VI. FIGURAS DE ANCHO CONSTANTE
EL C�RCULO es el lugar geom�trico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Es precisamente debido a esta propiedad que las ruedas tienen forma circular. Si ponemos un eje en el centro, al rodar el c�rculo, debido a que todos los rayos tienen la misma longitud, el eje no sube ni baja, s�lo se traslada, siempre a la misma altura sobre el piso.
Antes de ser usado como rueda, el c�rculo tuvo otra aplicaci�n m�s primitiva, la de ser usado como rodillo. Si colocamos un bloque muy pesado sobre varios rodillos circulares, al rodar �stos, el bloque se traslada sin subir ni bajar, siempre a la misma altura sobre el piso.
Es interesante observar y dif�cil de creer que estas dos aplicaciones del c�rculo, rueda y rodillo, est�n basadas sobre principios radicalmente diferentes, es decir, la propiedad caracter�stica del c�rculo que le permite ser usado como rueda es radicalmente distinta a la propiedad del c�rculo que le permite ser usado como secci�n transversal de un rodillo. Tan es as� que s�lo puede haber ruedas circulares, pero existen rodillos no circulares que, sorprendentemente, funcionan tan bien como los rodillos circulares.
Veamos cu�l es la propiedad del c�rculo que permite que los rodillos circulares funcionen adecuadamente. Esta propiedad no tiene nada que ver con el centro del c�rculo, lo importante es que el rodillo circular, al rodar, mantiene al bloque siempre a la misma altura sobre el piso, debido a que el ancho del c�rculo es el mismo en cualquier direcci�n. Si los rodillos tuviesen forma el�ptica, es claro que al rodar �stos, el bloque subir�a, bajar�a y acabar�a finalmente por desequilibrarse y caerse. Esto se debe a que en diferentes direcciones, una elipse tiene diferentes anchos (ver figura VI.2).
Existen figuras distintas del c�rculo con la propiedad de que en cualquier direcci�n que se tomen, su ancho es el mismo y por tanto, usadas como secciones de rodillos, funcionan tan bien como los rodillos circulares.
Veamos primero que significa el ancho de una figura y en una direcci�n dada. Tomemos una direcci�n y l�neas soporte perpendiculares a est� direcci�n que aprisionen a y. La distancia entre estas dos l�neas es el ancho de y en esta direcci�n (ver figura Vl.3).
Es claro que si para dos direcciones diferentes el ancho de una figura no es el mismo, entonces esta figura, al ser usada como secci�n de un rodillo, producir� en el bloque que se pretende trasladar un movimiento hacia arriba y hacia abajo.
Las figuras que tienen el mismo ancho en cualquier direcci�n son llamadas figuras de ancho constante.
A estas alturas supongo que es urgente conocer una figura de ancho constante distinta del c�rculo. Quiz� la m�s sencilla sea el tri�ngulo de Reuleaux:
Sea ABC un tri�ngulo equil�tero de lado, digamos, uno (es decir, todos los lados del tri�ngulo miden uno). Con centro en A y radio uno tracemos un arco de c�rculo de B a C (ver figura v.4). Con centro en B y radio uno tracemos un arco de c�rculo de C a A. Finalmente, con centro en C y radio uno tracemos un arco de circulo de A a B. La figura as� obtenida se llama tri�ngulo de Reuleaux.
La siguiente serie de dibujos (figura VI.5) nos convencer� de que rodillos cuyas secciones transversales son tri�ngulos de Reuleaux funcionan tan bien como los rodillos circulares. En ellos se muestra a uno de estos tri�ngulos de Reuleaux rodar entre el piso y un bloque de cemento. El tri�ngulo de Reuleaux, al rodar, siempre toca el piso y el bloque. En el primer movimiento el tri�ngulo se apoya en C y el arco AB resbala sobre el bloque, en cambio en el segundo movimiento el arco BC rueda sobre el piso mientras el v�rtice A se desplaza pegado al bloque.
