II. LA TEOR�A DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN

LA RELATIVIDAD ESPECIAL

DURANTE m�s de dos siglos, la mec�nica de Newton domin� completamente en la f�sica: el Universo entero parec�a comportarse tal como lo predec�an las ecuaciones de la f�sica newtoniana y la comprensi�n de la naturaleza se hab�a reducido a un problema de t�cnica matem�tica. Pero a principios del siglo XX empezaron a surgir evidencias de que la f�sica cl�sica, as� como todos los conceptos relacionados con ella, no describe adecuadamente a los fen�menos que suceden a la escala de los �tomos o a velocidades comparables a la de la luz.

La mec�nica cl�sica constituye una excelente aproximaci�n a la realidad, dentro de ciertos l�mites.Sin embargo en la escala microsc�pica, los fen�menos f�sicos s�lo pueden estudiarse por medio de la mec�nica cu�ntica. Y cuando se tratan velocidades muy altas, cercanas a la luminosa, se debe recurrir a la teor�a de la relatividad.

La primera revoluci�n cient�fica del siglo XX se produjo cuando Albert Einstein (Figura 1) formul�, en 1905, la teor�a de la relatividad especial. A continuaci�n describiremos los rasgos esenciales de esta teor�a.





Figura 1. Albert Einstein (1879-1955), quien formul� la teor�a de la relatividad.

Para estudiar o describir un fen�meno f�sico debemos recurrir necesariamente a un sistema de referencia con respecto al cual efectuamos mediciones. En la pr�ctica cotidiana el sistema de referencia que m�s se utiliza, es la Tierra misma que, en general, se supone inm�vil, a pesar de que gira sobre s� misma y alrededor del Sol, recorriendo el espacio c�smico a una velocidad de 30 km/seg. En cambio, para describir el movimiento de los planetas, es m�s conveniente utilizar al Sol como punto de referencia, o, m�s precisamente, como centro de un sistema de referencia donde este astro est� fijo. Pero ni el Sol, ni las estrellas vecinas a �l, se encuentran realmente fijos: el Sol se halla en las regiones externas de una galaxia que rota dando una vuelta completa en millones de a�os. A su vez, esta galaxia se mueve con respecto a otras galaxias, etc�tera.

En la pr�ctica afortunadamente, no es necesario tomar en cuenta todos estos movimientos porque las leyes de la f�sica son las mismas en cualquier sistema de referencia. Este principio fundamental se aplica aun para sistemas de referencia terrestres: en la �poca de Galileo, los fil�sofos discut�an si una piedra, lanzada desde lo alto del m�stil de un barco en movimiento, cae verticalmente con respecto al barco o con respecto a la Tierra. Galileo argument� que en el sistema de referencia del barco, las leyes de la f�sica tienen la misma forma que en tierra firme y por lo tanto, la piedra cae verticalmente con respecto al barco, aunque �ste se mueva.

As�, todo movimiento es relativo al sistema de referencia en el cual se observa y, las leyes de la f�sica, no cambian de un sistema a otro. Este hecho fundamental se conoce como principio de relatividad de Galileo.

Sin embargo, los fil�sofos y los f�sicos cl�sicos ve�an con desagrado —quiz� con v�rtigo— el hecho de que no existiera un sistema de referencia absoluto con respecto al cual definir todos los movimientos del Universo. Estrictamente hablando, el principio de relatividad no excluye la existencia de tal sistema absoluto, �nicamente postula que las leyes de la f�sica son las mismas en ese y en cualquier otro sistema. Pero, a mediados del siglo XIX, surgieron las primeras dificultades de la relatividad galileana, cuando el f�sico escoc�s James Clerk Maxwell formul� la teor�a matem�tica de los fen�menos el�ctricos y magn�ticos.

Maxwell demostr� que la electricidad y el magnetismo son dos aspectos de un mismo fen�meno: el electromagnetismo. Como una de las consecuencias m�s importantes de su teor�a descubri� que la luz es una vibraci�n electromagn�tica que se propaga exactamente como una onda. Pero las ondas lo hacen en medios materiales, por lo que los f�sicos del siglo pasado postularon la existencia de un medio extremadamente sutil, el �ter, que llenaba al Universo entero, permeaba todos los cuerpos y serv�a de sustento a la luz. Seg�n esta concepci�n, la luz ser�a una vibraci�n del �ter del mismo modo que el sonido es una vibraci�n del aire.

