introducen otras coordenadas, (ds)2 contin�a siendo una funci�n homog�nea de las diferenciales de las coordenadas, aunque los coeficientes en esta funci�n (que llamaremos gm n) ya no sean constantes sino que se vuelvan ciertas funciones de las coordenadas. En t�rminos matem�ticos, ello significa que el espacio f�sico (tetradimensional) tiene una m�trica de Riemann. Las l�neas extremas temporaloides de esta m�trica nos proveen con la ley de movimiento de un punto-masa que no se halle sujeto a fuerza alguna salvo la gravedad. Los coeficientes gmn de esta m�trica describen el campo gravitacional con referencia al sistema de coordenadas seleccionado. As�, se hab�a encontrado una formulaci�n natural del principio de equivalencia y su extensi�n a un campo gravitacional cualquiera, constituir�a una hip�tesis perfectamente leg�tima. La soluci�n del dilema que antes mencion� fue, por tanto, como sigue: Las diferenciales de las coordenadas no tienen significado f�sico, s�lo lo tiene la m�trica riemanniana asociada con ellas. Se habr�a entonces encontrado una base de la teor�a general de la relatividad, que nos permitir�a trabajar. Dos problemas quedaban por resolver, sin embargo: 1) Si se da una ley para el campo en la terminolog�a de la teor�a especial de la relatividad, �c�mo puede transferirse esa ley al caso de una m�trica riemanniana?   2) �Cu�les son las leyes diferenciales que determinan la m�trica riemanniana g m n? Trabaj� en estos problemas entre 1912 y 1914 junto con mi amigo Grossmann. Encontramos que los m�todos matem�ticos para resolver el problema (1) estaban al alcance de nuestras manos con el c�lculo diferencial de Ricci y Levi-Civita. En cuanto al problema 2), su soluci�n obviamente requer�a sistemas diferenciales invariantes del segundo orden, formados por las gmn. Pronto vimos que estas invariantes ya hab�an sido establecidas por Riemann —el tensor de curvatura—. Hab�amos ya obtenido las ecuaciones correctas del campo gravitatorio dos a�os antes de la publicaci�n de la teor�a general de la relatividad, pero no �ramos capaces de ver c�mo se las podr�a usar en f�sica. Por el contrario, me sent�a seguro de que no har�amos justicia al experimento. M�s a�n, cre�a poder mostrar, en base a consideraciones generales, que una ley de gravitaci�n invariante frente a cualquier transformaci�n de coordenadas no ser�a consistente con el principio de causalidad. Estos yerros del pensamiento me costaron dos anos de trabajo, en exceso fuerte, hasta que al fin reconoc� mis errores y, al terminar 1915, logr� atar cabos y ligar mis resultados con lo observado astron�micamente, para entonces retornar gustosamente a la curvatura riemanniana. A la luz del conocimiento obtenido, el feliz logro parece casi una trivialidad y cualquier estudiante inteligente puede entenderlo sin mucha dificultad. Pero aquellos a�os de ansiosa b�squeda, con su intensa espera, sus vaivenes de confianza y de desgaste, y la emergencia final hacia la luz, eso s�lo aquellos que lo hayan experimentado lo comprender�an.