III. EL C�RCULO
HAY ciertos hechos de la geometr�a que forman parte de la experiencia com�n; por ejemplo, todos sabemos que en una rueda, independientemente de su posici�n, el eje est� exactamente arriba del punto donde la rueda toca al piso. Si en lugar de hacer rodar la rueda pensamos que el piso va tomando la posici�n de todas las tangentes del c�rculo, habremos demostrado un teorema de la geometr�a euclideana que dice que "si por un punto M de la frontera de un c�rculo trazamos una tangente, entonces �sta es perpendicular al radio del c�rculo que termina en M" (ver figura III.1).
Esta sencilla propiedad del c�rculo lo caracteriza, es decir, si existiese otra figura f y un punto K en su interior, con la propiedad de que, al rodar �sta, el punto K siempre est� exactamente arriba del punto donde f toca al piso, entonces f necesariamente es un c�rculo y el punto K su centro.
A trav�s de este libro tendremos con frecuencia la necesidad de convencernos de que determinada figura es un c�rculo puesto que posee la propiedad antes mencionada. Es por ello que este cap�tulo est� dedicado �ntegramente a convencemos del siguiente hecho:
Sea F una figura acotada y K uno de sus puntos interiores. Supongamos que por cada punto frontera M de F pasa una l�nea soporte que es perpendicular a la l�nea que pasa por K y por M; entonces F es un c�rculo con centro en K.
Demostraci�n. Para empezar, F es convexa pues por cada punto de su frontera pasa una l�nea soporte. Adem�s, cualquier l�nea que pase por el punto interior K, corta a la frontera de F en exactamente dos puntos y entre ellos (es decir, en el interior del segmento que los une) s�lo hay puntos interiores.
La demostraci�n de que F es necesariamente un c�rculo, si bien no es complicada, s� es un poco larga, motivo por el cual vamos a desglosarla, mostrando primero por separado cada una de las siguientes afirmaciones.
Supongamos que por cada punto frontera M de F pasa una l�nea soporte que es perpendicular a la l�nea que pasa por K y por M, entonces:
| i) Si C es un c�rculo que se encuentra dentro de F y toca a lo frontera de F enel punto A, entonces el centro de C, el punto K y el punto A est�n sobre una misma l�nea. |
Figura III.3
| ii) Si L es una l�nea que pasa por K y corta a la frontera de F en los puntos P y Q, entonces el c�rculo cuyo di�metro es el segmento PQ est� dentro de F. |
| iii) El centro del c�rculo de F es K. |
Por ejemplo, con respecto a i) algo como lo que se muestra en la figura III.3 no es posible.
Empezaremos con la afirmaci�n i). Es decir: "Supongamos que C es un c�rculo dentro de F cuyo centro O es diferente de K. Si C toca a la frontera de F en un punto A, entonces A, K y O est�n en una misma l�nea."
Esto se debe, sencillamente, a que por A pasa una l�nea soporte de F perpendicular a la l�nea que pasa por K y por A (ver figura III.4) Esta l�nea soporte, por estar C dentro de F es una tangente de C que pasa por A. Como en un c�rculo los radios son perpendiculares a las tangentes, la l�nea que pasa por K y por A tiene que pasar tambi�n por O, el centro de C
Veamos ahora la afirmaci�n ii).
Tomemos una l�nea cualquiera que pase por K. Llam�mosla L. Sabemos, pues F es convexa, que L corta a la frontera de F en exactamente dos puntos que llamaremos P y Q.
Nuestro siguiente prop�sito es convencernos de que: "el c�rculo cuyo di�metro es el segmento PQ, est� dentro de F."
Es decir, queremos comprobar que el c�rculo con centro en el punto medio del segmento PQ, que pasa por P y por Q, est� dentro de F . Para ver esto, pensemos en el punto medio del segmento PQ, al que llamaremos O.
Primero veremos el caso en el que K es diferente de O. Llamemos C al c�rculo m�s grande con centro en O que se encuentre dentro de F. Veremos que tanto P como Q est�n en C, con lo que habremos terminado con este caso. Como C es el c�rculo m�s grande con centro en O que se encuentra dentro de F, C tiene que tocar la frontera de F en alg�n punto, de lo contrario, ser�a posible hacer crecer a C un poquito m�s. Supongamos que C toca a la frontera de F en el punto A. Por i), el punto A se encuentra en la misma l�nea en la que se encuentran K y O, es decir, el punto A est� en la l�nea L, pero en la l�nea L s�lo hay dos puntos de la frontera de F que son P y Q (ver figura III.5). Es decir, A tiene que ser alguno de estos dos puntos. En la figura III.5 vemos que A es diferente de P y Q lo cual es imposible, pues en ese caso el punto A, el punto K y O no estar�an alineados. Finalmente, como O es el punto medio del segmento PQ, el c�rculo C tiene que pasar tanto por P como por Q que es lo que quer�amos.