De existir el �ter, ser�a un sistema de referencia absoluto con respecto al cual medir el movimiento de todos los cuerpos en el Universo. M�s a�n, se descubri� que las ecuaciones de Maxwell cambian de forma al pasar de un sistema de referencia a otro, lo cual implicar�a que el principio de relatividad no se aplica a los fen�menos electromagn�ticos. Se postul�, entonces, que estas ecuaciones s�lo son v�lidas en el sistema de referencia del �ter en reposo. Esto no es sorprendente pues la luz, fen�meno electromagn�tico, se propaga con una velocidad bien definida en el �ter y esta velocidad debe ser distinta en un sistema de referencia en movimiento con respecto al �ter. Al parecer, la teor�a electromagn�tica de Maxwell restitu�a un sistema de referencia absoluto.

La manera m�s evidente de confirmar las ideas anteriores es medir la velocidad de la luz, emitida en direcciones opuestas, en la Tierra: la diferencia de velocidades puede llegar a ser tan grande como 60 km/seg (Figura 2). Esta velocidad es muy peque�a con respecto a la velocidad total de la luz, que es de 300 000 km/seg, pero, a fines del siglo pasado, los f�sicos experimentales Michelson y Morley lograron construir un aparato que permit�a medir diferencias a�n m�s peque�as en la velocidad de un rayo luminoso. Michelson y Morley realizaron su experimento en 1887: para sorpresa de la comunidad cient�fica de esa �poca, no detectaron ning�n cambio de la velocidad de la luz. Esta velocidad era la misma en cualquier direcci�n, independientemente de c�mo la Tierra se mueva con respecto al hipot�tico �ter.




Figura 2. Aparentemente, la velocidad de la luz deber�a cambiar seg�n la direcci�n en que se mueve, debido a la velocidad de la Tierra en el espacio.

Se hicieron muchas especulaciones sobre el resultado negativo del experimento: quiz� la Tierra arrastra el �ter consigo, quiz� los objetos materiales se contraen en la direcci�n de movimiento con respecto al �ter... Finalmente, Einstein encontr� la soluci�n al problema.

Para empezar, Einstein postul� que las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son rigurosamente v�lidas en cualquier sistema de referencia. Esta condici�n de invariancia se cumple a condici�n de que el tiempo medido en un sistema no coincida con el medido en otro sistema. Este hecho no hab�a sido tomado en cuenta por los antecesores de Einstein y, por esta raz�n, las ecuaciones de Maxwell parec�an violar el principio de relatividad.

Habiendo postulado que no puede haber ning�n sistema de referencia privilegiado, Einstein concluy� que el �ter simplemente no existe. Pero, entonces �con respecto a qu� debe medirse la velocidad de la luz? La respuesta de Einstein fue dr�stica: la velocidad de la luz es la misma en cualquier sistema de referencia. Despu�s de todo, eso es lo que indica el experimento de Michelson y Morley.

Este concepto de la invariancia de la velocidad de la luz contradice nuestro "sentido com�n". Si la velocidadd de la luz es de 300 000 km/seg, esperar�amos que al perseguir una se�al luminosa veamos que se mueve con una velocidad menor. (Si, por ejemplo, corremos a 80 km/hora detr�s de un tren que se mueve a 100 km/hora, vemos que el tren se mueve con respecto a nosotros a 20 km/hora.) Sin embargo, debido a la no invariancia del tiempo, las velocidades no se adicionan o sustraen en el caso de se�ales luminosas (o, en general, de part�culas que se mueven casi tan r�pidamente como la luz).

