VI. HOYOS NEGROS, TERMODIN�MICA Y MEC�NICA CU�NTICA

LOS TRES PAR�METROS DE UN HOYO NEGRO

SIENDO un hoyo negro la �ltima etapa del colapso de una estrella, deber�a ser un objeto sumamente complicado.

En efecto, las estrellas no son esferas perfectas: rotan, lo cual produce un achatamiento de los polos, adem�s, poseen una estructura interna bastante complicada. A medida que una estrella se colapsa, pasa por las fases de enana blanca y estrella de neutrones, cuerpos con intensos campos magn�ticos e irregularidades en sus superficies —monta�as y grietas—. As�, ser�a de esperar que un hoyo negro posea una estructura muy compleja, heredada de las irregularidades de la estrella original, y sea, por lo tanto, un objeto muy complicado, descrito por un gran n�mero de par�metros.

Para los fines pr�cticos de muchos c�lculos, se puede suponer, en una primera aproximaci�n, que un planeta es una esfera con cierta masa y cierto radio. Sin embargo, un estudio m�s detallado requiere del conocimiento de un gran n�mero de propiedades, como la velocidad de rotaci�n, el campo magn�tico, la estructura geol�gica, etc. An�logamente, la soluci�n de Kerr-Newman con tres par�metros —masa, momento angular y carga— deber�a ser s�lo una primera aproximaci�n a lo que es un verdadero hoyo negro.

Despu�s del descubrimiento del espacio-tiempo de Kerr y de su versi�n generalizada con carga, resurgi� el inter�s por encontrar otras soluciones de las ecuaciones de Einstein que describan hoyos negros m�s complejos. Recordemos que un hoyo negro, definido matem�ticamente, es un espacio-tiempo que posee un horizonte dispuesto de manera que su interior est� incomunicado para siempre del exterior, mientras que el exterior tiende, a lo lejos, a un espacio-tiempo plano —ya que la fuerza de la gravedad disminuye con la distancia—. Se puede suponer, adem�s, que el espacio alrededor de un hoyo negro se encuentra vac�o; esta simplificaci�n es v�lida en los casos en que la cantidad de materia en el exterior de un hoyo no influye apreciablemente sobre su estructura.

Un hoyo negro que se forme aislado en el espacio debe tender a una situaci�n de equilibrio que ya no cambie con el tiempo. Despu�s de un periodo de acomodo, la curvatura del espacio-tiempo permanecer� fija y no depender� del tiempo en que se mide. El estado final, independiente del tiempo, de un hoyo negro es el m�s interesante en cuanto a sus propiedades f�sicas y el que se presta mejor a un estudio matem�tico.

La b�squeda matem�tica de los hoyos negros tom� un nuevo e inesperado giro en 1967, cuando Werner Israel encontr� la demostraci�n matem�tica de que el �nico espacio-tiempo est�tico (en el que no hay movimiento) que corresponde a un hoyo negro sin materia o campo electromagn�tico alrededor, es el espacio-tiempo de Schwarzschild. Posteriormente, el mismo Israel demostr� que si se permite la presencia de un campo electromagn�tico, entonces el �nico espacio-tiempo con un hoyo negro es el de Reissner-Nordstrom.

Las implicaciones de este resultado son muy considerables. Si un cuerpo masivo no rotante, pero con una estructura muy complicada, incluyendo un campo el�ctrico o magn�tico, se colapsa para formar un hoyo negro, el �nico recuerdo que quedar� de �l ser� su masa y su carga el�ctrica; el campo magn�tico ser� radiado a lo lejos y quedar�, finalmente, un hoyo negro descrito por la soluci�n de Schwarzschild, o de Reissner-Nordstrom si el cuerpo estaba el�ctricamente cargado.

La demostraci�n de Israel es v�lida �nicamente en una situaci�n est�tica, en la que el hoyo negro no posee ning�n tipo de movimiento. �ste no es el caso de un hoyo negro rotante, que corresponde a una situaci�n estacionaria, mas no est�tica. (El movimiento estacionario es aquel que no var�a con el tiempo, como, por ejemplo, el fluir constante de un l�quido.) El problema que surge de una manera natural es saber si existe una restricci�n sobre la forma de un hoyo negro estacionario.

Dado que el espacio-tiempo de Kerr era la �nica soluci�n conocida que describ�a un hoyo rotante, se sospech� inmediatamente que deber�a ser la �nica que corresponde a un hoyo negro estacionario. Y en presencia de un campo electromagn�tico, la �nica soluci�n deber�a ser la de Kerr-Newman. La demostraci�n de esta conjetura fue muy ardua (una primera versi�n se debe a B. Carter), pero finalmente se logr� establecer lo que el descubrimiento de Israel hac�a sospechar: El �nico espacio-tiempo estacionario que corresponde a un hoyo negro estacionario y rodeado por el vac�o, es el espacio-tiempo de Kerr (o de Kerr-Newman, si es que hay un campo electromagn�tico). Esto nos lleva a la conclusi�n de que un hoyo negro, en una situaci�n estacionaria, �nicamente posee tres par�metros que lo describen: masa, carga y momento angular.