Lo anterior prueba que el tri�ngulo de Reuleaux es una figura de ancho constante; sin embargo, para reafirmarlo vamos a dar una demostraci�n directa de que el ancho en cualquier direcci�n es siempre uno:
Tomemos una direcci�n d cualquiera. Es f�cil ver que existe una l�nea L perpendicular a la direcci�n d que es tangente a alguno de los arcos de c�rculo que forman el tri�ngulo de Reuleaux. Digamos, por ejemplo, que L es tangente al arco AB en X (ver figura VI.6). La perpendicular a L por X pasa por C, que es el centro del arco AB. Por otro lado, la l�nea L', paralela a L que pasa por C, es una l�nea soporte. El ancho del tri�ngulo de Reuleaux en la direcci�n d est� dado por la distancia entre L y L', que es uno, pues es la longitud del segmento CX. Es decir, el ancho en la direcci�n d es uno y por lo tanto el ancho en cualquier direcci�n es tambi�n uno.
El tri�ngulo de Reuleaux forma parte de un mecanismo muy sencillo que actualmente es usado en la mayor�a de los proyectores de cine —es a este mecanismo a quien por cierto le deben su peculiar sonido. Para evitar una imagen borrosa, la pel�cula debe correr mientras el objetivo est� cerrado y pararse mientras el objetivo est� abierto. Para obtener este tipo de movimiento necesitamos un mecanismo que transforme el movimiento circular uniforme en un movimiento que alterne los periodos de descanso con los periodos de movimiento. A continuaci�n describimos este mecanismo.
El mecanismo o aparato consta de dos partes: la primera es una tabla, digamos de madera, en donde existen dos ranuras y una abertura, tal y como lo muestra la siguiente figura VI.7.
Para fijar ideas, supongamos que el ancho de la abertura es de diez cent�metros. Por cada una de las ranuras corre un tornillo pegado, digamos, a la pared, que s�lo le permite a la tabla moverse hacia arriba o hacia abajo, pero nunca hacia los lados.
La segunda parte del mecanismo consta de un disco con la forma de un tri�ngulo de Reeuleaux de diez cent�metros de ancho, sujeto a un eje por el punto A. El eje trasmite el movimiento circular uniforme, lo que produce que el disco d� vueltas alrededor del eje (ver figuraVI.8).
Finalmente, el disco se encuentra encajado dentrode la abertura de la tabla (figura VI.9).
El disco, al girar uniformemente, produce un movimiento —ascendente o descendente— en la tabla, movimiento que describiremos a continuaci�n (ver figura VI.10).
Mientras el disco gira de la posici�n 1 a la posici�n 2, el arco BC del disco simplemente se desliza sobre la pared inferior de la abertura sin producir movimiento alguno en la tabla. Por el contrario, mientras el disco gira de la posici�n 2 a la posici�n 3, �ste empuja a la tabla hasta que alcanza su altura m�xima, precisamente en la posici�n 3. Entre la posici�n 3 y la posici�n 4 la tabla permanece en su altura m�xima, pues el arco BC del disco simple y sencillamente se desliza sobre la pared superior de la abertura. Finalmente, mientras el disco gira entre la posici�n 4 y la posici�n 1, la tabla baja hasta alcanzar su altura m�nima en donde permanecer� hasta que el disco pase por la posici�n 2. De esta manera, el disco gira alrededor del eje A mientras la tabla sube y baja intercalando periodos de reposo cuando alcanza su altura m�xima o m�nima.
Existen muchas figuras de ancho constante. Por ejemplo, es f�cil construirlas sobre pol�gonos regulares (con n�mero impar de lados):
o algunas otras poco sim�tricas, como la siguiente:
Para trazarla, empecemos por un cuadrado ABCD cuya diagonal tenga longitud, digamos, uno. Sean E y F puntos tales que las distancias ED, EC, FA y FD sean todas uno. Con Centro en D y radio uno tracemos el arco EF que pasa por B. Con centro en C y radio uno tracemos el arco AE. Con centro en A tracemos arco FC y, finalmente, con centros en E y F los arcos DC y AD respectivamente.
Todas las figuras de ancho constante que hemos descrito poseen arcos de c�rculo, pero es posible construirlas sin que ning�n pedacito sea un arco de c�rculo.