Los efectos predichos por la teor�a de la relatividad son imperceptibles en nuestra vida cotidiana y s�lo se manifiestan cuando se involucran velocidades comparables a la de la luz. Consideremos, como ejemplo, una nave espacial que se mueve con una velocidad muy alta: despega de la Tierra y regresa despu�s de recorrer cierta distancia. Seg�n la relatividad, el tiempo transcurre normalmente tanto para los que se quedaron en la Tierra como para los pasajeros de la nave, pero esos dos tiempos no son iguales. Al regresar a la Tierra, los tripulantes de la nave constatar�n que el viaje dur� para ellos un tiempo menor que para los que se quedaron. M�s precisamente, el tiempo medido en la nave es m�s peque�o que el medido en la Tierra por un factor de acortamiento





donde v es la velocidad de la nave y c la velocidad de la luz.1

Para velocidades v del orden de algunos metros o kil�metros por segundo, como las que ocurren com�nmente en nuestras experiencias diarias, el factor de acortamiento es tan cercano al valor 1 que es imposible detectar el efecto relativista del cambio de tiempo. Si la nave espacial viaja a unos 10 000 km/hora, la diferencia entre los tiempos medidos ser� apenas una diez millon�sima de segundo por cada hora transcurrida (lo cual, incidentalmente, se ha podido confirmar con la tecnolog�a moderna). Pero, en el otro extremo, si la nave viaja a una velocidad muy cercana a la de la luz, su tiempo puede ser muy corto con respecto al transcurrido en la Tierra: por ejemplo, a la velocidad de 295 000 km/seg, una nave espacial tardar�a unos 20 a�os medidos en la Tierra para ir a la estrella Sirio y regresar; sin embargo, para los tripulantes de la nave habr�n pasado �s�lo 3 a�os y medio!

La contracci�n del tiempo no es el �nico efecto sorprendente que predice la teor�a de la relatividad. Einstein tambi�n demostr� que existe una equivalencia entre la energ�a y la masa, dada por la famosa f�rmula


E= mc
2

donde E es la energ�a equivalente a una masa m de materia. Por ejemplo, el n�cleo de un �tomo de helio est� constituido por dos protones y dos neutrones, pero la masa del n�cleo de helio es un poco menor, cerca del 4%, que la masa sumada de dos protones y dos neutrones separados (Figura 3); en consecuencia, al unirse estas cuatro part�culas pierden una fracci�n de masa que se transforma en energ�a; �ste es el principio de la fusi�n nuclear, que permite brillar al Sol y a todas las estrellas (y construir bombas at�micas).





Figura 3. Un n�cleo de helio pesa menos que sus componentes por separado: dos protones y dos neutrones. Al formarse un n�cleo de helio, la diferencia de masa se libera en forma de energ�a (fusi�n nuclear).

De la f�rmula E = mc� no se deduce que cualquier masa se puede transformar en energ�a o viceversa; este proceso se da s�lo en condiciones muy particulares. Hemos mencionado la fusi�n nuclear, pero la manera m�s eficiente de transformar masa en energ�a es por la aniquilaci�n de la materia con la antimateria2

Al entrar en contacto una part�cula con su correspondiente antipart�cula, las dos se aniquilan totalmente quedando s�lo energ�a en forma de rayos gamma: la eficiencia de este proceso de transformaci�n de materia en energ�a es del 100%. En el siguiente cap�tulo veremos que, bajo circunstancias muy especiales, la gravitaci�n puede ser un mecanismo de liberaci�n de energ�a m�s eficiente que la fusi�n nuclear y s�lo superado por la aniquilaci�n de materia y antimateria.

Para aumentar la velocidad de un cuerpo, hay que proporcionarle energ�a, lo cual se manifiesta como un aumento de la masa del cuerpo. La teor�a de la relatividad predice que la energ�a necesaria para que un cuerpo de masa m alcance la velocidad v es





En el l�mite v = 0, se recupera la f�rmula E = mc� para la energ�a ya existente en forma de masa. En el otro extremo, la energ�a E aumenta con la velocidad (Figura 4) y se necesita una energ�a infinita para que el cuerpo alcance la velocidad de la luz. Es por ello que, seg�n la teor�a de la relatividad, ning�n cuerpo puede alcanzar o superar la velocidad de la luz. La excepci�n es la luz misma: seg�n la f�sica moderna la luz est� constituida por unas part�culas llamadas fotones, la masa de un fot�n es nula y, por ello, puede viajar a la velocidad l�mite c.