Este resultado sorprendente implica que una estrella en colapso se deshace de todas sus peculiaridades —estructura interna, color, achatamiento polar, campo magn�tico, etc.— al transformarse en hoyo negro. M�s a�n, se ha calculado que esta eliminaci�n ocurre en un tiempo extremadamente corto.

As�, a diferencia de un planeta o una estrella, un hoyo negro tiene una estructura extremadamente simple. En cierto sentido recuerda a una part�cula elemental que no posee estructura interna y est� determinada por un n�mero restringido de par�metros, entre los que se cuentan justamente la masa, la carga y el momento angular (o esp�n). John A. Wheeler ha descrito la simplicidad de los hoyos negros en palabras pintorescas: "los hoyos negros no tienen pelos", entendi�ndose por "pelo" cualquier par�metro necesario para describirlo que no sea la masa, la carga o el momento angular.

(Estrictamente hablando, un hoyo negro podr�a poseer tambi�n una carga magn�tica, si existieran los monopolos magn�ticos. Sin embargo, hasta la fecha no se ha encontrado una evidencia experimental que confirme definitivamente la existencia de tales objetos. Un monopolo magn�tico ser�a una part�cula con una carga magn�tica aislada, a diferencia de un im�n que siempre posee dos cargas magn�ticas, o polos, inseparables.)1

Los resultados descritos hasta aqu� son v�lidos para un hoyo negro aislado en el espacio. La situaci�n puede cambiar si hay suficiente materia alrededor del hoyo negro para influir sobre �ste, o si el hoyo se encuentra situado en un campo magn�tico externo (lo cual no ser�a improbable, ya que las galaxias suelen poseer campos magn�ticos). El estudio te�rico de los hoyos negros en situaciones realistas apenas ha empezado, debido a la gran complejidad matem�tica del problema; quiz�, en el futuro, se encuentren resultados interesantes que puedan explicar ciertos fen�menos en el Universo.

LA ENTROP�A DE UN HOYO NEGRO

Una vez formado un hoyo negro, todav�a puede alterar su estado si absorbe materia que le cae desde lejos. Si esto sucede, entonces, despu�s de un breve periodo de reacomodo, el hoyo negro regresa a un estado estacionario en el que sus tres par�metros fundamentales adquieren nuevos valores, de acuerdo con las caracter�sticas de la materia que absorbi�. Sin embargo, la variaci�n de los tres par�metros no es totalmente arbitraria, como veremos a continuaci�n.

El horizonte de un hoyo negro es una superficie esf�rica y se puede calcular su �rea sin ambig�edad. En geometr�a cl�sica, el �rea de una esfera de radio R es . Se puede demostrar que esta f�rmula se modifica ligeramente en un espacio curvo. En particular, el �rea A del horizonte de un hoyo negro rotante y cargado —el caso m�s general— resulta ser

donde r+ es el radio del horizonte externo. M�s expl�citamente, en t�rminos de los tres par�metros M, a y Q el �rea es

En principio, se pueden alterar los par�metros de un hoyo negro arroj�ndole desde el exterior part�culas masivas, cargadas o con momento angular. Sin embargo, tanto la carga como el momento angular implican cierta forma de energ�a —energ�a el�ctrica y energ�a de rotaci�n—. Debido a la equivalencia entre masa y energ�a, la carga y el momento angular de una part�cula tambi�n contribuyen a aumentar la masa del hoyo negro que la atrapa. El resultado es que la nueva masa del hoyo negro va a depender tambi�n de la carga y el momento angular que captura, de modo tal que el horizonte no cambia en una forma totalmente arbitraria.

En 1972, el f�sico ingl�s Steven Hawking demostr� un teorema matem�tico sobre los hoyos negros, que habr�a de tener hondas implicaciones. Seg�n el teorema de Hawking, el �rea del horizonte de un hoyo negro puede aumentar o permanecer constante, como consecuencia de alg�n proceso f�sico, pero en ning�n caso puede disminuir.

Si, por ejemplo, dos hoyos negros chocan entre s�, se fusionan para producir un nuevo y �nico hoyo negro. El �rea del horizonte del nuevo hoyo ser� necesariamente mayor que la suma de las �reas de los dos horizontes antes de la colisi�n.

