II. CONVEXIDAD
DECIMOS que una figura es convexa si cada vez que tomamos dos puntos en ella, el segmento que los une pertenece tambi�n a dicha figura.
As�, por ejemplo, son figuras convexas un c�rculo, un semic�rculo, una elipse, un paralelogramo, un tri�ngulo, un segmento, un semiplano o un cono (v�ase figura II.1).
Una forma de construir m�s ejemplos es tomar varias figuras convexas y fijarse en la parte com�n a todas ellas. Si tomamos dos puntos que est�n en la parte com�n, dado que las figuras son convexas, el segmento que los une estar� en cada una de ellas y por tanto en la parte com�n a todas ellas. Esto es, la intersecci�n, o parte com�n, de varias figuras convexas es una figura convexa (v�ase figura II.2).
Intuitivamente, una figura es convexa si no est� "abollada". Imag�nese usted alguna figura "abollada". Notar� que es precisamente en la abolladura donde es posible encontrar un segmento cuyos extremos est�n en la figura pero que, sin embargo, debido a la abolladura, parte de �l se salga de aqu�lla (v�ase la figura II.3).
Es m�s, por aquellos puntos del borde de la figura en donde intuitivamente sentimos que �sta se encuentra abollada, es imposible trazar una l�nea que no parta a la figura en varios pedazos. En cambio, hay puntos del borde o frontera de la figura —en donde �sta no se halla abollada— por donde es posible trazar una l�nea que deje a la figura completamente de un lado (v�ase figura II.4).
D�mosle nombre a este tipo de l�neas: A una l�nea que toca a una figura y que la deja totalmente contenida en uno de los dos semiplanos determinados por ella, la llamaremos l�nea soporte de la figura. Siendo fieles a nuestra idea intuitiva de lo que sentimos que es una figura no abollada, se antoja decir que una figura es convexa si por cada punto de su frontera pasa una l�nea soporte. En efecto, veremos m�s adelante que as� es. Por ahora, para seguir avanzando, es importante que aclaremos algunos conceptos de topolog�a, como son el de interior y frontera de una figura.
Observando una figura podemos distinguir tres clases distintas de puntos: los puntos interiores, los puntos frontera y los puntos exteriores.
Un punto es un punto interior de una figura si podemos encontrar, alrededor de �l, una peque�a bolita totalmente contenida en la figura. Por supuesto, entre m�s cerca del borde est� el punto, m�s chiquita ser� la bolita. Un punto es un punto frontera de una figura si cualquier bolita alrededor de �l, por m�s chiquita que sea, tiene puntos que son de la figura y tiene puntos que no son de la figura. Si un punto de la figura no es interior, entonces cualquier bolita alrededor de �l no est� totalmente contenida en la figura y por lo tanto este punto tendr� que ser un punto frontera. As�, un punto de la figura, o es interior o es frontera, pero nunca ambas cosas a la vez. Intuitivamente consideramos que el borde de la figura est� constituido por todos los puntos frontera. Finalmente tenemos a los puntos exteriores, que son aquellos alrededor de los cuales existe una peque�a bolita totalmente fuera de la figura. En una figura, los puntos exteriores son precisamente los puntos que no pertenecen a la figura. En la figura II.5 los puntos A y B son interiores, los puntos C y D son frontera, el punto E es exterior y q no es una bolita alrededor del punto F.
Demostraci�n. Desde E empezamos a caminar hacia A sobre el segmento EA y paramos la primera vez que tocamos a la figura q . Llam�mosle C a este punto. Si C fuera un punto interior habr�amos tocado a q antes de llegar a C, pues existe una bolita, alrededor de C, totalmente contenida en q. Por otro lado, si C fuera un punto exterior, entonces al llegar a C, a�n no habr�amos tocado a q. Como no es interior ni exterior, C tiene que ser un punto frontera.
Entre dos puntos interiores A y B, de una figura convexa q todos los puntos son puntos interiores.
Demostraci�n. Como en otras ocasiones, conviene pensar que q es de color rojo. Alrededor de A y de B existen bolitas de color rojo. Como Q es convexa, todos los posibles segmentos que unen a puntos de estas dos bolitas son de color rojo. Si ilumin�ramos todos estos posibles segmentos de rojo ver�amos que alrededor de cualquier punto del segmento AB existe una peque�a bolita roja (v�ase figura II.6).