Figura 4. La energ�a de un cuerpo en movimiento aumenta con su velocidad.

As�, seg�n la teor�a de la relatividad, la velocidad de la luz es una barrera fundamental de la naturaleza que no puede ser superada. Se ha especulado sobre la existencia de posibles part�culas que se mueven m�s r�pidamente que la luz, los hipot�ticos taquiones, pero nunca se ha encontrado alguna evidencia de que sean reales; m�s a�n, de existir, se producir�an situaciones contradictorias, como por ejemplo, poder regresar en el tiempo.

En la teor�a de Einstein, el espacio y el tiempo dejan de ser categor�as independientes como en la f�sica cl�sica, para fundirse en un concepto unificado: el espacio-tiempo, en el que el tiempo aparece como una cuarta dimensi�n. A primera vista, puede parecer que este concepto desborda el marco del sentido com�n, pero en realidad no hay nada de misterioso en �l. Si queremos describir la posici�n de un objeto, necesitamos un sistema de referencia y tres n�meros, llamados coordenadas, porque el espacio tiene tres dimensiones. Por ejemplo, podemos localizar un avi�n si especificamos la longitud y la latitud del lugar donde se encuentra as� como su altura sobre el nivel del mar; con estos tres datos se determina exactamente su posici�n con respecto al sistema de referencia que es la Tierra. Sin embargo, como el avi�n se mueve, tambi�n conviene precisar en qu� momento se encontraba en la posici�n indicada. Al especificar tambi�n el tiempo, estamos describiendo un suceso, algo que ocurre en un lugar dado (descrito por 3 coordenadas) y en un cierto instante (descrito por el tiempo). Nada nos impide interpretar formalmente el tiempo como una cuarta coordenada e introducir as�, el concepto del espacio-tiempo: un espacio de cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal. Un punto de ese espacio-tiempo ser� un suceso, especificado por cuatro coordenadas.

Hasta aqu�, el concepto de un espacio-tiempo parece ser bastante trivial. Sin embargo, en el marco de la teor�a de la relatividad cobra una estructura insospechada que fue descubierta por el matem�tico alem�n Herman Minkowski.

Empecemos considerando un espacio de dos dimensiones: por ejemplo, una superficie plana. Podemos describir cualquier punto del plano si fijamos un sistema de referencia que, en el caso m�s simple, puede ser un par de ejes rectos perpendiculares entre s�. Dado un punto cualquiera, llamemos x a la distancia de ese punto al eje vertical y y a la distancia al eje horizontal (Figura 5). Es obvio que si especificamos el valor de x y y, estamos determinando un punto: en este caso, x y y son las coordenadas. S�lo hay dos porque el espacio ahora considerado tiene dos dimensiones.





Figura 5. La posici�n de un punto en un plano con respecto a un sistema de referencia se determina por medio de dos coordenadas x y y.

Sean ahora dos puntos, con coordenadas (x, y) la primera y (x + dx, y + dy) la segunda. Si llamamos ds la distancia entre esos dos puntos, entonces, seg�n el teorema de Pit�goras, el cuadrado de esa distancia est� dado por la f�rmula

ds� = dx� + dy�

como puede verse en la figura 6.





Figura 6. La distancia entre dos puntos se determina con la f�rmula para medir distancia.

Las consideraciones anteriores pueden extenderse a un espacio de tres dimensiones: en este caso, se necesitan tres coordenadas x, y, z para precisar un punto (figura 7). El cuadrado de la distancia entre el punto con coordenadas (x, y, z) y el punto con coordenadas (x + dx, y + dy, z + dz) es

ds� = dx� + dy� + dz�



Figura 7. En el espacio de 3 dimensiones, se necesitan tres coordenadas (x, y, z) para determinar la posici�n de un punto con respecto a un sistema de coordenadas.