El teorema de Hawking impone ciertas restricciones sobre la cantidad de energ�a que se puede extraer de un hoyo negro por medio de alg�n mecanismo, como, por ejemplo, el proceso de Penrose. Como parte de la masa de un hoyo negro se debe a su energ�a de rotaci�n o a su carga, un hoyo negro puede liberar energ�a a costa de reducir su masa: al disminuir su carga o su momento angular. Este proceso termina cuando al hoyo negro s�lo le queda una cierta masa. As�, un hoyo negro sin carga ni momento angular es un hoyo negro "inerte" en lo que se refiere a la posibilidad de extraerle energ�a. Por otra parte, la masa final del hoyo negro totalmente "exprimido" de energ�a no puede ser arbitrariamente peque�a, ya que el �rea del horizonte nunca disminuye. Es f�cil deducir de la formula (1) que la masa final del hoyo debe ser mayor o igual que

donde A es el �rea inicial del hoyo.

Se puede demostrar que existe una relaci�n precisa entre los incrementos de la masa y del �rea de un hoyo negro. Si el �rea de un hoyo negro aumenta en una cantidad , entonces la masa se incrementa en una cantidad , dada por la f�rmula

donde la cantidad K es la gravedad superficial del hoyo negro; los t�rminos adicionales en la f�rmula —que carecen de importancia en el asunto que se trata a continuaci�n— dependen del incremento en la carga y el momento angular y, son nulos, si estos par�metros no var�an.

La gravedad superficial es la aceleraci�n gravitacional producida por el hoyo negro en el sitio justo de su horizonte; su valor est� dado por la f�rmula:

que se reduce, en el caso de un hoyo negro sin carga ni momento angular, simplemente a

o en n�meros,

donde M es la masa del hoyo medida en masas solares.2 En comparaci�n, la gravedad en la superficie de la Tierra es de 9.81 m/seg� o, lo que es igual: 1 g.

Al conocer los resultados matem�ticos descritos hasta aqu�, los te�ricos de los hoyos negros se percataron de que existe una relaci�n entre la f�sica de los hoyos negros y otra rama de la f�sica, aparentemente muy alejada, que es la termodin�mica. La clave fundamental es la analog�a entre el �rea de un hoyo negro y el concepto termodin�mico de la entrop�a.

Existen varias maneras de interpretar la entrop�a. Sin entrar en muchos detalles, podemos afirmar que la entrop�a es una medida (inversa) de la cantidad de energ�a que se puede extraer de un sistema f�sico. Consideremos, por ejemplo, una piedra que resbala sobre un plano inclinado (Figura 21). Mientras resbala, la piedra transforma su energ�a inicial en calor: tanto la piedra como el plano se calientan por fricci�n. Ahora bien, siendo el calor una forma de energ�a (movimiento de las mol�culas), �podr�a esa energ�a regresar a la piedra y hacer que �sta suba sola por el plano inclinado? Sabemos por experiencia que tal fen�meno nunca ocurre. Antes de resbalar, la piedra posee una energ�a que se puede aprovechar —por ejemplo, arrastrando otro cuerpo consigo—; despu�s de llegar al suelo, su energ�a se ha convertido en calor y es irrecuperable. La entrop�a es una medida de la energ�a irrecuperable en un sistema f�sico.

La llamada primera ley de la termodin�mica permite relacionar el aumento de la energ�a interna (por ejemplo, energ�a en forma de calor) con el aumento de la entrop�a. Si es el incremento de la entrop�a de un cuerpo, entonces su energ�a interna se incrementa en una cantidad dada por la f�rmula

donde T es la temperatura del cuerpo y los t�rminos adicionales dependen de la variaci�n de otros par�metros del cuerpo (volumen, composici�n, etc.).

Ahora bien, seg�n la segunda ley de la termodin�mica, la entrop�a de un sistema aislado siempre aumenta con el tiempo, o al menos permanece constante.³ Si el agua regada en el suelo no se vuelve a juntar y brinca espont�neamente al vaso donde estaba, es porque la naturaleza s�lo permite pasar de un estado a otro cuando el estado final posee m�s entrop�a que el inicial.

La segunda ley de la termodin�mica permite definir el sentido del tiempo: el tiempo corre en la direcci�n en que aumenta la entrop�a. La entrop�a es uno de los conceptos m�s interesantes y sutiles de la f�sica. Evidentemente, un estudio m�s detallado rebasa los pr�positos de este libro.

Volviendo a los hoyos negros, podemos notar una analog�a obvia entre el �rea del horizonte y la entrop�a. En primer lugar, las dos son cantidades que nunca disminuyen con el tiempo. Si, adem�s, recordamos que la masa es equivalente a la energ�a, resulta que la f�rmula (2), que relaciona el incremento de la masa con el incremento del �rea de un hoyo negro, es el an�logo de la primera ley de la termodin�mica (f�rmula 4), que relaciona el incremento de la energ�a interna con el incremento de la entrop�a. En cuanto al teorema de Hawking sobre el �rea de un hoyo negro, ser�a exactamente equivalente a la segunda ley de la termodin�mica.