Nos falta ahora comprobar el caso en el que K es el punto medio del segmento PQ. Como antes, queremos ver que el c�rculo con centro K, que pasa por P y por Q, est� dentro de F . Veremos primero que cualquier c�rculo que pase por P cuyo centro est� en el segmento PQ est� dentro de F. Tomemos un punto cualquiera R entre P y K, y consideremos el c�rculo m�s grande con centro en R que est� dentro de F. Este c�rculo debe de tocar la frontera de F en alg�n punto, digamos en el punto B. Como B, K y R est�n en la misma l�nea, es decir, en la l�nea L, B tiene que ser o bien P o bien Q. Como R fue tomado entre P y K, B tiene que ser el punto P. Es decir, cualquier c�rculo que pase por P cuyo centro est� entre P y Q, est� dentro de F, pero entonces todo el interior del c�rculo cuyo di�metro es el segmento PQ est� dentro de F (ver figura III.6).
Todo lo anterior est� muy bien, pero lo que queremos es ver que el c�rculo C, cuyo di�metro es PQ, est� dentro de F . Si no fuera as�, existir�a un punto Z, distinto de P y de Q, en la frontera de C, que no estar�a en F . Este punto Z ser�a un punto exterior de F, por lo que existir�a una peque�a bolita alrededor de �l, totalmente afuera de F; sin embargo, esto es imposible pues esta bolita morder�a el interior del c�rculo C, que ya vimos que est� dentro de Q (ver figura III.6). Hemos pues acabado de convencemos de que cualquier l�nea que pasa por K corta a F en un segmento y, el c�rculo cuyo di�metro es este segmento est� dentro de F .
Continuemos con la afirmaci�n iii), pero antes hablemos un poco sobre el circunc�rculo y el inc�rculo de una figura cualquiera.
El c�rculo m�s peque�o que contiene a una figura y es llamado el circurnc�rculo de y. El c�rculo m�s grande contenido dentro de una figura y es llamado el inc�rculo de y ( ver Figura III.7).
�stos, por supuesto, no son necesariamente conc�ntricos. En un rect�ngulo existe un solo circumc�rculo, pero varios inc�rculos (ver figura III.7). En general puede haber varios inc�rculos pero el circumc�rculo es siempre �nico. Si existiera una figura y con dos circumc�rculos, digamos C1 y C2, entonces y estar�a dentro de C1 y dentro de C2 por lo que habr�a un c�rculo m�s peque�o que contiene a la parte com�n de C1 y C2 y por lo tanto a y (ver figura III.8).
En seguida nos propondremos ver que para nuestra figura F, el inc�rculo es �nico pues su centro es el punto K.
Escojamos uno de los inc�rculos de F y llam�moslo u. Denotemos por O a su centro. El c�rculo u debe de tocar a la frontera de F en al menos dos puntos, de lo contrario, si s�lo la toca en un punto, despeg�ndolo ser�a posible encontrar un c�rculo m�s grande dentro de F. Sean X y Y dos puntos distintos que se encuentren en u, pero tambi�n en la frontera de F. Por i), en la l�nea que pasa por K y por X est� O. Por la misma raz�n, en la l�nea que pasa por K y por Y est� O, el centro de u. Las posibilidades que tenemos, ante estos dos hechos, son las siguientes:
a) K es igual a O, es decir, K es centro del inc�rculo u, o
b) K es distinto de O, en cuyo caso, el punto X y el punto Y son diametralmente opuestos en u, y K se encuentra en el segmento XY digamos entre X y O.
Para acabar de convencernos de que K es el centro de u y por lo tanto de que el inc�rculo de F es �nico, basta ver que el caso b) es imposible. Pensemos en una l�nea que pase por K y sea perpendicular al segmento XY (V�ase figura III.9) Esta l�nea corta a F en un segmento, llam�moslo T. Esta misma l�nea corta a u en otro segmento, llam�moslo S. Por supuesto, S est� dentro de T. El c�rculo con centro en K que pasa por X est� dentro de u y s�lo toca a la frontera de u en X. Por lo tanto, X esta en el interior del c�rculo cuyo di�metro es S, que est� dentro del c�rculo cuyo di�metro es T que, a su vez, por ii), est� dentro de F. Todo esto es imposible, porque X no es un punto interior sino un punto frontera de F. Por lo tanto, el caso b) no puede darse y la �nica posibilidad que nos queda es que K sea el centro de u.
Ahora, una vez que hemos acabado con las afirmaciones i), ii) e iii),
ser� muy f�cil ver que el inc�rculo u de F,
y F coinciden. Sea P cualquier punto
de la frontera de F. �Cu�l? El que usted escoja.
Comprobaremos que P est� en el inc�rculo u.
Sea L la l�nea que pasa por K y por P. Como sabemos, L
corta a la frontera de F exactamente en P
y en alg�n otro punto, digamos Q. (Ver figura III.10). Por ii),
el c�rculo cuyo di�metro es el segmento PQ est� dentro de F,
pero tambi�n contiene a u. Como u
es el c�rculo m�s grande dentro de F, u
y el c�rculo cuyo di�metro es el segmento PQ coinciden. Es decir, P
est� en u. Finalmente, ya que P fue cualquier punto de la frontera de
F, el inc�rculo de F
y F coinciden, esto es: F
es un c�rculo.