Ahora, volvamos al espacio-tiempo de cuatro dimensiones. De las consideraciones anteriores podemos especificar un suceso con cuatro coordenadas: x , y, z, t; los tres primeros determinan la posici�n del suceso y el �ltimo fija el momento en que ocurri�. En la teor�a de la relatividad, se puede definir una seudodistancia (al cuadrado) entre dos sucesos con coordenadas (x, y, z, t) y (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) de acuerdo con la f�rmula


ds� = dx� + dy� + dz� - c� dt�

(recordemos que c es la velocidad de la luz).

�Por qu� esta forma, con un signo negativo frente al �ltimo t�rmino? La raz�n es que la distancia entre dos puntos debe poseer una propiedad fundamental: ser invariante con respecto a cambios del sistema de referencia usado: una barra no cambia su longitud real porque la miremos de lado, de frente o de cabeza. En el caso del espacio-tiempo, la seudodistancia definida arriba tiene una propiedad fundamental: es invariante al pasar de un sistema de referencia a otro. Si consideramos dos sucesos S1 S2 que ocurren uno despu�s del otro, la seudodistancia entre ellos no depende de qui�n los mida —del mismo modo que la distancia entre las puntas de una barra es invariante—. La interpretaci�n f�sica de la seudodistancia es muy simple: supongamos que un observador se mueve con velocidad constante de tal modo que, para �l, los dos sucesos S1 S2 ocurren en el mismo lugar; el tiempo que mide entre esos dos sucesos es precisamente la seudodistancia entre ellos: este es el tiempo propio entre S1 S2 y as� lo llamaremos de ahora en adelante, en lugar de seudodistancia. El tiempo propio es un invariante en el espacio-tiempo y es una cantidad perfectamente bien definida. La relatividad no excluye la posibilidad de determinar, en forma �nica, el tiempo propio medido por un observador, en contra de lo que a veces se entiende, err�neamente, por la palabra relatividad.

El espacio-tiempo en el que las "distancias", o tiempos propios, se miden seg�n la f�rmula


ds� = dx� + dy� + dz� - c� dt�


es el llamado espacio de Minkowski. Veremos m�s adelante que la f�rmula para medir "distancias" tiene un papel fundamental tanto en la teor�a de relatividad especial, como en la general.

LA TEOR�A DE LA RELATIVIDAD GENERAL

La relatividad especial surgi� de una comprensi�n global de las fuerzas electromagn�ticas. Sin embargo, existe en la naturaleza otro tipo de fuerza, la gravitaci�n, cuya descripci�n no cabe dentro de la teor�a de la relatividad especial. Como vimos anteriormente, la mec�nica cl�sica es el fundamento de la teor�a newtoniana de la gravitaci�n, pero, en casos extremos, esta mec�nica es incompatible con la relatividad especial. Era necesario, pues, crear una teor�a relativista de la gravitaci�n, que incluyera, por una parte, la teor�a newtoniana en el l�mite de velocidades peque�as y, por otra, a la relatividad especial en el caso especial en que la fuerza gravitacional tenga efectos despreciables. �ste es el formidable problema que atac� Einstein desde 1905, cuando present� su teor�a especial, hasta 1915, cuando public� la versi�n definitiva de la teor�a de la relatividad general.

Para incluir a la gravedad en una teor�a relativista, Einstein desafi� una vez m�s al sentido com�n al postular que el espacio-tiempo es curvo y la gravedad es la manifestaci�n de esa curvatura.

Para entender la idea de un espacio-tiempo curvo, empecemos considerando el caso m�s simple de un espacio de dos dimensiones curvo: por ejemplo, la superficie de una esfera. Es evidente que no se puede trazar una l�nea recta sobre tal superficie; sin embargo, si recordamos que la l�nea recta es la trayectoria de menor longitud entre dos puntos dados, podemos generalizar el concepto y definir una curva de longitud m�nima sobre una superficie curva; en el caso de la esfera, esa curva es una porci�n de arco (Figura 8). En t�rminos t�cnicos, las curvas de menor longitud sobre una superficie curva se llaman geod�sicas.





Figura 8. Sobre la superficie de una esfera, la geod�sica —curva de menor longitud entre dos puntos— es un segmento de arco.