As�, la entrop�a de un hoyo negro debe ser proporcional a su �rea y, siguiendo la analog�a, la aceleraci�n gravitacional en la superficie del hoyo, K, debe ser el an�logo de la temperatura (comp�rense las f�rmulas 2 y 4). (Estas propiedades f�sicas no deben de confundirse con par�metros nuevos o "pelos", pues est�n enteramente determinadas por los tres par�metros fundamentales M, a y Q. )

La analog�a se puede seguir a�n m�s lejos. Seg�n la llamada "ley cero" de la termodin�mica, un sistema f�sico en equilibrio completo posee la misma temperatura en todas sus partes. En el caso de los hoyos negros, se puede demostrar que la gravedad superficial tiene el mismo valor en cada punto del horizonte.

Por �ltimo, la tercera ley de la termodin�mica especifica que la temperatura de cero absoluto es imposible de alcanzar. El an�logo de esta ley para los hoyos negros es sumamente interesante. A partir de la f�rmula (3) para K, resulta que la gravedad superficial se hace cero si los tres par�metros M, Q y a del hoyo negro cumplen la condici�n

G� M� = GQ� + a� c�

�ste es justamente el caso en que, en el espacio-tiempo de Kerr-Newman, el horizonte interno y el externo se funden en uno solo. En ese caso cr�tico la gravedad superficial del hoyo negro se anula —pero no el �rea del horizonte—. Como vimos en el cap�tulo anterior, si la masa M es tal que G� M� es menor que GQ� + a� c�, entonces los dos horizontes desaparecen. El an�logo a la tercera ley de la termodin�mica es que la gravedad superficial de un hoyo negro no puede alcanzar el valor cero. Si esto llegara a ocurrir, se podr�a, con la m�s m�nima perturbaci�n, destruir el horizonte del hoyo negro y dejar la singularidad desnuda.

Una versi�n m�s general de esta tercera ley es que ningun proceso f�sico puede producir una singularidad desnuda. La formaci�n de una singularidad implica, necesariamente, la aparici�n de un horizonte que esconde esa singularidad de las miradas del exterior. Esta conjetura a�n no ha sido demostrada rigurosamente, pero todos los estudios te�ricos de la formaci�n de hoyos negros la apoyan; Penrose ha llamado a esta posible ley natural: "censura c�smica".

A pesar de su inter�s, la analog�a entre termodin�mica y f�sica de los hoyos negros debe tomarse con mucha cautela. El problema esencial es que no se puede asociar una temperatura real a un objeto que todo absorbe y nada emite. Todo cuerpo caliente emite radiaci�n en alguna forma, desde ondas de radio hasta rayos gamma, dependiendo de su temperatura. S�lo un cuerpo que se encuentra a la temperatura de cero absoluto (273.16 grados cent�grados bajo cero) no emite ning�n tipo de radiaci�n. Ahora bien, dado que un hoyo negro �nicamente absorbe pero no emite nada, su temperatura debe ser cero absoluto. La similitud entre la gravedad superficial y la temperatura parece ser, entonces, s�lo una analog�a que no debe interpretarse literalmente.

M�s a�n, la primera ley de la termodin�mica (f�rmula 4), aplicada a un hoyo negro implica que, si la temperatura es cero, la entrop�a del hoyo negro debe ser infinita. En efecto, cualquier aumento de la energ�a interna del hoyo negro produce un incremento de entrop�a igual a /T; si T = 0, el incremento de la entrop�a es infinito (cualquier n�mero dividido entre cero es infinito). As�, la analog�a entre el �rea del horizonte y la entrop�a tampoco puede interpretarse sin ambig�edades.

Tal era la situaci�n de la termodin�mica y de los hoyos negros, hasta que una conexi�n m�s profunda fue descubierta al entrar en escena la mec�nica cu�ntica.

LA RADIACI�N DE HAWKING

La f�sica newtoniana no puede describir fen�menos que implican velocidades cercanas (o iguales) a la de la luz, o dimensiones comparables a las de los �tomos. En el primer caso —velocidades muy altas— la teor�a de la relatividad toma el relevo de la f�sica cl�sica; en el segundo caso —dimensiones muy peque�as— es la mec�nica cu�ntica la que remplaza a la mec�nica newtoniana.