Mencionaremos algunas de las propiedades m�s interesantes de las figuras de ancho constante.
i) Toda figura de ancho constante uno tiene di�metro uno.
ii) Toda figura de ancho constante uno tiene per�metro p.
iii) Entre las figuras de ancho constante uno, la de m�s �rea es el c�rculo y, la de menor �rea es el tri�ngulo de Reuleaux.
iv) El inc�rculo y el circumc�rculo de una figura de ancho constante uno son conc�ntricos y la suma de sus radios es uno.
v) La �nica figura de ancho constante radicalmente sim�trica es el c�rculo.
Una de las caracter�sticas esenciales de las figuras de ancho constante es que poseen —al igual que los c�rculos— di�metros. Estos di�metros son aquellos segmentos de la figura con longitud m�xima de cuyo comportamiento se desprenden las propiedades principales de una figura de ancho constante. A diferencia del c�rculo, los di�metros de una figura de ancho constante no concurren siempre en un punto, y cuando as� lo hacen es porque la figura o es un c�rculo o posee un arco de c�rculo. Para identificar aquellos segmentos con longitud m�xima dentro de una figura de ancho constante es preciso empezar viendo qu� tan lejanos entre s� pueden estar dos de sus puntos.
La distancia entre cualquier par de puntos de una figura de ancho constante h es siempre menor o igual a h.
Esto se debe simple y sencillamente a que si hubiese dos puntos, X y Y a distancia mayor que h el ancho de la figura en la direcci�n del segmento XY ser�a mayor que h, debiendo ser h.
S� L es una l�nea soporte de una figura q de ancho constante h, entonces L toca a q en un solo punto.
Para ver esto, tomemos L', la l�nea soporte de q paralela a L (ver figura VI.14). Sabemos que q se encuentra aprisionada en la banda determinada por L y L' y que el ancho de esta banda es h. La l�nea L' toca a q quiz� en muchos puntos, de los cuales vamos a poner nuestra atenci�n s�lo en uno de ellos —esc�jalo usted— al que llamaremos Y. Como la distancia entre L y L' es h existe un solo punto, al que llamaremos X, en L, con la propiedad de que la distancia entre X y Y es h —de hecho, X es el punto de L con la propiedad de que el segmento XY es perpendicular a las l�neas L y L'. La distancia entre Y y cualquier otro punto de L, distinto de X, es estrictamente mayor que h. Por lo tanto, como Y est� en q, ning�n otro punto M de L, distinto de X, puede pertenecer a q —piense tambi�n que si M estuviera en q, el ancho de q en la direcci�n del segmento YM ser�a mayor que h. Esto nos convence de que L toca a q s�lo en el punto X. Esta demostraci�n nos da como regalo, mucho m�s.
Intercambiando los papeles de L por L' tenemos que L' toca a q solamente en el punto Y y por lo tanto:
Si L y L' son l�neas soporte paralelas de una figura q de ancho constante, entonces tanto L como L' tienen conq un solo punto de contacto y el segmento que une estos dos puntos de contacto es perpendicular a L y a L'. (Ver figura VI.5).
Las consecuencias de la proposici�n anterior son muchas y muy importantes. Las dos m�s inmediatas son: i) Toda figura de ancho constante es una figura convexa, pues cualquiera de sus l�neas soporte la toca en un solo punto. ii) El di�metro de una figura de ancho constante h es h, pues no hay dos puntos a distancia mayor que h, pero existen dos puntos —los de contacto entre dos l�neas soporte paralelas— cuya distancia es h.
Llamaremos di�metro de una figura de ancho constante al segmento de l�nea que une los puntos de contacto de dos l�neas soporte paralelas. Por supuesto, debido a que las figuras de ancho constante son convexas, sus di�metros se encuentran contenidos completamente dentro de ellas.
En una figura de ancho constante h, los di�metros son precisamente los segmentos de l�nea contenidos en la figura que tienen longitud h.
Demostraci�n. En una figura de ancho constante h, la longitud de un di�metro es la distancia entre dos l�neas soporte paralelas, que es h. Supongamos ahora que P y Q son dos puntos de una figura q de ancho constante y que la distancia entre ellos es h. Queremos ver que el segmento de l�nea PQ es un di�metro de q. Si L y L' son las l�neas soporte de q perpendiculares al segmento PQ en la banda determinada por ellas, cuyo ancho es h, se encuentra el segmento PQ cuya longitud es tambi�n h (ver figura v.16). Es claro entonces que el punto P debe de estar en L y el punto Q en L' —o viceversa— y por tanto que el segmento PQ es un di�metro de q.