Sobre un plano, las geod�sicas son l�neas rectas que, como se ense�a en las clases de geometr�a, satisfacen toda una serie de condiciones: dos rectas que se cruzan en un punto no vuelven a cruzarse en otro, un par de rectas paralelas nunca se cruzan, etc. Sin embargo, estas condiciones no son satisfechas por las geod�sicas en general: sobre la superficie de una esfera, dos geod�sicas se cruzan en dos puntos, un par de geod�sicas aparentemente paralelas se cruzan, etc. (Figura 9).





Figura 9. Dos geod�sicas "paralelas" se cruzan en dos puntos.

M�s a�n, la f�rmula para medir distancias sobre una superficie curva, toma ahora una forma m�s complicada que la presentada anteriormente (ds� = dx� + dy�). Sobre la superficie de la Tierra se necesitan dos coordenadas, la longitud y la latitud, para especificar completamente la posici�n de un punto. Si un punto tiene longitud y latitud y, otro punto tiene longitud y latitud , la distancia ds entre esos dos puntos est� dada por la f�rmula

donde r es el radio terrestre. 3

El hecho de que la distancia se calcula en forma distinta sobre una superficie curva que sobre una plana equivale, intuitivamente, a un hecho muy simple: no se puede aplanar una superficie curva sin deformar las distancias reales, lo cual es un problema bien conocido por los que elaboran o usan mapas.

Una superficie posee dos dimensiones y es f�cil visualizar una superficie curva. En el siglo XIX, algunos matem�ticos, como el ruso Lobashevski y el alem�n Riemann, se preguntaron si el concepto de superficie curva no podr�a extenderse a los espacios, "curvos" de tres dimensiones. En tales espacios los postulados b�sicos de la geometr�a cl�sica no se cumplir�an: las rectas podr�an cruzarse en m�s de un punto, las paralelas no mantendr�an entre s� la misma distancia, etc. En particular, Riemann (Figura 10) tuvo la idea de definir un espacio curvo con cualquier n�mero de dimensiones: cada punto de un espacio de n dimensiones (n es un n�mero entero cualquiera: 1, 2, 3, 4, etc.) se localiza por medio de un conjunto de n coordenadas.





Figura 10. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Su concepci�n del espacio revolucion� la f�sica y las matem�ticas.

Riemann demostr� que las propiedades b�sicas de un espacio curvo est�n determinadas exclusivamente por la f�rmula para medir "distancias". Cada forma de ds� define un cierto espacio riemanniano, en el que las l�neas rectas pierden sentido, pero son sustituidas por curvas geod�sicas cuya longitud —medida seg�n ds�— es m�nima.

A diferencia de las superficies, que son espacios de dos dimensiones, los espacios curvos de tres o m�s dimensiones simplemente no se pueden visualizar. Sin embargo, es posible definirlos y manejarlos matem�ticamente sin ninguna dificultad formal; los espacios riemannianos son un excelente ejemplo de un concepto que s�lo se puede describir en el lenguaje matem�tico.

Durante muchos a�os, los espacios riemannianos fueron considerados como simples curiosidades matem�ticas, ajenas a la realidad. No fue hasta la segunda d�cada del siglo xx cuando Albert Einstein se dio cuenta de que, para incluir la gravitaci�n en la teor�a de la relatividad, era necesario admitir que el espacio-tiempo es un espacio de Riemann. Einstein lleg� a tal conclusi�n a partir de una serie de brillantes deducciones l�gicas y, con la ayuda de su amigo el matem�tico Marcel Grossman que le hab�a despertado el inter�s en los trabajos de Riemann, se propuso formular matem�ticamente una teor�a relativista de la gravitaci�n. Despu�s de varios intentos, Einstein public� la versi�n definitiva de la teor�a de la relatividad general en el n�mero de noviembre de 1915 del Bolet�n de la Academia de Ciencias de Berl�n, en plena primera Guerra Mundial.