La mec�nica cu�ntica surgi� a principios del siglo XX con el fin de explicar algunos fen�menos que parec�an contradecir los principios de la mec�nica cl�sica. Uno de los problemas m�s importantes de la f�sica de finales del siglo pasado era explicar la forma de la llamada radiaci�n de "cuerpo negro": la luz emitida por un cuerpo caliente aislado del exterior y en perfecto equilibrio t�rmico.4

El gran f�sico alem�n Max Planck logr� resolver este problema con base en una suposici�n que, en un principio, parec�a totalmente ad hoc. Planck postul� que la luz se propaga en paquetes de energ�a, de modo tal que cada paquete, o quantum de luz, posee una energ�a E proporcional a la frecuencia v; expl�citamente:

E = h v

donde h es la ahora llamada constante de Planck (su valor es 6.626 X 10^{- 27}ergs x segundo) una de las tres constantes fundamentales de la naturaleza, junto con G y c.

Poco despu�s, Albert Einstein dio un paso a�n m�s audaz que Planck al postular que la luz est� constituida de part�culas, los fotones, que poseen una energ�a dada justamente por la f�rmula de Planck. Con su hip�tesis, Einstein logr� explicar el efecto fotoel�ctrico (lo que le vali� el premio Nobel en 1920) y contribuy�, en forma decisiva, a fundar la f�sica cu�ntica.

La f�sica del mundo microsc�pico sigui� desarroll�ndose r�pidamente: Niels Bohr sent� las bases epistemol�gicas de la mec�nica cu�ntica; Erwin Schroedinger dedujo la ecuaci�n que lleva su nombre y que es a la f�sica cu�ntica, lo que la ecuaci�n de Newton (fuerza igual a masa por aceleraci�n) a la f�sica cl�sica; Werner Heisenberg encontr� el principio de incertidumbre, seg�n el cual es imposible medir la posici�n y la velocidad de una part�cula con precisi�n absoluta; muchos m�s descubrimientos siguieron, pero mencionarlos nos alejar�a demasiado de los prop�sitos de este libro...

La relatividad y la mec�nica cu�ntica siguieron rutas separadas durante un par de d�cadas, sin que hubiera interacci�n entre ellas. Finalmente, en 1930, el gran f�sico ingl�s Paul Adrien Maurice Dirac logr� formular clara y rigurosamente una teor�a que unificaba la mec�nica cu�ntica y la relatividad especial. La uni�n de estas dos teor�as fue extremadamente fruct�fera; la mec�nica cu�ntica relativista es ahora el fundamento de las teor�as modernas de part�culas elementales.

Empero, la relatividad general resisti� todos los intentos de unirla con la mec�nica cu�ntica. Durante d�cadas, los f�sicos te�ricos trataron de elaborar, sin �xito, una teor�a cu�ntica de la gravitaci�n. S�lo en los a�os setenta empezaron a aparecer algunas pistas sobre la manera de lograr tan importante unificaci�n, aunque la meta todav�a se encuentra lejos.

En espera de que surja una verdadera teor�a cu�ntica de la gravitaci�n, se puede intentar extrapolar los resultados cl�sicos de la mec�nica cu�ntica, que son v�lidos y est�n bien establecidos en un espacio plano, a un espacio-tiempo curvo. Este enfoque del problema equivale a suponer, en una primera aproximaci�n, una fuerza gravitacional dada de antemano y suficientemente intensa para que no influyan sobre ella los efectos cu�nticos.

Hasta aqu�, nos hemos referido siempre a hoyos negros "cl�sicos", en el sentido de que no se incluye ning�n efecto cu�ntico. En particular, la propiedad m�s importante de un hoyo negro es la de no dejar escapar nada del interior de su horizonte. Sin embargo, en 1974 Steven Hawking (Figura 44) descubri� que, si se toman en cuenta ciertos efectos cu�nticos de acuerdo con la aproximaci�n mencionada arriba, un hoyo negro emite radiaci�n. Este resultado inesperado est� relacionado al concepto de "vac�o cu�ntico" que analizaremos m�s adelante. Por ahora, veamos algunas implicaciones f�sicas de este fen�meno.

Figura 44. El f�sico ingl�s S.W. Hawking, quien ha hecho varias contribuciones notables al estudio te�rico de los hoyos negros.

Hawking demostr� que un hoyo negro radia exactamente como si fuera un "cuerpo negro" en equilibrio termodin�mico total (curiosamente, el mismo tipo de cuerpo caliente cuyo estudio condujo a la fundaci�n de la mec�nica cu�ntica). La temperatura T de un hoyo negro de masa M, sin carga ni momento angular, resulta ser

donde k es la constante de Boltzman que aparece en todos los problemas de termodin�mica.5

En n�meros, esta temperatura es

donde M es la masa del hoyo negro, medida en kilogramos.

Es importante se�alar que la temperatura de un hoyo negro es inversamente proporcional a su masa. Para un hoyo cuya masa sea comparable a la del Sol, la temperatura es extremadamente baja: apenas una millon�sima de grado sobre el cero absoluto; la radiaci�n de un cuerpo a esa temperatura es completamente indetectable. Es evidente, pues, que el efecto Hawking carece totalmente de importancia para los hoyos negros que se forman por el colapso gravitacional de un estrella. En cambio, este efecto podr�a ser muy importante para los hoyos negros poco masivos, si es que existen; por ejemplo, un hoyo negro con una masa de cien millones de toneladas (algo as� como la masa de una monta�a) tendr�a una temperatura de casi un bill�n de grados Kelvin (10¹² �K).