Demostraci�n. La demostraci�n es id�ntica a la anterior. Pensemos que
q es roja. Alrededor de A existe una bolita
roja a la que llamaremos Q. Como todos los
segmentos que unen el punto B con alg�n punto de q
son rojos, entonces existe un barquillo rojo, que empieza en B y cuya
nieve es q (ver figura II.7). Por lo tanto,
alrededor de cualquier punto del segmento AB, distinto del punto B,
existe una bolita roja. F�jese que entre m�s cerca de B tomemos al punto,
m�s chiquita tendremos que escoger la bolita roja alrededor de �l. 
Entre dos puntos frontera A y B de una figura convexa o todos los puntos son frontera o todos los puntos son interiores.
Demostraci�n. Si todos los puntos del segmento AB son puntos frontera, hemos acabado. Si no, quiere decir que, entre A y B, existe un punto interior. Llam�moslo C. Luego, entre C y A, y entre C y B s�lo tenemos puntos interiores. Esto es, basta con que haya un punto interior entre A y B, para que todos sean interiores.
Existen figuras, como una l�nea, un semiplano o un cono, que se extienden hacia el infinito. Las dem�s, aquellas que no se extienden hacia el infinito y que por lo tanto est�n totalmente contenidas dentro de un c�rculo suficientemente grande, ser�n llamadas figuras acotadas.
A continuaci�n hablaremos sobre una propiedad de las figuras convexas acotadas, que ser� muy usada en lo sucesivo.
Si una l�nea L pasa por un punto interior A de una figura convexa acotada q entonces L corta a la frontera de q en exactamente dos puntos. (Ver figura II.8).
Demostraci�n. Ya que F es acotada,
muy lejos, sobre la l�nea L a la izquierda de A, hay un punto
que no pertenece a F. Entre este punto y el
punto A debe de haber un punto frontera de F.
Por otro lado, como entre un punto interior y un punto frontera s�lo hay puntos
interiores, sobre L a la izquierda de A, no puede haber dos puntos
frontera. Esto es, sobre L a la izquierda de A hay exactamente un punto
frontera pero, por las mismas razones, a la derecha de A sobre L,
hay exactamente otro punto frontera. Es decir, L corta a la frontera
de F en exactamente dos puntos. Entre estos
dos puntos todos los puntos son interiores y fuera de ellos, sobre L,
todos los puntos son exteriores.
Una propiedad de las figuras acotadas es la siguiente:
Una figura acotada tiene exactamente dos l�neas soporte en cada direcci�n.
Demostraci�n. Para ver esto, dibujemos primero dos l�neas en la direcci�n dada, que tengan a la figura entre ambas. Luego deslic�moslas hasta que toquen a la figura (v�ase figura II.9).
Lo anterior no quiere decir que por cada punto de la frontera de una figura pasa una l�nea soporte. Esto, como ya lo hab�amos mencionado antes, s�lo sucede en las figuras convexas.
Por cada punto frontera de una figura convexa F pasa una l�nea soporte y viceversa.
Si por cada punto frontera de una figura F con puntos interiores, podemos trazar una l�nea soporte, es porque la figura F es una figura convexa.
Demostraci�n. La demostraci�n de la primera afirmaci�n es f�cil pero un poco tediosa. Como, adem�s, no es relevante para el desarrollo subsecuente de este libro, la omitiremos. A continuaci�n veremos la demostraci�n de la segunda afirmaci�n.
Para cercioramos de que F es una figura convexa necesitamos comprobar que el segmento que une cualquier par de puntos de F est� tambi�n en F. Empezaremos verificando que entre un punto interior A y otro punto cualquiera B de F todos los puntos son parte de F. Si no fuera as�, entre A y B habr�a un punto exterior y por lo tanto un punto frontera. Esto es imposible, como veremos a continuaci�n. El punto C es un punto frontera de y alrededor de A hay una peque�a bolita totalmente contenida en F; as� que trate de trazar una l�nea soporte de F por C, es decir, intente dibujar una l�nea que pase por C y deje tanto a la bolita alrededor de A como a B de un solo lado de la l�nea (ver figura II.10).