La esencia de la teor�a de la relatividad general es que el espacio-tiempo es curvo. En ausencia de masas gravitantes se tiene un espacio-tiempo de Minkowski y una part�cula se mueve en l�nea recta porque nada influye sobre su trayectoria. La presencia de una masa deforma al espacio-tiempo y el concepto de recta pierde su sentido; en un espacio-tiempo curvo, una part�cula se mueve a lo largo de una geod�sica. Seg�n esta interpretaci�n, un planeta gira alrededor del Sol porque sigue una trayectoria geod�sica en el espacio-tiempo deformado por la masa solar.

�Por qu� nadie antes de Einstein se hab�a percatado de que vivimos en un espacio curvo? La raz�n es que la curvatura inducida por la gravedad de la Tierra o la del Sol es extremadamente leve. La situaci�n se asemeja a la de los antiguos hombres que cre�an que la Tierra era plana ya que la curvatura terrestre es imperceptible a peque�a escala. Los efectos de la curvatura del espacio-tiempo se manifiestan plenamente a escala del Universo mismo,4 o cerca de objetos cuya atracci�n gravitacional sea extremadamente intensa.

En un espacio-tiempo de Minkowski, la seudodistancia o tiempo propio se mide seg�n la f�rmula ds� = dx� + dy� + dz� - c� dt� pero en un espacio-tiempo riemanniano, la f�rmula para ds� toma una forma m�s general determinada por la distribuci�n de masa. En la teor�a newtoniana, se puede calcular matem�ticamente la atracci�n gravitacional ejercida por una distribuci�n dada de masa. En la teor�a de Einstein, la situaci�n es bastante m�s complicada porque no s�lo la masa sino tambi�n la energ�a ejerce una acci�n gravitacional. En su art�culo de 1915, Einstein dedujo la f�rmula matem�tica que relaciona la geometr�a del espacio-tiempo con la distribuci�n de masa y energ�a: esta f�rmula se conoce como ecuaci�n de Einstein y es el coraz�n de la teor�a de la relatividad general (Figura 11).





Figura 11. La ecuaci�n de Einstein. El lado izquierdo describe la geometr�a del espacio-tiempo y el lado derecho representa la distribuci�n de materia y energ�a.

En principio, dado un cuerpo con cierta forma y velocidad, se puede calcular su distribuci�n de masa y energ�a, a partir de la cual, utilizando la ecuaci�n de Einstein, se puede calcular la ds� que determina enteramente la estructura del espacio-tiempo curvo. En la pr�ctica, este procedimiento es extremadamente complicado, porque la ecuaci�n de Einstein, que en realidad es un conjunto de diez ecuaciones, es imposible de resolver exactamente, excepto en algunos casos particulares.

Al principio, Einstein logr� resolver en forma aproximada su ecuaci�n y, aun as�, obtuvo resultados sumamente interesantes. En primer lugar, demostr� que un planeta no describe una elipse perfecta al girar alrededor del Sol, sino una cuasi-elipse, cuyo perihelio se corre lentamente (Figura 12). Este efecto hab�a sido observado en el planeta Mercurio sin que los astr�nomos hubieran podido explicarlo con base en la teor�a newtoniana. El primer �xito de la relatividad general fue precisamente deducir el valor exacto del corrimiento del perihelio de Mercurio.





Figura 12. El corrimiento del perihelio de Mercurio.

El segundo efecto importante que predijo Einstein es que la trayectoria de la luz, al igual que la de un proyectil, debe desviarse por la atracci�n gravitacional de un cuerpo masivo. Al contrario de la teor�a de Newton, la relatividad general s� predice c�mo se mueve la luz bajo la acci�n de la gravedad. Einstein calcul� que un rayo luminoso debe desviarse un �ngulo de 1.75 segundos de arco al pasar cerca del Sol (Figura 13), lo cual podr�a comprobarse determinando la posici�n aparente de una estrella cercana al disco solar durante un eclipse. Esta observaci�n fue realizada por el astrof�sico ingl�s A. S. Eddington al t�rmino de la primera Guerra Mundial, confirmando la predicci�n de Einstein.




Figura 13. Desviaci�n de un rayo luminoso al pasar cerca del Sol.