Como cualquier cuerpo caliente, un hoyo negro radia energ�a principalmente en forma de fotones —luz—, aunque tambi�n emite otras part�culas si la temperatura es suficientemente alta: neutrinos, electrones, positrones, etc. As�, un hoyo negro radia, a costa de perder su propia energ�a o, lo que es equivalente, su masa. A medida que la masa del hoyo negro disminuye, su temperatura aumenta y la radiaci�n se hace m�s intensa. Consecuentemente, la masa disminuye cada vez m�s y m�s r�pidamente, hasta que el hoyo negro se evapora totalmente en una verdadera explosi�n.

Se puede calcular el tiempo que tardar�a un hoyo negro en evaporarse por completo; este tiempo resulta ser del orden de

o, aproximadamente, 10^-17 M³ segundos, si la masa M se mide en kilogramos. Un hoyo negro de una masa comparable a la del Sol se evaporar�a, seg�n esta f�rmula, en �10⁶⁷! (en comparaci�n, la edad del Universo es de unos 10¹⁰ a�os). Como mencionamos anteriormente, el efecto Hawking es totalmente insignificante para los hoyos negros muy masivos.

Para un hoyo negro de masa modesta, por ejemplo unas cien millones de toneladas, el tiempo de evaporac��n resulta ser de unos 10¹⁰ a�os, comparable a la edad del Universo. Como vimos en el cap�tulo IV, es posible que se hayan formado hoyos negros con masas relativamente peque�as en los primeros instantes del Universo. Un hoyo negro primordial que naci� en esas �pocas remotas con una masa de cien millones de toneladas se encontrar�a en la actualidad justamente en la fase final de evaporaci�n. Debido a su alt�sima temperatura, tal hoyo negro se observar�a como una intensa fuente de rayos gamma, que es el tipo de radiaci�n emitida por un cuerpo a varios miles de millones de grados. Por otra parte, los astr�nomos han detectado, desde hace tiempo, un gran n�mero de fuentes de rayos gamma en el Universo. En muchos casos, el mecanismo f�sico que produce estos rayos se ha podido identificar plenamente y no corresponde a un hoyo negro en evaporaci�n. Sin embargo, queda como un problema pendiente determinar si algunos rayos gamma detectados en la Tierra han sido producidos por la explosi�n de hoyos negros primordiales.

El hecho de que un hoyo negro posea realmente una temperatura permite reformular consistentemente las ideas de la secci�n anterior sobre la "termodin�mica" de los hoyos negros. El descubrimiento de Hawking puso en evidencia que la analog�a entre temperatura y gravedad superficial no es puramente formal. La temperatura T se puede relacionar sin ambig�edad con la gravedad superficial K de un hoyo negro con masa, carga y momento angular, por medio de la relaci�n

donde K est� dada por la f�rmula (3). M�s a�n, el hecho de que un hoyo negro tenga una temperatura distinta del cero absoluto implica una relaci�n precisa entre la entrop�a y el �rea del horizonte; la entrop�a del hoyo negro resulta ser:

donde el �rea A est� dada por la f�rmula (1).

La temperatura y la entrop�a de un hoyo negro se deben a efectos puramente cu�nticos, como se desprende claramente del hecho de que la constante de Planck h aparece en las f�rmulas (6) y (7). Despreciar los efectos cu�nticos, como se hace en la f�sica "cl�sica", equivale a asignar el valor cero a la constante de Planck en una primera aproximaci�n. La temperatura de un hoyo negro es proporcional a h, mientras que su entrop�a es proporcional a 1/h; si h fuera estrictamente cero, la temperatura ser�a cero absoluto y la entrop�a infinita: tal como se esperar�a si no existieran los efectos cu�nticos.

Finalmente, se�alemos que la evaporaci�n y eventual desaparici�n de un hoyo negro no contradice la segunda ley de la termodin�mica: si bien el �rea —entrop�a— del hoyo disminuye, la radiaci�n producida posee una entrop�a muy alta, de modo tal que la entrop�a total aumenta.

EL VACIO CU�NTICO

El efecto descubierto por Hawking puede parecer contradictorio a primera vista. Si nada sale de un hoyo negro, como se ha repetido insistentemente, �c�mo es posible que el hoyo radie energ�a? La radiaci�n de un hoyo negro es un fen�meno �ntimamente relacionado con uno de los problemas m�s formidables de la f�sica moderna: el concepto de vac�o.