Una cuerda de una figura y es un segmento de l�nea contenido en y cuyos extremos est�n en la frontera de y (ver figura VI.l7).
Una normal de una figura y es una cuerda de y con la propiedad de que la l�nea perpendicular por uno de sus extremos es l�nea soporte de y. Finalmente, una binormal de una figura y es una cuerda con la propiedad de que las l�neas perpendiculares por sus dos extremos son l�neas soporte de y (ver figura v.17). Por supuesto, en una figura de ancho constante h, los conceptos de di�metro, binormal y cuerda de longitud h, coinciden.
Es en el siguiente hecho en donde se encuentra la parte m�s profunda y original de nuestro tratamiento de las binormales de las figuras de ancho constante. Quiero agradecer a Rafael Morales el haberme sugerido parte de su demostraci�n.
Una figura de ancho constante posee una binormal en cada direcci�n y viceversa; si una figura posee una binormal en cada direcci�n, es porque la figura es una figura de ancho constante.
Demostraci�n. Supongamos que y es una figura de ancho constante y sea d una direcci�n cualquiera. Tomemos las dos l�neas soporte a y perpendiculares a la direcci�n d. El segmento que une los puntos de contacto de y con estas dos l�neas es una binormal en la direcci�n d.
Antes de continuar con nuestra demostraci�n, necesitamos la siguiente construcci�n:
A partir de una figura cualquiera f, vamos a construir otra figura f* de la siguiente manera:
Tomemos un punto fijo K (ver figura VI.18). En la direcci�n d dibujemos un rayo que empiece en K y sobre este rayo tomemos un punto, al que llamaremos Pd, de tal forma que la distancia entre K y Pd sea precisamente el ancho de f en la direcci�n d. Al ir variando la direcci�n d, el punto Pd ir� describiendo una figura f* con la propiedad de que si M es un punto en la frontera de f*, entonces la longitud del segmento KM es el ancho de la figura f en la direcci�n del segmento KM (ver figura VI.19).
Por supuesto, f* es diferente a f. De hecho, si f es una figura de ancho constante, entonces f* es un c�rculo, pues el ancho de f es el mismo en cualquier direcci�n. Por otro lado, si f* es un c�rculo con centro en K, entonces el ancho de f es el mismo en cualquier direcci�n, por lo que f es una figura de ancho constante.
Una vez hecha est� construcci�n regresemos a nuestro problema original. Supongamos que la figura y tiene una binormal en cada direcci�n. Queremos ver que y es una figura de ancho constante.
Para tal efecto bastar� ver que y* es un c�rculo. Para ver que y* es un c�rculo, vamos a hacer uso del resultado principal del cap�tulo III, el cual nos dice que si por cada punto frontera M de y* pasa una l�nea soporte de y* perpendicular a KM, entonces y* es un c�rculo —y por lo tanto y es una figura de ancho constante.
Manos a la obra: Tomemos M, un punto cualquiera de la frontera de y* y sea L la l�nea que pasa por M y es perpendicular a KM (ver figura VI.20). Queremos probar que L es una l�nea soporte de y*. Para esto bastar� verificar que para cualquier otra direcci�n d, el segmento KPd nunca cruza la l�nea L —esto nos asegura que y* est� totalmente contenida a un lado de L.
Sean L1 y L2 las dos l�neas soporte de y perpendiculares a la direcci�n KM (ver figura VI.21), y sean X y Y los puntos en los que L1 y L2 tocan a y respectivamente. Sabemos que el segmento XY es paralelo al segmento KM y de igual longitud. Si identificamos a L con L1—que por cierto son paralelas—, es decir, si pintamos a y sobre y* de tal manera que L1 coincida con L y el segmento XY con el segmento KM, veremos que L2 pasa por K y que la figura y se encuentra entre L y L2. Pensemos ahora en d, otra direcci�n cualquiera (ver figura VI.22). En la direcci�n d existe una binormal PQ de P cuya longitud es, por supuesto, el ancho de y en la direcci�n d.
Adem�s, la binormal PQ est� contenida en y
y por lo tanto entre L y L2. Como el segmento
PQ y el segmento KPd son paralelos
—pues ambos son paralelos a la direcci�n d— y de la misma
longitud, es f�cil ver que entonces KPd nunca cruza la l�nea L.