Es un hecho notable que la primera soluci�n exacta de la ecuaci�n de Einstein, que corresponde a un caso f�sico real, fue descubierta s�lo unos meses despu�s de que apareciera el famoso art�culo de 1915. Esta soluci�n se debe a Karl Schwarzschild, un notable astr�nomo alem�n que contaba, entre sus trabajos cient�ficos, los primeros estudios te�ricos de los procesos radiativos en las estrellas, aplicaciones de la fotograf�a a la astronom�a, una teor�a pionera de los espectros at�micos, etc. Al estallar la primera Guerra Mundial, Schwarzschild fue movilizado por el ej�rcito prusiano al frente oriental. Ah�, en condiciones precarias, contrajo una enfermedad infecciosa mortal, por lo que se le permiti� regresar a su casa. Fue literalmente en su lecho de muerte donde ley� el art�culo de Einstein de noviembre de 1915. Las ecuaciones parec�an extremadamente complicadas, pero Schwarzschild tuvo la idea de considerar un problema simple, aunque realista: �C�mo deforma al espacio-tiempo una distribuci�n perfectamente esf�rica de masa? Evidentemente, el espacio-tiempo resultante debe tener propiedades simetricas alrededor de la masa considerada; esto simplifica notablemente las ecuaciones, a tal grado que encontr� una soluci�n exacta: el espacio-tiempo de Schwarzschild, un espacio riemanniano que describe la regi�n externa de un cuerpo esf�rico con masa M y radio arbitrario. (La f�rmula para el tiempo propio tiene la forma que se muestra en la figura 14.) Las part�culas se mueven en este espacio-tiempo a lo largo de geod�sicas, lo cual se reduce, en primera aproximaci�n, justamente a las trayectorias predichas por la mec�nica de Newton.





Figura 14. La soluci�n de Schwarzschild.

El resultado obtenido por Schwarzschild fue publicado en julio de 1916, dos meses despu�s de la muerte de su autor. Durante varias d�cadas, fue pr�cticamente el �nico ejemplo, junto con los modelos cosmol�gicos,5 de una soluci�n de la ecuaci�n de Einstein que corresponde a una situaci�n f�sica real.

En el cap�tulo V estudiaremos con m�s detalles el espacio-tiempo de Schwarzschild. Por ahora s�lo mencionaremos un hecho importante: si la esfera considerada de masa M tiene un radio menor que el radio de Schwarzschild.





entonces algo extra�o sucede: la luz emitida de su superficie, o de cualquier punto dentro de la esfera con radio r, no puede llegar al radio cr�tico y queda atrapada para siempre. �sta es exactamente, la situaci�n descrita por Laplace y es un hecho notable que el valor del radio gravitacional, calculado heur�sticamente seg�n la mec�nica cl�sica, corresponde exactamente al valor del radio de Schwarzschild.

En la terminolog�a moderna, los cuerpos oscuros de Laplace son los hoyos negros. Corresponden al espacio-tiempo producido por un cuerpo masivo cuyo tama�o es igual o menor que su radio de Schwarzschild. La superficie esf�rica cuyo radio es justamente el de Schwarzschild se llama horizonte del hoyo negro; la luz puede cruzar el horizonte s�lo en un sentido: de afuera hacia adentro y nunca al rev�s. Lo que ocurre dentro del horizonte est� eternamente desconectado del exterior, no puede ser visto ni puede influir sobre el resto del Universo.

NOTAS

1 Por simplicidad, suponemos que el tiempo que tarda la nave en despegar, dar vuelta y aterrizar es despreciable.

2 A cada part�cula de materia, como el prot�n, el neutr�n y el electr�n, corresponde una antipart�cula con signo (y otras propiedades) contrario: el antiprot�n, el antineutr�n, el positr�n...

3 Estrictamente hablando, la formula anterior es v�lida para una distancia infinitesimal. Los lectores familiarizados con el c�lculo diferencial e integral habr�n reconocido la "diferencial de distancia", a partir de la cual se puede calcular la longitud de una curva arbitraria por medio de una integraci�n.

4 Ver El descubrimiento del Universo, S. Hacyan, n�m. 6 de La Ciencia desde M�xico, FCE, 1986.

5 S. Hacyan, op. cit.

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