Antes de que apareciera la mec�nica cu�ntica, el vac�o era un concepto trivial: significaba la ausencia total de materia o energ�a. Sin embargo, la situaci�n ha resultado ser mucho m�s complicada a nivel cu�ntico.

El origen del problema se encuentra en el principio de incertidumbre de Heisenberg, que ya tuvimos ocasi�n de mencionar. Este principio fundamental de la mec�nica cu�ntica establece un l�mite intr�nseco a la precisi�n con que se pueden medir simult�neamente la posici�n y la velocidad de una part�cula. Una forma equivalente de este principio impone una restricci�n similar sobre la posibilidad de medir la energ�a de una part�cula y el momento en que se efect�a la medici�n. Supongamos que es el error en la medici�n de la energ�a y el error en la medici�n del tiempo.⁶

Seg�n el principio de incertidumbre, los errores no pueden ser arbitrariamente peque�os sino que deben satisfacer la desigualdad

independientemente de cu�n precisas sean las mediciones.

Al combinar este principio con la equivalencia entre energ�a y masa predicha por la relatividad, nos encontramos con el resultado sorprendente de que se puede crear materia a partir del vac�o. Una part�cula puede aparecer s�bitamente y desaparecer acto seguido. Esto no puede ocurrir seg�n la f�sica cl�sica —la materia no se crea de la nada—, pero s� es factible seg�n la f�sica cu�ntica, a condici�n de que el tiempo de vida de la part�cula sea suficientemente corto. En efecto, una part�cula de masa M posee una energ�a Mc�; si su tiempo de vida es menor que h/mc�, entonces, de acuerdo con el principio de incertidumbre, la part�cula no puede ser detectada: durante ese lapso, la masa (energ�a) de la part�cula se encuentra por debajo del margen de error con que se podr�a medir, aun con el detector m�s sensible.

As�, el "vac�o" de la mec�nica cu�ntica est� repleto de part�culas que aparecen y desaparecen burl�ndose de la ley de conservaci�n de la masa, encubiertas por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Tales part�culas, por principio indetectables, se llaman part�culas virtuales.

No todas las cantidades f�sicas satisfacen el principio de incertidumbre; por ejemplo, la carga el�ctrica se puede determinar sin restricciones, dependiendo la precisi�n �nicamente de la calidad de los m�todos de medici�n utilizados. En consecuencia, una part�cula cargada no puede surgir de la nada, porque podr�a detectarse y violar�a el principio de que la carga el�ctrica siempre se conserva.

Sin embargo, todas las part�culas elementales existen en forma de part�culas o antipart�culas; la carga el�ctrica de una antipart�cula es de signo contrario al de su part�cula correspondiente, siendo las masas iguales. Es posible, entonces, que una part�cula y su antipart�cula surjan de la nada y desaparezcan sin poder ser detectadas, porque la carga el�ctrica de la pareja ser�a cero y no se habr� violado el principio de conservaci�n de la carga el�ctrica. As�, por ejemplo, puede surgir del vac�o un par virtual formado por un electr�n y un positr�n, los cuales deben desaparecer en un tiempo menor que h/2 Mc� (siendo m la masa del electr�n o positr�n), tiempo que equivale a unos 10^-22 segundos.

La presencia de part�culas virtuales en el vac�o ocasiona una serie de problemas conceptuales que los f�sicos a�n no han podido resolver satisfactoriamente. La dificultad fundamental es que la energ�a del vac�o es formalmente infinita, ya que se pueden crear part�culas virtuales con energ�as ilimitadas. Por otra parte, el vac�o cuántico no es un concepto metaf�sico: las part�culas virtuales no pueden observarse directamente, pero producen una serie de efectos reales que se pueden medir experimentalmente. Uno de los mayores retos para los f�sicos te�ricos en la actualidad es comprender y manejar satisfactoriamente el concepto del vac�o cu�ntico.

Justamente, la radiaci�n de los hoyos negros es un efecto producido por la gravedad sobre el vac�o cu�ntico. El mismo Hawking propuso una interpretaci�n, en t�rminos comprensibles, del efecto descubierto por �l: dado que la fuerza de gravedad var�a con la distancia, un cuerpo masivo influye desigualmente sobre otro cuerpo masivo: las partes m�s cercanas al cuerpo atractor son atra�das m�s intensamente que las partes m�s alejadas. Este efecto se conoce como fuerza de marea; es el mismo que produce una deformaci�n de los oc�anos terrestres, porque la Luna atrae m�s fuertemente a la parte de la Tierra cercana a ella. Evidentemente, los hoyos negros tambi�n inducen fuerzas de marea sobre los cuerpos cercanos a ellos. Supongamos que un par formado por un electr�n y un positr�n virtuales se crea muy cerca de un hoyo negro. Hawking se�al� que la fuerza de marea puede romper el par, de modo tal que las dos part�culas se vuelven reales y una cae al hoyo, mientras que la otra escapa a lo lejos (Figura 45). La part�cula que escapa lleva consigo parte de la energ�a gravitacional del hoyo y, es esa energ�a liberada, la que produce la radiaci�n.