Como esto sucede para cualquier direcci�n d, la figura y*
nunca cruza la l�nea L y por lo tanto L —que es perpendicular
a KM por M— es una l�nea soporte de y*.
Por el resultado principal del cap�tulo III, y*
es un c�rculo y por lo tanto y es una figura de ancho constante. 
A continuaci�n enunciaremos algunas propiedades de las binormales o di�metros de una figura de ancho constante h. i) Cualesquiera dos binormales se intersectan en la figura. ii) Si dos binormales se intersectan en un punto frontera, entonces por este punto pasa una multitud de l�neas soporte y la parte de la frontera que se encuentra entre los otros dos extremos es un arco de c�rculo de radio h. iii) Si un segmento de arco de c�rculo a de radio h' pertenece a la frontera de la figura, entonces h' es menor o igual a h. Si h' es igual a h, el centro de a est� en la frontera de la figura y por �l pasa una multitud de l�neas soporte. Si h' es menor que h, el centro de a est� en el interior de la figura y el segmento de arco de radio h-h' conc�ntrico a a pero diametralmente opuesto, est� en la frontera de la figura.
El siguiente resultado cl�sico es de mucha utilidad.
En una figura de ancho constante toda nornal es binormal y viceversa; si en una figura toda normal es binornal es porque la figura es de ancho constante.
Demostraci�n. Supongamos que q es una figura de ancho constante y que el segmento PQ es una normal de q, es decir, que la l�nea L perpendicular a PQ por P es l�nea soporte de q (ver figura VI.23). Queremos verificar que la l�nea L1 perpendicular a PQ por Q es l�nea soporte de q. Dibujemos la l�nea soporte L' de q paralela a L. Sabemos que L' toca a q solamente en un punto, al que llamaremos X, y que el segmento PX es perpendicular tanto a L como a L'. Por lo anterior, el segmento PQ y el segmento PX deben coincidir, el punto X tiene que ser el punto Q y la l�nea soporte L' tiene que ser la l�nea L1. Es decir, PQ es una binormal, pues la l�nea L1, perpendicular a PQ por Q es una l�nea soporte.
Supongamos ahora que en la figura q toda normal es una binormal. Para convencernos de que q es de ancho constante vamos a construir en cada direcci�n una binormal.
Sea d una direcci�n cualquiera. Tracemos una l�nea soporte L
a q perpendicular a la direcci�n d
y supongamos que L toca a q —entre
otros— en el punto X. La cuerda de q,
perpendicular a L que empieza en X, es una normal de q
y por lo tanto una binormal que es paralela a la direcci�n d.
Esto prueba que q posee una binormal en
cada direcci�n y que por lo tanto es de ancho constante.
Tomemos una figura F de ancho constante. Sabemos que en cada direcci�n existe una binormal de F y que todas estas binormales miden exactamente lo mismo, digamos, uno. Vamos a construir una figura, quiz� no convexa, de la siguiente manera: por cada binormal 1 de F, tracemos un segmento I' perpendicular a I, de longitud uno, de tal forma que los puntos medios de I y I' coincidan (ver figura VI.24). La binormal I, al ir tomando todas las direcciones, girar� sobre la frontera de F y por supuesto, al mismo tiempo, los extremos del segmento I' describir�n una nueva curva x. La siguiente figura muestra la construcci�n anterior para el tri�ngulo de Reuleaux.
Resulta que la figura x as� obtenida es una curva de Zindler, es decir, cada una de las cuerdas I' de x, que por construcci�n tienen la misma longitud, parten el �rea y el per�metro de x a la mitad. Recordemos que estas figuras son precisamente aquellas que flotan en equilibrio en cualquier posici�n, cuando la densidad es un medio.
Por supuesto uno puede revertir el proceso y empezar con una curva de Zindler x, trazando por cada cuerda I' de x que parte el �rea a la mitad, un segmento I, perpendicular a I' y de la misma longitud, de tal forma que los puntos medios de I y de I' coincidan. Al ir girando I' sobre la curva x, el segmento I describir� una figura de ancho constante F cuyas binormales son las cuerdas I.