�Imposible! �No es cierto? Imposible que exista un punto frontera entre A
y B. Pero si no hay puntos frontera, entonces tampoco hay puntos exteriores
entre A y B. Es decir, entre un punto interior y otro punto
cualquiera de F, todos los puntos
son puntos interiores de F.
Toca ahora comprobar que entre dos puntos frontera P y Q, todos
los puntos pertenecen a F. Llamemos L
a la l�nea que pasa por P y por Q. Como F
tiene puntos interiores existe un punto interior C que no est� en la
l�nea L. Supongamos que est� arriba de L. Entre C y P
todos los puntos son interiores, por lo tanto, entre cualquier punto del segmento
CP y el punto Q, todos los puntos son interiores. Es decir, todos
los puntos del interior del tri�ngulo PCQ pertenecen a la figura F;
pero entonces todos los puntos del segmento PQ pertenecen a la figura
F de lo contrario, entre P y Q
habr�a un punto exterior, y por lo tanto una bolita alrededor de �l, totalmente
fuera de F pero que se mete en el interior
del tri�ngulo PCQ que est� dentro de F
(ver figura II.11).
La figura convexa m�s peque�a que contiene a una figura f es llamada el casco convexo de f (ver figura II.12) Por supuesto, cuando la figura es convexa, su casco convexo y ella coinciden.
El casco convexo de f se obtiene al tomar la parte com�n de todas las posibles figuras convexas que contienen a f. En las figuras planas, otra forma de obtenerlo es considerar a Q m�s todos los posibles segmentos con extremos en f.
A continuaci�n usaremos el hecho anterior para probar la siguiente propiedad de las figuras convexas.
Si toda l�nea soporte de una figura f toca a la frontera de f en un solo punto, es porque la figura f es convexa.
Demostraci�n. Vamos a ver que cualquier punto A de la frontera
del casco convexo de f est� en f,
con lo cual f ser� convexa, pues coincide
con su casco convexo. Si A no estuviera en f,
entonces A estar�a en alg�n segmento PQ con extremos P
y Q en Q —recordemos que el casco convexo de f
se obtiene mediante f m�s todos los posibles
segmentos con extremos en f. Por A
pasa una l�nea soporte L del casco convexo de f
(ver figura II.12). Como L debe pasar por A y dejar a P
y a Q de un mismo lado, forzosamente L debe de pasar tanto por
P como por Q, pero entonces L ser�a una l�nea soporte
de Q que lo toca en al menos dos puntos. �Imposible! A tiene que estar
en f.
Volviendo a nuestra idea intuitiva de que las figuras convexas son las que no est�n abolladas, haremos notar otra de las propiedades caracter�sticas de las figuras convexas. Si una figura no est� abollada, entonces cualquier punto que no est� en la figura puede ser separado de ella mediante una l�nea recta. No sucede as� cuando la figura est� abollada, precisamente en la abolladura se forma un hueco cuyos puntos no pueden separarse de la figura mediante una l�nea recta (ver figura II.13).
M�s precisamente: Si una figura F es convexa y A es un punto que no est� en ella, entonces existe una l�nea que separa al punto A de la figura F . Y viceversa, si en una figura F para cualquier punto A exterior a ella, siempre es posible trazar una l�nea recta que separe a la figura Q del punto A, es porque la figura F es convexa.
Demostraci�n. Tomemos una figura convexa F y un punto cualquiera que no est� en ella. Llam�mosle A. De entre todos los puntos de F, pongamos nuestra atenci�n en aquel que se encuentre m�s cerca de A y llam�mosle B (ver figura II.14). Mostraremos que la l�nea L, que pasa por el punto medio del segmento AB y es perpendicular a �ste, separa a F del punto A. Es decir, mostraremos que "arriba de L" —del mismo lado de A— no hay ning�n punto de F . Si existiera un punto C de la figura del mismo lado de A, entonces, por ser F convexa, el segmento BC estar�a dentro de F y por lo tanto habr�a en este segmento un punto de F cuya distancia a A es m�s peque�a que la distancia de B a A. Esto es imposible pues hab�amos escogido de antemano a B con la propiedad de ser el punto de F m�s cercano al punto A. Esto nos convence de que no existen puntos de F "arriba de L" y que, por lo tanto, la l�nea L separa a la figura F del punto A.