Figura 45. Un par virtual creado cerca de un hoyo negro puede desgarrarse por la fuerza de marea.

Otra posible interpretaci�n del efecto Hawking es en t�rminos de una alteraci�n de la energ�a del vac�o cu�ntico. Hemos se�alado anteriormente que la energ�a de una part�cula se modifica por la atracci�n gravitacional; una de las consecuencias m�s importantes de este fen�meno es que la luz emitida cerca de un objeto masivo se enrojece (pierde energ�a). Se puede demostrar que este mismo fen�meno, aplicado a la energ�a del vac�o cu�ntico cerca de un hoyo negro, produce una alteraci�n de esta energ�a que, en t�rminos cuantitativos, hace que la regi�n alrededor del hoyo negro adquiera una temperatura exactamente igual a la predicha por Hawking. Seg�n esta interpretaci�n alternativa, un hoyo negro no radia energ�a sino que deforma la energ�a del vac�o cu�ntico.

A�n quedan muchos problemas que resolver con respecto a la radiaci�n de los hoyos negros. Probablemente, la situaci�n se aclarar� cuando dispongamos de una verdadera teor�a cu�ntica de la gravedad. Mientras, el efecto descubierto por Hawking nos indica que debemos prepararnos a m�ltiples sorpresas. En particular, la posibilidad de que existan hoyos negros microsc�picos que se evaporan r�pidamente complica a�n m�s el concepto del vac�o cu�ntico: as� como se forman part�culas virtuales, se pueden crear hoyos negros virtuales a partir del vac�o. Si la masa de un hoyo negro no excede de unos 10^-5 gramos (que es el valor aproximado de ), se evaporar� en unos segundos (que corresponde al valor de ). El lector puede comprobar que el producto de la energ�a (masa X c�) y el tiempo de vida de tal hoyo negro es menor que h. En consecuencia, gracias al principio de incertidumbre de Heisenberg, los hoyos negros con masas menores que unos gramos pueden crearse de la nada y evaporarse sin violar la ley de conservaci�n de la masa.

El m�ximo radio que puede tener un hoyo negro virtual est� dado aproximadamente por

que equivale a unos 10-�� cent�metros. Esta distancia se conoce como longitud de Planck y es la �nica unidad de distancia que se puede construir con las tres constantes fundamentales de la naturaleza: G, h y c. La longitud de Planck es tan extremadamente peque�a (10�� veces menor que el radio de un electr�n) que debe ser la distancia caracter�stica de otro nivel de la naturaleza, subyacente al mundo subat�mico, donde rigen las leyes a�n desconocidas de la gravedad cu�ntica.7

As� como el oc�ano presenta un aspecto liso e inm�vil cuando se observa desde una gran distancia, pero posee fuertes turbulencias y tormentas a escala humana, el espacio-tiempo parece "liso" y est�tico a gran escala, pero es extremadamente turbulento en el nivel de la longitud de Planck, donde los hoyos negros se forman y evaporan continuamente (Figura 46). En el mundo de Planck, las leyes de la f�sica deben ser muy distintas de las que conocemos hasta ahora.

Figura 46. La estructura macrosc�pica del espacio-tiempo parece plana, pero �ste debe ser extremadamente turbulento en el nivel de la escala de Planck.

 

NOTAS

1 Ver J. Flores La gran ilusi�n I. El monopolo magn�tico, vol. 11 de la Ciencia desde M�xico, FCE, 1986.

2 En la f�sica cl�sica, la aceleraci�n gravitacional en la superficie de una esfera de masa M y radio R es GM/R�. Dado que el radio de un hoyo negro es proporcional a su masa, resulta que la aceleraci�n gravitacional en su superficie es proporcional a GM/M�= G/M, tal como en la fórmula para K. Mientras m�s peque�o es un hoyo negro, mayor es la fuerza gravitacional en su superficie.

3 Si el sistema no est� aislado e intercambia energ�a con otros sistemas, hay que considerar la entrop�a total de todos los sistemas que, en conjunto, est�n aislados.

4 Por ejemplo, un recipiente cerrado de paredes calientes, perfectamente aislado.

5 K=1.38 X 10^-16 ergs/grados Kelvin.

6 Es decir si E es la energia medida, s�lo se puede asegurar que la energia real se encuentra, muy probablemente, entre E —DE y E + DE. Lo mismo para t y Dt...

7 En los �ltimos a�os ha habido mucho inter�s en la teor�a de las supercuerdas, que pretende describir la materia a la escala de Planck. A�n es temprano para juzgar este programa de investigaci�n.