Supongamos ahora que tenemos una figura F con la propiedad de que, para cualquier punto A exterior a ella, hay una l�nea recta que separa a la figura F del punto A. Queremos ver que F es una figura convexa. Para tal efecto tenemos que tomar dos puntos P, Q de F y verificar que el segmento que los une est� tambi�n en F. Yo afirmo que el segmento PQ est� dentro de F. Si alguien —digamos usted, lector— quisiera negarlo tendr�a, por supuesto, que mostrarme un punto A entre P y F que no estuviera en F. Supongamos que pudiera mostr�rmelo, entonces yo le pedir�a que dibujara una l�nea que dejara a P y a Q de un lado y a A del otro —pues hemos acordado que F est� separado de A por una l�nea. Como es obvio que esto no es posible, pues A est� en el segmento P quedar�a claro que fue un error suponer que A no estaba en F y concluir�amos —los dos— que todo el segmento PQ est� dentro de F. Es decir, hemos demostrado que F es convexa verificando que el segmento que une cualquier par de puntos de F tambi�n esta en F.
Como consecuencia de este hecho tenemos que las figuras convexas tienen la siguiente propiedad.
La parte com�n de todos los semiplanos que contienen a una figura convexa F es precisamente la figura F.
Demostraci�n. Por supuesto F est�
en la parte com�n de todos los semiplanos que contienen a F,
sin embargo, esta �ltima figura pudiese ser m�s grande. Todo punto exterior
a F puede separarse de F
mediante una l�nea; entonces, para cada punto exterior de F,
existe un semiplano que contiene a F pero
en el cual no est� dicho punto. Por lo tanto, tampoco est� en la parte com�n
a todos los semianos que contienen a F. Esto
prueba que la figura F no es m�s chica que
la parte com�n, sino que son iguales.
En este cap�tulo, hasta ahora hemos hablado de figuras, pero no de s�lidos. Iniciaremos se�alando que todo lo que se afirm� para figuras es cierto para s�lidos si procedemos con las definiciones correctas.
Decimos que un s�lido es convexo si cada vez que tomamos dos puntos en �l, el segmento que los une pertenece tambi�n a �l.
Un plano soporte de un s�lido es un plano que toca al s�lido pero que lo deja totalmente contenido de un lado (es decir, en uno de los semiespacios determinados por �l).
En un s�lido podemos distinguir tambi�n tres clases de puntos: los puntos interiores, los puntos exteriores y los puntos frontera. Sus definiciones son an�logas a las dadas para figuras, excepto que ahora las "bolitas alrededor de los puntos" son realmente bolitas, es decir, son tridimensionales. Por supuesto, entre un punto interior de un s�lido y otro que no est� en el s�lido, siempre hay un punto frontera y, si el s�lido es convexo, entre dos puntos del s�lido o bien todos los puntos son interiores o todos son frontera.
Al igual que las figuras, los s�lidos convexos pueden caracterizarse —es decir, todo s�lido convexo tiene esta propiedad y, si alg�n s�lido tiene esta propiedad, es porque el s�lido es convexo— por medio de las siguientes propiedades:
| a) Por cada punto frontera del s�lido pasa un plano soporte. |
| b) Cualquier punto exterior del s�lido puede separarse de �l mediante un plano. |
Finalmente, mencionaremos que si en un s�lido, todos sus planos soporte lo tocan s�lo en un punto, entonces el s�lido es convexo.
Finalizamos este cap�tulo, una peque�a introducci�n a lo que se denomina convexidad geom�trica. Desgraciadamente algunos aspectos bell�simos de �sta, como son la teor�a de Helly o Radon, han quedado fuera del alcance de esta obra. La convexidad es y ha sido de crucial importancia para el desarrollo de las matem�ticas, y ha acompa�ado a muchas de las ramas y resultados m�s importantes de la actualidad. Si le interesa profundizar en el tema, le recomiendo los bell�simos libros de V.G. Boltianskii citados en la bibliograf�a.
